Sbírka úloh z matematiky 1. Lineární algebra
1. LINEÁRNÍ ALGEBRA....................................................................................... 8
1.1. Vektory............................................................................................................................ 8
1.1.1. Operace s vektory...................................................................................................... 8
Úlohy k samostatnému řešení.............................................................................................. 8
1.1.2. Lineární závislost a nezávislost vektorů.................................................................... 8
Úlohy k samostatnému řešení.............................................................................................. 8
1.1.3. Báze vektorového prostoru........................................................................................ 9
Úlohy k samostatnému řešení.............................................................................................. 9
1.2. Determinant.................................................................................................................... 9
Úlohy k samostatnému řešení.............................................................................................. 9
1.3. Matice............................................................................................................................ 10
1.3.1. Operace s maticemi ................................................................................................. 10
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 10
1.3.2. Hodnost matice........................................................................................................ 12
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 12
1.3.3. Inverzní matice ........................................................................................................ 13
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 13
1.3.4. Maticové rovnice..................................................................................................... 13
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 13
1.4. Soustavy lineárních rovnic .......................................................................................... 15
Úlohy k samostatnému řešení............................................................................................ 15
Výsledky úloh k samostatnému řešení .............................................................................. 17
- 7 -
Sbírka úloh z matematiky 1. Lineární algebra
1. LINEÁRNÍ ALGEBRA
1.1. Vektory
1.1.1. Operace s vektory
Úlohy k samostatnému řešení
1. Vypočítejte součet a rozdíla b+ a b− a b a− vektorů:
a) , b)( ) (2, 3, 5 , 8, 3, 9a b= = − ) ( ) ( )1,1, 0, 5 , 3, 6, 8, 11a b= − = − − ,
c) ( ) ( )7, 8, 0,15 , 1, 4, 9, 9a b= − = − , d) ( ) ( )4, 9, 2 , 3, 3, 9, 7a b= − = − .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
2. Vypočítejte souřadnice vektoru x , pro který platí:
a) ( ) ( )2 4 , 8, 7,11 , 9, 3, 5x a b o a b+ − = = = − ,
b) ( ) ( )4 8 2 , 5, 13, 8, 4 , 6, 8, 14, 6 .x a b o a b− − = = − − = −
Výsledky úloh k samostatnému řešení
1.1.2. Lineární závislost a nezávislost vektorů
Úlohy k samostatnému řešení
3. Určete konstantu tak, aby vektorym ,a b byly lineárně závislé, (kolineární):
a) ( ) (4, , 5 , 8, 6,10a m b= − = − ), b) ( ) ( )1, , 0, , 3, 6, 0, 6a m m b= = − − .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
4. Určete konstanty tak, aby vektory,m r ,a b byly lineárně závislé, (kolineární):
a) ( ) ( )12, ,16 , 9, 3,a m b= = r , b) ( ) ( )4, , 8, 4 , 6, 9, , 6a m b r= = .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
5. Zjistěte, jak jsou vektory závislé:
a)
, ,a b c
( ) ( ) ( )1, 0,1 , 2, 3, 5 , 0, 3, 3a b c= = = ,
b) ( ) ( ) ( )4, 3, 2, 5 , 1, 0,1, 0 , 0, 3, 2, 5a b c= − = − = − ,
c) ( ) ( ) ( )2, 7, 4, 2 , 12, 16,12, 8 , 1, 3, 7, 0a b c= = − − − = − −
)
,
d) ,
e)
( ) ( ) (1,2,3 , 1,0,1 , 3,4,7a b c= = =
( ) ( ) (5,1,1 , 2,1,0 , 3,0,4a b c= = = ).
