MA0005 Algebra 2, 10. seminář
7. 12. 2020
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 1/22
Náplň cvičení
□ Maticové operace
■ Sčítaní matic
■ Násobení matic
B Gauss-Jordanova metoda
■ SLR pomoci inverzní matice
Literatura
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brne, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
■ Kovár, M.: Maticový a tenzorový počet. Vysoké učení technické
v Brne, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, Ustav matematiky.
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 2/22
Motivace
Mějme následující soustavu lineárních rovnic:
3n*i + 3i2x2 H-----h 3lnXn   = bl
a2lX2 + 322*2 H-----h 32nXn    = £>2
anixi + an2x2 H-----h annxn   = bn
kde r? G N.
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 3/22
Motivace
Mějme následující soustavu lineárních rovnic:
3n*i + 3i2x2 H-----h ainX"   = bl
a2lX2 + 322*2 H-----h 32nXn    = £>2
anixi + an2x2 H-----h annxn   = bn
kde r? G N.
Soustavu lze zapsat maticově:
/ 3n   ai2   ..
^21    322    • •
ain \
32 n
*2
\ 3ni    a„2    • • •     3nn )      \ xn /
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 3/22
Motivace
Systém
/ 3n ai2
V 3nl    3n2    • • •
ain \
32 n
*2
}nn
*2
lze zapsat symbolicky takto: /4 • x — b, kde /4 je čtvercová matice řádu n.
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 4/22
Motivace
Systém
/ 3n 3i2 321 322
3ln \
32 n
*2
\ 3ni    an2    ...     3nn )      \ Xn )
í bi \
b2
lze zapsat symbolicky takto: A ■ x = b, kde A je čtvercová matice řádu n.
Existence inverzní matice A    vzhledem k násobení by zajistila přímý výpočet řešení systému:
A ■ x   = b A'1-A-x  = A^-b x  =  A'1 -b
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 4/22
Sčítaní matic
Sčítaní matic
Pro matice A, B stejného typu m x n (m, r? G N) definujeme jejich součet A + B jako matici, která vznikne sčítaním po složkách:
A + B =
/  3n 3i2 321 322
3ln \
32 n
+
( bn ...    bin \
£>2l     i>22     ... b2n
\ 3mi    3m2    • • •     3mn J        y bmi    bm2    • • •     bmn J
( 3n + bn    ai2 + b12
321 + b21      322 + b22
3ln + bln \ 32n + b2n
\ 3 ml + b mi    3m2 + bm2    . . .     3mn + bmn J
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 5/22
Sčítaní matic
Sčítaní matic
Pro matice A, B stejného typu m x n (m, r? G N) definujeme jejich součet A + B jako matici, která vznikne sčítaním po složkách:
A + B =
/  3n 3i2 321 322
3ln \
32 n
+
( bn ...    bin \
£>2l     i>22     ... b2n
\ 3mi    3m2    • • •     3mn J        y bmi    bm2    • • •     bmn J
( 3n + bn    ai2 + b12
321 + b21      322 + b22
3ln + bln \ 32n + b2n
\ 3 ml + b mi    3m2 + bm2    . . .     3mn + bmn J
Poznámka: (Mmxrh +) je komutativní grupa
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 5/22
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3
-4
1
V 2
2\ 1
0
3/
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 6/22
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3
-4
1
V 2
2\ 1
0
3/
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 6/22
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0
3 /
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) -0 + 0-3
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 7/22
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0
3 /
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) -0 + 0-3 0-3 + 1-(-4)+ (-!)• 1 + 7-2
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 8/22
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0
3 /
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) -0 + 0-3 0 • 3 + 1 • (-4) + (-1) -1 + 7- 2       0-2 + 1-1 + (-1) -0 + 7-3
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 9/22
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0
3 /
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) • 0 + 0 • 0 • 3 + 1 • (-4) + (-1) -1 + 7- 2       0-2 + 1-1 + (-1) -0 + 7-3 -8-3 + 0-(-4)+ 0-1+ 5-2
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 10/22
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součinem je matice
A-B =
1 -2-10 0 1-17 -8    0     0 5
/ 3 -4
1
V 2
2\ 1
0 3/
1 • 3 + (-2) • (-4) + (-1) -1 + 0-2   1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) -0 + 0-3 0 • 3 + 1 • (-4) + (-1) -1 + 7- 2       0-2+1-1 + (-1) -0 + 7-3 -8 • 3 + 0 • (-4) + 0-1 + 5- 2 -8-2 + 0-1 + 0- 0 + 5- 3
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 11/22
Příklad násobení matic
Jsou dány matice A, B. Jejich součine
/  1 -2-1 A ■ B = I   0     1 -1 \ -8    0 0
l-3 + (-2)-(-4) + (-l)-l + 0-0-3 + l-(-4) + (-l)-l + 7-2 -8-3 + 0-(-4) + 0- 1 + 5-2
je matice
°\ ( \ 2A
7  | ■     "4   1 =
5 / 10
7    \  2    3 /
1 • 2 + (-2) • 1 + (-1) -0 + 0-3 \ 0-2 + l-l + (-l)-0 + 7-3 -8-2 + 0-1 + 0- 0 + 5- 3 /
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 11/22
Násobení matic
- definice
Násobení matic
Jsou dány matice A typu m x k a matice B typu k x n. Součin matic C — A - B definujeme jako matici typu m x n, jehož prvky získáme dle vzorce
k
Qj = a/i • by + a/2 • b2j H-----h 3ik • bkJ = ^ a/V • b#
1=1
Poznámka: Násobení matic je asociativní, nicméně není komutativní.
