A		T^ťTo   6 F/l.
t—.----		
	0 pŕt too      n / . roi í f f-řH/	\      t o "íe V"
/i/A 5T>0j f		^7«                     / '   •   •   • ]
		<í>- (::::)
» ■---"---		
		( tsi^hf < d e *tn   k-   Hirn J j
--"T" r Tťp/ r M f I   V to H Y ' 1		\   ít>t € Z
ZA    A P Asi
ý*j n r
ZA {C c A a
b o d
\ ŕ
1/ T.
m n c lf o (/ íi * Air {c(^
1/ čk"h> r
fit f><* d •
t (o 6 p A- It jU (
ŕ*
via
H j"' Milí O/
(3
v
o
v
P - CL U foo)
5
5
(c-h r
A,
Viktory
? *
s
U í/O p (  P £ e H u
c * /f
"ha. tc ľ njo
r
4
C t t l^A/
/
B — A
/
_
A ^ r ^
\
—*
p p /Vo -r , c/ C* 5      o 5 *f i
i/ *A r
f
/f
í r
h 4 t o í < -f : V ^-)V
n/
(x • AS*
nijcíťtíi TV T< 1
f
r o
?
If o
*QjLo\rt\L irr't    j> d t^-e 6<h_j c lAi t
U  D,    lY ^ ^ f?' ( ///
(T
if
v
(on ŕ* o a í 6/1 4
(
Yusp        y U
\ -
yy, n Q 1- t
í A.
6^ * I/
A
p,<-
■to
f t-
/U
at - f/y^  ^ <
6fr«  "po í /st ^ cí
-j       / 5 ľ» •   * ^ )
i/ f ft c A/i
1
/ ac
—>
c * í c 1
7
•j
O
.m v
1 1
A A/t) ,
-e
t)(<
43
t
l (A, -t (a <ft~\
3   X,      ^ - y
pro t^Aŕkt
*1 t Hl
Wt> l/Yí D^/
5 a ^^y^^y
u-"
ŕ*
É*
z.
Oj -   f P
r í (
- ?
í 5
C*/P
' 6\ M r c?
f —.^»~r. -
A r t fi/ť \      f n- o 5
DA
OL =
a x öl
1/
u-
r 0a. c* ( 1   i   *) «1
fr
^ e Co
ä.
u y/O P f   P £ G H i €T O
fit T t fi/fi/i   G t o m 6 T £ I E
o b   c n tj   <\ f t *? n /    f r* 5
i o m
Al
•9
a-t/
0W % a_ -9 y/'
/
p o ŕ^tv ŕ4
j
u-1
fi
ros -t-o r
ti r
liťi/t;C * ►'pi "v~«-
d? é m t-    (fr X <$> —? ^ £ i/"   «« % '     Cv •
t,
B- -i U
i
id
t'|íl/|\ALřA/rí/| Popi' 5        p © £> f fV o $   F o (Í(J ;
p íl Of p
J
^1
PO D A t t
h
5
m'
if
1 J
6( ^ <£r* 1/
/"Vi-* ]
u Vo i>      P é" e7 H L C D
AFl/v/A//    G & o M E T £ í E
o b ^ c n (ý    <\ f~ ( r? n f     f f 5
i o m
''I
Aff A/*/,      Zo š (I A ZltJi
1 Um il^-e FQovn&{-tn'je_  u Zrné. •
f> o rvi & ý<2 tvojho
— VJ
f > —* (L
OL y	a -	
		
	Í'	
q! *	ď -	
\
R •     P a o c, r^o a U ;
A
- -j
At
9
•v.
r ^ «1 1^ i
t.
a
i
-o
J *     Aa. Aa ,   . x '     'j f P
CD     /->   c 01---.    , ✓   -   v 'v
—) —)
_I     V ■ ■ ■   L I A^ŕ ft 1% A'i
r e>      o 6 £ c ^ e-i
/t/ / o V
1 O  é r .'
^ ~L A     r~fV C T
t /c(/i'i//iLtyrA/|'   Off-    >4 F- -uotffc
^  /   CL —j> (X
U
C iA. X> IS« r (
z B
—>
©L
f é
6 cr
a
x> 1—>
---
AA    -   O K
L i '/v , c A S T
*3
s0
7j
—r-
4 /
^ '   š> * ■$fat £ f *■ ■■ •
/S7
-e -é- c
A p   /v/A/i      X -O <? H
J
-C
v o
b z c
r
ľ
■p
\
ľ
I
—> Ä
1/ ( * 5
f *í o s ŕ t
i ŕ
Vx     * /^t i * en os ŕ,'    fJ-A+t- J**
v.
