MA0005 Algebra 2, 7. seminář 16. a 23. 11. 2020 Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 1/25 Náplň cvičení □ Soustavy lineárních rovnic ■ Maticový zápis SLR ■ Hodnost matice, elementární řádkové úpravy ■ Schodový tvar matice ■ Soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých ■ Gaussova eliminační metoda, Frobeniova věta B Vektorový prostor a jeho pod prostory ■ Pod prostor vektorového prostoru ■ Lineární obal množiny vektorů ■ Dimenze a báze vektorového prostoru ■ Součet a průnik vektorových pod prostorů Literatura ■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 2/25 Maticový zápis SLR Mějme následující soustavu lineárních rovnic: 3n*i + ai2x2 H-----h ainX" = bl a2ix2 + a22x2 H-----h a2„x,7 = b2 kde m, r? G N. amixi + am2y H-----h amnxn = b m Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 3/25 Maticový zápis SLR Mějme následující soustavu lineárních rovnic: 3n*i + 3i2x2 H-----h ainX" = bl a2ix2 + a22x2 H-----h a2„x,7 = b2 3mlXl + 3m2y + ' ' ' + 3mnXn = bm kde m, r? G N. r Maticový zápis soustavy 1 Matici l au ai2 .. 321 a22 .. • a2n \ ami 3mn ) nazýváme maticí systému SLR. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 3/25 Maticový zápis SLR Mějme následující soustavu lineárních rovnic: 3n*i + ai2x2 H-----h ainX" = bl a2ix2 + a22x2 H-----h a2„x,7 = b2 ämlXl + 3m2y + ' ' ' + 3mnXn = bm kde m, r? G N. Rozšírená matice SLR Matici 4 b = / 3n 3i2 ... ain a2i a22 ... a2n \ a^i 3m2 ... a nazýváme rozšírenou maticí systému SLR. bm ) Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 4/25 Hodnost matice, elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A Píšeme h(A). Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 5/25 Hodnost matice, elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A Píšeme h(A). Elementární řádkové úpravy 1 Elementárními řádkovými úpravami matice, resp. samotného SLR jsou: □ vynásobení řádku (rovnice) nenulovým reálným číslem, Q výměna pořadí dvou řádků (rovnic), B přičtení násobku jiného řádku (rovnice) k danému řádku (rovnici). Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 5/25 Hodnost matice, elementární řádkové úpravy Hodnost matice Hodností matice A (typu m x n) rozumíme počet lineárně nezávislých řádků matice A Píšeme h(A). Elementární řádkové úpravy 1 Elementárními řádkovými úpravami matice, resp. samotného SLR jsou: □ vynásobení řádku (rovnice) nenulovým reálným číslem, Q výměna pořadí dvou řádků (rovnic), B přičtení násobku jiného řádku (rovnice) k danému řádku (rovnici). Důležitá poznámka: Elementární řádkové úpravy nezmění hodnot matice, resp. nezpůsobí změnu řešení SLR. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 5/25 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 6/25 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Poznámka: převodem na schodový tvar pomocí elementárních řádkových úprav zjistíme hodnost zadané matice. Hodnost matice je počet nenulových řádků ve schodovém tvaru, který vznikne ze zadané matice elementárními řádkovými úpravami. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 6/25 Schodový tvar matice Schodový tvar matice V každém dalším řádku je zleva více nul než v tom předchozím, případně je celý další řádek nulový. Poznámka: převodem na schodový tvar pomocí elementárních řádkových úprav zjistíme hodnost zadané matice. Hodnost matice je počet nenulových řádků ve schodovém tvaru, který vznikne ze zadané matice elementárními řádkovými úpravami. Příklad 1: rozhodněte, zda jsou následující matice ve schodovém tvaru. 