Repetitorium středoškolské matematiky 1
f) (3v3 - Í7v2 + 2ív - 43) : (v2 - 8v + 15) 1.2 Rozložte na součin
a) (4x - í)(x + 2) - (12x2 - 3x) + (7 + x)(4x - 1)
b) (2x + 3)2 - (x - l)2
c) lOCte3 - 0, 2x2y + 0, OOOÍxy2
d) 81x4 - Í6y4
Petra Bušková
Podzim 2019, 1. část
1   Úprava výrazů
1.1 Vynásobte/vydělte výrazy
a) (4Ď2 + 2a2 - Aab) ■ (3ab + 2a2 - 3b3)
b) (2a2 - hb2 - 3ab) ■ {ab2 + 3a2 - 2a2Ď)
c) (4c2d - 12c4d3) : (-4c2d)
d) (x2 + 8x + 15) : (x + 3)
e) (m4 — m3n + m2n2 — mn3) : (to2 + n2)
1.3 Zjednodušte výrazy, uveďte podmínky
a)
ax-\-ay — bx — by ax — ay — bx-\-by
. am2 —2amn-\-an2 3m+3n
1.4 Částečně odmocněte
1
d) s/27a?b11c21 a,b,ce 1.5 Usměrněte zlomky
\ 19^6 ' 5^3+3^2
2   Lineární rovnice a nerovnice, jejich soustavy
2.1 Řešte rovnice a nerovnice
a) 5(2 -x) = -5x + 7
b) xs/2 -VŠ= -(VŠ -
c) (x - l)3 + (x- 2)3 + (x - 3)3 = 3(x - l)(x - 2)(x - 3)
J\   a; _ a:~ ? _ 2 _ í(r — — li
u/'   2 2 2 2 v 2/2
e) ^ - ^ > 2x - 3
f) 2-ti - á-2 < 0
^   i'+2       1-a; — U
2LC4-18LC3+54a;2-54a; > g
h) \2x - 5| = 1 - 3x i) |2x+ 1| < |x-3| j) ||x+l|-3| = l
2.2 Řešte soustavy rovnic
a) 7x — 3y = 15 5x + 6y = 27
b) 2x -3y = 5 Ax - &y = 10
c) x + y + 2z = -1 2x - y + 2z = -4 4r + y + 4z = -2
2.3 Řešte rovnice a jejich soustavy s parametry
c) x + (ů - l)y = 1
(6+l)x + 3y =-1 beR
2
2.4 Určete, pro která a G R má rovnice záporný kořen. -^-^ = a + 1
2.5 Pro která a e R má soustava rovnic za řešení uspořádanou dvojici, jejíž první prvek je kladný a druhý záporný?
ax — 2y = 3 3x + ay = 4
3   Kvadratické rovnice a nerovnice, další typy rovnic a nerovnic
3.1 Řešte kvadratické rovnice a nerovnice
a) 3x2 - 7x + 2 = 0
b) 5x2 - 2x + 2 = 0
c) Ax2 + Ax + 1 = 0
d) x2 + (2VŠ+ í)x + 3 + VŠ = 0
e) 2x - x2 > 2 - x
3.2 Podle plánu měl dělník vyrobit za určitý počet dní 540 výrobků. První čtyři dny pracoval podle plánu. Pak na základě nové technologie vyrobil každý den o 12 výrobků více a tak již dva dny před termínem překročil původní plán o tolik výrobků, kolik jich měl podle plánu vyrobit za jeden den. Určete, kolik výrobků měl podle plánu dělník vyrobit denně.
3.3 Určete kvadratickou rovnici, která má kořeny a) o 3, b) 3x větší, než rovnice x2 — 9x + 15 = 0. Kořeny zadané rovnice nepočítejte.
3.4 V rovnici 2x2 — 7x + c určete c tak, aby byl jeden kořen rovnice 3.
3.5 Řešte rovnice
a) V5x + 4 - yj2x - 1 = yj?jx + 1
b) \Jx + 3 - 4-y/l - x = 1 + y/x
3.6 Řešte rovnice s parametrem
a) \Jx2 + b2 - b = x,    b e R
b) px2 + (2p + 3)x + p+ | = 0,   p G R
3.7 Určete všechny hodnoty parametru p G R, pro něž má rovnice x2 + 2(p - 4)x + p2 + 6p = 0
a) reálné kořeny
b) oba kořeny kladné
c) oba kořeny záporné
d) jeden kořen kladný a druhý záporný
3
4 Řešení
1.1
1.2
1.3
a
h>;
c' ď e f
a]
b) c dl
a b c d
2a3b - 4a2b2 - 6a2b3 + \2ab3 + 12o64 - 12Ď5
4a2
6a5 - 13«4Ď - 7a3 b2 + 7a2b3 - 5ab4 -1 + 3c2 d2 x + 5
m — mn
2,v + 7-
32t>-148
3(4x-l)(7+3a:) (x + 4)(3j- + 2) (IOx-0,01?/)2
(9x2 + 4y2)(3i- + 2y)(3x - 2y) fr^,       x^y, a^b
2^3,       *^2,    a-/-2
»!^n,    m^-n,    a / O xy^ 2/,    x    -y,    i^O,    y / O
1.4
1.5
2.1
5V^
4V1~5
2^6
3a46V°V'3a6Č
3^2
4
2-
5^-2^ ^25+ #5-
1
K = 0 A = R
^ = {2}
K = {4}
K = (-oo;l)
* = (-oo;-!>U(-2;l)
= (-1;0) U (0; 1) U (3; oo) k = {4}
4
i) K = (-4; |)
j) íf = {-5;-3;l;3}
2.2 a) K = {[3; 2]}
b) Jf={[t;^];íeR}
c) k = {[\;2;-2]}
2.3 a) a = 0,a = 2...K = ®
a^0,a^2...^ = {f±f}
b) m = Q,m = -2...K = % m = 2 ... K = R - {0} m^0,m^2,m^ -2...K = {m + 2}
c) b = 2 ... K = 0
Ď=-2...^ = {[l + 3y;y];yeR}
^2,m-2...iř = {[^;^]}
2.4 a = 0, a < -1
2.5 a e (-§;!)
3.1 a) K = {|;2}
b) K = %
c) =
d) k = {-VŠ-1;-VŠ}
e) íf= (1;2)
3.2 Dělník měl denně vyrobit 36 výrobků.
3.3 a) x2 - 15x+ 51 = 0 b) x2 - 27x + 135 = 0
3.4 c= 3
3.5 a) K = {1} b) K = {1}
3.6 a) b = 0...K = (0;oo)
6 G R+ ...    = {0}
beR .. .K = $ b) p<-l...K = % p = -l...K={\}
p>-í,p^0...K = {-2p-%3^T~1; -^V;^1} p = 0...if = {-i}
3.7 a)j)€ (-oo; f)
b) pe (-oo;-6)U(0;f)
c) p e 0
d) p e (-6;0)
5