MA0005 Algebra 2, 1. seminář 5. 10. 2020 Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 Podmínky pro udělení zápočtu Lukáš Másilko 1. cvičeni 5. 10. 2020 2 /9 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast Lukáš Másilko 1. cvičeni 5. 10. 2020 2 /9 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 2 /9 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou nejvýše tři absence Lukáš Másilko 1. cvičeni 5. 10. 2020 2 /9 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou nejvýše tři absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 2 /9 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou nejvýše tři absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka po 5. cvičení (10. listopadu od 12:00) ■ 2. zápočtová písemka po 11. cvičení (5. ledna od 12:00) Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 2 /9 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou nejvýše tři absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka po 5. cvičení (10. listopadu od 12:00) ■ 2. zápočtová písemka po 11. cvičení (5. ledna od 12:00) ■ nutnost získat alespoň 60 % bodů z každé Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 2 /9 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou nejvýše tři absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka po 5. cvičení (10. listopadu od 12:00) ■ 2. zápočtová písemka po 11. cvičení (5. ledna od 12:00) ■ nutnost získat alespoň 60 % bodů z každé v první polovině zkouškového období možnost opravy Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 2 /9 Podmínky pro udělení zápočtu ■ aktivní účast ■ zapojování se do cvičení (předpokládá znalost pojmů z přednášky) ■ povoleny (avšak silně nedoporučeny) jsou nejvýše tři absence ■ úspěšně zvládnuté zápočtové testy ■ 1. zápočtová písemka po 5. cvičení (10. listopadu od 12:00) ■ 2. zápočtová písemka po 11. cvičení (5. ledna od 12:00) ■ nutnost získat alespoň 60 % bodů z každé v první polovině zkouškového období možnost opravy Pro úspěšné zvládnutí předmětu je domácí propočítávání příkladů nezbytné. K tomu pomohou dobrovolné procvičovací odpovědníky nabízené v ISu. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 2 /9 Náplň cvičení □ Analytická geometrie v rovině ■ Vektor, souřadnice vektoru ■ Sčítania odčítaní vektorů, násobek vektoru ■ Lineární kombinace vektorů ■ Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory Literatura ■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 3/9 Vektor, souřadnice vektoru Příklad 13.1.3: Jsou dány body R[3;-2], S[-4;5], 7~[2;1]. Vypočítejte souřadnice bodu X tak, aby Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 Vektor, souřadnice vektoru Příklad 13.1.3: Jsou dány body /?[3;-2], S[-4;5], T[2;l]. Vypočítejte souřadnice bodu X tak, aby (a) čtyřúhelník RSTX byl rovnoběžník, Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 Vektor, souřadnice vektoru Příklad 13.1.3: Jsou dány body /?[3;-2], S[-4;5], T[2;l]. Vypočítejte souřadnice bodu X tak, aby (a) čtyřúhelník RSTX byl rovnoběžník, (b) čtyřúhelník RSXT byl rovnoběžník, Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 Vektor, souřadnice vektoru Příklad 13.1.3: Jsou dány body /?[3;-2], S[-4;5], T[2;l]. Vypočítejte souřadnice bodu X tak, aby (a) čtyřúhelník RSTX byl rovnoběžník, (b) čtyřúhelník RSXT byl rovnoběžník, (c) čtyřúhelník RXST byl rovnoběžník. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 A i/9 Vektor, souřadnice vektoru Příklad 13.1.3: Jsou dány body /?