MA0005 Algebra 2, 11. seminář
4. 1. 2021
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 1/14
Náplň cvičení
Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
■ Reprezentace lineárního zobrazení
■ Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
■ Skládání lineárních zobrazení
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 2/14
Literatura a zdroje
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
■ lsibalo.com: Matematika - Lineární algebra. Dostupné z: https://isibalo.com/matematika/linearni-algebra.
■v
■ Čadek, M.: Sbírka úloh z lineární algebry. 2002. Dostupné z: http://www.math.muni.cz/~cadek/LA/sbirka.pdf.
■ Sobotíková, V. Řešené úlohy z Úvodu do algebry. Dostupné z: http://www.vrstevnice.com/akce/grandaction/vskola/ lsemestr/lingebra/resPriklady.pdf.
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 3/14
Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
Jsou dány dva vektorové prostory (\/, +, •) dimenze n 6 N a (V, +, •) dimenze m 6 N nad číselným tělesem (7",+,-). Lineárním zobrazením mezi prostory V, V7 rozumíme zobrazení cp : V —>> V splňující tyto dvě podmiň ky:
□ (p(u + v) = (f(u) + (p(v),
Q <p(a • J) = a • cp(u)
pro u,v E 7".
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 4/14
Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
Jsou dány dva vektorové prostory (\/, +, •) dimenze n £ N a (V, +, •) dimenze m e N nad číselným tělesem (7",+,-). Lineárním zobrazením mezi prostory VV7 rozumíme zobrazení cp : V —>> V7 splňující tyto dvě podmiň ky:
□ (p(u + v) = <p( J) + v?(\7),
B cp(a • u) — a • (p(u)
pro u,v E V,a <E T.
Poznámka: Lineární zobrazení lze zadat třemi způsoby:
■ pomocí předpisu mezi souřadnicemi vektoru u e V a <p(u) G V,
■ pomocí matice A typu m x n, tj. <p(i7) = >A • u,
■ pomocí obrazů <p(éí), ^(^2)5 • • • 5 ^(^n) bázových vektorů prostoru V.
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 4/14
Reprezentace lineárního zobrazení
Příklad 1
Lineární zobrazení cp : V —> V je zadáno předpisem pro vektor x G V.
■ Najděte matici A zobrazení cp a obrazy standardní báze prostoru V
■ Najděte Lp(Ú),Lp(v).
Ú Ú
R2 -+ M3, <p{x!,X2) = (2xi+x2,x2,x2-xi), u = (2,3), v = (-2,1)
M3 -> ]R4,v9(xi,x2,x3) = (xi +x2,x2 +x3,x3 +Xl,Xl), = (4,-1,0), i7= (-3,0,5).
IR3 -> ]R2,v9(xi,x2,x3) = (xi +x2,x2 + x3), = (0,2, -3), v = (-1,1, 2).
Lukáš Másilko
11. cvičení
□ S
4. 1. 2021 5/14
Výsledky příkladu 1
l.A =
2 1 O 1 -1 1
^(1,0) = (2,0,-1)^(0,1) = (1,1,1), <p(2,3) = (7,3,1), y>(-2,l) = (-3,1,3)
/ 1   1   0 \ 0 11
10 1
2. A =
\ 1   O  O J
^(1,0,0) = (1,0,1,1), ifi(0,1,0) = (1,1,0,0), v?(0,0,1) = (0,1,1,0) ¥>(4, -1,0) = (3, -1,4,4), ^(-3,0,5) = (-3, 5, 2, -3).
3. A =
110 0 11
<p{l, 0,0) = (1,0), <p(0,1,0) = (1,1), v?(0,0,1) = (0,1), ¥?(0, 2, -3) = (2, -1), <p(-l, 1, 2) = (O, 3). Q a
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 6/14
Reprezentace lineárního zobrazení
Příklad 2
Lineární zobrazení y> : V —> V je zadáno obrazy bázových vektorů V. ■ Najděte matici A zobrazení y>. m Najděte (p(u), (p(v).
<p : R3 ->• E2,
^(1,0, 2) = (1, 3), p(-3,4, -2) = (2, -1), <p(0, 2,1) = (-3, 5), u = (1,4,2), v = (-1,0,4).
<p : R3 -)■ M2,
y>(l, 2, -3) = (-2,1), <p{2,1, -2) = (1,1), <p(l, -4,5) = (8, -1), u = (3, 6,-1), v = (0,3,2).
V? : M3 -»• M4,
^(1,0,1) = (1,0,1,0), ^(1,1,0) = (0,0,0,0), <p{0,1,1) = (0,1,0,1), u = (2,4,6), v = (-4,0,2).
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 7/14
Výsledky príkladu 2
1. A =
-10 -f
17 11
3 -1
<^(1,4, 2) = (-16,15), p(-l, 0,4) = (32, -9). 2. zadané vektory netvorí bázi prostoru V = R
/  1    _1   1 \ -111
1-11
V -1    1    1 /
<p(2,4, 6) = (2,4, 2,4), ^(-4, 0, 2) = (-1,3, -1, 3)
3. A — 2
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 8/14
Zobrazení přímky a roviny
Příklad 3
Je dána přímka p a rovina g: p = {[l + t,2-t,l-t];teR} É>:2x-3y + z + l = 0
Zjistěte, na jakou množinu bodů se přímka p a rovina g zobrazí pomocí lineárního zobrazení:
■ ipi : M3 —> M3, které je zadáno maticí 3  2 1
A= (  1  0 2
1 2 -3
y>2 : R3 —> K3, které je zadáno maticí
2 10 A= I 0   1 1
11-1
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 9/14
Výsledky príkladu 3
1- Mp) = {[8,4-3t,2 + 2t];teR} <Pi(q) :3x~2y ~ z~iq = q
2- y2(p) = {[4 + ŕ,3,2 + ŕ];ŕeR} <P2(q) ■ 8x - 7y - 10z + 3 = 0
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 10/14
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Je dáno lineární zobrazení cp : V —>> V mezi vektorovými prostory V (dimenze n) a V (dimenze m).