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 8 -
Sbírka úloh z matematiky 1. Lineární algebra
6. Zapište vektor jako lineární kombinaci vektorůd , ,a b c :
a) ( ) ( ) ( ) ( )1, 0,1 , 2, 3, 5 , 0, 3, 3 , 5,12, 5a b c d= = = − = ,
b) ( ) ( ) ( ) ( )4, 3, 2, 5 , 1, 0,1, 0 , 0, 3, 3, 5 , 2, 6, 9,10a b c d= − = − = − = − ,
c) ( ) ( ) ( ) ( )1, 7, 4, 2 , 3, 7, 4, 8 , 3, 8, 1, 6 , 0, 1, 3, 2a b c d= = − − = − − = − − ,
d) ( ) ( ) ( ) ( )2,1,2 , 1,0,3 , 1,1,0 , 0,1,13a b c d= = − = = .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
1.1.3. Báze vektorového prostoru
Úlohy k samostatnému řešení
7. Dokažte,že vektory a b tvoří bázi vektorového prostoru a zapište souřadnice vektoru
v této bázi:
a)
, ,c
d
( ) ( ) ( ) ( )1, 0,1 , 2, 4, 7 , 0, 3, 1 , 1,19, 9a b c d= = − = − = − ,
b) ( ) ( ) ( ) ( )4, 3, 2 , 1,1, 0 , 0, 3, 4 , 12, 29, 36a b c d= − = − = = − ,
c) ( ) ( ) ( ) ( )6, 5, 4 , 5, 2, 4 , 1, 0, 4 , 17, 1, 8a b c d= = − = − = − − .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
1.2. Determinant
Úlohy k samostatnému řešení
8. Vypočítejte determinant:
a)
4 5
1 2
, b)
3 1
6 2
−
, c)
3 6
4 8
−
−
,
d)
2 5
3 8
e)
4 3
1 2
−
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
9. Vypočítejte determinant Sarrusovým pravidlem:
a)
1 2 1
1 3 2
1 3 3
− , b)
5 2 4
3 3
−
1
5 2 7−
, c)
4 1 4
2 2 ,
d)
2
2 5 2
−
−
1 2 1
3 0 1
2 1 4
− , e)
2 1 2
1 3 0
3 5 4
− .
- 9 -
Sbírka úloh z matematiky 1. Lineární algebra
Výsledky úloh k samostatnému řešení
10. Vypočítejte determinant, determinant upravte a použijte rozvoj podle některého řádku
nebo sloupce:
a)
2 1 1 4
3 2 2 5
1 1 1 0
0 2 2 4
−
−
, b)
1 1 2 1
1 3 1 0
2 1 1 4
1 0 4 1
−
−
, c)
4 5 6 7
4 5 5 7
1 3 4 2
2 1 2 3
− − −
− −
,
d)
1 2 3 4
1 0 2 1
3 3 1 0
2 1 1 1
, e)
6 2 3 0
1 1 3 1
0 3 1 1
1 0 2 2−
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
11. Vypočtěte determinant úpravou na trojúhelníkový tvar:
a)
1 1 1 1
1 1 2 1
2 4 3 1
1 2 2 2
−
, b)
1 2 1 1 0
0 1 2 1 3
1 1 0 1 0
1 2 2 1 1
1 0 0 1 0
− − −
−
, c)
2 3 1 5
4 6 2 10
6 11 13 8
6 21 2 14
−
− −
−
,
d)
1 1 1 1 1
0 1 2 1 0
2 1 0 1 1
1 2 1 1 1
3 1 3 0 1
−
−
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
1.3. Matice
1.3.1. Operace s maticemi
Úlohy k samostatnému řešení
12. Vypočítejte , kde:
a) ,
2 3⋅ + ⋅ −A B C
⎞
⎟
⎠
1 2 4 0 7 5
, ,
0 3 2 5 6 10
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
A B C
- 10 -
Sbírka úloh z matematiky 1. Lineární algebra
b) .
