Irena Budínová: DM1, přednáška 7 2. 11. 2015
1
Procenta
Finanční matematika
Irena Budínová
Procenta
• Motivační příklad: Žáci dvou tříd psali stejnou písemnou práci
z matematiky. Jejich výsledky byly zaznamenány do tabulky. Která
třída dopadla lépe?
• Jak mohou žáci uvažovat?
Počet bodů 3 4 5 6 7 8 9 ∑
Počet žáků / třída A 1 2 4 0 7 6 8 28
Počet žáků / třída B 2 3 1 3 7 7 9 32
Irena Budínová: DM1, přednáška 7 2. 11. 2015
2
• Údaje je potřeba přepsat tak, aby se počty žáků vztahovaly k
celkovému počtu žáků ve třídě:
• Nyní lze údaje lépe porovnávat.
Počet bodů 3 4 5 6 7 8 9 ∑
Výsledky / třída A 0,04 0,07 0,14 0 0,25 0,21 0,29 1
Výsledky / třída B 0,06 0,09 0,04 0,09 0,22 0,22 0,28 1
• V předchozí tabulce je ale v každé třídě 1 žák, což není praktické.
Přepočítáme tabulku ještě jednou:
• Nyní má každá třída 100 žáků.
Počet bodů 3 4 5 6 7 8 9 ∑
Výsledky / třída A 4 7 14 0 25 21 29 100
Výsledky / třída B 6 9 4 9 22 22 28 100
Irena Budínová: DM1, přednáška 7 2. 11. 2015
3
• Procento je způsob, jak vyjádřit část z celku. Název pochází z per
cento, znamenající na sto.
• 1 % ze základu je ze základu
• Vztah mezi procenty, zlomky a desetinnými čísly:
Procento Zlomek Desetinné číslo
1 % z z 0,01 z
5 % z = z 0,05 z
25 % z = z 0,25 z
50 % z = z 0,5 z
• Pojmy: základ (z), počet procent (p), procentová část (č)
• Možné způsoby výpočtu: a) přes 1 %, b) pomocí trojčlenky, c) pomocí
zlomku nebo desetinného čísla, d) pomocí vzorce
• Typy úloh:
• Je uvedeno procento ze základu: Původní cena knihy byla 360 Kč. Kniha byla
zlevněna o 15 %. O kolik korun je kniha levnější?
• Počítáme procento z původní ceny: Rifle původně stály 1 100 Kč, nová cena je
880 Kč. O kolik procent byly rifle zlevněny?
• Je uveden počet procent a procentová část, ale ne základ: Bunda stojí 4 165
Kč. Byla zlevněna o 15 %. Jaká byla původní cena bundy?
• Není uveden základ: Šaty se o 20 % zlevní a pak o 20 % zdraží. Jsou nakonec
šaty levnější nebo dražší než na začátku?
• Jakých chyb se žáci v těchto úlohách dopouštějí?
Irena Budínová: DM1, přednáška 7 2. 11. 2015
4
Aplikační úlohy
• Ve třídě je kolem 30 žáků. Kdyby 25 % chlapců odešlo a přišlo 25 %
dalších děvčat, bylo by chlapců a děvčat stejně. Kolik je žáků ve třídě?
• Čerstvé houby obsahují 90 % vody a sušené houby pouze 12 % vody.
Kolik hub musíme nasbírat, abychom získali 3 kg sušených hub?
• Alpská etapa závodu měla na úseku dlouhém 5 km stoupání 22,5 ‰.
Vypočítejte, jaký výškový rozdíl museli závodníci překonat.
• Řidička, kterou kontrolovali policisté, měla v krvi 0,75 ‰ alkoholu.
Určete množství alkoholu v krvi řidičky, pokud má v těle 5,6 l krve.
Finanční matematika
• Procenta velmi často potřebujeme ve finanční matematice.
• Měsíční hrubá mzda je 15 000 Kč. Jaká je čistá mzda?
• Řešení: Zdravotní pojištění činí 13,5 % z hrubé mzdy, zaměstnanec
platí třetinu, tj. 4,5 %, zbytek zaměstnavatel. Sociální pojištění, které
platí zaměstnanec, činí 6,5 % z hrubé mzdy. Daň 15 % ze superhrubé
mzdy, tj. hrubá mzda + pojistné placené zaměstnavatelem (9 %
zdravotní pojištění, 25 % sociální pojištění, dohromady 34 %). 20 100
je superhrubá mzda, daň 3 015, 1 650 je pojištění, mzda 10 335. Sleva
na daňového poplatníka 24 840 za rok, tj. 2 070 měsíčně. Čistá mzda
12 405 Kč.
Irena Budínová: DM1, přednáška 7 2. 11. 2015
5
• Vypočítejte, kolik peněz naspoříme složeným úročením za dobu 5 let,
je-li počáteční kapitál 30 000 Kč a roční úroková sazba je 5 %.
• Řešení: U složeného úročení se úročí i úroky již připsané v předešlých
obdobích. Pro složené úročení platí vzorec
= 1 +
100
.