7^      y) *   C £>
J
u vo J) f   P ŕ € Hitu
O b ^ C     ty      e\ f ( ť) t) /        Č f & S
i o ir
$ o u ŕ *\ dl v\ i c
/
p r *      o d *p
%1*
" .Cr /
Iß
P
2 (ht ^éŕéx*
T
f .'7
/R'
33
_4
^   ^ IR
4 $oc/ft-f°c/5Mí-£
39
j -í d u     (t & n o ft r \
*5   " '
o (s R- ■    so ti s f a- \y í
^ ;r.v>
i_____- • - .j
6(o <{
^   JCi ^     © 'V ^ ^ * pft(*
JA.
4 1 )
3ť
=   O ^%MA  -f- li
6
f/" :2_
0
h-t (ŕ (b      (A 6 O p- )
s o ía r v
fc*T\l" í tli lzr)
u vo p      P ft e H L€~ O
A "f iVa/í   G t C M € T £ I E
CK. f i (n t) / ^  f> ° d P r & $ * p n
i o r*
I
f> r & ct^ o ^
^> \r ^ r\ C     }   sj<dwoefts\(   }   $ * ti Ír
1
a - i/
tc     n <e_ c cl- • • •
J
■e. o
z7
K^f - pv^pro^-ffHT ff
r/
c< Ír
(fy ~ G&d (   £ - 6©^
!
---—9 i>»(^U   6 ' C
*  *     í — Pri'^ . . iřl - Co
r ^ • • • \ toYt,
\ ( rát h d
*? * <t f r o<> H)r
' A
, *\ •   M t -Vfa l/l 4 I t
23
o6ec
r
1_ r- *j i^^C
-* —)
fe*     - (Tb trt
-—-> ->
6eG C* t fUj^
0 É? <- C í^t
Í(B Ä   e    S pro f\*\«jl
*-"- I     -|>m»iw|i I n   m   i i
^a.' ^ o. ^
<to \ ^ o y c r ^    a    f p. u a/ t~ k> <f
1/1    D U ^
-) 7
r-> -í
0 c e <e
f c -  ei) -ŕ ďc   & ^
p
(j'é- eeß
0c « AT j
c - S
1
a v t c E
K 5  . O ^)
í -f Ol' J
I ten <£ ŕ ^ j
*-  u i—■^»mir. li i i—4—^
r
Jvo j) , p ße Hieß
O b -t c *i Cý      e\ Ý 1 *? n 1       f ť ° S
<*. f t to n S f> ° d P r v $ ť ° n
tor
s o w r <=v « k ( c
/
r    cti o
l/ ^      j M*
HZ
11
o e t c- Me
. ft , *c
t »VI
o^e-C^F    K K t
Yv\ O X K <^
e> o ^ = ^
ji
j
( f j- .    fönt =5/
"e
-—\
*   příčko t/ *j?5£*j* ettfŕriŕuL
i/x oy
t
6b ý( V
- /       w J-
í do CL^3>   é*í* "J fr t IcUá^
vr
v. t
7
/     T \
3
« ■
O 0\
©    O O
TI
f*_ ^ S Cr A> k
4; i/m r     JJ ^ \
ŕ C** )
VIA Jt/lA/A
ß x t
ß c e.
6 // C,
a o
1
f T
1
U ft   If %
/l/ FL í C"
s-   f \ 1
____ i »   /ft \ • 1	-
1 o b oj	
0
- I j
ftA^e   o ^  o & e.