5 1 1 6 9 11 1 0 2
2 3 0 , 5 1 3 , 2 1 0
0 7 2 4 8 4 1 1 3
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
= − = − − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
A B C
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Výsledky úloh k samostatnému řešení
13. Vypočítejte , kde:
a) , b)
2 2+ ⋅ − ⋅A E B
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟5 3 8 2
,
9 4 6 9
−⎛ ⎞ ⎛
= =⎜ ⎟ ⎜
−⎝ ⎠ ⎝
A B
1 0 2 9 8 7
3 4 0 , 4 5 6
2 8 3 3 2 1
⎛ ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜
= = − −⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝
A B ⎟
⎟
⎠
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
14. Vynásobte matice a B :
a) , b)
A
5 3 8⎛
⎜
⎝
B
2
,
9 4 6 9
−⎛ ⎞ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎟
−⎝ ⎠ ⎠
A
⎞
⎟
1 0 2 9 8 7
3 4 0 , 4 5 6
2 8 3 3 2 1
⎛ ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜
= = − −⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝
A B ⎟
⎟
⎠
1
⎟
− ⎟
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎟
⎟
1
⎟
− ⎟
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
,
c) , d) ,
e) , f) ,
g) , h) ,
i) , j) ,
k) , matice lze násobit více způsoby.
2 4
1 0 2
, 3
3 1 1
1 0
⎛ ⎞
−⎛ ⎞ ⎜
= =⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
A B
7 4 3 2 0
1 2 5 , 0 1
1 2 3 3 3
−⎛ ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜
= =⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝
A B
( )
2
5
1 2 0 3 ,
4
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜= − =
⎜−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A B
7 2
2 1 0 5 5 5
,
7 8 4 9 1 0
3 8
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A B
2 3
2 4 2
, 2
6 1 1
2 0
⎛ ⎞
−⎛ ⎞ ⎜
= =⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
A B
3 2 2 3 4
1 4 , 3 1 3
9 1 2 1 3
⎛ ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜
= =⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝
A B
( )
3
1
2 1 2 3 ,
3
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟= =
⎜ ⎟−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A B
1 2
2 1 1 0 1 3
,
3 1 0 1 6 0
1 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
A B
1 2
2 1 1 0 1 3 9 3
, ,
3 1 0 1 6 0 1 4
1 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
A B C
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 11 -
Sbírka úloh z matematiky 1. Lineární algebra
1.3.2. Hodnost matice
Úlohy k samostatnému řešení
15. Vypočítejte hodnost matice:
a) , b) c) ,
d) , e) ,
f) g) ,
h) .
1 0 3
2 4 6
4 4 0
−⎛ ⎞
⎜
= ⎜
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2 1 2
3 1 3
1 1 0
⎛ ⎞
⎜
= −⎜
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A
1 0 1 0
1 1 2 1
0 1 3 1
3 3 2 2
2 4 4 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A
2 3 2 4
4 5 0 3
2 4 5 1
6 8 1 1
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜=
⎜− −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A
1 3 5 7 5 2
2 4 1 1 0 6
3 1 6 8 5 8
5 5 16 22 15 12
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟=
⎜ ⎟− −
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
A
1 1 1 1 1
1 2 2 1 1
1 2 3 2 2
1 1 2 1 1
1 1 2 1 1
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟
⎜ ⎟= −
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
A
1 1 6 1
1 0 1 1
1 2 1 4
2 1 7 2
2 2 0 3
3 4 1 7
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−
⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
A
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
2 1 1 2 2
1 1 1 1 0
1 2 0 0 1
1 2 0 1 0
1 1 1 1 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
A
Výsledky úloh k samostatnému řešení
16. Doplňte parametry tak, aby matice měla danou hodnost:
a) , b)
,a b
( )
1 0 2
4 2 , 2
4 4
a h
b
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A =A 2( )
5 7 2
7 2 ,
4 4
a h
b
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − =⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A A .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 12 -
