MA0009, 24. ledna 2020
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích příslušného eukleidovského prostoru.
Každý úkol (+) je hodnocen 6 body; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 36 bodů.
1. Je dána krychle s protilehlými podstavami ABC D a EFGH. Dále jsou dány body
K=\A+\B,   L = \B + \C,   N = \F+\G. + Určete odchylku rovin KLM a ABC.
+ Určete vrcholy mnohoúhelníku řezu krychle rovinou KLM.
+ Určete obsah mnohoúhelníku řezu (vzhledem k obsahu stěny krychle).
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
B = {xs — 2xi = 2, x3 + X4 — 2xi = 2},
C = {[l,3,9,l]+t(l,3,2,0) I teR}.
+ Určete vzájemnou polohu B a,C. + Určete vzdálenost B a,C.
3. V trojrozměrném prostoru jsou dány vektory
u =(-1,1,1),   v = (0,2,1), w=(-2,2,-4). + Určete vektorový součin u x v, vnější součin [u, v, w] a ukažte, že platí
IIu x v|| • ||w|| = ±[u,v,w].
4. Je dán lichoběžník ABCD s obsahem 25, jehož úhlopříčky se protínají v bodě
E=\A+lC.
+ Určete obsahy trojúhelníků ABE, BCE, CDE a DAE.
5. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní (souřadnicový) příklad...
+ ... nepravidelného mnohoúhelníku, který je souměrný podle některé své úhlopříčky. + ... dvou podprostorů, které jsou kolmé a mají společný směr.
6. Dokažte, že...
+ ... vlastnost v úloze 3 platí právě tehdy, když vektor w je kolmý k u a v.
+ ... pro obecné podprostory B a, C platí: body B e B a C G C mají minimální vzdálenost právě
tehdy, když vektor B Ó je kolmý jak k ~Š, tak ~Č. + ... umíte některý z předchozích úkolů řešit jiným způsobem.