3. Neurčitý integrál, určitý integrál
Def 3.1 Nechť F(x) a f(x) jsou definované na otevřeném intervalu J. Jestliže pro
všechna x  J platí F´(x) = f(x), říkáme, že F(x) je primitivní funkce
k funkci f(x) na intervalu J. Množinu všech primitivních funkcí k funkci
f(x) všech primitivních funkcí k funkci f(x) na intervalu J nazýváme
neurčitým integrálem funkce f(x) a označujeme  dxxf )( .
Funkce f(x) se nazývá integrand.
Věta 3.1 Platí:
  CxFdxxf )()( x  J
Kde C  Q je tzv. integrální konstanta
Věta 3.2 Ke každé spojité funkci v int J,  v tomto intervalu primitivní funkce.
Základní integrály:
1.  



C
n
x
dxx
n
n
1
1
1n
2. )ln(ln
1 1
kxCxdxxdx
x
 

3.   Cedxe xx
4.   C
a
adxa xx
ln
1
1;0  aa
5.   Cxxdx cossin
6.   Cxxdx sincos
7.   Ctgxdx
x2
cos
1
 
2
12

 kx ; ,...1,0 k
8.   Cgxdx
x
cot
sin
1
2
,...1,0;*  ktkx
9. 21
2
arccosarcsin
1
CxCx
x
dx


 1x
10. CxCxx
x
dx


 cosharg1ln
1
2
2
x>1
11. 11
2
2
sinharg1ln
1
CxCxx
x
dx



12. 212
cot
1
CgxarcCarctgx
x
dx


13. 12
1
1
ln
2
1
1
C
x
x
x
dx
 




14.   Cxxdx coshsinh
2
sinh
xx
ee
x



15.   Cxxdx sinhcosh
2
cosh
xx
ee
x



16. Cghx
x
dx
 cot
sinh 2
17. Ctghx
x
dx
 2
cosh
18.  

Cfdx
f
f
x
x
x
)(
)(
)(
ln
Věta 3.3 Existují-li na otevřeném intervalu J neurčité integrály funkcí f1, …, fn(x) a jsouli
c1, …, cn libovolné konstanty, pak také na J existuje neurčitý integrál funkce:
c1f1(x) + … + cnfn(x)
a platí :     dxfcdxfcdxfcfc nnnn .... 1111
Věta 3.4 Metoda per partes – Jestliže funkce u(x), v(x) mají na J spojité derivace, pak
platí:    dxxvxuxvxudxxvxu )()()()()()(
Pozn. Rekurentní vzorec
a)  dxexI xn
n
n
xu  x
ev 
1
 n
nxu x
ev 
 

 dxexnexdxexI xnxnxn
n
1
1 n
xn
n nIexI CeI x
0
b) 

 xdxxdxI nn
ń sinsinsin 1
´
xu n 1
sin 
 xv sin
  xxnu n
cossin1 2
 xv cos
 

 xdxxxnxxI nn
n coscossin1cossin 21
xx 22
sin1cos 
     
xdxnxdxnxx nnn
sin1sin1cossin 11
  2
1
1cossin
1


 n
n
n Inxx
n
I
Víme že   CxxdxI cossin1
Substituce
1.   tx 
Věta 3.5 Nechť funkce F promněnné t je priimitivní funkcí k funkci f, nechť funkce
 xt  má spojitou derivaci x a nechť pro každé  bax , je     ,x .
Pak v  ba, platí:
         CFdxf xxx  
Použití:   dxg x kde       
 
 
    


 CtFdttf
dxdt
t
fg
x
x
xxx



2.  tx 
Věta 3.6 Nechť funkce  xf je spojitá na  ba, . Nechť funkce  tx  má spojitou
derivaci  na  , a nechť   bta  , pro  ,t . Nechť k funkci
 existuje inverzní funkce  a
        CtGdxtf t pak platí
      CGdxxf x
 
 
 
          CxGtGdtttf
tdx
tx
dxxf 


 
Integrování racionálních funkcí
Def 3.2 Lomenou racionální funkcí nazýváme takovou funkci  xf , kterou lze psát
ve tvaru podílu dvou mnohočlenů  xPn a  xQm s reálnými koeficienty pro
x pro něž   0xQm .
   