<ß c c
<h [i z.
ft 'V ť _
r /f ^ a (*)
ß //c
(ft
3^ 5"
3  - T£
T o Y e -v
H 0 D    o 5 T i
■
e D V
(911,
		- • «*---u-Íl-
	š	i x
m < ô"		
)
rrĎY
i    to í' c" / r,^v^   /"ľ i n o 6 6 l'Wj
p r-? «4 p
->   -) ->
A -r «e s= a *v
•—J
o ^ ' í o1)
j i/o j> f p F^e h it b
A- T= 6 Ér O M E T & I L
/
^ r -c       o <?(
r
T
r i c
5%-
r
t l
Fa
-
(8) d/v> tMTťr.
p
(2
at
(ty, M a rjc /A • i^ňk' í
L
fl~/tc L ň Q
s p*. C
í r íl &te*
f> (t í *J (co u A     f£* CH 4
I lAoA •     °^ I JÍT-
S",   oLqcLča_{- ■
u vo J) f   P ß £ H O
a r (V/Vi   G t o m e T £ i E
í o r
o b ^ c ti cj t      t    ŕ t c s
Souřadnic*- j    f> r * <^ii o d<p
u i f o r a Ma n t  i   o m t x^ n -t    P e " P r' /
, r v.
\c- o v\     C y- n I      nn h t> l t is)
5-r
u tf ort arf)a /s
1: *m
/4ej. *4 ř^^cc &\(-£žJ{ ****** *ňf*1Z
1/ ; pt ŕ*
"AH^        i pome.
5£
n < 6
(
c
f( CT
r 5 i ^ c
CO
s?
o P t/ 6> %j& jMW   P ô J A? y
r
i) (^
-   ro-i A Alt« j L    * f****)   f o s-H f    * *
^     O ŕ ň-c~A/YC f-/     po f o - frosforfcU^
í* 4
3
r
Y <* ~t *~ f     0(0      o 60
p c (t, - p r & f^-t>rto J
/
/I/ 6 \<> O ŕS v (T/ ^ í
p
r í? j
A ^0	
	
	Ä)
	
J	
*	
\co /7c/. o
r
po irttítv i Pft
DeF
P*
pot) nox i$t aV^^^i
frvi
1
^ n /vy fc^WW
O
A
f
To
fir
2
V \
-A
US- b o
/f. vr
K TOU o
« 3
>
P
Vv
0
fr ^
4 4d^
/
|V -f ^ ~ -ŕ ^
Aß
s        * *
f ÄJEĽL]
Á A S C  - f "X = ť, A + *e g f ic C "
t<4   ^ O'
	ô
	O
(
f Iři
E/ 7Ír    D ft
KT i fi/flSt   G t c m 6 T £ l E
a f- / <n r) (     tob      t -e n t
» souřadnic
v.
f r -c oít o J7
je-tw h-e.    polohy    p « «f pro^torM
v   -ŕ ,
t ^      c -c (\ ir^ťc l^-c   f ° w* «T m ľ £■
~ t
>
S
- A ■* $£/<€ * Ct)^ ti
stel f
er ■ iD^wx«
A3
4P]
69-
Teoy
j
bet1
o
•3
-7
4.      Urit'     PA ( PS t
•K f
KJ
"x -- < » * < 8
t
\
- -7
f ŕ Íi7f*f ureter
Ů$ -fr- IfC -   5" ä (/     ■    p < o    co <?ŕjp
1/
C r. Ö HP
'CM x / ''y k'
■
p o/o- f o<yi
* Ŕ í • c.
4 * °
- í
^ /7 -o.
g Aft* e.  7 e<s£fiúAstC e (A/B J f%&J t-^c^A^Y
A 8
c A/t /
o
r
u.
t/
= f
fo-fťV . ntL^/c pod™
i, 7Z 0
ŕ-
T ŕ "U * * Tjŕ
/4n ť
T YPí'clci    p£< (c c A b       (< ■ h
>2-
^ p KTO -f     t -e 1 í i  T     ■ ■ > >
Zl LJ u
í je    « si.
, -ŕ-
J
(T, o, -b)
/ i Si
(k ( b f   c )
h o z a/a' c^^t A
u.
