Kouzlo (obecně)
/
tzv. Gramův determinant, ozn.
G(vt,...,Vk) :=
Ví ■ Ví
Ví . vk
Věta
Pro libovolnou k-tici vektorů v eukleidovském prostoru platí
n r Kouzlo (důkaz)
Ľ7
1) Pro navzájem kolmé vektory (kvádr)
G(v1,w2,w3)
Ví . Ví 0 0 0 w2 . w2 0 0 0      w3. w3
•IIW2IMIW3II2 = V^W^Wg)2.
) ŕ ~L *- [ l*V -ŕ ^
2) Pro lib. našikmené vektory v2 = w2 + avi, v3 = w3 + bv-\ + cv2:
■5, O
/
J
Ví . Ví . v2 v^ . v3
v2 . v2 . v2 v2 . v3 p= J <<-
V3 . Vt v3. v2 v3. v3
Ví . V1 . V2     Ví . v3
W2 . Ví w2. v2   w2 . V3 <=)
W3 . Ví w3. v2   w3. v3
Ví . V1 Ví . W2     Ví . w3
W2 . Ví w2 . w2   w2. w3
w3 . Vt w3 . w2   w3. w3
T
ŕ 1. <fL1 )
= G(v1,w2,w3). □
u vo b t p ft eh it &
lco(v*\Lj   A o p (n i Ic     L o f Wey   f> r %    t b
l*c>(mD*}4-  úl   o H Crtx y (f> o ci pros ŕo r£
0 b 5 * /i ^     -v     e éj-e
I
?2 é Vektorový součin (n = 3)
Ze SŠ známe jako operaci V x V -> V s několika užitečnými vlastnostmi.
w * v f
5^ít wxv/1
Sice nevíme proč, ale pro u = (ui, u2, u3) a v = (y1( v2, v3) počítáme takto:
U X V —
/ u2	v2		U1			L/1	
	V3	1	U3	V3		u2	v2
Vektorový součin (obecně)
Návod k předchozímu souř. vyjádření — Laplaceův rozvoj determinantu:
		xi
u2	v2	
U3		
	—1	
u2 v2 u3 v3
X1:
U1 Ví
u3 v3
U1 ^
u2 v2
x3.
■> Důležitá (bezsouřadnicová) interpretace:
[u, v,x] = (u x v) .^x,3
Obecná definice:
híí y í '
Vektorovým součinem ^fT£7^-tlce vektorů (vt ,..., v„_-i) v ň^ozměrném eukleidovském prostoru je vektor w :— Ví x ■ ■ * x vn^ splňující
[v^.^Vn^x] = W.X
pro všechna x g V.
3nalevo vnější součin, napravo tzv. smíšený součin
£ Vektorový součin (vlastnosti)
5^ |M<Vj|
Věta
Ozn. w := Vi x ■ • • x vM, n = dim V. ty » Toto je anti-symetrické multhlineární zobrazení V x -- x V V.
n-1
SM* w = o <=> V!,..., vn_! jsou lineárně závislé, (q> v-i,..., vn_1 /sou lineárně nezávislé => ^ ,..., vn_-i, w) je kladná báze. (d) ► w /e /ío/mý ke vsem vektorům Ví ,..., vn_-i. ]|wf[- V(Vit.>.sVML — oLjA-no
Důkaz.
Všechno plyne z definující rovnosti a vlastností determinantu.
□
D Ô Ar * í
y mm-
ŕ     -ŕ í-t lr •■>» í'*7 <* *»  ^ ^ ___.-
£ 4,..., H,., , *"
\/ŕu    . ... K       H/ ) =
Ar f a/a//   G f o m E T £ t E
is $ •€ c     ft.    cv C h I c%
\c o { W\ Lj'   *{ O p ( n €   Ic    i (o O f I*) ty      f> r S t
Ytn o«> 4" f> o o( prví -fo r<%
ô b 5 i h ĺj     -v     e b J ~£ (y
Poznámky
K vektorovému součinu pro n = 3:
u X v = u • v • sina,
kde a = <(u, v).
K aplikacím: vzdálenosti podprostorů bez řešení soustav rovnic...
v(r n - ■ mÉ^m
v(B,t)- v(V1jV2)
1?><1   0     J < i~ fro    h - 3 :
- 4/ "*   o (>< c h * p (^ ŕ-1
(/U y        ) X AaT    -     A^yr   f ^ ^   ^ )
^ ,-----j     t,-ŕ^^.    L t \ o^ý      (fr* 61"? J
~       1 OL
afinní   f ť o s ŕ o \r    f<   i* iv-c r*, w/'ryy    \ŕ  ■ . . )
Aä«^/c      $ (c AL A d a/i    } q u c t as     yK ]/ —y ^~^y
o í j i ryy    r o t/ in ° i <~i i »y ft ^ t<
Kola? o 5 T   f>ŕtrmek       pítc^^^^ podpr*sŕor%
O 0 CH f L\Cfr    f*/'r»i<€Íc    ^    eíZc^^cA.   p i ({f r°$ for H
Ill
S H o q m *í    to (><r .    ra cU
o   <S (k  (/' U
I <
K       /   v i
5 ^ o c( n -C
6^
2?
fa P f f%4 A/"j     % o Q ru
f
ol —^ a.
fflkŠ
vT
ŕ? (V   É>ctf Z -CL_
(5=9
= 1
- D
1 o
T
D
tr1
11 5ľ  P o o o í
r
< s    n Mu c tr m
ť i—
p ti o j e k r i     i h r o
A_       <P      j> » K t  <a *  j f   C f j? f P/ f
r" ^ -x j ŕ fr <   *i <■
a -f ~   jp ros fw*
^■ c r   ft -ch      ^ o 6(r . H>        ^       r * *Jüh  C c
r
ť     t fr (t (&t    { %