1
Křivkové integrály
- integrační obory jsou křivky
- hladká křivka - vyjádření parametricky
( )
( )ty
tx


=
=
popř. ( )tz =
- lze ji považovat za dráhu hmotného bodu během časového intervalu , bez
zastavení
- orientace křivky (kladná, záporná)
- dělení křivky, norma dělení
1. Fyzikální úloha: Výpočet síly působící na hmotný bod pohybující se po křivce C (Máme
definovanou vektorovou funkci )(PF

).
( ) )()( 1 DSPPKFA F
i
iii


=−  −
Hledám limitu výše uvedených posloupností s dělením D, tj.
( ) 
=→ 1
lim nnFn
DS  . Tu pak nazýváme integrálem funkce )(PF

po křivce C
a označujeme ( )C
rdPF

(Křivkový integrál 2. druhu funkce )(PF

po
křivce C).
Je-li zvolena kartézská soustava souřadnic, tj.
( ) ( ) ( ) ( )kzyxfjzyxfizyxfPF

,,,,,, 321 ++= a kdzjdyidxrd

... ++= ,
pak ( )   ++=
CC
dzfdyfdxfrdPF 321

.
2. Máme definovánu skalární funkci f(P) na C. Pak limita integrálních součtů ( )nf DS s
dělením Dn, tj. ( ) ( )=
→
C
nf
n
dsPfDSlim
se nazývá křivkový integrál 1. druhu funkce f(P) na C, přičemž
( ) ( ) −=
i
iinf PPPfDS 1. , kde 1−ii PP je vzdálenost.
Základní vlastnosti křivkových integrálů
2. druhu:
Věta 3.6: Nechť C je orientovaná křivka a c1, c2 jsou čísla. Nechť  křivkové integrály
( )C
rdPF

a ( )C
rdPG

. Pak platí:
( ) ( )  ( ) ( ) +=+
CCC
rdPGcrdPFcrdPGcPFc

2121
2
Věta 3.7: Nechť orientovaná křivka C se skládá z orientovaných křivek C1 a C2 a
koncový bod křivky C1 je počátečním bodem křivky C2. Pak platí:
( ) ( ) ( ) +=
21 CCC
rdPFrdPFrdPF

Věta 3.8: Nechť C je orientovaná křivka. Nechť křivka C vznikne z křivky C změnou
orientace. Pak platí:
( ) ( ) −=
CC
rdPFrdPF

1. druhu:
Věta 3.9: Nechť C je orientovaná křivka. Nechť f(P) a g(P) jsou reálné funkce a c1, c2
jsou čísla. Pak platí:
( ) ( )  ( ) ( ) +=+
CCC
dsPgcdsPfcdsPgcPfc 2121
Věta 3.10: Nechť orientovaná křivka C se skládá z na sebe navazujících orientovaných
křivek C1 a C2. Pak
( ) ( ) ( ) +=
21 CCC
dsPfdsPfdsPf
Věta 3.11: Nechť C je orientovaná křivka. Nechť křivka C vznikne z křivky C změnou
orientace. Pak
( ) ( ) =
CC
dsPfdsPf
Věta 3.12: Pro délku oblouku s(C) orientované křivky C platí
( ) =
C
dsCs
Výpočet křivkových integrálů
Nechť C je orientovaná křivka, která je vyjádřena parametricky funkcí ( )tP

, tj.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ktjtittrtP

...  ++== (analogicky pro 2-dim)
Pak pro ,t platí:
a) ( ) ( ) ( ) ( ) =++=  CC
dzzyxfdyzyxfdxzyxfrdPF ,,,,,, 321

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )  ++=


 dtttttfttttfttttf .,,.,,.,, 321
b) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )  ++=


 dtttttttfdsPf
C
222
.,,
3
tzn., že ( ) ( ) ( )dttttds 222
  ++= je-li křivka dána parametricky,
drrds 22
+= v polárních souřadnicích,
( )dxxfds 2
1 += je-li křivka v rovině dána jako graf
funkce f(x)
ds - diferenciál délky oblouku
Geometrické a fyzikální aplikace
Nechť C je po částech hladká křivka. Pak platí:
1. Délka křivky C je
=
C
dss
2. Hmotnost křivky C je
=
C
dsPm )( ,
kde ρ = ρ(P) je délková hustota v libovolném bodě P křivky C.
3. Souřadnice těžiště  000 ,, zyxT křivky C jsou
=
C
dsPx
m
x )(
1
0 
=
C
dsPy
m
y )(
1
0 
=
C
dsPz
m
z )(
1
0  ,
kde integrály jsou příslušné statické momenty. Všechny vzorce uvedeme dále
podrobněji pro jednotlivé typy souřadnic.
Nechť silové pole je dáno vektorovou funkcí )(PF