Sbírka úloh z matematiky 1. Lineární algebra
1.3.3. Inverzní matice
Úlohy k samostatnému řešení
17. Najděte inverzní matici:
a) , b) , c) ,
d) , e)
4 3
2 1
−⎛
= ⎜
−⎝ ⎠
A
⎞
⎟
⎞
⎟
⎟
2 1
7 2
⎛
= ⎜
⎝ ⎠
A
5 2
12 7
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
A
2 1
1 2
⎛ ⎞
= ⎜
− −⎝ ⎠
A
2 4
3 8
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
A .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
18. Najděte inverzní matici:
a) , b) , c)
1 2 1
3 2 4
1 7 1
⎛ ⎞
⎜
= −⎜
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A
⎟
⎟
⎟
⎟
0 3 1
5 2 1
2 0 2
⎛ ⎞
⎜
= −⎜
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A
1 1 1
11 12 13
2 3 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
A ,
d) , e)
3 4 1
2 1 0
0 1 2
⎛ ⎞
⎜
= ⎜
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A
⎟
⎟
2 5 4
0 3 0
1 2 1
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
A .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
19. Najděte inverzní matici:
a) , b) ,
c) , d)
1 1 2 3
1 1 0 1
2 0 1 2
3 1 2 1
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟=
⎜ ⎟−
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
A
0 2 1 1
1 2 1 0
3 1 2 3
1 5 4 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟=
⎜ ⎟−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A
4 5 6 7
1 2 3 4
0 1 1 0
2 1 2 4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− − − −⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
A
1 2 1 0
1 1 0 2
0 1 1 1
0 2 1 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟=
⎜ ⎟−
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
A .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
1.3.4. Maticové rovnice
Úlohy k samostatnému řešení
20. Řešte rovnici s neznámou maticí :
a) , b)
X
2 4 6 0
2 7 18 6
−⎛ ⎞ ⎛
⋅ =⎜ ⎟ ⎜
− −⎝ ⎠ ⎝
X
⎞
⎟
⎠
2 1 2 1
3 4 4 5
− −⎛ ⎞ ⎛
⋅ =⎜ ⎟ ⎜
−⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
X ,
- 13 -
Sbírka úloh z matematiky 1. Lineární algebra
c) , d)
2 3 0 1
1 0 1 2
⎛ ⎞ ⎛
⋅ =⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
X
⎞
⎟
⎞
⎟
4 1 2 1
6 2 4 2
⎛ ⎞ ⎛
⋅ =⎜ ⎟ ⎜
−⎝ ⎠ ⎝
X
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
,
e) f) .
11 5 12 5 9 5
2 1 4 2 1 3
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
X
1 1 2 1 2 4
2 0 3 2 3 6
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
X
Výsledky úloh k samostatnému řešení
21. Řešte rovnici s neznámou maticí :
a) , b)
X
1 0 2 1 2
4 1 5 3 4
5 3 1 2 1
⎛ ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜
⋅ =⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝
X
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
5 8
3 2
2 4
3 1
1 0
− −⎛ ⎞
−⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
X ,
c) , d) ,
e) .
1 2 1 1 0
3 1 0 1 1
2 2 1 2 1
−⎛ ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜
⋅ =⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜ −⎝ ⎠ ⎝
X
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
5 1
1 2
1 0
2 5
2 3
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎝ ⎠
X
0 3 1 5 1 3
1 1 1 4 2 0
2 2 1 5 5 9
⎛ ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜
⋅ = −⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝
X
Výsledky úloh k samostatnému řešení
22. Řešte rovnici s neznámou maticí :
a) , b)
X
2 5 9 1
1 2 1 2
1 3 4 5
−⎛ ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜
⋅ =⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝
X
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
( )
1 0 1
0 2 3 0 13 3
1 3 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⋅ = − −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
X ,
c) .
13 10
5 4 12 10
3 2 6 4
25 18
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
X
Výsledky úloh k samostatnému řešení
23. Řešte soustavu maticových rovnic s neznámými maticemi :
a) , b)
,X Y
1 1 18 8 6 1
,
2 3 6 11 0 5
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
X Y X
3 3 3 4 2
,
5 1 9 3 4
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
X Y = X .
