Vlastnosti relací v množině M
IMAkol Základy matematických discip]ín (podzim 2020)
Binámí relace R v imožině M je reflexivní právě tehdy, když ( V x e M) ([x,x] € R),
tzn. obsahuje všechny uspořádané dvojice [x,x], kde x e M.
Binámí relace R v imožině M je antireflexivní právě tehdy, když ( V x e M) ([x,x] € R),
tzn. neobsahuje žádnou uspořádanou dvojici typu [x,x], kde x e M.
Binámí relace R v imožině M je symetrická právě tehdy, když
( V x,y € M) ([x,y] e R j [y,x] € R),
tzn. s každou uspořádanou dvojicí [x,y] obsahuje i dvojici ([y,x].
Binámí relace R v množině M je antisymetrická, právě tehdy, když
( V x,y € M) ((x ± y ^ [x,y] € R) j [y,x] € R),
tzm. s žádnou dvojicí [x,y] různých prvků neobsahuje dvojici [y,x].
Binámí relace R v množině M je tranzitivní právě tehdy, když
( V x,y,z € M) ([x,y] € R ^ ([y,z] e R j [x,z] € R),
tzn. jestliže se v relaci vyskytují „na sebe navazující dvojíce", pak musí relace obsahovat i
dvojici, jejíž první složkou je 1. složka z první dvojice a druhou složkouje 2. složka z druhé
dvojice.
Binámí relace R v nmožině M je souvislá právě tehdy, když
( V x,y € M) (x ± y j ([x,y] E R v [y,x] € R),
tzn. každé dva různé prvky z množiny M musí být „spolu v relací".
Binámí relaci U v množině M nazýváme uspořádání v M, právě když U je antisymetrická a
tranzítivní.
Binámí relaci U v množině M nazýváme uspořádání ostré, resp. neostré v M, právě když U
je antisymetrická, tranzitivní a antireflexivní, resp. antisymetrická, tranzitivní a reflexivní.
Binámí relaci U v možině M nazýváme uspořádání lineární v M, právě když Uje
antisymetrická, tranzitivní a souvislá.
Binámí relaci U v imožině M nazýváme ostré lineární uspořádání v M, právě když Uje
antisymetrická, tranzitivní, souvisl á a antireflexivní.
Binámí relaci R v množině M nazýváme relací ekvivalence na M, právě když je reflexivní,
symetrická a tranzitivní.
Každá relace ekvivalence na množině M vytváří rozklad této množiny, cožje systém
neprázdných podmnožin (tzv. tříd rozkladu) množiny M takových, že průnik každých dvou
tříd je prázdná množina a sjednocení všech tříd rozkladu tvoří množinu M.
Jinak lze také říci, že říci, že rozklad množiny M je systém neprázdných podmnožin (tzv. tříd
rozkladu) množiny M takových, že každý prvek množiny M patří právě do jedné z těchto tříd.