[3;-2], S[-4;5], T[2;l]. Vypočítejte souřadnice bodu X tak, aby (a) čtyřúhelník RSTX byl rovnoběžník, (b) čtyřúhelník RSXT byl rovnoběžník, (c) čtyřúhelník RXST byl rovnoběžník. Příklad 13.1.4: V rovnoběžnostěnu ABCDA\BiCiDi známe souřadnice bodů /\[2; —3; 1], 6[3;-4;2], D[4;2;-3], /\i[5; 3; 4]. Vypočítejte souřadnice vrcholů C, Bi, Ci, D\. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 Vektor, souřadnice vektoru Příklad 13.1.3: Jsou dány body /?[3;-2], S[-4;5], T[2;l]. Vypočítejte souřadnice bodu X tak, aby (a) čtyřúhelník RSTX byl rovnoběžník, (b) čtyřúhelník RSXT byl rovnoběžník, (c) čtyřúhelník RXST byl rovnoběžník. Příklad 13.1.4: V rovnoběžnostěnu ABCDA\BiCiDi známe souřadnice bodů /\[2; —3; 1], B[3;-4;2], D[4;2;-3], /\i[5; 3; 4]. Vypočítejte souřadnice vrcholů C, Si, Ci, Di. Výsledky: 3.(a): X[9;-6], (b): X[-5;8], (c): X[-3;2]. 4: C[5;l;-2], Ci[8;7;l], ei[6;2;5], Pi[7;8;0]. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 4 /9 Sčítaní a odčítaní vektorů, násobek vektoru Příklad 13.2.5: Jsou dány vektory u = (4; 3), v = (—2; —4). Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 5/9 Sčítaní a odčítaní vektorů, násobek vektoru Příklad 13.2.5: Jsou dány vektory u — (4; 3), v — (—2; —4). (a) Nakreslete v soustavě souřadnic orientované úsečky, které jsou umístěním vektorů Ú,v s počátečním bodem O[0;0]. Potom graficky sestrojte orientované úsečky, které odpovídají následujícím vektorům: W\ — u + v. W2 = U — V. w3 = 2u, 1/1/4 = U + — - 1/1/5 = 3^ 1^ — u--v. v Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 5/9 Sčítaní a odčítaní vektorů, násobek vektoru Příklad 13.2.5: Jsou dány vektory u — (4; 3), v — (—2; —4). (a) Nakreslete v soustavě souřadnic orientované úsečky, které jsou umístěním vektorů Ú,v s počátečním bodem O[0;0]. Potom graficky sestrojte orientované úsečky, které odpovídají následujícím vektorům: W\ — u + v. W2 = U — V. w3 = 2u, l/l/R = — U--V. b 2 2 (b) Vypočítejte souřadnice vektorů m7i, wz, 1/1/3, 1/1/4, w$ Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 5/9 Sčítaní a odčítaní vektorů, násobek vektoru Příklad 13.2.5: Jsou dány vektory u = (4; 3), v = (—2; —4). (a) Nakreslete v soustavě souřadnic orientované úsečky, které jsou umístěním vektorů J, v s počátečním bodem O[0;0]. Potom graficky sestrojte orientované úsečky, které odpovídají následujícím vektorům: = u+ v, W2 = Ú — v. W3 1/1/4 = 2u, - s+(- 1 2 1/1/5 3 _ 1 = 2U~2 v. (b) Vypočítejte souřadnice vektorů wi, 1/1/2, 1/1/3, 1/1/4, 1/1/5. (c) Porovnejte výsledky úloh b) s obrázkem z úlohy a). Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 5 /9 Sčítaní a odčítaní vektorů, násobek vektoru Příklad 13.2.5: Jsou dány vektory u — (4; 3), v — (—2; —4). (a) Nakreslete v soustavě souřadnic orientované úsečky, které jsou umístěním vektorů Ú,v s počátečním bodem O[0;0]. Potom graficky sestrojte orientované úsečky, které odpovídají následujícím vektorům: W\ — u + v. W2 = U — V. w3 = 2u, l/l/R = — U--V. b 2 2 (b) Vypočítejte souřadnice vektorů m7i, vfe, 1/1/3, 1/1/4, w$. (c) Porovnejte výsledky úloh b) s obrázkem z úlohy a). Výsledky: wi = (2; -1), w2 = (6; 7), w3 = (8; 6), wA = (5; 5)bw5 = j7v )<■ = Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 5/9 Vektor, souřadnice vektoru Příklad 13.2.6: Jsou dány body A[3;3], ß[5;4], C[7;5]. Lukáš Másilko 1. cvičeni 5. 10. 2020 6 /9 Vektor, souřadnice vektoru Příklad 13.2.6: Jsou dány body /\[3; 3], 6[5;4], C[7;5] (a) Rozhodněte, zda body A, 6, C leží na přímce. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 6/9 Vektor, souřadnice vektoru Příklad 13.2.6: Jsou dány body /\[3; 3], 6[5;4], C[7;5]. (a) Rozhodněte, zda body A, 6, C leží na přímce. (b) Určete číslo yo € K. tak, aby bod D[—3;yo] ležel na přímce /4B. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 6 /9 Vektor, souřadnice vektoru Příklad 13.2.6: Jsou dány body A[3;3], S[5;4], C[7;5]. (a) Rozhodněte, zda body A, B, C leží na přímce. (b) Určete číslo yp el tak, aby bod D[—3;yo] ležel na přímce AB. Příklad 13.2.7: Jsou dány body K[l;2;3], L[-4;5;6], M[4;3;2]. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 6/9 Vektor, souřadnice vektoru Příklad 13.2.6: Jsou dány body /\[3; 3], 6[5;4], C[7;5]. (a) Rozhodněte, zda body A, 6, C leží na přímce. (b) Určete číslo yo € K. tak, aby bod D[—3;yo] ležel na přímce /4B. Příklad 13.2.7: Jsou dány body K[l;2;3], /_[-4;5;6], M[4;3;2]. (a) Dokažte, že body M tvoří trojúhelník. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 6 /9 Vektor, souřadnice vektoru Příklad 13.2.6: Jsou dány body /\[3; 3], 6[5;4], C[7;5]. (a) Rozhodněte, zda body A, 6, C leží na přímce. (b) Určete číslo yo € K. tak, aby bod D[—3;yo] ležel na přímce /4B. Příklad 13.2.7: Jsou dány body K[l;2;3], /_[-4;5;6], M[4;3;2]. (a) Dokažte, že body M tvoří trojúhelník. (b) Určete reálná čísla m. r?, /c, p tak, aby body /?[0; m; n], S[/c; p; 6] ležely na přímce KL. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 6/9 Vektor, souřadnice vektoru Příklad 13.2.6: Jsou dány body /\[3; 3], 6[5;4], C[7;5]. (a) Rozhodněte, zda body A, 6, C leží na přímce. (b) Určete číslo yo € K. tak, aby bod D[—3;yo] ležel na přímce /4B. Příklad 13.2.7: Jsou dány body K[l;2;3], /_[-4;5;6], M[4;3;2]. (a) Dokažte, že body M tvoří trojúhelník. (b) Určete reálná čísla m. r?, /c, p tak, aby body /?[0; m; n], S[/c; p; 6] ležely na přímce KL. Výsledky: 6. (a) >A, 6, C leží na přímce; (b) yo = 0. 7. (a) např. K — L k • (K — M)\ (b) /?[0; f; f ], S[-4; 5; 6]. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 6/9 Lineární kombinace vektorů Příklad 13.3.8: Vektor z = (2; 10) zapište jako lineární kombinaci vektorů Ú — (1; 3), v — (—2; 2). Výpočet ověřte obrázkem. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 7/9 Lineární kombinace vektorů Příklad 13.3.8: Vektor z = (2; 10) zapište jako lineární kombinaci vektorů Ú — (1; 3), v — (—2; 2). Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.3.9: Vektor z = (2; —2; —10) zapište jako lineární kombinaci vektorů u. v. w, kde Ú — (2; 1; —1), v — (2; 3; 2), w — (4; 5; —2). Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 7 /9 Lineární kombinace vektorů Příklad 13.3.8: Vektor z = (2; 10) zapište jako lineární kombinaci vektorů Ú — (1; 3), v — (—2; 2). Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.3.9: Vektor z = (2; —2; —10) zapište jako lineární kombinaci vektorů u. v. w, kde Ú — (2; 1; —1), v — (2; 3; 2), w — (4; 5; —2). Příklad 13.3.10: V trojúhelníku ABC označte vektory Ú' — C — 6, v — C — A. Jako lineární kombinaci vektorů J, v zapište následující vektory: Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 7 /9 Lineární kombinace vektorů Příklad 13.3.8: Vektor z = (2; 10) zapište jako lineární kombinaci vektorů Ú — (1; 3), v — (—2; 2). Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.3.9: Vektor z = (2; —2; —10) zapište jako lineární kombinaci vektorů u. v. w, kde Ú — (2; 1; —1), v — (2; 3; 2), w — (4; 5; —2). Příklad 13.3.10: V trojúhelníku ABC označte vektory Ú' — C — 6, v — C — A. Jako lineární kombinaci vektorů J, v zapište následující vektory: (a) wi = B - A Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 7 /9 Lineární kombinace vektorů Příklad 13.3.8: Vektor z = (2; 10) zapište jako lineární kombinaci vektorů Ú — (1; 3), v — (—2; 2). Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.3.9: Vektor z = (2; —2; —10) zapište jako lineární kombinaci vektorů u. v. w, kde Ú — (2; 1; —1), v — (2; 3; 2), w — (4; 5; —2). Příklad 13.3.10: V trojúhelníku ABC označte vektory Ú' — C — 6, v — C — A. Jako lineární kombinaci vektorů J, v zapište následující vektory: (a) wi = B - A (b) W2 — A\— A, kde A\ je střed strany BC Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 7 /9 Lineární kombinace vektorů Příklad 13.3.8: Vektor z = (2; 10) zapište jako lineární kombinaci vektorů Ú — (1; 3), v — (—2; 2). Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.3.9: Vektor z = (2; —2; —10) zapište jako lineární kombinaci vektorů u. v. w, kde Ú — (2; 1; —1), v — (2; 3; 2), w — (4; 5; —2). Příklad 13.3.10: V trojúhelníku ABC označte vektory Ú' — C — 6, v — C — A. Jako lineární kombinaci vektorů J, v zapište následující vektory: (a) wi = B - A (b) W2 — A\— A, kde A\ je střed strany BC (c) W3 = T — A, kde 7 je těžiště trojúhelníku ABC Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 7 /9 Lineární kombinace vektorů Příklad 13.3.8: Vektor z = (2; 10) zapište jako lineární kombinaci vektorů Ú — (1; 3), v — (—2; 2). Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.3.9: Vektor z = (2; —2; —10) zapište jako lineární kombinaci vektorů u. v. w, kde Ú — (2; 1; —1), v — (2; 3; 2), w — (4; 5; —2). Příklad 13.3.10: V trojúhelníku ABC označte vektory Ú' — C — 6, v — C — A. Jako lineární kombinaci vektorů J, v zapište následující vektory: (a) wi = B - A (b) W2 — A\— A, kde A\ je střed strany BC (c) W3 = T — A, kde 7 je těžiště trojúhelníku ABC Výsledky: 8. Ž = 3u + 9. z = 2u — 3v + w 10. (a) wi = — Ú-\- v, (b) W2 = — ^u + v, (c) 1v3 = — |\7. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 7 /9 Lineární kombinace vektorů Příklad 13.3.11: Narýsujte trojúhelník ABC (a = 4cm, b = 3cm, c = 6cm). Vyznačte vektory b — C — A, c — B — A. Potom v obrázku sestrojte vektor Ú tak, aby platilo Ú — + \b^j • | — g • (c + b). Zapište výsledek. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 8 /9 Lineární kombinace vektorů Příklad 13.3.11: Narýsujte trojúhelník ABC (a = 4cm, b = 3cm, c = 6cm). Vyznačte vektory b — C — A. c — B — A. Potom v obrázku sestrojte vektor Ú tak, aby platilo Ú — + \b^j • | — g • (c + b). Zapište výsledek. Příklad 13.3.12: V rovnoběžníku ABCD vyznačte body E, F, G,S tak, že bod E je střed úsečky AB, bod F je střed úsečky BC, bod G je střed úsečky CD, bod S je střed úsečky AC. Dále označte vektory Ú — E — A, v — S — A. Zapište vektory w = D — Fz — G — B jako lineární kombinaci vektorů v. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 8/9 Lineární kombinace vektorů Příklad 13.3.11: Narýsujte trojúhelník ABC (a = 4cm, b = 3cm, c = 6cm). Vyznačte vektory b — C — A, c — B — A. Potom v obrázku sestrojte vektor Ú tak, aby platilo Ú — + \b^j • | — g • (c + b). Zapište výsledek. Příklad 13.3.12: V rovnoběžníku ABCD vyznačte body E, F, G,S tak, že bod E je střed úsečky AB, bod F je střed úsečky BC, bod G je střed úsečky CD, bod S je střed úsečky AC. Dále označte vektory Ú — E — A, v — S — A. Zapište vektory w = D — Fz — G — B jako lineární kombinaci vektorů v. Výsledky: 11. ŕ = o, 12. w = —3J + \7. z = —3J + 2\7 Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 8/9 Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory Příklad 13.4.15: Dokažte, že vektory a — (2; 2), b = (4; —4), c = (—2; —6) jsou lineárně závislé. Výpočet ověřte obrázkem. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 9/9 Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory Příklad 13.4.15: Dokažte, že vektory a — (2; 2), b — (4; —4), c = (—2; —6) jsou lineárně závislé. Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.4.16: Rozhodněte, zda dané trojice vektorů tvoří skupinu lineárně závislých, nebo lineárně nezávislých vektorů. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 9/9 Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory Příklad 13.4.15: Dokažte, že vektory a — (2; 2), b — (4; —4), c = (—2; —6) jsou lineárně závislé. Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.4.16: Rozhodněte, zda dané trojice vektorů tvoří skupinu lineárně závislých, nebo lineárně nezávislých vektorů. (a) £íi = (3;6), Ů2 = (-l;-2), u3 = {l;4) Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 9/9 Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory Příklad 13.4.15: Dokažte, že vektory a — (2; 2), b — (4; —4), c = (—2; —6) jsou lineárně závislé. Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.4.16: Rozhodněte, zda dané trojice vektorů tvoří skupinu lineárně závislých, nebo lineárně nezávislých vektorů. (a) £íi = (3;6), Ů2 = (-l;-2), u3 = {l;4) (b) ví = (2;-1;3), v£ = (3;0;6), v3 = (7; -5; 10) Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 9/9 Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory Příklad 13.4.15: Dokažte, že vektory a — (2; 2), b — (4; —4), c = (—2; —6) jsou lineárně závislé. Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.4.16: Rozhodněte, zda dané trojice vektorů tvoří skupinu lineárně závislých, nebo lineárně nezávislých vektorů. (a) £íi = (3;6), Ů2 = (-l;-2), u3 = {l;4) (b) ví = (2;-1;3), v£ = (3;0;6), v3 = (7; -5; 10) (c) m = (0;6;-2), m£ = (2;4;6), w3 = (-1;A;-5) Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 9/9 Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory Příklad 13.4.15: Dokažte, že vektory a — (2; 2), b — (4; —4), c = (—2; —6) jsou lineárně závislé. Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.4.16: Rozhodněte, zda dané trojice vektorů tvoří skupinu lineárně závislých, nebo lineárně nezávislých vektorů. (a) £íi = (3;6), Ů2 = (-l;-2), u3 = {l;4) (b) ví = (2;-1;3), v£ = (3;0;6), v3 = (7; -5; 10) (c) m = (0;6;-2), m£ = (2;4;6), w3 = (-1;A;-5) Výsledky: 15. Lin. závislé, 2a — kb + c = o. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 9/9 Lineárně závislé a lineárně nezávislé vektory Příklad 13.4.15: Dokažte, že vektory a — (2; 2), b — (4; —4), c = (—2; —6) jsou lineárně závislé. Výpočet ověřte obrázkem. Příklad 13.4.16: Rozhodněte, zda dané trojice vektorů tvoří skupinu lineárně závislých, nebo lineárně nezávislých vektorů. (a) ú[ = (3; 6), u2 = (-l;-2), u3 = (l;4) (b) ví = (2;-l;3), u2 = (3;0;6), v3 = (7; -5; 10) (c) wľ = (0; 6; -2), ^ = (2;4;6), w3 = (-l;4;-5) Výsledky: 15. Lin. závislé, 2a — \b-\- č — o. 16. (a) Lin. závislé, ú[ + 3Ú2 + OÚ3 = o, (b) lin. nezávislé, (c) lin. závislé, 21/1/1 — 1/1/2 — 21/1/3 = o. Lukáš Másilko 1. cvičení 5. 10. 2020 9 /9