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 14 -
Sbírka úloh z matematiky 1. Lineární algebra
1.4. Soustavy lineárních rovnic
Úlohy k samostatnému řešení
24. Řešte soustavu lineárních rovnic GEM a Cramerovým pravidlem:
a) , b) 4 3
4
2 3
2 2
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =−
− + − =
3
1
4
3 10
6 4 2 14
x y z
x y z
x y z
2 3 2+ − =−
− + =
− =
16
5 12
x y z
x y z
x y z
, c) 2 4
2 6− + + =
−
−
− =−
+ + =
1
17z
x y z
,
d) , e) x y
2 3 4 9
5 3 4 6
4 3 4 2
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + = −
+ − =−
6 7
6
6 14
x y z+ − =
− + =
− + + =
z
x y z
, f) x y
5
2 0
5
x y z+ − =
− + =
− + − =−
,
g)
2 9
3
2 6
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ + =
− − =
, h)
2 2
2
2 3
x y z
x y z
x y z
7
1
0
+ − =
− + + =−
+ =
7 2
9 4 12 1
, i) 5 3
2 3 4 4x y z− + − =
x y z− + =
x y z+ − + − =
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
25. Řešte soustavu lineárních rovnic GEM:
a)
4 9
2
6
3
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ + =
+ − =
, b)
4
2 3
2 4
3 5
x y z u
x y z u
x y z
x z u
2
6
11
+ + + =
− + − =
− + =
+ + =
, c)
31 2 4
31 2 4
31 2 4
31 2 4
3 2 5
43 4
32 3
52 2
xx x x
xx x x
xx x x
xx x x
+ + − =
− + + + =
− + − =
− + + + =
,
d) , e)
3 51 2 4
3 51 2 4
3 52 4
3 51 4
3 51 2 4
22 3 4
32 2 3 5
32 3 3
2 2 3
2 2 6
x xx x x
x xx x x
x xx x
x xx x
x xx x x
+ − + − =
+ − + − =
− − − + =−
− + − + =
+ − + − =
3 51 2
3 51 2 4
3 52 4
3 51 2 4
42 1
5 2 4
3 6
2 42 2 8
x xx x
x xx x x
x xx x
x xx x x
+ + − =
− + − − =
− + + =−
− + + + =
.
Výsledky úloh k samostatnému řešení
26. Řešte homogenní soustavu lineárních rovnic:
a)
4 0
2 0
0
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ + =
+ − =
, b)
3 2
0x
0
2 2 2 0
6 3 3 0
y z u
x y z
+ + + =
− + =
x y z u+ + + =
x y z u+ + − =
, c)
41 2
3 41 2
3 41 2
3 4
2 0
2 23 0
2 54 0
3 5 0
xx x
x xx x
x xx x
x x
+ + =
− − + + =
+ + + =
+ =
,
d) , e)
3 51 2 4
3 51 2 4
3 51 2 4
3 51 2
3 51 2
2 3 0
32 0
3 0
2 24 2 0
2 27 2 0
x xx x x
x xx x x
x xx x x
x xx x
x xx x
− + − + =
+ − + + =
− + − − =
− − + =
− − + =
3 51 2 4
3 51 2 4
3 51 2 4
3 51 2 4
2 4 0
4 32 4 6 0
3 22 2 0
2 4 0
x xx x x
x xx x x
x xx x x
x xx x x
+ − + − =
+ − + − =
+ − + − =
− − + − + =
.
- 15 -
Sbírka úloh z matematiky 1. Lineární algebra
Výsledky úloh k samostatnému řešení
- 16 -
Sbírka úloh z matematiky 1. Lineární algebra
Výsledky úloh k samostatnému řešení
1. a) ,( )6, 6,14a b+ = − ( )10, 0, 4a b− = − , ( )10, 0, 4b a− = − ; b) ( )4, 5, 8, 16a b+ = − − ,
,( )2, 7, 8, 6a b− = − − ( )2, 7, 8, 6b a− = − − ; c) ( )6, 4, 9, 24a b+ = − , ( )8, 12, 9, 6a b− = − − ,
; d) nelze sčítat ani odčítat. 2. a) ;
b) . 3. a) ; b)
( 8,12, 9, 6b a− = − − ) ( )20, 2, 42x = − −
( )7, 22,9,11x = − − 3m = 2m = − . 4. a) 4, 12m r= = ; b) .
