MA0009, 8. ledna 2020
Všechna souřadnicová vyjádření jsou vzhledem ke kartézské souřadné soustavě příslušného eukleidovského prostoru.
Každý úkol (+) je hodnocen 6 body; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 36 bodů.
1. Je dána krychle s protilehlými podstavami ABC D a EFGH. Dále jsou dány body
K=\A + \B,   L = \F+\G,   M = \G+\H,   N = \A+\D.
+ Dokažte, že body K, L, M, N leží v jedné rovině.
+ Určete vzdálenost bodu E od roviny KLMN.
+ Určete poměr oblemů částí krychle vymezených rovinou KLMN.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
B = {[x1,x2,x3,x4] | 2x3 -x4 = 1},
C = {[0, 8, 0,1] + t(l, 1,1,0) + s(0,1,1, -1) + r(2,1,0,1) | t, r, s e R}.
+ Určete vzájemnou polohu B a,C. + Určete odchylku podprostorů B a,C.
3. V trojrozměrném prostoru jsou dány vektory
V! = (-1,1,0),   v2 = (1,1,2). + Určete vektorový součin vi x v2 a ukažte, že platí
||vi x v2||2 = ||Vi H2 • ||v2||2 - (vi . v2)2.
4. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A= [1,3,4],   S =[0,4,4],   C =[2,4,6].
+ Určete bod D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl lichoběžníkem a obsah trojúhelníku ACD byl dvojnásobkem obsahu trojúhelníku ACB.
5. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní (souřadnicový) příklad...
+ ... mnohoúhelníku, jehož těžiště leží mimo tento mnohoúhelník. + ... dvou podprostorů, které jsou mimoběžné a současně kolmé.
6. Dokažte, že...
+ ... vlastnost v úloze 3 platí obecně.
+ ... nadrovina v afinním prostoru nemůže být mimoběžná s žádným podprostorem. + ... umíte některý z předchozích úkolů řešit jiným způsobem.