□ Jádrem Kercp zobrazení^ rozumíme množinu vektorů u e V, které se zobrazí na nulový vektor, tj.
Kenp = {u e V \ (p(u) = o\//}.
B Oborem hodnot Imy? zobrazení^ rozumíme množinu vektorů v £ V7, pro které existuje nějaký vzor, tj. Im (p = {\7 G V | 3u e V : <p( J) = \7|.
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 11/14
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Je dáno lineární zobrazení p : V —> V mezi vektorovými prostory V (dimenze n) a V (dimenze m).
□ Jádrem Ker p zobrazení^ rozumíme množinu vektorů u e V, které se zobrazí na nulový vektor, tj. Kerp = {u e V \ p(Ú) — oy}.
B Oborem hodnot \mp zobrazení^ rozumíme množinu vektorů v G Vř, pro které existuje nějaký vzor, tj. Im p = {v G Vf | 3u e V : p(u) = v}.
Poznámka:
■ Ker p a \mp jsou vektorové pod prostory
■ dim(Ker^) — n — h(A) — dim V — h(Ä), kde A je matice lineárního zobrazení p.
■ dim(lm     = h(A).
■ dim V = dim(Ker p) + dim(lm p).
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 11/14
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Nalezněte jádro a obor hodnot lineárního zobrazení cp a určete jejich
dimenze.
O p : IR3     IR4, <p(xi,x2,x3) = (xi + x2,x2 + x3,x3 + xi,xi) B <p : K3     K2, ^(xi5x2,x3) = (xi + x2,x2 +x3)
B V9:]R3^]R4, (^(1,2,1) = (-1,1,1,1),
^(0,1,2) = (1,0,0,1),^(1,0,-1) = (0,1,1,2).
□ (p : IR4 —> IR3, 9? je dáno maticí
/  1     0    3   1 \ /As =      2    -14 1. \ -3    5 12/
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 12/14
Výsledky příkladu 4
H ď	ml	[Ker (p) -	- 0, Ker cp	= {(0,0,0)},
d"	m!	Im (p) =	3, Im (p =	({(1,0,1,1), (1,1,0,0), (0,1,1,0)})
B d	ml	[Ker (p) -	= 1, Ker (p	= ({(1,-1,1)}),
d	ml	[Im (p) —	2, Im (p =	({(1,0), (0,1)}).
H d	mi	'y^ertp) -	= 1, Ker (/?	= ({(0,3,4)}),
d	mi	[Im (p) =	2, Im cp =	({(-1,1,1,1), (1,0,0,1)}).
□ d	imi	[Ker (p) -	= 2, Ker p	= ({(-3, -2,1,0), (-1,-1,0,1)}),
d	imi	[Im (p) —	2. Im 92 =	({(1,2,-3), (0,-1,5)}).
Lukáš Másilko 11. cvičení 4. 1. 2021 13/14
Skladaní lineárních zobrazení
Skládání lineárních zobrazení
Je dáno lineární zobrazení
■ cp : U —> V mezi vektorovými prostory U (dimenze n) a V (dimenze m) s maticí A typu m x n,
m íp : V —> W mezi vektorovými prostory V (dimenze m) a W (dimenze k) s matici B typu k x m.
Složením lineárních zobrazení^ "po" cp rozumíme zobrazení
íp o Lp(Ú) — íp((p(i7)) pro libovolný vektor u <E U, které má matici B • A.
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 14/14
Skladaní lineárních zobrazení
Skládání lineárních zobrazení
Je dáno lineární zobrazení
■ cp : U —> V mezi vektorovými prostory U (dimenze n) a V (dimenze m) s maticí A typu m x n,
m íp : V —> W mezi vektorovými prostory V (dimenze m) a W (dimenze k) s matici B typu k x m.
Složením lineárních zobrazení^ "po" cp rozumíme zobrazení
íp o Lp(Ú) — íp((p(i7)) pro libovolný vektor u <E U, které má matici B • A.
Poznámka: Matice B • A složeného lineárního zobrazení je typu k x n.
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 14/14
Skladaní lineárních zobrazení
Je dáno lineární zobrazení
■ p : U —> V mezi vektorovými prostory U (dimenze n) a V (dimenze m) s maticí A typu m x n,
m íp : V —> W mezi vektorovými prostory V (dimenze m) a W (dimenze k) s matici B typu k x m.
Složením lineárních zobrazení^ "po" cp rozumíme zobrazení
íp o Lp(Ú) — íp((p(i7)) pro libovolný vektor u <E U, které má matici B • A.
Poznámka: Matice B • A složeného lineárního zobrazení je typu k x n.
Příklad: Lineární zobrazení (rotace o 90°) cp : M? —>> IR2 je zadané matici
Najděte matici cp o p a ověřte na několika vektorech Ú úhel rotace
Lukáš Másilko
11. cvičení
4. 1. 2021 14/14