Repetitorium středoškolské matematiky 1
Petra Bušková Podzim 2019, 3. část
1. Ověřte, zda čísla —2 + iy/2; —2 — iy/2 jsou kořeny rovnice x2 + 4x + 6 = 0.
2. Zapište v algebraickém tvaru číslo (2 + 3z)(l + i) — (2 +      — 3i)
3. Vypočtěte i + í2 + í3 + í4 + ... + í50
4. Zapište v algebraickém tvaru
a)	3+4i 2-5i	
b)	2-i	l+2i
	-3+i	l-3i
c)		r2+(
5. Určete absolutní hodnoty čísel
a) ^ + l-2z
6. Dokažte, že pro libovolná komplexní čísla zi,z2 platí \z1 + z2\2 + \z1-z2\2 = 2(\z1\2 + \z2\2)
7. V Gaussově rovině zobrazte všechna komplexní čísla, pro něž platí
a) |1 +i\ > \z\ > \
b) \z-i\ > \z+ 1 -2i\
8. Zapište komplexní číslo z v goniometrickém tvaru
a) z = —1 + iy/3
c) Z = Tľi
9. Zapište komplexní číslo z v algebraickém tvaru
a) z = 2(cos ^ + i sin ^)
b) z = i (cos 1937T + i sin 1937r)
1
10. Vypočítejte pomocí Moivreovy věty a) (cosf + zsinf)62
b) (1-i)
100
11. Řešte v komplexníxh číslech rovnice a znázorněte jejich kořeny v Gaussově rovině
a) x3 — í = 0
b) x8 -1 = 0
c) x2 - 2x + 2 = 0
Řešení
1. ano
2. —6 + 10Í
3. -í + i
10.
11.
29 4
V2
^5 5
mezikruží kružnic se středem v počátku a poloměry ^ (nezahrnuto), •\/2 (zahrnuto)
polorovina s hraniční přímkou y = x + 2 neobsahující počátek z = 2(cos |7r + i sin |7r) = ^ (cos 7r + z sin 7r) 7t(cos § + í sin ^)
-±+iiy3
->50
Xfe = cos ■
'T+2kTT
i sin -
■f+2fe7r
Xi = 1 + i
cos^f+ísin^f, k x2 = 1 - i
k = 0,1,2 0,1,..., 7
2