Limity posloupností - úlohy ke cvi£ení Vypo£t¥te limity následujících posloupností 1. lim n→∞ 5n2 − 3 2 − n2 , lim n→∞ 3n4 + 2n − 1 9n3 + 5 , lim n→∞ 2n3 − 3n n3 + n5 , 2. lim n→∞ Pk (n) Qm (n) , kde P, (Q) zna£í polynom v prom¥nné n stupn¥ k, (m) , 3. lim n→∞ qn , kde q ∈ R , 4. lim n→∞ 22n − 1 2n − 1 , lim n→∞ 2n − 3n 3n , lim n→∞ 5n + 2n 2n − 22n , lim n→∞ 2 · 6n 5n + 6n , 5. lim n→∞ 1 + 5 + 52 + . . . + 5n−1 1 − 25n , lim n→∞ 2n2 + n − 1 (n + 1) + (n + 2) + . . . + 2n , lim n→∞ 1 n2 + 2 n2 + . . . + n − 1 n2 , 6. lim n→∞ 3n+1 · n4 3n · n4 − n · 2n+2 , 7. lim n→∞ √ n2 + n − n , lim n→∞ n √ n2 + 1 − n , 8. lim n→∞ n 2n , lim n→∞ 2n n! , 9. lim n→∞ n n + 1 · 2 n n2+1 . Návody a výsledky. 1. −5, ∞, 0, 2. lim n→∞ Pk (n) Qm (n) =    0 pro k < m, r, kde r ozna£uje podíl koef. u ved. £len· polynom· P a Q pro k = m, sgn (r) · ∞, kde r ozn. podíl koecient· u vedoucích £len· pol. P a Q pro k > m, 3. lim n→∞ qn =    0 pro q ∈ (−1; 1) , 1 pro q = 1, ∞ pro q > 1, neexistuje pro q ≤ −1, 4. limn→∞ 22n−1 2n−1 = limn→∞ (2n−1)(2n+1) 2n−1 = limn→∞ (2n + 1) = ∞, limn→∞ 2n−3n 3n = limn→∞ (2 3 ) n −1 1 = −1, −∞, 2 5. lim n→∞ 1 + 5 + 52 + . . . + 5n−1 1 − 25n = lim n→∞ 5n−1 4 1 − 52n = . . . = 0 , lim n→∞ 2n2 + n − 1 (n + 1) + (n + 2) + . . . + 2n = lim n→∞ 2n2 + n − 1 n+1+2n 2 · n = . . . = 4 3 , lim n→∞ 1 n2 + 2 n2 + . . . + n − 1 n2 = lim n→∞ n 2 · n n2 = . . . = 1 2 , 6. lim n→∞ 3n+1 · n4 3n · n4 − n · 2n+2 = lim n→∞ 3 1 − 4 n3 · 2 3 n = 3 , 7. Pozor lim n→∞ √ n2 + n − n = lim n→∞ √ n2 + n − lim n→∞ n . Výpo£et je t°eba provést pomocí roz²í°ení lim n→∞ √ n2 + n − n = lim n→∞ √ n2 + n − n √ n2 + n + n √ n2 + n + n = lim n→∞ n2 + n − n2 √ n2 + n + n = = lim n→∞ 1 1 + 1 n + 1 = 1 2 . Podobn¥ vypo£teme, ºe také lim n→∞ n √ n2 + 1 − n = 1 2 . 8. lim n→∞ n 2n = lim n→∞ n (1 + 1)n = lim n→∞ n n 0 + n 1 + n 2 + . . . + n n = lim n→∞ n 1 + n + n(n−1) 2 + . . . + 1 = 0 , 0 ≤ lim n→∞ 2n n! = lim n→∞ 2 · 2 · 2 · . . . · 2 · 2 · 2 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 2) (n − 1) n ≤ lim n→∞ 2 · 2 · 2 · . . . · 2 · 2 · 2 1 · 2 · 2 · . . . · 2 · 2 · n = lim n→∞ 4 n = 0 ⇒ ⇒ lim n→∞ 2n n! = 0 , 9. lim n→∞ n n + 1 · 2 n n2+1 = 1 · 20 = 1 . V tomto p°ípad¥ platí lim n→∞ n n + 1 · 2 n n2+1 = lim n→∞ n n + 1 · lim n→∞ 2 n n2+1 = 1 · 1 = 1 .