12 3 9 0 0 5 3 0 13 6 0 0 0 9 0 0 5 3 0 13 6 12 3 9 0 7 5 3 0 0 3 6 Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 6/25 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad ir): (a) A = í 0 4 10 1 \ 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 (b) A = í 2 -4 8 0 4 \ 3 -6 1 4 -3 -4 2 5 -1 7 v 5 -4 -12 5 -14 / Lukáš Másilko 7. cvičení □ iS1 16. a 23. 11. 2020 7/25 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad ir): (a) A = í 0 4 10 1 \ 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 (b) A = í 2 -4 8 0 4 \ 3 -6 1 4 -3 -4 2 5 -1 7 v 5 -4 -12 5 -14 / Výsledky: (a) h(A) = 2, Lukáš Másilko 7. cvičení □ iS1 16. a 23. 11. 2020 7/25 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad ir): (a) A = í 0 4 10 1 \ 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 (b) A = í 2 -4 8 0 4 \ 3 -6 1 4 -3 -4 2 5 -1 7 v 5 -4 -12 5 -14 / Výsledky: (a) h(A) = 2, (b) /7(/\) = 3. Lukáš Másilko 7. cvičení □ iS1 16. a 23. 11. 2020 7/25 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad ir): (c) A = (d) A = \ í 2 3 7 -4 5 V 8 3 4 1 -2 5 1 1 -2 0 5 -1 -3 -1 1 2 3 3 -5 3 1 7 1 4 5 2 \ 1 -1 -3 0 4 4 -3 5 10 1 -2 / 6 \ -2 10 10 4 2 / Lukáš Másilko 7. cvičení □ iS1 16. a 23. 11. 2020 8/25 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad ir): (c) A = (d) A = Výsledky: (c) h{A) = 2, \ í 2 3 7 -4 5 V 8 3 4 1 -2 5 1 1 -2 0 5 -1 -3 -1 1 2 3 3 -5 3 1 7 1 4 5 2 \ 1 -1 -3 0 4 4 -3 5 10 1 -2 / 6 \ -2 10 10 4 2 / □ iS1 Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 8/25 Příklad 4.4.B1 Určete hodnost matice A (nad ir): (c) A = (d) A = \ \ 2 3 7 -4 5 8 3 4 1 -2 5 1 1 -2 0 5 -1 -3 -1 1 2 3 3 -5 3 1 7 1 4 5 2 \ 1 -1 -3 0 4 4 -3 5 10 1 -2 Výsledky: (c) h{A) = 2, (d) h(A) = 2 I 6 \ -2 10 10 4 2 / 1 ^)Q,0 Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 8/25 Soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých Mějme následující soustavu tří rovnic: anx + a12y + a13z = b\ a2ix + a22y + 323z = b2 331X + 332Y + 333Z = b3 Rovnice definují tři roviny, u nichž řešením SLR určíme vzájemnou polohu. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 9/25 Soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých Mějme následující soustavu tří rovnic: anx + a12y + a13z = b\ a2ix + a22y + 323z = b2 331X + 332y + 333Z = b3 Rovnice definují tři roviny, u nichž řešením SLR určíme vzájemnou polohu Počet řešení soustavy Soustava lineárních rovnic (SLR) o 3 neznámých (a) má právě jedno řešení, je-li h(Á) — h(A\b) — 3 (roviny se protínají v jednom bodu); (b) má nekonečně mnoho řešení, je-li h{A) — h{A\b) < 3 (roviny se protínají buď v jedné přímce, když h{A) — h{A\b) — 2, nebo splývají v jednu rovinu, je-li h{A) — h{A\b) — 1); (c) nemá řešení, je-li h(A) 7^ h(A\b) (geometricky to může vyjít různě). Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 9/25 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 10/25 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, n 6 N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 10/25 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A b na schodový tvar. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 10/25 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h(A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 10/25 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h(A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. □ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b). Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 10/25 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h{A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. □ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b). ■ Je-li n — h(A\b) = 0, pak má SLR právě jedno řešení. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 10/25 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h{A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. □ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b). ■ Je-li n — h(A\b) = 0, pak má SLR právě jedno řešení. ■ Je-li n — h(A\b) > 0, pak n — h(A\b) neznámým "uvážlivě" priradíme parametr, ostatní neznáme vyjadríme pomocí těchto parametrů ze zbývajících rovnic. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 10/25 Gaussova eliminační metoda Věta (Frobenius — Kronecker — Capelli): SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Gaussova eliminační metoda Při řešení SLR o m řádcích a n (m, r? G N) neznámých postupujeme takto: □ Převedeme SLR na rozšířenou matici systému A\b. B Převedeme matici A\b na schodový tvar. Q Je-li h{A) 7^ h(A\b), nemá SLR řešení. □ V opačném případě stanovíme počet parametrů jako n — h{A\b). ■ Je-li n — h(A\b) = 0, pak má SLR právě jedno řešení. ■ Je-li n — h(A\b) > 0, pak n — h(A\b) neznámým "uvážlivě" přiřadíme parametr, ostatní neznámé vyjádříme pomocí těchto parametrů ze zbývajících rovnic. ■ V obou případech postupujeme tzv. zpětným chodem, tj. bereme rovnice zdola a volíme za parametry počet neznámých v dané rovnici MINUS jedna, abychom poslední neznámou v každé rovnici mohli dopočítat pomocí ostatních neznámých - parametrů. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 10/25 Příklad 5.1.BI Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad ir): (a) (c) 3xi + 2x2 + X3 - 5 2xi + 3X2 + X3 - 1 2xi + X2 + 3x3 - 6 3xi — X2 - X3 - 2X4 = -4 2xi + 3X2 + X3 + 2X4 — -3 2xi + 3X2 - X3 - x4 — -6 xi + X2 + 2x3 + 3X4 — 1 Xl + 2x2 + 3x3 - x4 — -4 Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 11/25 Příklad 5.1.BI Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad ir): (a) (c) 3xi + 2x2 + X3 - 5 2xi + 3X2 + X3 - 1 2xi + X2 + 3x3 - 6 3xi — X2 - X3 - 2X4 = -4 2xi + 3X2 + X3 + 2X4 — -3 2xi + 3X2 - X3 - x4 — -6 xi + X2 + 2x3 + 3X4 — 1 Xl + 2x2 + 3x3 - x4 — -4 Výsledky: (a) (2,-2,3), Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 11/25 Příklad 5.1.BI Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad ir) (a) (c) 3xi + 2x2 + *3 - 5 2xi + 3X2 + X3 - 1 2xi + X2 + 3x3 - 6 3xi - x2 - X3 - 2X4 = -4 2xi + 3x2 + X3 + 2X4 - -3 2xi + 3x2 — X3 — x4 - -6 Xl + x2 + 2x3 + 3X4 - 1 Xl + 2x2 + 3x3 — x4 - -4 -2,3) . (c)(- ■1,- 1,0,1). Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 11/25 Příklad 5.1.B2 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad ir): (a) (c) 5xi — 9x2 + 5x3 — 1 2xi + 3X2 + 3x3 — 2 xi + 8x2 + — 1 Xl — 2x2 + X3 — 0 2xi + 9x2 + 8x3 + 3X4 - 7 2xi + 6x2 + 8x3 + 3X4 - 3 xi + 4x2 + 5x3 + 2X4 - 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2X4 - 12 5xi + 7x2 + 9x3 + 2X4 - 20 Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 12/25 Příklad 5.1.B2 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad ir): (a) (c) 5xi — 9x2 + 5x3 — 1 2xi + 3X2 + 3x3 — 2 Xl + 8x2 + — 1 Xl — 2x2 + X3 — 0 2xi + 9x2 + 8x3 + 3X4 - 7 2xi + 6x2 + 8x3 + 3X4 - 3 xi + 4x2 + 5x3 + 2X4 - 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2X4 - 12 5xi + 7x2 + 9x3 + 2X4 - 20 Výsledky: (a) SLR nemá řešení, Lukáš Másilko 7. cvičeni 16. a 23. 11. 2020 12/25 Příklad 5.1.B2 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad ir): (a) (c) 5xi — 9x2 + 5x3 — 1 2xi + 3X2 + 3x3 — 2 xi + 8x2 + — 1 Xl — 2x2 + X3 — 0 2xi + 9x2 + 8x3 + 3X4 - 7 2xi + 6x2 + 8x3 + 3X4 - 3 xi + 4x2 + 5x3 + 2X4 - 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2X4 - 12 5xi + 7x2 + 9x3 + 2X4 - 20 Výsledky: (a) SLR nemá řešení, (c) SLR nemá řešení. Lukáš Másilko 7. cvičeni 16. a 23. 