 xQ
xP
bxbxbxb
axaxaxa
xf
m
n
m
m
m
m
n
n
n
n



 



01
1
1
01
1
1
..
..
Pokud n<m nazýváme  xf ryze lomenou racionální funkcí.
Věta 3.7 Racionální funkci    
 xQ
xP
xf
m
n
 lze vždy když mn  psát ve tvaru:
     xgxRxf mn   , kde  xR mn je mnohočlen n-m stupně a  xg je ryze
lomená racionální funkce.
Věta 3.8 Každý mnohočlen Qm s reálnými koeficienty lze uvést na tvar:
             sr
l
ss
llk
r
kk
mm qxpxqxpxqxpxxxxaxQ  2
22
2
11
2
21 ......
2121

kde i jsou kořeny o násobnosti ik a kvadratické výrazy  qpxx 2
mají
záporný diskriminant.
Věta 3.9 Nechť f(x) je ryze lomená racionální funkce a mnohočlen  xQm lze rozložit
podle předchozí věty 3.8. Pak funkci  xf lze rozložit na součet elementárních
zlomků takto:
 *
   
         












 ...... 2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
k
k
k
k
m
n
x
B
x
B
x
B
x
A
x
A
x
A
xQ
xP
xf

     















 222
11
22
11
2
22
11
2
11
.... 1
11
rl
ll
rl
ll
l
ll
qxpx
LxK
qxpx
LxK
qxpx
LxK
qxpx
LxK
qxpx
LxK
r
rr
r
rr
 r
r
rr
l
rl
ll
qxpx
LxK



2
..
Takovýto zápis nazýváme rozkladem ryze lomené racionální funkce  xf v parciální
zlomky.
Koeficienty A1, .. , rlL lze získat např. (viz další kapitoly).
Metoda neurčitých součinitelů
Rovnici  * vynásobíme mnohočlenem  xQm . Protože  xQm lze rozložit podle věty 3.8
bude na levé i pravé straně mnohočlen. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin proměnné
x dostaneme podmínky pro koeficienty A1, … . Vzniklá soustava lineárních rovnic je vždy
řešitelná.
Dosazovací metoda
Po vynásobení rovnice  *  xQm dostaneme na levé i pravé straně mnohočleny. Tato rovnice
je splněna i pro nulové body mnohočlenu mQ . Jejich postupným dosazením dostaneme
podmínky pro neznámé koeficienty A1, … .
Př:      xSxxQ 
 
 
 
 xS
xR
x
A
xQ
xP




       
 xS
xQxR
x
xQ
AxP 



       xxRxASxP x
      0* RASP 
 
 

S
P
A 
Označme R(u,v) podíl dvou mnohočlenů s proměnnými ve tvaru u,v.
Integrály takových funkcí řešíme pomocí následujících substitucí:
1. dx
dcx
bax
xR
s
 















1
, s
t
dcx
bax



pro s>2
2.
   cbxax
dx
2
t
a
D
a
b
x
22
 pro D>0, a>0
3.
 
 
     


dx
kcbxaxxQ
cbxax
dxxP
n
n 2
1
2
     kQdxxP nn   .!1
4.    dxcbxaxxR 2
,
Eulerovy substituce: a>0 : axcbxaxt  2
c 0 : ccbxaxxt  2
jsou-li , kořeny cbxax 2
, pak





x
x
at
5. Binomické integrály
  dxbxax
Pnm

- lze převést na elementární funkci, když jedno z čísel p
n
m
n
m
p 
 1
,
1
, je celé
číslo.
p - celé S
tx  přičemž
s
r
n
s
k
m  ,
n
m 1
- celé Sn
tbxa 
p
n
m

1
- celé Sn
tbax 
6.   dxxxR cos,sin vždy: t
x
tg 
2
Navíc:
a) R-lichá k sinx tx cos
b) R-lichá k cosx tx sin
b) R-sudá k oběma ttgx 
7. Transcendentní funkce
a)   dxaR x
tax

b)   dxxPe n
kx
per partes kx
eu   xPr n
c)   dxxR ln tx ln
d)       dxkxxQkxxP sincos metoda neurčitých koeficientů