t/
= f
fo-fťV . ntL^/c pod™
i, 7Z 0
ŕ-
T ŕ "U * * Tjŕ
/4n ť
y/o p i   P ft e H L C O
s'
■p (Va/i   G t o m E T ß í L
o h -e, c * iý   ^ Ý (h i    f f ° s č o r * j-1 to i (     ~i o lo <f~<^ t -e n c
» souřadnic
-e/   polohy    P * *t prc^^ro
V/ Ť*      |í.«n h
0
o r
j> o t ia d        lc 5 ^) ^ tO M t I
bodoch
r
(S *>í U « fin (
A/  EM    \y  5 i
c o
z A 4 i- e* l c
"2-
8/í >
3
T < "V i
e oh)
1/
pt> "La/Ŕ m p fir
s-
irr
/
—ý
2
d? 01      y' ^ jto (>ir.   max:   i/^^f. ptrofhtr
.   c/i e<Tv^y
A Ur i V a/i   c eor? ^rru( g~
)
4f ir\Y)\r f>ro<> h>r CL
#1 tséL     f> odf>ir
ť
\<JC{ [)£AJCe i Ro (/A/o B£r      $ t ,
f r
y i>fo li* $ř ň/j      f> P 0 J i T o 5 T
"Z &~ c
Y\ a. (/ ( o
L
JHop N0ST\
A f= i a/a//   G er o m E T £ í E
euM^(Düi/$K4   Gfonfrai ET
t ^ a
{í*
L/
(p —
2: y   IcAf^t'lS^st  sou r • Sow /-rV
^   -     ŕ*í   * )        ■   ■   * ****
1 AT
/
-  -1 -{ X- <0
j
Vi
í)'
/-1
"f
t     - *
5 £A LA P- a>i    f ö c/ c t
§ í - ui A/e 4 řA/i —
pól f T ť ^a//
per    í r/*so$r
■
r r - -    ^ ////
T
in-
/      r 1
ý er A>u • /u. > £>
f/'
(3--
g - o>
81
o
o ft t~o - a/o (i n &  c As i
O    řr* <C
/V~ -   ^r^, *N        *t *t
$ fit* t T f*
-lAiciADaJ)    p/B fco i/fiso <iT i
r
/l/C  •   /t*- L^_J č? y
r- /  C f ^1 l
ľ —
aas - (7
r io
f ;
/"('Íri     vi S
-9
^ > O
----3>
<
Do tu O    /ht, G (T8 ß-A-
U
r(uCL   C tíhl
9
ö v.   r /
* M & / £ O , pri c^kC [4«(-o ^
* ( A S ( - j Ô A (
* í Ac\ - //4 ff /-f /  0 f
A^A S x   M ^ T d{ (c A   j <    V{ ^    ( c
(Jf Uch* ,
L)
t
(
J
N
II
lADl-lBc(
u í p o ri, a m a'*
p
ŕ
ir- i ***** c<_
)
H -
Q A * C ÍAe[^Í6c( = (Ac
ŕ)
l     'l  ( - < f )
* ff « /ho   c f^fa
U'
i
t< * [0,1$
J p
-7 £
Telili & t!
ů f
b €> d * c ^
* t   t o
\-f—:—7
C     - a -ŕ
JJ> <o tA^\ " v-
—;
: - CA
o
to
■=    (( A*-
At.at = ittoH-Ktfi'^dr
-_í
- AA
_ AT"
-     ^ AL - . ^/U - AJ-^
AA. - AA_ -f 'vT • at-    -    T,^. aT-
IT ex.
8?
f
A* 6
1 (\toi,noír)
AA
t/e í iít o J f   vtLh>r<*- AX.--AI
1
'J L "f
afinní  pro 5±o r
5 ^ no 5C?^^ín^^rv
co /Jfiis  jfcsVe   cífhc/ in
ob j t/i   & o t//*/o e e i as o sfe'A'i/ ( s in f>c ex u ■■ ■ )
u y/o J)  ,   P $ & H i€T O
í    f ť r
s h od h o í
% H [C f Ä ^
d e f * /J r o
1/^ p o c {ry ^
Á ( <-     dl f-t
01 t CX-
c e on . f f-m  a 4 rc a «'i
#-(t, el = /<*<*/
v
4
r       r r
pre
V 0 t/*
8
11
? O
97
(5
	=)
	
	
pu (í) *
■h
pro     at O ■'
6" c — xr
— 1
/St(-^K  =-)   gelöst ŕcJ.^
'c=:       pr^cip-   6^J-6b> ^8^1^
V e £
y
(j) ť [ ;
"hl:
v K.
' r*1
C -f 'V-
i^^cl^    fee f ~ {e'c/
f f _ e
h # p ŕ- i
8 »■
(
I
f? c c g
0 ^
£;\    (ft n t ŕ f * f
AT    ; - AT
^ 5
/
"p
AT«
J, q   cl - 1 * ^v ft
í1.