• V běžném životě musíme při výpočtu uspořené částky zohlednit ještě
daň z výnosů. Ta činí aktuálně 15 %. Ve vzorci se tato daň projeví
následujícím způsobem:
= 1 +
0,85 ·
100
.
Druhy úvěrů
• Podle toho, od koho si peníze půjčíme:
• bankovní,
• nebankovní,
• nebankovní neznačkové.
• Podle účelovosti dělíme úvěry na:
• účelové,
• neúčelové.
• Podle délky splatnosti dělíme úvěry na
• krátkodobé,
• střednědobé,
• dlouhodobé.
Irena Budínová: DM1, přednáška 7 2. 11. 2015
6
• Podle zajištění dělíme úvěry na
• nezajištěné,
• zajištěné.
• Úroková sazba se vždy vztahuje k určitému období:
• p. a. (per anum) – roční úroková sazba
• p. s. (per semestrum) – pololetní úroková sazba
• p. m. (per mensem) – měsíční úroková sazba
• p. d. (per dies) – denní úroková sazba
• Nebankovní půjčky a bankovní půjčky – jaké jsou jejich výhody a
nevýhody?
• Reklama na nebankovní půjčku:
• Co musí klienta zajímat? 1) měsíční splátka, 2) délka splácení, 3)
přeplatek
Půjčete si u nás
Zaplatíte pouze 1 600,- Kč za měsíc,
doba splatnosti 48 měsíců.
60 000,- Kč!
Irena Budínová: DM1, přednáška 7 2. 11. 2015
7
• Matoucí reklama na nebankovní půjčku:
• Jaká je měsíční splátka, půjčím-li si 75 000 Kč? Kolik přeplatím?
Požádejte si o půjčku
Podmínky půjčky:
do výše 80 000,- Kč
Zaplatíte pouze 108,- Kč měsíčně
za každých zapůjčených 1000,- Kč.
Splatné ve 12 měsíčních splátkách o stejné výši.
• Klient by měl být schopen posoudit, která nabídka je pro něj
výhodnější.
• Paní Slavíčková si chce u banky půjčit 60 000 Kč. Splácet může
maximálně 2000 Kč měsíčně. Dostala dvě nabídky od bank A a B.
Nabídka od banky A je: měsíční splátka 1 768 Kč po dobu 40 měsíců,
nutnou podmínkou je vedení běžného účtu za 130 Kč měsíčně a
vyřízení úvěru stojí 1 500 Kč. Nabídka od banky B: měsíční splátka
1 933 Kč po dobu 38 měsíců, poplatek za sjednání 990 Kč. Kterou
banku by si měla paní Slavíčková vybrat, aby byly její celkové náklady
nejnižší?
Irena Budínová: DM1, přednáška 7 2. 11. 2015
8
RPSN
• Roční procentní sazba nákladů (RPSN) na spotřebitelský úvěr je jeden
z ukazatelů, který vypovídá o úrovni platebních podmínek úvěru.
Prostřednictvím RPSN lze posoudit nákladovost spotřebitelského
úvěru. Dva různé úvěry mohou mít stejnou úrokovou sazbu, ale
přitom nemusí mít stejné RPSN. Na hodnotu RPSN má vliv:
• výše úvěru a způsob jeho čerpání,
• výše veškerých plateb (nákladů) spojených s poskytnutím spotřebitelského
úvěru,
• okamžiky, kdy jsou tyto jednotlivé platby placeny.
• Hodnotu RPSN je možno počítat pomocí vzorce
=
(1 + )
,
kde je výše poskytnutého úvěru, je pravidelná splátka, je RPSN,
celkový počet splátek.
• Pro klienta je prakticky nemožné RPSN vypočítat. Musí se proto umět
řídit podle jiných ukazatelů.
Irena Budínová: DM1, přednáška 7 2. 11. 2015
9
• Paní Ondrušková je matka samoživitelka. Jednoho dne přišel její
dvacetiletý syn s velkou novinkou – musí se ženit. Paní Ondrušková
s takovou situací vůbec nepočítala a neměla na synovu svatbu nic
našetřeno. V televizi viděla lákavou reklamu na rychlou půjčku u
nebankovní společnosti bez doložení příjmů.
• Paní Ondrušková si půjčila 40 000 Kč a půjčka měla následující
parametry: délka splácení: 45 týdnů, týdenní splátka: 1116 Kč, úrok:
20,11 % p. a., administrativní poplatky: 6400 Kč, úrok: 3815 Kč, RPSN:
70,96 %, celkem: 50 215 Kč.
• Zodpovězte následující otázky:
• Kolik měsíců paní Ondrušková splácela úvěr?
• Kolik činila měsíční splátka?
• Co způsobilo vysoké RPSN?
Možnosti dalšího studia
• ŠOBA, O., ŠIRŮČEK, M., PTÁČEK, R.: Finanční matematika v praxi. Grada,
Praha 2013