MA0009, 21. ledna 2020
Všechna souřadnicová vyjádření jsou vzhledem ke kartézské souřadné soustavě příslušného eukleidovského prostoru.
Každý úkol (+) je hodnocen 6 body; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 36 bodů.
1. Je dán čtyřboký jehlan s podstavou ABCD a vrcholem V, jehož všechny hrany jsou navzájem shodné. Dále jsou dány body
K=lA+\V,   L = lC+\V. + Určete odchylku přímek KL a CV.
+ Určete vrcholy mnohoúhelníku řezu jehlanu rovinou KLB. + Určete těžiště mnohoúhelníku řezu jehlanu rovinou KLB.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
fí = {[3,2,1,2]+r(l, 1,1,1) |rel},
C = {[4,4,4,0]+a(l,2,l,0) + í(-l,0,l,2) | s,teR}.
+ Určete vzájemnou polohu B a,C. + Určete vzdálenost B a,C.
3. Ve dvojrozměrném prostoru jsou dány vektory
u=(3,l),   v = (1,3). + Určete vnější součin [u, v], odchylku a = <(u, v) a ukažte, že platí
[u, v] = ||u|| • ||v|| • sin a.
4. V trojrozměrném prostoru jsou dány body
A= [1,1,2],   B= [1,4,3],   C= [1,2,5]. + Určete bod D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl osově souměrný a měl obsah 12.
5. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní (souřadnicový) příklad...
+ ... nepravidelného mnohostěnu s objemem 12.
+ ... dvou podprostorů s netriviálním průnikem a odchylkou 60°.
6. Dokažte, že...
+ ... vlastnost v úloze 3 platí obecně.
+ ... totálně kolmé podprostory se protínají v bodě.
+ ... umíte některý z předchozích úkolů řešit jiným způsobem.