11. 2020 12/25 Příklad 5.1.B3 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad ir): (a) 2xi — 3X2 + 2X3 = 1 Xl - 2x2 + X3 = 0 5xi - 9x2 + 5x3 = 1 (c) X2 + x4 = 1 3xi - 2x2 - 3x3 + 4x4 = -2 xi + X2 - *3 + x4 = 2 - *3 1 Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 13/25 Příklad 5.1.B3 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad ir): (a) 2xi — 3X2 + 2X3 - 1 — 2x2 + X3 - 0 5xi — 9x2 + 5x3 - 1 + x4 _ 1 3xi — 2x2 — 3x3 + 4x4 - -2 + — + x4 - 2 *1 — *3 - 1 Výsledky: (a) {(2-ř,l,ř), t£K}, Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 13/25 Příklad 5.1.B3 Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad ir): (a) 2xi — 3X2 + 2X3 - 1 — 2x2 + X3 - 0 5xi — 9x2 + 5x3 - 1 + x4 _ 1 3xi — 2x2 — 3x3 + 4x4 - -2 + — X3 + x4 - 2 *1 — X3 - 1 Výsledky: (a) {(2-ř,l,ř), t£K}, (c) {(l + t,§,t,-|), tGR}. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 13/25 Dodatečný příklad Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad ir): x2 + x4 = 1 3xi — 2x2 3x3 + 4x4 = —2 xi + x2 - x3 + x4 = 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12 xi - x3 =1 Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 14/25 Dodatečný příklad Gaussovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic (nad ir): X2 + x4 = 1 3xi — 2x2 - 3x3 + 4x4 = -2 xi + - x3 + x4 = 2 3xi + 7x2 + 7x3 + 2X4 = 12 - x3 1 Výsledek: (§; |; -§) Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 14/25 Vektorový prostor Axiomy pro vektorový prostor V nazveme vektorovým (lineárním) prostorem nad tělesem T s operacemi +, jestliže □ Ví, vEV: Ú+vEV (uzavřenost na operaci +) Q Ví, v,wE V : (í + v) + w = u + (v + w) (asociativita operace +) Q 3o. V\7 G \/:í+o = í= o + í (neutrální prvek pro operaci +) □ \/Ú E V. 3(—J) G V : J + (—u) — 6 (inverze vzhledem k operaci +) H Ví, \7g\/:Í+\7=\7+Í (komutativita operace +) "1" MÚE V,\/t E T \ t - ÚE V (uzavřenost na součin skaláru a vektoru) "2" VJ G V, Vs, t G T \ s - (t - u) = (s - t) - u (asociativita operace •) "3" 31 G T. MÚ E V \ 1 - Ú — Ú — Ú- l(neutrální prvek pro operaci •) "6a" \/Ú E V, Vs, t E T \ (s + t) - u = s - u+ t - u (distributivita operací) "6b" Ví, v E \/,VsG T : s • (Ú + \7) = s • u + s • v (distributivita operací) Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 15/25 Vektorový prostor Definice vektorového pod prostoru Vektorový podprostor prostoru (\/, +, •) nad tělesem (7~, +, •) je taková podmnožina 1/1/ prostoru V, která je uzavřená vzhledem k operaci + (sčítání vektorů) a • (násobení vektoru skalárem): H VJ, ve W : u + ve W "1" Vue 1/IAVt eT :t-ueW Poznámka: Vektorový podprostor je tedy uzavřený na lineární kombinaci svých vektorů. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 16/25 Pod prostor vektorového prostoru Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ C Q4 je podprostorem vektorového prostoru Q4, je-li: (a) W = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)} (b) W = {(xi,x2,x3,x4) | xi + x2 + x3 + x4 > 0} (c) W = {(xi,x2,x3,x4) | x2 = x3 = x4} (d) W = {(2s + t, s - ř, t, s) | ř, s e Q libovolné} Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 17/25 Pod prostor vektorového prostoru Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ C Q4 je podprostorem vektorového prostoru Q4, je-li: (a) W = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)} (b) W = {(xi,x2,x3,x4) | xi + x2 + x3 + x4 > 0} (c) W = {(xi, x2, x3, x4) | x2 = x3 = x4} (d) W = {(2s + t, s - ř, t, s) | ř, s G Q libovolné} Příklad z písemky: Rozhodněte, zda rovina g je vektorovým podprostorem