MA0002 Diskrétní matematika — písemka T
Každý příklad je hodnocen nejvýše tolika body, kolik je uvedeno v závorce.
Pro připuštění k ústní zkoušce je třeba získat nejméně 12 bodů.
Své myšlenkové postupy přiměřeně komentujte pomocí slov
(českého, slovenského nebo jiného) přirozeného jazyka.
1. [3 b.] Vyjádřete pomocí faktoriálů a kombinačních čísel:
(a) Kolika způsoby lze přeskládat písmena slova ACONCAGUA?
(b) V kolika případech z úlohy (a) nestojí dvě "A"vedle sebe?
(c) V kolika případech z úlohy (a) nestojí dvě "C"vedle sebe?
2. [2 b.] Dokažte, že výraz
n3
+ 11n + 6
je dělitelný 6 pro všechna n ∈ N.
3. [2 b.] Určete a zdůvodněte, pro která n ∈ N je výraz 3n2
dělitelný 21.
4. [3 b.] Vypočtěte:
S = 18 + 6 + 2 +
2
3
+ . . . +
2
3n−1
+
2
3n
5. [2 b.] Vyřešte v oboru N rovnici:
(x)!
(x − 2)!
− 2
(x − 2)!
(x − 4)!
− 36 = 0
6. [2 b.] Najděte celočíselné kořeny polynomu
x4
+ 5x3
+ 2x2
− 20x − 24
7. [3 b.] V rovině je dáno n přímek, z nichž každé dvě se protínají, ale
žádné tři se neprotínají v jednom bodě.
(a) Na kolik částí rozdělí rovinu n = 7 přímek?
(b) Uveďte obecný nebo rekurentní vzorec pro n přímek, kde n ∈ N.
8. [3 b.] Najděte největšího společného dělitele
(a) dvou čísel: 455 a 665;
(b) polynomu x5
+ x4
+ x3
+ x2
+ x + 1 a polynomu x3
+ 3x2
+ 3x + 2
9. [2 b.] Vymyslete slovní úlohu, aby výsledek byl:
6!
2!2!
− 2
5!
2!
+ 4!