2. FUNKCE JEDNÉ A VÍCE PROMĚNNÝCH
Def. 2.1.
Reálnou funkcí jedné reálné proměnné nazýváme zobrazení f množiny A reálných
čísel x do množiny B reálných čísel y.
Proměnná x – nezávisle proměnná
Proměnná y – závisle proměnná
Množina A – definiční obor funkce f
Množina všech y = f(x) pro x A – obor funkčních hodnot f(A)
Def. 2.2.
Nechť f je funkce s def. oborem A. Jestliže pro dvě libovolná čísla x1, x2,  A (x1  x2)
platí f(x1)  f(x2) pak se funkce f nazývá prostá.
Def.2.3.
Nechť f je prostá funkce s def. oborem A. Inverzní funkcí k funkci f nazýváme funkci
φ pro niž platí :
y = f(x) B, φ(y) = x .
Def. 2.4.
Funkce f se nazývá
sudá pokud f(x) = f(-x)
lichá pokud f(x) = -f(-x)
Def. 2.5.
Jestliže existuje taková konstanta k, že pro všechna x  A platí f(x) ≤ k, pak se
funkce f nazývá shora ohraničená.
Jestliže existuje taková konstanta k, že pro všechna x  A platí f(x)≥k, pak se
funkce f nazývá zdola ohraničená.
Jestliže existuje taková konstanta k, že pro všechna x  A platí kxf )( , pak se
funkce f nazývá ohraničená.
Def. 2.6.
Jestliže pro libovolnou dvojici x1< x2  A platí: f(x1) < f(x2) nazveme f rostoucí funkcí
f(x1) ≤ f(x2) neklesající
f(x1) > f(x2) klesající
f(x1) f(x2) nerostoucí
Def.2.7.
Elementární funkce
Konstantní y = c
Lineární y = kx +q
Kvadratická y = ax2 + bx + c
Lineárně lomená
dcx
bax
y



Mocninná y = xα
Exponenciální y = ax
Logaritmická y = loga x
Goniometrické y = sin x
y = cos x
y = tg x
y = cotg x
Def. 2.8.
Funkce f se nazývá spojitá v bodě c, jestliže ke každému číslu ε > 0 existuje takové
číslo δ > 0, že nerovnost | f (x) – f (c)| < ε platí pro všechna x pro nějž | x – c | < δ.
Def. 2.9.
Funkce f se nazývá spojitá zleva (zprava), jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0,
že nerovnost | f (x) – f (c)| < ε platí pro všechna x pro nějž c – δ < x  c,
(resp. c  x < c + δ).
Věta 2.1.
Funkce f je spojitá v bodě c, právě když je v bodě c spojitá zprava i zleva.
Věta 2.2.
Jsou-li funkce f, g spojité v bodě c, pak jsou spojité i funkce | f |, f + g, f · g a je-li
g(c) ≠ 0 pak i
g
f
.
Věta 2.3.
Jestliže funkce φ je spojitá v bodě c a f je spojitá v bodě d = φ(c), pak funkce f (φ(c))
je spojitá v bodě c.
Věta 2.4.
Jestliže funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu I pak platí:
- Funkce je na I ohraničená
- Funkce f nabývá na intervalu I svého maxima a minima.
Def. 2.10.
Říkáme, že funkce f má v bodě c limitu A (
cx
lim f (x) = A), jestliže ke každému číslu
ε > 0 existuje číslo δ > 0, že nerovnost | f (x) –A| < ε platí pro všechna x pro nějž
0 < | x – c | < δ.
Def. 2.11.
Říkáme, že funkce má v bodě c limitu A zprava (zleva) [( 
cx
lim f (x) = A, 
cx
lim f (x) = A],
jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0, že nerovnost | f (x) –A| < ε platí pro všechna
x є (c, c + δ) ( resp. (c – δ,c) ).
Def. 2.12.
Říkáme, že funkce f má v nevlastním bodě + (resp. - ) limitu A, jestliže ke
každému ε > 0 existuje takový bod xo, že | f (x) –A| < ε platí pro všechna x pro něž
x >xo, (resp. x <xo).
Def. 2.13.
Říkáme, že funkce f má v bodě c nevlastní limitu + (resp. - ), jestliže ke
každému K>0 (resp.<0) existuje δ > 0, že f (x) > K (resp. f (x) < K) pro všechna x pro
něž 0 < | x – c | < δ.
Věta 2.5.
Funkce f má v bodě c nejvýše jednu limitu (limitu zleva, limitu zprava).
Věta 2.6.
Platí
cx
lim

f (x) = A právě, když 
cx
lim f (x) = 
cx
lim f (x) = A.
Věta 2.7.
Funkce f je spojitá v bodě c, právě když
cx
lim

f (x) = f (c).
Věta 2.8.
Nechť
cx
lim

f (x) = A a
cx
lim

g (x) = B.
Pak
cx
lim |f (x)| = |A|
cx
lim (f (x) + g(x))= A + B
cx
lim (f (x) · g(x))= A · B
cx
lim
)x(g
)x(f
=
B
A
je- li B ≠ 0