. Pak práce A tohoto pole po křivce C je
=
C
drPfA )(
V dále uvedených vzorcích předpokládáme spojitost (popř. spojitost po částech) všech funkcí,
které se v nich vyskytují.
1. Křivky v rovině. Křivka je dána:
a) grafem funkce y = f(x), a ≤ x ≤ b
b) parametricky rovnicemi x = Φ(t), y = Ψ(t), t1 ≤ t ≤ t2 (označujeme = dtd / ,
= dtd / )
c) v polárních souřadnicích r = r(φ), φ1 ≤ φ ≤ φ2, r ≥ 0.
Délková hustota ρ je funkcí proměnné x, popř. t, popř φ. Je-li funkce ρ konstantní, lze
ji vytknout před integrační znak.
4
Délka křivky:
a)    +=+=
b
a
b
a
dxydxxfs 22
1)(1
b)    +=+=
2
1
2
1
2222
)()(
t
t
t
t
dtyxdttts 
c)  +=
2
1
.)()( 22


 drrs
Hmotnost:
a)   ( )  +=+=
b
a
b
a
dxydxxfxm 22
1)(1)( 
b)   ( )  +=+=
2
1
2
1
2222
)()()(
t
t
t
t
dtyxdttttm  
c)   +=
2
1
)()()( 22


 drrm
Statický moment vzhledem k ose x, popř. y:
a)   ( )  +=+=
b
a
b
a
x dxyydxxfxxfS 22
1)(1)()( 
  ( )  +=+=
b
a
b
a
y dxyxdxxfxxS 22
1)(1)( 
b)   ( )  +=+=
2
1
2
1
2222
)()()()(
t
t
t
t
x dtyxydtttttS  
  ( )  +=+=
2
1
2
1
2222
)()()()(
t
t
t
t
y dtyxxdtttttS  
c)   +=
2
1
)()(sin)()( 22


 drrrSx
  +=
2
1
)()(cos)()( 22


 drrrSy
Souřadnice těžiště:
m
S
x
y
=0 ,
m
S
y x
=0
Moment setrvačnosti vzhledem k ose x, popř. y:
a)   ( )  +=+=
b
a
b
a
x dxyydxxfxxfI 2222
1)(1)()( 
  ( )  +=+=
b
a
b
a
y dxyxdxxfxxI 2222
1)(1)( 
5
b)   ( )  +=+=
2
1
2
1
222222
)()()()(
t
t
t
t
x dtyxydtttttI  
  ( )  +=+=
2
1
2
1
222222
)()()()(
t
t
t
t
y dtyxxdtttttI  
c)   +=
2
1
)()(sin)()( 2222


 drrrIx
  +=
2
1
)()(cos)()( 2222


 drrrIy
Při výpočtu momentů setrvačnosti vzhledem k počátku je vzdálenost v kartézských
souřadnicích rovna 22
yx + a v polárních souřadnicích r.
2. Křivky v prostoru. Křivka C je dána parametricky rovnicemi
)(tx = , )(ty = , )(tz = , 21 ttt  , =
 
dt
d
atd.
Délka:
   ++=++=
2
1
2
1
222222
)()()(
t
t
t
t
dtzyxdtttts  
Hmotnost:
  ( )  ++=++=
2
1
2
1
222222
)()()()(
t
t
t
t
dtzyxdtttttm  
Statický moment vzhledem k rovině xy, popř. xz, popř. yz:
  ( )  ++=++=
2
1
2
1
222222
)()()()()(
t
t
t
t
xy dtzyxzdttttttS  
  ( )  ++=++=
2
1
2
1
222222
)()()()()(
t
t
t
t
xz dtzyxydttttttS  
  ( )  ++=++=
2
1
2
1
222222
)()()()()(
t
t
t
t
yz dtzyxxdttttttS  
Souřadnice těžiště:
m
S
x
yz
=0 ,
m
S
y xz
=0 ,
m
S
z
xy
=0
6
Moment setrvačnosti vzhledem k ose x, popř. y, popř. z:
    ( ) ( )  +++=+++=
2
1
2
1
2222222222
)()()()()()(
t
t
t
t
x dtzyxzydtttttttI  
    ( ) ( )  +++=+++=
2
1
2
1
2222222222
)()()()()()(
t
t
t
t
y dtzyxzxdtttttttI  
    ( ) ( )  +++=+++=
2
1
2
1
2222222222
)()()()()()(
t
t
t
t
z dtzyxyxdtttttttI  
Cirkulace vektoru
Def. 3.4: Je-li křivka L uzavřená, pak křivkový integrál 2. druhu vektoru a

po celé
křivce L nazýváme cirkulací )(aC

vektoru a

po křivce L. Přičemž
( )  =++==
LL
zyx
L
dsadzadyadxardaaC 

.)( , kde ax, ay, az jsou složky
vektoru a

rd

je vektor rovnoběžný s tečnou τ, jeho modul (délka) se rovná diferenciálu
délky oblouku křivky; dsrd =