í
d cm
	i^l tft x.	
r" J		
AT í O	1 7/	
( v «<    ^- 5 • 'IM0 )
A "F l" A/A/í    GtCM€TP- \ t
e u MF( poiys^A   Gronerfii t
y s
(
|čo L At Y    D ö p L A/ f 1^
T 4 I £ * r<*
* u
p
5 o k 5 t
U
ty
I i/*.^ -f or o ^7   p o df>ro<>-fv r *
1/ I
ft* t •     AT e
1/      / L <~
V Í J A O P- ' T
•cm
J.
L/
f
i/f
7
L ^
Ä * iE í* v , -  ■   .     € ((L
A    h 0 (
»71
■7 />
4r
r?
r
J so s) ( p it e h it O
eu(ciF(OoL/s(^A   G E o n e T fr \ E
h od
h o 5
f
i^rc^ft f< n í í t i'    f> o a pro i to r o,
s
Je dán bod B a (nad-)rovina C v eukleidovském prostoru:
C (/ < c e/t/ (
B = [-1,5,7],
C-í[1,2,3] + r(1,1,-1) + s(2,1,0)|r,seR}
^{te -2x2 -x3 = -6}.
"1 o
0
6/
7x1       ^ r O
Kolmý doplněk k C je    *     , U^u. * - (*u*if ^3 )
Cx = {x1 +x2-x3 = 0, 2xL+x2 = 0}   = {r(1,-2,-1)|f eR}.
Označíme body a vektory tak, že
C = {D + ru + sv|r,seR} = JĎX.n = 0 J, CJ" = (x.u = 0. x. v = 0} ={řn|ř€R}.
(1)
Hodláme určit vzdálenost v(B,C), a to pomocí charakterizace:
\BC\ = min <^=> BC ±C.
(2)
^ 1 A Wa kolmice, vzdálenost vd^í$&t c^y p*jj-vp  ( ft( 4 = <*(<*U)
Pro CeC platí (2), právě když
_^  _ > I BC . u = 0 a BC . v = 0,
což po rozepsání (C = D + ru + sv) vede k soustavě lineárních rovnic
1
ru . u + sv. u = DB . u,
ru . v + sv. v = DB . v.
Dosazením vektorů ze zadání dostáváme
71 / /
pCa řW\ ^/
7
4 d\rr* fí
L— v ■
3r + 3s = -3, 3r+ 5s = -1.
I
Tato soustava má jednoznačné řešení r = -2 a s = 1, tedy
Vzdálenost je
C = D-2u + v=[1,1,5]   a  BC = (2:4,-2) = 2n
(
v(B,C) = |BC| = 2||n|| = 2V6. 1
-1
•  g C •*-t h • ■. \t o ^ *) pŕ
B. kolmice, pata kolmice, ...e ô- 4^ f0b//
(7) Kolmice k C procházející bodem B je
@ Pata kolmice C_
7C = B + Cx = {B + řn| ř el). 7CnC odpovídá řešení rovnice
(-1 +ř)-2(5-2ř)-(7-ř) = -6.
Tato rovnice má jednoznačné řešení ř = 2, tedy
C = B + 2n = [1,1,5]
'V.
> (3)
Vzdálenost je
v(B,C) = |eC| = 2||n|| = 2V6.
C. zkratka e~ <'< I_— -=-
f r
'řr   5c ^ m-
\
Rovnici (3) lze podle (1) obecně zapsat takto: ' <<*■    h řl a<t
Dd.fix- {DB + řn). n = DB. n + fn.n = 0.
Tato rovnice má jednoznačné řešení
BD.i
0< r D^B T-t
ř ==
n. n
= — = 2,
tedy
■
BD. n
eC -n 2n.
n. n
Vzdálenost je
r
^ 2 í> re c -c* k
v(e,C) = |BC|=^^=2V6.
