Dělení mimo obor násobilek Růžena Blažková 1. Dělení se zbytkem Motivace: proč se učíme dělení se zbytkem? Někdy nemůžeme počet prvků rozdělit na skupiny o stejném počtu prvků (např. 29 dětí nelze rozdělit na stejně početné skupiny). Dělení se zbytkem je také potřebné při písemném dělení. Předpokládané znalosti: základní spoje násobení a dělení, násobek čísla, nejblíže menší násobek daného čísla k danému číslu (např. nejblíže menší násobek čísla 4 k číslu 15 je 12, což je trojnásobek). K procvičení nejblíže menšího násobku daného čísla k danému číslu můžeme použít názornou představu. Napíšeme řadu čísel od 0 do 50 (do 100) a označíme příslušné násobky vybraného čísla. Potom určujeme nejblíže menší násobek. Např. vyznačíme násobky čtyř 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 …. Vyberu číslo 15, nejblíže menší násobek čtyř je 12. Poznámka: Zápis rovnítka při dělení se zbytkem není příliš korektní, avšak tento zápis je na prvním stupni ZŠ takto používán. (Např. 11 : 2 = 5 (zb.1), 26 : 5 = 5 (zb.1), 41 : 8 = 5 (zb.1) …, neúplný podíl 5 a zbytek 1 tvoří celou třídu úloh.) Dělení se zbytkem - definice Připomeňme si, jak je definováno dělení se zbytkem. Jsou dána přirozená čísla a, b taková, že a není násobkem b, b 0, pak k těmto číslům existují přirozená čísla q, z taková, že platí: a = b · q + z Číslo a se nazývá dělenec, b je dělitel, q je neúplný podíl, z je zbytek. Zbytek musí být vždy menší než dělitel. Vyvození Dělení se zbytkem vyvozujeme analogicky jako dělení beze zbytku. Dělení na části: 14 švestek rozděl mezi 4 děti tak, aby měly všechny stejně. Kolik švestek bude mít každé dítě a kolik švestek zbyde? Dramatizace: připravíme konkrétní realizaci, rozdělování Grafické znázornění: A B C D O O O O O O O O O O O O O O Zápis příkladu: 14 : 4 = 3 (zb. 2) Zkouška: 4 · 3 = 12 12 + 2 = 14 nebo 4 · 3 + 2 = 12 + 2 = 14 Odpověď: Každé dítě dostane tři švestky a dvě švestky zbydou. Dělení podle obsahu: 14 tyčinek (krychlí) rozděl na hromádky po čtyřech. Kolik úplných hromádek vytvoříš a kolik tyčinek bude na neúplné hromádce? Dramatizace: Každé dítě má 14 tyčinek (krychlí) a pracuje samostatně. Grafické znázornění: //// //// //// // Zápis příkladu: 14 : 4 = 3 (zb. 2) Zkouška: : 3 · 4 = 12 12 + 2 = 14 nebo 3 · 4 + 2 = 12 + 2 = 14 Odpověď: Vytvořím tři úplné hromádky. Dvě tyčinky zbydou, Písemné dělení viz dva metodické materiály pro učitele Používání závorek a priorita operací V praxi často řešíme úlohy, ve kterých pracujeme s více čísly (např. při řešení složených slovních úloh), tj. používáme číselné výrazy. Číselný výraz obsahuje pouze čísla a operace mezi nimi. Úkolem je stanovit postup výpočtu v číselných výrazech. Děti používají ustálených pravidel, které se jednak týkají používání závorek (pokud jsou vyznačeny) a jednak různé úrovně jednotlivých operací. Pokud se v číselných výrazech vyskytují závorky, pak výrazy v závorce se provádějí nejdříve, např. 36 – (12 - 8) = 26 – 4 = 32 (4 + 5) . 7 = 9. 7 = 63 (56 + 44) – (25 – 5) = 100 – 20 = 80 Pokud se v číselném výrazu vyskytuje pouze sčítání a odčítání a nejsou vyznačeny závorky, pak při výpočtu postupujeme zleva doprava, např. 42 + 14 – 16 = 56 – 16 = 40 100 – 25 – 30 = 75 – 30 = 45 Analogicky pro násobení a dělení: 6 · 3 · 5 · 2 = 180 8 · 5 : 4 = 10 40 : 2 : 5 = 4 Jestliže se v číselném výrazu vyskytují operace sčítání, odčítání, násobení a dělení a nejsou vyznačeny závorky, pak platí, že násobení a dělení má přednost před sčítáním a odčítáním, např. 3 + 5 . 6 = 3 + 30 = 33 28 – 6 : 3 = 28 – 2 = 26 3 . 9 + 8 . 4 = 27 + 32 = 59 Při počítání s číselnými výrazy se setkáváme s některými problémy, kdy děti uplatňují pravidla jen částečně. a) Děti počítají výraz v závorce jako první, avšak zapomenou na první číslo, např. 60 – (50 – 30) = 20. b) Vypočítají výraz v závorce jako první, také jej jako první zapíší a pak si nevědí rady, např. 60 – (50 – 30) = 20 – 60. c) Děti nerespektují poučku o pořadí operací a vždy postupují zleva doprava, např. 3 + 5 . 6 = 8 . 6 = 48 48 – 8 : 4 = 40 : 4 = 10 d) Počítají podle svých postupů, např. 6 . 5 + 4 : 2 počítají 5 + 4 = 9, 6 . 9 = 54, 54 : 2 = 27 nebo postupují zleva doprava: (30 + 4) : 2 = 17 přitom správný postup je 6 . 5 + 4 : 2 = 30 + 2 = 32 Pokud se vyskytují problémy, můžeme využít některých „pomůcek“, tj. grafického vyznačení. 1. Možnost zapisovat výsledek výrazu v závorce nad závorku a vést děti k zápisům všech čísel od začátku: 20 60 – (50 – 30) = 60 – 20 = 40 Nebo psát postup výpočtu do řádků pod sebe: 60 – (50 – 30) = 60 - 20 = 40 2. Postup provádění je možné znázorňovat pomocí stromu, ve kterém v první úrovni (shora) násobíme nebo dělíme a ve druhé úrovni sčítáme nebo odčítáme, např. 3 + 5 . 6 3 . 4 + 20 : 4 3. Používat závorky i ve výrazech s násobením nebo dělením, např. 5 + (6 . 7) nebo (3 . 4) + (20 : 4)