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 12/22
Násobení matic - příklady
Příklad 4.3.B1: Pro dané matice A, B spočtěte matici A • B
A =
2 5 7 -10 4
3     2 17 B = (  -4   0   6 1 2    11   1 -2
Příklad 4.3.B2: Pro dané matice A, B, C spočtěte matici A ■ B
A =
3 2 1 0
B =
1 0 3
2 12
C =
Příklad 4.3.B3: Spočtěte matici A-B-B-A, je-li
A =
B =
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 13/22
Násobení matic - výsledky příkladů
/O  81   39    5 \ J       ^ 5   42   3   -15 J
* i n* í 78 22 \ 4.3.B2: ( 16   2 J
4.3.B3: nulová matice typu 3x3.
Lukáš Másilko 10. cvičení 7. 12. 2020 14/22
Čtvercová matice
Regulární vs. singulární matice
Čtvercovou matici A řádu n x n (kde n 6 N) nazveme
■ regulární, právě když h(A) = r?;
■ singulární, právě když h(A) < n.
Lukáš Másilko 10. cvičeni 7. 12. 2020 15/22
Čtvercová matice
Regulární vs. singulární matice
Čtvercovou matici A řádu n x n (kde r? G N) nazveme
■ regulární, právě když h(A) = n; m singulární, právě když h(A) < n.
Poznámka: Množina čtvercových matic (Mn^ni +, •) je nekomutativní okruh obsahující netriviální dělitele nuly.
■ Vynásobením čtvercových matic dostaneme opět čtvercovou matici.
■ Násobení matic je asociativní, ne však komutativní.
■ Neutrálním prvkem je jednotková matice E.
■ Pouze k regulární matici A existuje inverzní matice A~ľ tak, že A-A'1 = E = A~ľ • A.
■ Dokážeme najít dvě netriviální čtvercové matice, jejichž vynásobením vznikne nulová matice.
1 ^)Q,0
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 15/22
Výpočet inverzní matice Gauss-Jordanovou metodou
Gauss-Jordanova metoda pro výpočet inverzní matice
Mějme regulární čtvercovou matici A.
□ Zapišme si matice (A\E), kde E je jednotková matice.
Q Elementárními řádkovými úpravami se snažíme z matice A nalevo "vyrobit" jednotkovou matici.
■ Nejprve matici nalevo převádíme na schodový tvar.
■ Následně nulujeme prvky nad hlavní diagonálou.
■ Na závěr případně násobíme jednotlivé řádky tak, aby se nalevo objevila jednotková matice.
Matice napravo je po všech výše uvedených úpravách matici inverzní k původní matici A.
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 16/22
Inverzní matice - príklady
K následujícím maticím nalezněte inverzní matice,
111 A=\  13   10 8 6    5 4
B =
C =
Lukáš Másilko
10. cvičení
< rs1 ► < -ž ► < -E ►     -E    >0 Q, O
7. 12. 2020 17/22
Inverzní matice - príklady
K následujícím maticím nalezněte inverzní matice.
111 A=\  13   10 8 6    5 4
B =
C =
Výsledky:
A-ľ =
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 17/22
Inverzní matice - príklady
K následujícím maticím nalezněte inverzní matice.
111 A=\  13   10 8 6    5 4
B =
C =
Výsledky:
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 17/22
Inverzní matice - príklady
K následujícím maticím nalezněte inverzní matice.
111 A=\  13   10 8 6    5 4
B =
C =
Výsledky:
A'1 =1-4-2
0
C 1 neexistuje.