; dsarda =

, kde a je projekce vektoru a

na
tečnu τ. )(aC

vyjadřuje práci vektorového pole vektoru a

po uzavřené křivce.
Věta 3.13: Nechť A je uzavřená množina, jejíž hranice tvoří uzavřená, po částech hladká
křivka C. Nechť funkce P(x,y), Q(x,y) a Py(x,y), Qx(x,y) jsou spojité na A. Pak
    +=+
CA
yx dyyxQdxyxPdxdyyxPyxQ ),(),(),(),(
7
Plošné integrály
- pojem plochy
- parametrizace - část roviny B zdeformujeme podle určitých pravidel na plochu S
zobrazení P(u,v) z E2 do E3 nazveme parametrizací, přičemž
    BvuprovuzvuyvuxEzyx === ,),(),,(),,(,, 3  nazveme jednoduchou
hladkou plochou. (Mají jen jednu stranu.)
- orientace plochy - jednotkový normálový vektor u

- orientace souhlasná (nesouhlasná) s okrajem
- průměr d(S) plochy S - nejmenší číslo, které není menší, než vzdálenost dvou
libovolných bodů z S
- dělení D plochy, norma dělení - největší číslo z d(Si)
Def. 3.5: Nechť na ploše S je dána funkce f(x,y,z). Rozdělme plochu S pomocí dělení D
na n částí Si. Zvolme v každé Si bod Xi a sestrojme součet
=
=
n
i
iin SXfD
1
)()( , kde iS je obsah části Si. Limitu )(lim n
n
D
→
označíme
za plošný integrál 1. druhu po ploše S a označujeme S
dSzyxf ),,(
Def. 3.6: Nechť na ploše S je dána vektorová funkce ),,( zyxF

. Nechť D je dělení
plochy S tvořené plochami S1, S2, ..., Sn. Zvolme na každé ploše Si bod Xi a
vytvořme součet =
=
n
i
iiin SXnXFD
1
)()()(

 . Jestliže  limita posloupnosti
odpovídajících součtů )( nD , pak ji nazveme plošným integrálem druhého
druhu vektorového pole F

po ploše S, ozn.
  ++=
SS
dxdyzyxfdxdzzyxfdydzzyxfSdF ),,(),,(),,( 321

Fyzikální význam: Tok vektorového pole F

plochou S.
Věta 3.14: Jestliže můžeme plochu S rozdělit na dvě části S1 a S2, pak
 +=
21
),,(),,(),,(
SSS
dSzyxfdSzyxfdSzyxf
 +=
21
),,(),,(),,(
SSS
SdzyxFSdzyxFSdzyxF

Věta 3.15: Plošný integrál druhého druhu lze převést na plošný integrál prvního druhu:
( ) ( ) ==
SSS
dSnFdSnFSdF

.
8
Věta 3.16: Je-li dána plocha S pomocí zobrazení ),( vuP :
),( vux = , ),( vuy = , ),( vuz = pro   Bvu  , , pak
( ) ( ) −=
BS
dudvFEGvuvuvufdSzyxf 2
.),(),,(),,(),,(  , kde
222








+







+







=
uuu
E

222








+







+







=
vvv
G

















+















+















=
vuvuvu
F

Geometrické a fyzikální aplikace plošných integrálů
Zadání plochy:
a) v parametrickém tvaru ),( vuxx = , ),( vuyy = , ),( vuzz = , kde   Dvu , .
S plošnou hustotou ),( vu
b) ),( yxfz = nad oblastí O, ),( vu
c) ),( rzz = nad oblastí D: 21,  , )(),( 21  rrr  , ),( vu
Obsah P plochy S:
a)  −=
D
dudvFEGSP 2
)(
b)  







+







+=
O
dxdy
y
f
x
f
SP
22
1)(
c)  







+







+=
)(
)(
22
22
2
1
2
1
)(



 

r
r
dr
z
r
z
rrdSP
Statický moment vzhledem k rovině xy, yz, xz:
 −=
D
xy dudvFEGvuzvuS 2
),().,(
 −=
D
yz dudvFEGvuxvuS 2
),().,(
 −=
D
xz dudvFEGvuyvuS 2
),().,(
Pak souřadnice těžiště:
m
S
x
yz
T = ,
m
S
y xz
T = ,
m
S
z
xy
T =