MA0009, 30. ledna 2020
Všechna následující analytická vyjádření jsou v kartézských souřadnicích příslušného eukleidovského prostoru.
Každý úkol (+) je hodnocen 6 body; k ústní zkoušce je potřeba aspoň 36 bodů.
1. Je dán čtyřboký jehlan s podstavou ABC D a vrcholem E, jehož všechny hrany jsou navzájem shodné. Dále jsou dány body
K=\A+\B,    L=\B+\C,    N=\D + \E.
+ Určete vrcholy mnohoúhelníku řezu jehlanu rovinou KLN.
+ Určete odchylku rovin KLN a ABC.
+ Určete poměr objemů mnohostěnů ABCE a KBLN.
2. Ve čtyřrozměrném prostoru jsou dány afinní podprostory
fí={[4,l,l,2]+í(0,l,l,0) | tel},
C = {[3,3,4,0] + si(l,0,l,0) + s2(0,l,0,0) | si,s2eR}.
+ Určete vzájemnou polohu B a,C. + Určete vzdálenost B a,C.
3. V trojrozměrném prostoru jsou dány vektory
V! = (4,3,0),   v2 = (4,3,5). + Určete vektorový součin vi x v2 a ukažte, že platí
||vi x v2||2 = ||Vi H2 • ||v2||2 - (vi . v2)2.
4. Ve dvojrozměrném prostoru jsou dány body
A =[1,2],   C = [6,2],   E = [3,2]. + Určete body B a, D tak, aby čtyřúhelník ABCD měl obsah 15 a těžiště v bodě E.
5. Ve vhodném prostoru udejte konkrétní (souřadnicový) příklad...
+ ... nepravidelného středově souměrného mnohostěnu.
+ ... dvou mimoběžných podprostorů se společným směrem.
6. Dokažte, že...
+ ... vlastnost v úloze 3 platí obecně.
+ ... odchylka přímky B od podprostorů C je rovna odchylce přímky B od jejího kolmého průmětu doC.
+ ... umíte některý z předchozích úkolů řešit jiným způsobem.