8"' = Í
18    -10 2 -24    15 -3 6-4 2
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 17/22
Proč Gauss-Jordanova metoda funguje?
Každou elementární řádkovou úpravu matice A lze reprezentovat "obnásobením" matice A jistou maticí zleva.
Příklady: přičtení /c-násobku /-tého řádku k j-tému řádku
111
13 10 8 6    5 4
1    0 0 -13   1 0 0    0 1
111
13 10 8 6    5 4
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 18/22
Proč Gauss-Jordanova metoda funguje?
Každou elementární řádkovou úpravu matice A lze reprezentovat "obnásobením" matice A jistou maticí zleva.
Příklady: prohození řádků:
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 19/22
Proč Gauss-Jordanova metoda funguje?
Každou elementární řádkovou úpravu matice A lze reprezentovat "obnásobením" matice A jistou maticí zleva.
Příklady: vynásobení /-tého řádku nenulovým číslem
111
13 10 8 6    5 4
111
13   10 8
-6   -5 -4
1   0 0
0  1 o
0 0-1
111
13 10 8 6    5 4
1	1	1
13	10	8
-6	-5	-4
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 20/22
Proč Gauss-Jordanova metoda funguje?
Hledáme-li pomocí Gauss-Jordanovy metody inverzní matici k matici A, můžeme všech n úprav matice A směřujících k jejímu převodu na jednotkovou matici E reprezentovat posloupností matic A±,... ,An tak, že platí
{An • A,-iA2'Aľ)'A = E.
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 21/22
Proč Gauss-Jordanova metoda funguje?
Hledáme-li pomocí Gauss-Jordanovy metody inverzní matici k matici A, můžeme všech n úprav matice A směřujících k jejímu převodu na jednotkovou matici E reprezentovat posloupností matic A±,... ,An tak, že platí
{An • A,-iA2'Aľ)'A = E. Z toho vyplývá, že An • An-i.....A2 • A\ — A~ľ
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 21/22
Proč Gauss-Jordanova metoda funguje?
Hledáme-li pomocí Gauss-Jordanovy metody inverzní matici k matici A, můžeme všech n úprav matice A směřujících k jejímu převodu na jednotkovou matici E reprezentovat posloupností matic A±,... ,An tak, že platí
{An • A,-iA2'Aľ)'A = E. Z toho vyplývá, že An • An-i.....A2 • A\ — A~ľ
Tytéž úpravy však provádíme i na jednotkové matici vpravo, je tedy zřejmé, že
(An-An-!.....A2-A1)-E = A~1.
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 21/22
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice řešte následující systémy lineárních rovnic:
(a)
x + y + z = 1 x — y — 2z = 3 2x   +   y   +   z =2
(b)
(c)
X	+	y	+	2z	= -1
X	—	2y	+	z	= -5
3x	+	y	+	z	= 3
X	+	y	+	z	= 0
X	—	y			= 3
		y	+	z	= 1
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 22/22
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice řešte následující systémy lineárních rovnic:
(a)
x   +  y +   z =1
x   —   y —   2z   = 3
2x   +  y +   z =2
(b)
x   +   y +   2z   = -1
x   —   2y +   z   = —5
3x   +   y +   z   = 3
(c)
x + y + z = 0 x   -   y =3
y +  z  = 1
Výsledky: a) (x,y,z) = (1,2,-2),
Lukáš Másilko 10. cvičeni 7. 12. 2020 22/22
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice řešte následující systémy lineárních rovnic (a)
X	+	y	+	z	= 1
X	—	y	—	2z	= 3
2x	+	y	+	z	= 2
X	+	y	+	2z	= -1
X	—	2y	+	z	= -5
3x	+	y	+	z	= 3
X	+	y	+	z	= 0
X	—	y			= 3
		y	+	z	= 1
Výsledky: a) (x,y,z) = (1,2,-2),   b) (x,y,z) = (1,2,-2),
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 22/22
SLR pomocí inverzní matice
Pomocí inverzní matice řešte následující systémy lineárních rovnic: (a)
(b)
(c)
X	+	y	+	z	= 1
X	—	y	—	2z	= 3
2x	+	y	+	z	= 2
X	+	y	+	2z	= -1
X	—	2y	+	z	= -5
3x	+	y	+	z	= 3
X	+	y	+	z	= 0
X	—	y			= 3
		y	+	z	= 1
Výsledky: a) (x,y,z) = (1,2,-2), b) (x,y,z) = (1,2,-2), c) (x,y,z) = (-1,-4,5).
Lukáš Másilko
10. cvičení
7. 12. 2020 22/22