Metody řešení matematických úloh 1
IMAp08 – podzimní semestr 2020
1. setkání/2. setkání

Téma: INDUKTIVNÍ A DEDUKTIVNÍ METODY PŘI ŘEŠENÍ MATEMATICKÝCH ÚLOH



Dedukce
•logické vyvození,
•způsob logického myšlení postupujícího od obecného pravidla k jednotlivým případům,
•typ úsudku, při němž se z předpokladů  použitím určitých pravidel dospívá k novému tvrzení, tzv.
závěru, důsledku,
•je přechodem od obecného ke zvláštnímu.

Deduktivní metoda
•způsob výstavby vědecké teorie založený pouze na dedukci.
•uplatňuje se zpravidla v těch případech, kdy byl nahromaděn a teoreticky vyložen empirický
materiál, který chceme uvést v systém, abychom mohli odvodit všechny důsledky plynoucí z přijatých
předpokladů,
•takto vybudovaná  vědecká teorie je vědecká deduktivní soustava.
•

Deduktivní metoda
•Užitím dedukce v matematice se vytvořila tzv. axiomatická metoda, která pomáhá budovat
matematickou disciplínu (axiomaticky)
Axiomy
•Věty obsahující základní pojmy a jejich vztahy
•Základní pojmy nedefinujeme
•Definujeme nové pojmy
•Odvozujeme další platné věty

Deduktivní metoda
Využití deduktivních závěrů:
•Při důkazech matematických vět (důkazové techniky = implikace)
•Při řešení matematických úloh (řetězením deduktivních závěrů dojdeme k řešení)

Matematická věta tvaru implikace
A(x) ⟹ B(x)
 předpoklad           tvrzení
•
•Přímý důkaz: A(x) ⟹ A1(x) ⟹ A2(x) ⟹ … ⟹ B(x)
•Nepřímý důkaz: ⏋B(x) ⟹ ⏋A(x) (Věta obměněná k větě A(x) ⟹ B(x))
•
•Věta obměněná je ekvivalentní s původní větou, tj.
            A(x) ⟹ B(x)   ∼ ⏋B(x) ⟹ ⏋A(x)
•
•
•

Příklad 1: Dokažte, že pro každá dvě lichá přirozená čísla platí, že jejich součin je liché číslo.
•
Důkaz matematické věty

Indukce
•Jeden z typů úsudků a metoda zkoumání, kdy se na základě pozorování jednotlivých případů vyvozují
všeobecné  závěry.
•Jedná se o postup od zvláštního k obecnému.

Indukce
jednotlivé případy                    obecné pravidlo
Dedukce
obecné pravidlo           jednotlivé případy

Indukce a dedukce
•uplatňování indukce a dedukce souvisí s pozorováním, zkoumáním zákonitostí, zobecňováním.
•různé pokusy vést ostrou hranici mezi deduktivní metodou a induktivní se nezdařily, neboť obě
metody jsou ve skutečnosti vnitřně spjaty.
•

V následujících příkladech vycházejte vždy z induktivních postupů, tj. ověřujte platnost uvedených
pravidel pro několik přirozených čísel. Všímejte si zákonitostí a snažte se formulovat příslušné
matematické věty. Věty pak dokažte.

Příklad 2:
Sčítání přirozených čísel – sčítejte postupně
 přirozená čísla a sledujte, jak se dá vyjádřit jejich součet:

Princip matematické indukce:
Chceme dokázat, že ∀n∈ℕ: A(n)
1.Dokážeme, že tvrzení platí pro n = 1
2.Předpokládáme, že tvrzení platí pro n = k a dokážeme, že platí pro n = k + 1

Gaussova úloha:
Sečtěte všechna přirozená čísla od 1 do 100.


Příklad 3:
Sledujte součet několika lichých čísel a pokuste se tento součet obecně vyjádřit:


Příklad 4:
Určete součet všech lichých čísel od 1 do 100.


Příklad 5:
Sledujte součet několika sudých čísel a pokuste se tento součet obecně vyjádřit:


Příklad 6:
Určete součet všech sudých čísel od 1 do 100.


Příklad 7:
Vynásobte vždy po sobě jdoucí přirozená čísla a tento součin vynásobte čtyřmi. Všimněte si, jak se
dá tento součin vyjádřit.

Příklad 8:
Proveďte součin dvou rovných činitelů od 0 do 10 a sledujte číslo zapsané na místě jednotek.


Příklad 9:
Vyjádřete obecně, kolik úhlopříček má konvexní n-úhelník.


Příklad 10:
Vyjádřete obecně, jaký je součet vnitřních úhlů konvexního n-úhelníka.