5. a) ; b)
6, 12m r= =
2a b c o− + = 4a b c o− − = ; c) 4 4a b c o+ + = ; d) 2 ;
e) . 6. a) ; b)
a b c o+ − =
cLNZ 2 2d a b c= + + 2 3d a b= − + + ; c) d b c= + ; c
−
d) .2 3d a b= + −
7. a) ;
b) ;
c) .
( ), ,
1 0 1
det 2 4 7 11 0 tvoří bázi, 3, 1, 5
0 3 1
a b c
d⎡ ⎤
⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥− = − ≠ ⇒ = −⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
( ), ,
4 3 2
det 1 1 0 10 0 tvoří bázi, 4, 4, 7
0 3 4
a b c
d⎡ ⎤
⎣ ⎦
−⎡ ⎤
⎢ ⎥− = − ≠ ⇒ = −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
( ), ,
6 5 4
det 5 2 4 136 0 tvoří bázi, 1, 2, 1
1 0 4
a b c
d⎡ ⎤
⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥− = − ≠ ⇒ = −⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
8. a) ; b) 12; c) ; d) 1; e) . 9. a) 7 ; b)3 0 11− 41− ; c) , d)0 24− ; e) 0 . 10. a) ;
b) ; c) 0 , d) ; e) . 11. a)
20
7 20 44− 3− ; b) 27 ; c) 800, d) 8.
12. a) ; b) . 13. a) ⎜ ⎟ ; b)
⎜ ⎟
⎜ ⎟.
14. a) ;
b)
7 9
0 11
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
X
27 29 29
9 10 9
13 39 11
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− − −⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
9 7
3 20
−⎛ ⎞
− −⎝ ⎠
−
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
⎞
⎟
⎠
15 16 12
5 16 12
8 4 3
− − −⎛ ⎞
58 17 22 32
,
48 54 111 18
⎛ ⎞ ⎛
⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜
− −⎝ ⎠ ⎝
A B B A
15 12 9 19 88 3
43 4 3 , 1 68 26
5 62 65 7 16 3
−⎛ ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜
⋅ = − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝
A B B A
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
7
⎟
⎟
;
c)
14 4 0
0 4
, 0 1
4 13
1 0 2
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎜
⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎝ ⎠
A B B A ; d) ;
5 5
17 17 , nelze násobit
7 11
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⋅ = ⋅⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A B B A
- 17 -
Sbírka úloh z matematiky 1. Lineární algebra
e) ;
f) ;
g) ; h)
( )
2 4 0 6
5 10 0 15
1 ,
4 8 0 12
3 6 0 9
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟⋅ = ⋅ =
⎜ ⎟− −
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
A B B A
0 9 8 17
4 31 25 35 20 20
,
58 18 2 1 0 5
50 61 32 57
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
A B B A
22 5 7
16 2
, 2 9
12 19
4 8 4
−⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎜
⋅ = ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎝ ⎠
A B B A 3
⎟
⎟
45 12
nelze násobit, 37 7
32 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⋅ ⋅ = ⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
A B B A ;
i) ( )
6 3 6 9
2 1 2 3
7 ,
6 3 6 9
4 2 4 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟⋅ = ⋅ =
⎜ ⎟− − − −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A B B A ; j) ;
k) .
8 3 1 2
7 7 7 2 1 3
,
3 7 12 6 6 0
4 1 1 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎜ ⎟
− − −⎝ ⎠
A B B A
47 18 7 11
56 49 72 84 3 3 12 9
, ,
20 37 5 21 162 72 54 18
7 6 11 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
A B C C A B B C A
15. a) ; b)( ) 2h A = ( ) 3h A = ; c) ( ) 3h A = ; d) ( ) 4h A = ; e) ( ) 2h A = .; f) ( ) 5h A = ;
g) ( ) 3h A = ; h) ( ) 5h A = . 16. a) ( )
1 2
4 2 , 4 , 2 ,a b a b k
k k
⎛ ⎞
0= ∧ = = − = + ≠⎜ ⎟
⎝ ⎠
;
b) .5,a b= − ∈R
17. a) 1
1 31
2 42
−
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
A ; b) 1
2 11
7 23
−
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
A ; c) 1
7 21
12 511
−
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
A ;
d) 1
2 11
1 23
− ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
A ; e) 1
2 1
3 1
4 2
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟=
⎜ ⎟− −
⎝ ⎠
A .
