MA0005 Algebra 2, 4. seminář 2. 11. 2020 Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 Náplň cvičení □ Analytická geometrie v prostoru II ■ Rovina v prostoru ■ Vzájemná poloha přímky a roviny ■ Vzájemná poloha dvou rovin ■ Vzájemná poloha tří rovin Literatura ■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7. Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 2/9 Rovina v prostoru Způsoby zadaní roviny g Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 3/9 Rovina v prostoru Způsoby zadaní roviny g pomoci obecné rovnice: ax + by + cz + d = 0, kde n — (a, b, c) je normálový vektor roviny g kolmý na všechny směrové vektory ležící v zadané rovině. Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 3/9 Rovina v prostoru Způsoby zadaní roviny g pomoci obecné rovnice: ax + by + cz + d = 0, kde n — (a, b, c) je normálový vektor roviny g kolmý na všechny směrové vektory ležící v zadané rovině. pomocí parametrických rovnic, k čemuž potřebujeme bod >A[ai, a2, 3s] G g a dva směrové vektory roviny u = (ui, us) a v = (vi, v2, v3): x = ai + t • u\ + s • v\, y = a2 + ŕ • l/2 + s • V2, z = a3 + ŕ • u3 + s • v3, kde t, s e M. Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 3/9 Rovina v prostoru Způsoby zadaní roviny g pomoci obecné rovnice: ax + by + cz + d = 0, kde n — (a, b, c) je normálový vektor roviny g kolmý na všechny směrové vektory ležící v zadané rovině. pomocí parametrických rovnic, k čemuž potřebujeme bod >A[ai, a2, 3s] G g a dva směrové vektory roviny u = (ui, us) a v = (vi, v2, v3): x = ai + t • u\ + s • v\, y = a2 + ŕ • l/2 + s • V2, z = a3 + ŕ • u3 + s • v3, kde t, s e M. Poznámka: souřadnicové roviny mají tyto rovnice: gxy :z = 0, £yz:x = 0, foz : y = 0. Q a ,,,,,,, , ^ Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 3/9 Vzájemná poloha přímky a roviny Příklad 15.4.32: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p a roviny g. a) p = {[2 + t; 3 + 2í; 1 - í], t G M}, g : x - 2y + z - 5 = 0 b) p = {[1 - 2/c; 5 - /c; -3 + 5/c], /c G R}, g : 3x - y + z - 11 = 0 c) p = {[2s; 4 + s; -1], s G R}, g : x - 2y - 3z + 5 = 0 Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 Vzájemná poloha přímky a roviny Příklad 15.4.32: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p a roviny g. a) p = {[2 + t; 3 + 2í; 1 - í], t G M}, g : x - 2y + z - 5 = 0 b) p = {[1 - 2/c; 5 - /c; -3 + 5/c], /c G R}, g : 3x - y + z - 11 = 0 c) p = {[2s; 4 + s; -1], s G R}, g : x - 2y - 3z + 5 = 0 Příklad 15.4.33: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky AB, A[—2; 0; —1], B[2; 1; 4] a roviny g, která je dána body K[0;0;3],L[-2;-l;l],M[0;l;4]. Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 Vzájemná poloha přímky a roviny Příklad 15.4.32: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p a roviny g. a) p = {[2 + ť,3 + 2ť,l - t],t eR], q : x - 2y + z - 5 = 0 b) p = {[1 - 2/c; 5 - k\ -3 + 5/c], /c G M}, g : 3x - y + z - 11 = 0 c) p = {[2s; 4 + s;-l],seK}, g : x - 2y - 3z + 5 = 0 Příklad 15.4.33: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky AB, 2; 0; —1], 6[2; 1; 4] a roviny g, která je dána body K[0;0;3],L[-2;-l;l],M[0;l;4]. Příklad 15.4.34: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky q a roviny a. q = {[2 + ŕ;3ŕ; 1-t], ŕG»},a = {[1 + s + 2r; 3s + 3r; 1 — s — 3r], s,r G M} Výsledky: na dalším slajdu. Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 A i/9 Výsledky príkladu 32. a) přímka je různoběžná s rovinou, P[0; c) p || q a p n q = 0, d) přímka leží v rovině. -1;3], 33. přímka je různoběžná s rovinou, P[4; |; ^] 34. q aAqncr = 0 Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 5/9 Vzájemná poloha dvou rovin Příklad 15.5.37: Vyšetřete vzájemnou polohu rovin g a a. Ve všech případech též znázorněte roviny g,a v soustavě souřadnic. Jsou-li roviny různoběžné, napište parametrické rovnice jejich průsečnice a průsečnici zakreslete v obrázku. a) q : 2x + 4y + z - 8 = 0, a : 2y + z - 6 = 0 b) q :x + y-z-2 = 0, cr : 2x — y + z -4 = 0 c) q :x + y-4 = 0, a : y + 2z - 6 = 0 d) q : 2x + y - 3z + 6 = 0, cr : 4x + 2y - - 6z + 12 = 0 e) q : 2x + y - 2z + 6 = 0, cr : 4x + 2y - - 4z + 6 = 0 f) q : x — 4 = 0, cr : y - -2 = 0 Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 6/9 Vzájemná poloha dvou rovin Příklad 15.5.37: Vyšetřete vzájemnou polohu rovin g a a. Ve všech případech též znázorněte roviny g,cr v soustavě souřadnic. Jsou-li roviny různoběžné, napište parametrické rovnice jejich průsečnice a průsečnici zakreslete v obrázku. a b c d e f q q q q q q 2x + 4y + z- 8 = 0, a : 2y + z - 6 = 0 x + y- z- 2 = 0, cr:2x-y + z- 4 = 0 x + y-4 = 0, <ůJ> <-^> š Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 6/9 Výsledky príkladu 37. a) různoběžné roviny, p = {[ŕ; 1 — ŕ; 4 + 2t], t G M}, b) různoběžné roviny p = {[2; ŕ; t], ŕ G M}, c) různoběžné roviny p = {[—2 + 2ŕ; 6 — 2ŕ; t], ŕ G M}, d) £ = a, e) různé rovnoběžné roviny f) různoběžné roviny p = {[4; 2; t], ŕ G M}. 38. Roviny jsou totožné. Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 7/9 Vzájemná poloha tri rovin Vzájemná poloha tri rovin □ všechny tři roviny jsou rovnoběžné a nemají průsečík, ani průsečnici Q dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí je protíná ve dvou rovnoběžných průsečnicích Q všechny jsou různoběžné a protínají se v jedné průsečnici (svazek rovin) □ všechny jsou různoběžné a po dvou se protínají v průsečnici (tyto tři průsečnice jsou rovnoběžné) H všechny jsou různoběžné a protínají se v jednom bodě (trs rovin) Ilustrace všech pěti případů jsou dostupné na této stránce. Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 8/9 Vzájemná poloha tri rovin Příklad 15.6.40: Vyšetřete vzájemnou polohu tří rovin. a) qi : 2x — y + z — 5 = 0, o\ : x + y + 3z — 6 = 0, n : 3x + 2y - 4z + 7 = 0 b) £2 : x + y + z — 3 = 0, '■ 3x — 2y + z — 8 = 0, r2 : 4x - y + 2z + 1 = 0 c) q3 ■ x - Y + 2z - 1 = 0, 0-3 : x + 2y - z + 2 = 0, T3 : x — 2y + 3z — 2 = 0 d) £4 : x + y — z — 1 = 0, 04 : x + y + z + 2 = 0, r4 : 2x + 2y - 2z + 1 = 0 Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 9/9 Vzájemná poloha tri rovin Příklad 15.6.40: Vyšetřete vzájemnou polohu tří rovin. a) qi : 2x — y + z — 5 = 0, o\ : x + y + 3z — 6 = 0, n : 3x + 2y - 4z + 7 = 0 b) £2 : x + y + z — 3 = 0, a2 : 3x — 2y + z — 8 = 0, r2 : 4x - y + 2z + 1 = 0 c) q3 ■ x - Y + 2z - 1 = 0, (73 : x + 2y - z + 2 = 0, T3 : x — 2y + 3z — 2 = 0 d) £4:x + y — z — 1 = 0, a4:x + y + z + 2 = 0, r4 : 2x + 2y - 2z + 1 = 0 Výsledky: a) tři různoběžné roviny, společný bod P[l; —1;2], b) tři různoběžné roviny, žádný společný bod, c) tři různoběžné roviny, společná přímka p = {[ŕ; —1 — ŕ; —t], ŕ G M}, d) dvě rovnoběžné roviny, třetí je s nimi různoběžná. Lukáš Másilko 4. cvičení 2. 11. 2020 9/9