V duchu (1) můžeme poslední výpočet vyjádřit také takto: ^
,(B,C)=|-1-2-5,-7 + 6|=2V5-
6-—
D y pocfí^ °(-€f i nic e
vn.A*!JL - /^c/ ^ [feil]* t//z -ŕ*^ V-? ^ía)\/- <f~^J% = • hizd/n^  GioBA^i nifl/('ŕio?r? j «in k m :
Vy*
4 / fOss-f ť
"í o
3 E.   i.*ttv\tt**Í  5  odchylkou /
// ] ^ -------z.-* —~
- c o U^e *^
-9
\f^y - % i/T"
■= (0,-1, z J
r ^ n A T K A '
e :
hor fr\C( (
c
limH/lmfi
»—
I /)b . /n /
vr
/k T C M M í f G f o m € T £ i L
eu(^tF(Doi/S(^A    G E o n e T (í \ t
j (< <í (a r is\ i    $o(/cľ í ^ j
^    5^   C  -t  (c Cy U   h I
\e-o[w\L*j' á o pŕ n t Ic j  L o f "nej   f> r % +*\ i {^
4 or
1 *      "L c (c C ^ c£
/f-
/c- k ^
/U
• AT  ^ ol
"ti*. ^ i-
i p
--\    - w.;
if
tri    , -
)
hkf>ft*,ojŕ  /*■    wit* i/t^fvf,
<p> l ^  r f&k^A   <h X % j
(p,' 4-5 f ft J ^
i
;
i
,       —> j- —> \ i
^Uh^jV      ^5"^) f^Aifof-
,u^ec(" " í« klk rčy.
m t I
a
^ )
r
j AT
-—t «—j
1 l    AT  Cr le
/
)
•e
-< (c>\£}:-- mín ( ■■■■ ^
r
í^ä^Aŕí (J)
to1 •= ťř> o f   n^e J
ft
fee e.
C   (ft *
c?/v/   6 /t -c
1-rO      7, AVE P~ Y
(y
—í í
® l^L   C=>   #f *i t ) - 3»
1 ľ\
PUfi •'
r- / *>i A^k.
Ce(co(<' u
ť
—7
II U v
■e
r Aa       c  4 ^ ;
J [l"ll-ll*rH
t
//-// ■ í/3^f
113
pro     y £ (B    ^ e ^ /
p
* [c y
/
© —? <e —> ^
^     •    f v í -t    Cl c/ f-t   ... )
fir T t ftfJi QťoMčTP-lt
^ t -t (c      cv         Ľ h ŕ t%
•    U f vw      á o p (n i lc j  bo ( ^> r *?    ^ ér
Uo(y^d^4t  a.   o et cUy (f>o d proí -H> r<%
0 b $ <i h <p     *V     o b ]     ton <j
?1 y
Opakování
<
Rovnoběžníky se stejnými základnami a stejnými výškami mají stejný obsah.
A        E D F
D B
A.
Rovnoběžnostěny se stejnými základnami a stejnými výškami mají stejný objem.
^r Opakování
Poměr obsahů rovnoběžníků se stejnou výškou je stejný jako poměr délek jejich základen.
E    A_F
AS*
G     B-C
Poměr objemů rovnoběžnostěnů se stejnou výškou je stejný jako poměr obsahů jejich základen.
fe Opakování
Odtud: f * S — a v,
kde S — obsah rovnoběžníku, a = velikost strany, v = velikost odp. výšky, ► V = S-w,
kde V = objem rovnoběžnostěnu, S = obsah stěny, w — velikost odp. výšky.
Obecně pomocí vektorů
Objem rovnoběžnostěnu určeného vektory , v2,... je nezáporné reálné číslo, ozn. V(vt , v2,...), takové, že
- V(Vi) := liVill, /
- V(Vt,Va) := V(vi,w2) = IjvJI• |jw2||, kde w2 = kolmý průmět vektoru v2 do v|, c
> V(v1,v2,v3) := V(V1?V2,W3) = V(Vi,v2)H|w3ll,
kde w3 = kolmý průmět vektoru v3 do"^, v2)\
► atd...
1/ * v/ yL -
IR
Počítání
/
/
► Pro k = 2 např.
Itálii
V(v1;v2) = IhMHlVglI- sinav.
kde a = <(v1,v2),
(umíme)
- podle definice, tj. pomocí kolmé^
- podle vlastností, tj. pomocí determinantu, vektorového součinu, apod.
