MA0002 — 7. domácí úkol
Cvičení 7.1 Eukleidovým algoritmem najděte největšího společného dělitele následujících dvojic čísel:
(a) 240 a 264
(b) 51 a 81
(c) 391 a 10127
(d) 437 a 247
Cvičení 7.2 Uveďte, jaké zbytky po dělení 3, 4, 5, 6, 8 a 10 dávají druhé mocniny čísel 1 až 10. Výsledky přehledně zapište, např. do tabulky:
dělitel:	3   4   5   6   8 10
1	111111
4	
9	
16	
25	
36	
49	114 119
64	
81	
100	
Cvičení 7.3 Určete, pro které hodnoty n G N, 1 < n < 10 jsou následující výrazy (a) sudé, (b) liché:
(a) n2 - 4n + 3
(b) n2 + 5n + 6
(c) n2 - 1
(d) n3 + 3n2 - n - 3
Zformulujte obecné pravidlo (např. „platí pro všechna n tvaru ... ")
Cvičení 7.4 Určete, pro které hodnoty n G N, 1 < n < 10 jsou následující výrazy dělitelné (a) 2, (b) 3, (c) 6:
(a)
(b) s^a Cvičení 7.5 Dokažte:
(C) a?±jJH±fi
(A) 2»2-l ("/ 2n+l
79
(a) Dává-li n po dělení S zbytek 1, pak n2 dává po dělení S zbytek 1.
(b) Výraz n 3 — n je pro všechna n S N dělitelný 6.
(c) Pro všechna n S N platí: n2 dává po dělení 4 zbytek 1 právě tehdy, když n je liché.
(d) Výraz n3 + 9n2 + 26n + 24 je pro všechna n G N dělitelný 6.
Cvičení 7.6 Dokažte, že pro každé dvouciferné přirozené číslo n obsahuje dekadický zápis čísla n2 alespoň dvě různé cifry. (*) Dokažte, že tvrzení platí pro libovolné přirozené číslo n > 3.
[Rozčleňte si situaci podle cifry na místě jednotek.]
Cvičení 7.7 Najděte takové prvočíslo p, že i čísla 2p+l,4p+l jsou prvočísla. (*) Najděte všechna taková prvočísla p.
[(*) Postupujte na základě výsledků u nejmenších prvočísel.]
Cvičení 7.8 Určete alespoň jedno přirozené číslo n, pro něž je číslo 46" + 296 • 13" dělitelné číslem 1 947. (*) Určete všechna taková n.
[Rozložte si 1947, 296 a 46 na prvočísla.]
Cvičení 7.9 Dokažte, že pro všechna přirozená n platí: 9|(10"(9n— 1) +1). (*) Dokažte, že pro všechna přirozená n platí: 81|(10"(9n — 1) + 1).
Cvičení 7.10 Dokažte, že pro všechna přirozená n platí: 36|(2n6 — n4 — n2). [Rozložte mnohočlen (2ne — n4 — n2) na lineární a kvadratické mnohočleny.]
80