Zápis přirozeného čísla a v poziční číselné soustavě se základem z. Převody zápisu čísla mezi číselnými soustavami. Věta: Každé přirozené číslo a lze vyjádřit právě jedním způsobem ve tvaru a = a[n ]. z^n + a[n-1].z^n-1 + a[n-2 ]. z^n-2 +…+ a[2 ]. z^2 + a[1 ]. z^1 +^ a[0 ]. z^0 , kde a[n, ]a[n-1,] … , a[2], a[1], a[0] N , 0 a[i ]<[ ]z^ pro i = 0,1,2,…, n-1, a[n ]≠ 0, a[n ]< z ; z je přirozené číslo větší než 1 z - základ číselné soustavy a[i] - číslice i-tého řádu z^i - jednotka i-tého řádu a = a[n ]. z^n + a[n-1].z^n-1 + a[n-2 ]. z^n-2 +…+ a[2 ]. z^2 + a[1 ]. z^1 +^ a[0 ]. z^0 - je tzv. rozvinutý zápis čísla a v číselné soustavě se základem z. Zkráceně píšeme a = (a[n ]a[n-1 ]a[n-2 ]… a[2 ] a[1]^ a[0 ])[z]^ Příklad: a = 537 = 5 . 10^2 + 3 . 10^1 + 7 . 10^0 rozvinutý zápis čísla 537 v desítkové soustavě Pozn. K zapsání libovolného čísla v číselné soustavě se základem z potřebujeme z číslic (znaků), jsou to číslice(znaky) 0,1,2, ….,, z-1. V desítkové soustavě máme číslice 0,1,2,….,9, ve dvojkové soustavě máme číslice 0,1; v trojkové soustavě číslice 0,1,2; v osmičkové soustavě číslice 0,1,2, …, 7; ve dvanáctkové soustavě potřebujeme číslice 0,1,2,….,9, A, B; v šestnáctkové soustavě používáme číslice 0,1,2,….,9, A, B, C, D, E, F (přičemž A[16]= 10[10], B[16]= 11[10], C[16]= 12[10], D[16]= 13[10], E[16]= 14[10], F[16]= 15[10]) Převody zápisů přirozeného čísla z jedné číselné soustavy do druhé. 1. Převod ze soustavy o základu z ≠ 10 do soustavy desítkové (z = 10). Provádí se pomocí rozvinutého zápisu čísla: Příklad: 10212[3 ]= 1 · 3^4 + 0 · 3^3 + 2 · 3^2 + 1^ · 3^1 + 2 · 3^0 = 104[10] 10212[3 ]= 104[10] [ ] [ ] [ ] 2. Převod ze soustavy desítkové (z = 10) do soustavy se základem z´≠ 10. Metody: a) graficky (seskupováním) b) dělení mocninami základu c) postupné dělení základem Příklad: Číslo 17 zapište v soustavě se základem z = 3 a) Metoda grafická Využíváme principu zápisu čísla v poziční soustavě o základu z: z jednotek řádu k-tého tvoří jednotku řádu k+1 Pro z = 3: Ze tří jednotek 0.řádu vznikne jedna jednotka 1.řádu, ze tří jednotek 1.řádu vznikne 1 jednotka 2.řádu atd. x x x x x x x x x x x x tj. 17[10] = 122[3] x x x x x b) Metoda dělením mocninami základu Zapíšeme si mocniny základu: 3^0 = 1 3^1 = 3 3^2 = 9 3^3 = 27 Číslo 17 dělíme nejvyšší mocninou základu, která je menší než 17, tj. 9 = 3^2.^ Zbytek dále dělíme o jedna menší mocninou základu, tj. 3 = 3^1. Opět zbytek dělíme o jedna menší mocninou základu, tedy dělíme číslem 1, což je 3^0. Neúplné podíly udávají cifry v zápisu čísla. Při použití této metody musíme provádět dělení postupně všemi mocninami od nejvyšší až po nultou mocninu základu. 