Určitý integrál
Def 3.3. Nechť uzavřený interval ba, je částí def. oboru funkce f(x). Ji-li dáno n+1
čísel x0, x1 , …, xn pro něž platí:
a = x0 < x1 < … < xn-1 < xn = b
říkáme, že je dáno dělení Dn intervalu ba, .
Dělící body dělení Dn definují n částečných intervalů
10 , xx , 21, xx , … s délkou: 011 xxx  , …,
1 nnn xxx , pak zřejmě 

n
í
i abx
1
Největší z čísel ix nazveme normou dělení Dn ,
označujeme D. Ozn n ,...,1 reálná čísla pro něž
101 , xx , 212 , xx , …, nnn xx ,1
Číslo         i
n
i
innn xfxfxfD  1
11 ...  nazýváme integrálním součtem
funkce f příslušející dělení Dn na intervalu ba, .
Jsou-li M1, …, Mn suprema (max) funkce f na intervalu 10 , xx , …
a m1, …, mn infima (min) funkce f na intervalu 10 , xx , … nn xx ,1 , pak čísla
  nnn xMxMDS  ...11
-horní součet přísl. Dn na ba, .
  nnn xmxmDs  ...11
-dolní součet přísl. Dn na ba, .
Def 3.4. Maximální (minimální) hodnota z horních (dolních) součtů příslušející všem
dělením Dn intervalu ba, se nazývá horní (dolní) integrál funkce f na ba, .
Jestliže horní integrál je roven dolnímu integrálu funkce f na intervalu ba, , pak tuto
společnou hodnotu nazýváme určitým integrálem funkce f na ba, (Cauchy-Riemannův
interval).
A označujeme jej:  
b
a
dxxf .
Existuje-li  
b
a
dxxf , řekneme, že funkce f je integrovatelná na ba, v C.-R. smyslu.
Věta 3.10. Je-li funkce f integrovatelná na ba, , pak
       n
n
n
n
n
n
b
a
DsDSDdxxf

 limlimlim 
Věta 3.11. Každá spojitá funkce na ba, je na tomto intervalu integrovatelná ve smyslu
C.-R. smyslu.
Věta 3.12. Newtonova-Leibnitzova věta
Jestliže f(x) je spojitá na ba, a F(x) je primitivní funkce k f(x), pak platí:
        b
a
b
a
xFaFbFdxxf 
Věta 3.13 Jestliže  xf a  xg jsou integrovatelné na ba, pak platí:
1.          
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
2.     
b
a
b
a
dxxfCdxxCf C = konst.
3.       
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf a < C < b
4.   0 dxxf
b
a
je-li   0xf na intervalu ba,
5.     
b
a
b
a
dxxgdxxf    xgxf  na intervalu ba,
Věta 3.14 O střední hodnotě – je-li  xg nezáporná (nekladná) na ba, a  xf spojitá
na ba, , integrovatelné, pak existují ba, , že platí:
        
b
a
b
a
dxxgfdxxgxf 
Číslo  f se nazývá střední hodnota funkce f na ba, .
Věta 3.15 Substituční metoda pro určité integrály – Nechť funkce  xf je spojitá na
ba, . Nechť funkce  t je na , ryze monotónní a nechť je spojitá i se
svou první derivací, přičemž  a ,  b . Pak platí:
       


 dtttfdxxf
b
a
Věta 3.16 Metoda per partes pro určité integrály – Mají-li funkce  xu ,  xv na ba,
spojité derivace, pak platí:
   
b
a
b
a
b
a
dxvuuvvdxu
Použití určitého integrálu
Věta 3.17 Obsah P obrazce U, ohraničeného přímkami ax  , bx  a grafy funkcí
 xfy  ,  xgy  spojitých na ba, , přičemž pro bax ,
1)    xfxg 0 se rovná     dxxgxfP
b
a
 
2)     0 xgxf     dxxgxfP
b
a
 
Pozn. Polární souřadnice
 fr 



drP  2
2
1
Věta 3.18 Objem rotačního tělesa, jehož plášť vznikne ritací rovinné křívky, která je
grafem spojité funkce  xfy  def. na ba, , kolem osy x, je
 dxxfV
b
a
 2

Def 3.5 Nechť je dána křivka c, kterou je možno vyjádřit pomocí
funkce  xf . Zvolíme-li na křivce c body A, B1, B3, .. , Bn = B,
pak spojnici všech těchto bodů nazveme lomenou čarou
vepsanou křivce c. Délkou této lomené čáry AB rozumíme
součet délek všech úseček nn BBBBAB 1311 ..  .
Def 3.6 Délkou křivky c mezi body A,B rozumíme suprémum (max. hodnotu)
z množiny všech délek lomených čar vepsaných křivce c. Je-li tato množina
shora ohraničená, říkáme, že křivka c je schopna rektifikace. Není-li shora
ohraničená, řekneme, že křivka c nemá konečnou délku.
Věta 3.19 Je-li křivka c dána jako graf funkce  xfy  , bax , a má-li funkce  xf
na ba, spojitou derivaci, pak pro délku oblouku jejího grafu na ba, platí
   dxxfs
b
a
 
2
1
Pozn. 1. Pokud je křivka c dána parametricky  tx  ,  ty  ,  tz  pro
,t pak
         dtttts  


 222
Pozn. 2. Pokud je křivka c dána v polárních souřadnicích  fr  ,  , pak
     


drrs  
22
Věta 3.20 Obsah P plochy vytvořené rotací grafu hladké funkce  xfy  kolem oxy x
pro bax , je dán:
     dxxfxfP
b
a
 
2
12
Pozn. 1. Pro křivku zadanou parametricky         dtttts  


 22
2
Pozn. 2. Pro křivku zadanou v polárních souřadnicích  fr 
  


drrrs  
22
sin2
Použití určitého integrálu ve fyzice
  dxxFA
Těžiště obrazce  xfy 


 b
a
b
a
T
ydx
xydx
x


 b
a
b
a
T
ydx
dxy
y
2
2
1
Moment setrvačnosti
 

m
dmrJ 2
Def 3.6 Nevlastní integrály s nekonečnými mezemi se nazývají
 

a
dxxf  
b
dxxf  


dxxf
Def 3.7 Nevlastní integrály nazýváme konvergentním jestliže:
1) Funkce  xf je integrovatelné na každém konečném ba,
2) Existuje-li vlastní limita   

x
a
x
Bdxxflim   

b
x
x
Bdxxflim
Jestliže tato vlastní limita neexistuje, říkáme, že integrál diverguje.
Věta 3.21 Jestliže funkce  xf a  xg jsou integrovatelné na každém intervalu ba, a
pro x < ,a ) platí    xgxf 0 pak z konvergence  

a
dxxg plyne
konvergence  

a
dxxf . Diverguje-li  

a
dxxf , pak diverguje i  

a
dxxg .
Analogie pro ost. nevl. int.
Přibližný výpočet určitých integrálů
a) Obdélníková metoda
   

 
n
i
b
a
xfdxxf lim kde 1 ii x , ii xxxxx  121
b) Lichoběžníková metoda
   nn
b
a
yyyyy
n
ab
dxxf 

  1210 2..22
2
c) Simpsonova metoda
   nn
b
a
yyyyyyy
n
ab
dxxf 21243210 4..2424
6


 
2n – sudý počet intervalů