7>
f <[a\\<.c ****
(wtučíme) f
9 Úvod (naivně)
Obsah rovnoběžníku určeného vektory u = (ul9 u2) a v = (vu v2) ■ • ■
Mi '
je roven absolutní hodnotě determinantu det(u, v) = UtV2 - Ví U2
T
/či y
° Úvod (koncepčně)
Vlastnosti obsahu/objemu se nápadně podobají vlastnostem determinantu:
—>
f x v/ *
o
V(V!, v2) = V(Vi, v2) + yíví^av!i))
V(v!,bv2) =f|fcj} S/(yuv2)
411
Determinant
Determinant chápeme buď   Mat(n xn)^l
nebo / V x • * • x V
^-v-'
R,  kde V = Rn,
J
Definice
Vlastnosti základní:
► anti-symetrické
det(vi,v2,...) = -det(v2,v1s...)
► multi-lineární
det(Vi, bv2,...) = b ■ det(v1, v2,...) det(Vi, v2 + w2,...) = det(Vi, v2,...) + det(Vi, w2,...)
cici (.-U,, ,^,"-) 4 a. . fĽl (^ , ••• )
C
rv
Vlastnosti odvozené:
yn>--:->    det(v1, v2 + avi,...) = detfy, v2,...)
det(v-,,v2,...) = 0 <=^> v1?v2,... jsou lineárně závislé
1viz algebra (DÚ)
eisi součin
det: V x ■ ■ ■ x V -» R závisí na souřadnicovém vyjádření vektorů, tj. na zvolené bázi.. .2
Pro ortonormální báze je výsledek tentýž:
Vnějším součinem n-tice vektorů (v^,..., vn) v n-rozměrném eukleidovském prostoru je determinant matice tvořené souřadnicemi těchto vektorů vzhledem k nějaké ortonormální bázi; ozn.
Z předchozího plyne, že
0
1 ±[Vi
pro k > n pro k == n pro k < n
V(v1
/
2víz matice přechodu a Cauchyova věta (o součinu determinantu)
ckA (P) * dU/L
11-3 Kouzlo (k = 2)
Víme, že
V(v1?v2) = l|vi||-||v2||- sin Qr,
V i v V
pricemz
sin a = Vl~^
—j- Ví . v2
cos^ a,      cos a =-
fr l|Vi||-||V2
Odtud
C__
v(v1,v2) = ■■■ = ^llVill2!^!!2 - (Ví .v2)2 =
Ví . Vt Ví . v2 V2 . Ví    v2. v2
zase determinant,
Kouzlo (obecně)
/
tzv. Gramův determinant, ozn.
G(vt,...,Vk) :=
Ví ■ Ví
Ví . vk
Věta
Pro libovolnou k-tici vektorů v eukleidovském prostoru platí
n r Kouzlo (důkaz)
Ľ7
1) Pro navzájem kolmé vektory (kvádr)
G(v1,w2,w3)
Ví . Ví 0 0 0 w2 . w2 0 0 0      w3. w3
•||w2||2-||w3||2 = V(v1,w2íw3)2.
) ŕ ~L *- [ *V -ŕ ^
2) Pro lib. našikmené vektory v2 = w2 + av-,, v3 = w3 + bv-\ + cv2:
"5, O
/
J
Ví . Ví . V2 Vt . v3
v2 . v2. v2 v2 . v3 p= J <<-
V3 . Vt v3. v2 v3 . v3
Ví . V1 . V2 Ví . v3
W2 . Ví W2 . V2 W2 . V3 <=)
W3 . Ví w3. v2 w3. v3
Ví . V1 Ví . W2 . w3
W2 . Ví w2 . w2 w2. w3
w3 . Vt w3 . w2 w3. w3
T
= G(v1,w2,w3). □
u vo b t p ft eh it &
lco(v*\Lj   á o p (n t (c     Lo f Wey   f> r %t b
l*c>(mD*}4- úl o H a U y (f> e c( pro$ -f-o r<n t> b $ * h (y    -v    e éj-e
I
?2 é Vektorový součin (n = 3)
Ze SŠ známe jako operaci V x V -> V s několika užitečnými vlastnostmi.
w * v f
5^ít wxv/1
Sice nevíme proč, ale pro u = (ui, u2, u3) a v = (ví, v2, v3) počítáme takto:
U X V —
/ u2	v2			Ví		L/1	Ví
	^3		U3	v3		u2	v2
Vektorový součin (obecně)
Návod k předchozímu souř. vyjádření — Laplaceův rozvoj determinantu:
		xi
u2	v2	
U3		
	—1	
u2 v2 u3 v3
X1:
U1 Ví
u3 v3
u1 ^
u2 v2
x3.
