Posloupnosti
Def. 4.1.: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny všech přirozených
čísel N do množiny všech reálných čísel R. Prvek n N nazýváme indexem a
prvek f(n) = an R nazýváme n-tým členem posloupnosti. Značíme  
1nna .
Pozn.: Je-li dáno jen několik prvních členů posloupnosti a pro ostatní členy je dán
předpis, jak se počítá člen an na základě znalosti předchozích členů, říkáme, že
tato posloupnost je dána rekurentně.
Def. 4.2.: Posloupnost  
1nna , v níž rozdíl an+1 - an = d je konstantní, se nazývá
aritmetická. Číslo d se nazývá diference.
Věta 4.1.: Pro aritmetickou posloupnost  
1nna platí:
a)
2
knkn
n
aa
a  
 , k=1, 2, ..., n-1
b) dnaan )1(1 
c) drsaa rs )( 
d) Pro součet prvních n členů ( = sn )
)(
2
1 nn aa
n
s 
Def. 4.3.: Posloupnost  
1nna , v níž podíl q
a
a
n
n
1
(a1 ≠ 0, a2 ≠ 0) je konstantní, se
nazývá geometrická. Číslo q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti.
Věta 4.2.: Pro geometrickou posloupnost platí:
a) 1
1

 n
n qaa
b) rs
rs qaa 

c)
1
1
1



q
q
as
n
n (q ≠ 1)
1nasn  (q = 1)
q
a
s


1
1
(q < 1) součet nekonečné geometrické řady
Def. 4.4.: Říkáme, že posloupnost  
1nna má vlastní limitu, nebo že je konvergentní k
číslu a ( aan
n


lim ), jestliže ke každému ε > 0  n0 takové, že pro každé n > n0
je aan  < ε.
Pozn.: Nemá-li  
1nna vlastní limitu, pak se nazývá divergentní.
Číselné řady
Def. 4.5.: Je-li  
1nna posloupnost čísel, pak se výraz a1 + a2 + ... + an + ... = 

1n
na
nazývá číselná řada. Čísla a1, a2, ... se nazývají členy řady.
Def. 4.6.: Řada 

1n
na se nazývá konvergentní, konverguje-li posloupnost  
1nns jejích
částečných součtů. Vlastní limita n
n
ss

 lim částečných součtů se nazývá součet
řady sa
n
n 

1
.
(sn = a1 + a2 + ... + an )
Věta 4.3.: Je-li řada 

1n
na konvergentní, pak 0lim 

n
n
a .
Věta 4.4.: (d'Alembertovo kritérium)
Nechť 

1n
na je řada s kladnými členy a nechť 0 < k < 1. Jestliže skoro všechny
členy posloupnosti





 
n
n
a
a 1
jsou menší, než číslo k, pak řada 

1n
na je
konvergentní.
Věta 4.5.: (limitní d'Alembertovo kritérium)
Nechť 

1n
na je řada s kladnými členy a nechť  b
a
a
n
n
n


1
lim . Pokud b < 1,
pak je daná řada konvergentní, je-li b > 1, je divergentní.
Věta 4.6.: (Cauchyho odmocninové kritérium)
Nechť 

1n
na je řada s kladnými členy a nechť  kan
n
n


lim , pak je-li k < 1
(k > 1), je tato řada konvergentní (divergentní).
Věta 4.7.: (Cauchyho integrální kritérium)
Je-li f(x) spojitá nezáporná nerostoucí funkce na  ,N , kde N je přirozené
číslo, pak řada 

1
)(
n
nf a 

N
dxxf )( je buď zároveň divergentní, nebo
konvergentní.
Mocninné řady
Def. 4.7.: Mocninnou (potenční) řadou nazýváme řadu tvaru




0
0
2
02010 )(...)()(
n
n
n xxaxxaxxaa , kde a0, a1, ... jsou reálné
konstanty.
Věta 4.8.: Ke každé mocninné řadě  R (0 ≤ R ≤ +∞), že pro  x  (x0 - R, x0 + R) je
řada konvergentní a pro  x  (x0 - R, x0 + R) je řada divergentní. Číslo R se
nazývá poloměr konvergence mocninné řady, číslo x0 se nazývá střed
konvergence mocninné řady.
Věta 4.9.: Má-li mocninná řada takové koeficienty an, že  q
a
a
n
n
n


1
lim , pak tato řada
má
q
R
1
 pro q > 0. R = 0 pro q = ∞, R = ∞ pro q = 0.
Taylorova a MacLaurinova řada
Def. 4.8.: Nechť funkce f(x) má v bodě x0 derivace všech řádů. Formálně utvořme
mocninnou řadu
...)(
!2
)(
)(
!1
)(
)( 2
0
0
0
0
0 



 xx
xf
xx
xf
xf
Tato řada se nazývá Taylorova řada (T. rozvoj) funkce f(x) v bodě x0. Je-li
speciálně x0 = 0, pak se tato řada nazývá MacLaurinova.
Věta 4.10.: (Taylorova věta)
Jestliže funkce f(x) má na intervalu  hxx 00 , spojité derivace až do řádu n+1,
pak f(x) v bodě x = x0 + h lze vyjádřit ve tvaru
)(
!
)(
...
!2
)(
!1
)(
)()( 1
0
)(
200
00 hRh
n
xf
h
xf
h
xf
xfhxf n
n
n




 ,
kde zbytek 10
)1(
1
)!1(
)(
)( 




 n
n
n h
n
hxf
hR

( 0 <  < 1 )