18. a) 1
30 5 10
1
1 0 1
5
23 5 8
−
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
A ; b) 1
4 6 1
1
12 2 5
32
4 6 15
−
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
A ; c) ;
d)
1
neexistuje−
A
1
2 7 1
1
4 6 2
8
2 3 5
−
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
A − ; e) 1
3 3 12
1
0 2 0
6
3 1 6
−
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A .
- 18 -
Sbírka úloh z matematiky 1. Lineární algebra
19. a) 1
2 3 2 1
3 12 0 31
2 0 2 26
1 3 2 2
−
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
A ; b) 1
6 12 3 3
16 8 4 41
26 4 5 1124
18 12 3 3
−
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟=
⎜ ⎟− −
⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
A ;
c) 1
8 11 21 3
12 30 36 91
12 30 9 927
1 2 6 3
−
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟=
⎜ ⎟− − −
⎜ ⎟
− − −⎝ ⎠
A ; d) 1
4 5 7 3
2 2 3 1
1 1 1 1
3 3 5 2
−
− − −⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟=
⎜ ⎟−
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
A . 20. a) ;
b)
5 4
4 2
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
X
1 0
31 14
5 5
−⎛ ⎞
⎜ ⎟=
⎜ ⎟− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
X ; c)
1 21
2 13
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
X ; d)
0 2
2 7
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
X ; e)
8 1
49 241
2 4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟=
⎜ ⎟−
⎝ ⎠
X ;
f)
15
12
2
5
4
2
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
= ⎜
⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎝ ⎠
X ⎟ . 21. a)
1 5
17
1
2
3
0
2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟= − −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−
⎝ ⎠
X ; b)
29 34
1
14 16
3
1 2
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
X ; c)
1 5
9 9
2 4
9 9
4 7
9 9
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟= −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎝ ⎠
X ;
d) ; e)
23 9
5 2
16 7
−⎛ ⎞
⎜
= −⎜
⎜ ⎟−⎝ ⎠
X
⎟
⎟
12 41 2
1
18 24 6
9
0 69 12
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − − −⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
X . 22. a)
70
3
31
3
2
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟= −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎝ ⎠
X ;
b) ; c)(3 2 3= − −X )
2 1
3 1
0 2
2 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜=
⎜
⎜ ⎟
⎝ ⎠
X ⎟
⎟
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
) )
) ) )
. 23. a) ;
b) . 24. a) , b) , c) ( , d) ( ) ,
e) ( , f) ; g) (
12 7 2 1
,
6 1 1 0
⎛ ⎞ ⎛
= =⎜ ⎟ ⎜
− − −⎝ ⎠ ⎝
X Y
2 1
,
1 1
⎛ ⎞ ⎛
= =⎜ ⎟ ⎜
−⎝ ⎠ ⎝
X Y ( )1,2,1
T
(1, 2,0
T
− 2, 4,6
T
− 3,1,3
T
−
2, 2,3
T
− (5,5,5
T
3,2, 2
T
− ; h) ( )0,1, 3
T
− ;
i) ( . 25. a) ; b) nemá řešení; c)) )27, 14,25
T
− (5 , , 1
T
t t− −
21 47 5 25
, , ,
8 24 8 3
T
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠
;
d) e) nemá řešení. 26. a) ; b) ( ) ;
c) ( ) ; d) e) ( ) .
(17 4 , ,9 2 , ,2
T
t s s s t t− − − + ) )( , ,0
T
t t− 0,0,0,0
T
, ,5 , 3
T
t t t t− ( )0, , ,4 2 ,
T
t s s s t t− − 9 14 2 , , , , 2 2
T
t s r r t s t s− − − − −
- 19 -