■> Důležitá (bezsouřadnicová) interpretace:
[u, v,x] = (u x v) .^x,3
Obecná definice:
Híí y í '
Vektorovým součinem ^fT£7^-tlce vektorů (vt ,..., v„_-i) v ň^ozměrném eukleidovském prostoru je vektor w :— Ví x ■ ■ * x vn^ splňující
[v^.^Vn^x] = W.X
pro všechna x g V.
3nalevo vnější součin, napravo tzv. smíšený součin
£ Vektorový součin (vlastnosti)
5^ |M<Vj|
Věta
Ozn. w := Vi x ■ • • x vM, n = dim V. ty » Toto je anti-symetrické multhlineární zobrazení V x -- x V V.
n-1
sm* w = o <=> V!,..., vn_! jsou lineárně závislé, (q> v-i,..., vn_1 /sou lineárně nezávislé => ^ ,..., vn_-i, w) je kladná báze. (d) ► w /e /ío/mý ke vsem vektorům Ví ,..., vn_-i.
||W]| = V(Vit.>.sVMi — oéj***
Důkaz,
Všechno plyne z definující rovnosti a vlastností determinantu.
□
D Ô Ar * í
y mm-
ŕ     -ŕ í-t lr •■>» í'*7 <* *»  ^ ^ ___.-
-i w ^.
£ 4,..., H,., ,
Ír
(4)
^ W r, ^h >1 í' l/Y"*, •
l//V    . ... K       H/ ) = t   h- n f >
i"
it, t í* d
J      J)      P ft e H l€ o
Ar f a/a//   G f o m E T £ t E
is $ < c    ft.    cv C h I c%
\c o { W\ Ly'   *{ O p ( n €   Ic    j (o O f                  f> r S t
Ytn o«> 4" f> o o( prví -fo r<%
ô b 5 i h ĺj     -v     e b J ~£ (y
V t U-^o V c   U 17      í Ö  M   C  I ŕV
Poznámky
K vektorovému součinu pro n = 3:
u X v = u • v • sina,
kde a = <(u, v).
K aplikacím: vzdálenosti podprostorů bez řešení soustav rovnic...
ns.cj- v(v1lV2)
1?><1   0     J < i~ fro    h - 3 :
- 4/ "*   o (>< c h * p (^ ŕ-1
(/U y        ) X AaT    -     A^yr   f ^ ^   ^ )
~       1 OL
afinní   f ť o s ŕ o \r    f<   i* iv-c r*, w/'ryy    \ŕ  ■ . . j
■J    i/e(('^05f ^Lft>r<a     fcef it? 0»f *   odchyl k*.   ut^farŽ ŕ
o í j i r o t/ in ° i <~i i »y ft ^ £<
Kola? o 5 T   f>ŕtrmek qTe& P 0 df>r* 5 ŕ*> r ?
O 0 CH f L\Cfr   b^/^-€ (<~ *6*c*«/cA_   p i ({f r°$ for H
-"^)   o(-í     M /C/. ,  ^«)^vi • C bcx ť*t i fair* 1^ C-€_ ^  ~L(cfr±*(- lej ( . - .
Ill
S H o q m *í    to (><r .    ra cU
o   i/d.  (/' U
I <
K       /   v i
5 ^ O ía n >C
6^
2?
fa P f f%4 A/"j     % o Q ru
f
ÍL —^ a,
r ŕ—^   X 'r [fJoT)
-H
vT
ŕ? (V   É>ctf Z -CL_
= 1
- D
■ *1
1 O
T
D
tr1
11 5ľ  P o o o í
r
< s    n Mu c tr m
ť i—
p ti o j e k r i     i h r o
a_     e? 4 j> v k- ( d * j f c f       j? f P/ f
r" ^ -x j ŕ fr <   *i <■
# -f ~   p ros fw*
n tr fi^i^* ( CH    ^ o 6(r .    ^    H> ^ ^    r »* *Jüh c c
í/ h rn t -e
ť     t fr (t (&t    { %