17 : 3^2 = 1 (zb. 8) 17 = 1 · 3^2 + 8 8 : 3^1 = 2 (zb. 2) 17 = 1 · 3^2 + 2^ · 3^1 + 2 2 : 3^0 = 2 ^ ^ 17 = 122[3][ ] [ ]17[10] = 122[3] [ ] [ ] [ ] c) Metoda postupného dělení základem a = 17, z = 3 Číslo 17 dělíme číslem 3, tj. základem soustavy, do které zápis převádíme. Zjistíme neúplný podíl 5 a zbytek 2. Neúplný podíl dělíme číslem 3, zapíšeme zbytek 2. Další neúplný podíl opět dělíme číslem 3 a zapisujeme zbytek. V postupném dělení základem pokračujeme tak dlouho, až je neúplný podíl roven 0. Cifry v zápisu čísla udávají zbytky při postupném dělení v pořadí od posledního. 17 :3 5 2 17 : 3 = 5 (zb. 2) 1 2 5 : 3 = 1 (zb. 2) 0 1 1 : 0 = 0 (zb. 1) 17[10 ] = 122[3] 3. Převod ze soustavy o základu z ≠ 10 do soustavy se zákl. z´≠ 10 Příklad: a) Zapište číslo 221[3] v soustavě se základem 8. ( z = 3 z“ = 10 z´= 8 ) 221[3] = 2.3^2 + 2.3^1 + 1.3^0 = 25[10] 25[10] = 3.8^1 + 1.8^0 = 31[8 ]221[3] = 31[8][ ] b) Platí-li z´= z^n^ nebo z = (z´)^n , tj. základ jedné soustavy je přirozenou mocninou základu druhé soustavy, pak můžeme provádět tzv. přímé převody mezi soustavami se základem z a z´. Přímý převod zápisu čísla mezi soustavami z a z^n je založený na větě: Číslo zapsané n ciframi v číselné soustavě se základem z se zapíše jednou cifrou v číselné soustavě se základem z^n a naopak číslo zapsané jednou číslicí v číselné soustavě se základem z^n je zapsáno nejvýše n ciframi v číselné soustavě se základem z. Příklad: a) Zapište číslo 11|00|01|10[2 ]v číselné soustavě se základem 4 a 16 . Protože 4 = 2^2 , rozdělíme zápis čísla v soustavě dvojkové na skupiny pro dvou cifrách; počet skupin určí počet cifer v zápisu čísla ve čtyřkové soustavě. Každé dvojčíslí převádíme zvlášť z dvojkové do čtyřkové soustavy. 2^12^0 11|00|01|10[2 ]= [4 ] ^ 10[2 ]=[ ]1 · 2^1 + 0^ · 2^0 = 2^ ^ 01[2 ]=[ ]0 · 2^1 + 1^ · 2^0 = 1^ 00[2 ]=[ ]0 · 2^1 + 0^ · 2^0 = 0 11[2 ]=[ ]1 · 2^1 + 1^ · 2^0 = 3 Protože 16 = 2^4 , rozdělíme zápis čísla v soustavě dvojkové na skupiny pro čtyřech cifrách; počet skupin určí počet cifer v zápisu čísla v šestnáctkové soustavě. Každé čtyřčíslí převádíme zvlášť z dvojkové do šestnáctkové soustavy. 1100|0110[2 ]= [16][] ^ 110[2 ]=[ ]1·2^2 + 1.2^1 + 0^ ·2^0 = 6[10] = 6[16] 1100[2] = 1.2^3 + 1·2^2 + 0.2^1 + 0^ ·2^0 = 12[10] = C[16] b) Zapište číslo 2E5[16] v číselné soustavě se základem 2. Protože 16 = 2^4 , je třeba číslo zapsané jednou číslicí v šestnáctkové soustavě rozepsat pomocí čtyř číslic ve dvojkové soustavě. 2E5[16] = 10|1110|0101[2] . . . .|. . . .|. . . . [2] 5[16] = 5[10 ]= 101[2] E[16] = 14[10] = 1110[2] 2[16] = 2[10] = 10[2] [ ] [ ]