MA0002 — 5. domácí úkol Cvičení 5.1 Na večírku se sešlo několik přátel. Každý si při prípitku připil s každým a ozvalo se 28 cinknutí. Kolik přátel se sešlo na večírku? Cvičení 5.2 Kolik různých čísel dělitelných třemi menších než 10000 lze sestavit z číslic 0,2,3,4,6 takových, že se v nich číslice neopakují? Cvičení 5.3 Vymyslete slovní úlohu tak, aby výsledek byl (a) 31212121 Cvičení 5.4 Kolika způsoby můžeme mezi tři děti rozdělit 9 stejných jablek? Kolika způsoby můžeme těchto 9 jablek rozdělit mezi tři děti spravedlivě? Cvičení 5.5 Kolika způsoby lze mezi tři děti rozdělit 15 stejných jablek a 9 stejných hrušek? Kolika způsoby to lze provést spravedlivě? Cvičení 5.6 Kolika způsoby můžeme mezi čtyři studenty rozdělit 7 různých matematických sbírek? Cvičení 5.7 Kolika způsoby může dát 5 chlapců 6 dívkám valentýnky, jestliže se chlapci mezi sebou nedomlouvali a každý z nich dá valentýnku právě jedné dívce? Cvičení 5.8 Kolika způsoby lze ze třídy, v níž je 10 hochů a 20 dívek, vybrat trojici tak, aby v ní byl alespoň jeden hoch? Cvičení 5.9 Kolika způsoby můžeme obarvit pěti barvami dvanáct stejných kuliček? Cvičení 5.10 Vyřešte v oboru Z rovnice: (a) 2(x-l)! ^(x-2)! + (x-4)! — 1 0>) (x+1)! (x-1)! (x+3)! - U (c) 2(x-3)! 2(x-5)! (x-2)! _ , (x-4)! - 1 (d) 2(x+2)! ^(x-1)! (x+1)! _ (x-2)! - Cvičení 5.11 Kolika způsoby můžeme nalepit na dopis známky za 18 Kč, máme-li k dispozici známky za 2, 4 a 10 Kč (v libovolném potřebném množství)? Vypište všechny možnosti. 57 Cvičení 5.12 Na kolik oblastí rozdělí rovinu n přímek v obecné poloze (tzn. žádné dvě nejsou rovnoběžné a žádné tři se neprotínají v temže bodě) ? [Návod: Promyslete si případy pro n= 1, n = 2 atd., odvoďte rekurentní vztah a z něj určete počet oblastí v závislosti na počtu přímek.] Cvičení 5.13 Dokažte (např. matematickou indukcí): (a) 1 + 3 + 5 H-----h (2n - 1) = n2 (b) 2 + 4 + 6 H-----h (2n) =n2 + n (c) 3 + 5 + 7 + • ■ • + (2n - 1) = n2 - 1 (d) 3 + 5 + 7 H-----h (2n + 1) = n2 + 2n (e) 1 + 4 + 7 H-----h (3n - 2) = 3n2 - n Cvičení 5.14 Sečtěte: (a) S = n + (n + 3) + (n + 6) H-----h 4n (b) S = (-31) + (-27) + (-23) + • ■ • + 29 + 33 (C) S = n + (n + 2) + (n + 4) H-----h 3n ('d; 5 = (-8) + (-5) + (-2) + 1 + 4 + ■ • ■ + (3n + 1) (e) S = (-5) + (-3) + (-1) + 1 + 3 + 5 + • ■ • + (2n + 5) + (2n + 7) Cvičení 5.15 Sečtěte (každou variantu rozložte na dvě aritmetické posloupnosti): (aJS = l- 2 + 3- 4+ -- - + (-l)n+1n ftj 5 = 1- 2 + 4- 4 + 7- 6+ 10 - 8 ■ ■ • + (3n - 2) + {-ľ)2n+l2n Cvičení 5.16 Sečtěte: (a) S = 2 + 22 + 23 + • • • + 2n (b) S = l-I + £-^ + ... + (-l)«-L (c) 5 = l + 2 + 4 + -- - + 2™+3 (d) S = l + 3 + 9 + --- + 3n+2 feJS = l + 2 + 4 + -- - + 2n+3 fej S = 1 + 4 + 16 + • ■ • + 4n-2 Cvičení 5.17 Sečtěte (každou variantu rozložte na aritmetickou a geometrickou posloupnost): (a) S = 2 + 5 + 11 + • ■ • + (3 ■ 2™-1 - 1) (b) S = 1 + 5 + 17 + • • • + (2 • 3"-1 - 1) 58