aritmetického vektorového prostoru R , je-li: (a) 0: 2x + y-3z + 6 = 0 (b) q\ 2x + y-z = 0 (c) ^ : x - 2y + 3z - 6 = 0 (d) g : x + 4y - 2z = 0 Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 17/25 Pod prostor vektorového prostoru Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ C Q4 je podprostorem vektorového prostoru Q4, je-li: (a) W = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)} (b) W = {(xi,x2,x3,x4) | xi + x2 + x3 + x4 > 0} (c) W = {(xi, x2, x3, x4) | x2 = x3 = x4} (d) W = {(2s + t, s - ř, t, s) | ř, s G Q libovolné} Příklad z písemky: Rozhodněte, zda rovina q je vektorovým podprostorem aritmetického vektorového prostoru R , je-li: (a) 0: 2x + y-3z + 6 = 0 (b) q\ 2x + y-z = 0 (c) ^ : x - 2y + 3z - 6 = 0 (d) g : x + 4y - 2z = 0 Výsledky: 3.2.B3.(a) ne, (b) ne, (c) ano, (d) ano. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 17/25 Pod prostor vektorového prostoru Příklad 3.2.B3: Rozhodněte, zda podmnožina 1/1/ C Q4 je podprostorem vektorového prostoru Q4, je-li: (a) W = {(0,0,0,0), (1,1,1,1), (-1,-1,-1,-1)} (b) W = {(xi,x2,x3,x4) | xi + x2 + x3 + x4 > 0} (c) W = {(xi,x2,x3,x4) | x2 = x3 = x4} (d) W = {(2s + t, s - ř, t, s) | ř, s e Q libovolné} Příklad z písemky: Rozhodněte, zda rovina q je vektorovým podprostorem aritmetického vektorového prostoru R , je-li: (a) q\ 2x + y-3z + 6 = 0 (b) 0: 2x + y-z = 0 (c) q : x - 2y + 3z - 6 = 0 (d) g : x + 4y - 2z = 0 Výsledky: 3.2.B3.(a) ne, (b) ne, (c) ano, (d) ano. Příklad z písemky: (a) ne, (b) ano, (c) ne, (d) anpQ s ^ Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 17/25 Lineární obal množiny vektorů Lineární obal množiny vektorů Lineárním obalem množiny (ne nutně nezávislých) vektorů {\/í, v^,..., v>} z vektorového prostoru V nad tělesem (7~,+, •) rozumíme množinu {ai • v{ + OL2 • V2 + • • • + OLk ' v*k | <^i> <^25... a/f e 7"} vzniklou jakoukoli lineární kombinací vektorů {v[, v£,..., Značíme jej L{y[, v£,..., v>) nebo ({ví, v£,..., v^}}. Alternativně říkáme, že Z.(vi, v£,..., v>) je podprostor generovaný vektory Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 18/25 Báze a dimenze vektorového prostoru Báze a dimenze vektorového prostoru Posloupnost vektorů (\/í, v^,..., u>) nazveme bází (množinou generátorů) vektorového prostoru V nad tělesem (7~,+, •), jestliže □ je lineárně nezávislá, B každý vektor J e V lze vyjádřit lineární kombinací J = c*i • v\ + OL2 • V2 + • • • + OLk ' v*k Pro nějaké ai, ct2, ...,^6 7" (tj. vektory v[, ..., v> generují celý prostor \/). Dimenzí vektorového prostoru V rozumíme počet vektorů nějaké jeho báze. Značíme dim V. Čísla (ai, qí2j • • • 5 <^/c) z vyjádření vektoru Ú nazýváme souřadnicemi vektoru Ú v bázi (ví, v£,..., Poznámka: Standardní bází vektorového prostoru ir2 je S = ((1; 0), (0; 1)), ir3 má standardní bázi S = ((1; 0; 0Y (0; 1; 0), (0; 0; 1)). Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 19/25 Vektory generující vektorový prostor Příklad 16: Ve vektorovém prostoru ir3 jsou dány vektory: iJÍ = (l;-2;3), i£ = (2;-l;0), = (1; 1; -3), u4 = (l;0;-l) Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 20/25 Vektory generující vektorový prostor Příklad 16: Ve vektorovém prostoru M jsou dány vektory: ul = (l;-2;3), u2 = (2;-1; 0), u3 = (1; 1; -3), uA = (1; 0; -1). Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor R . Příklad 3.3.B2: Rozhodněte, zda vektory ú[,..., J5 generují vektorový prostor Q4, je-li: (a) ul = (1;2;1;2), u2 = (2; 1; 2; 1), u3 = (1; 1; 1; 1), J4 = (-2; 0; -1; -3), 05 = (-1; 1; 0; -2) (b) ul = (-1; 1;0;-1), u2 = (2; 0; 1; 3), u3 = (1; 2; 3; 4), J4 = (2; 3; 4; 6), íT5 = (1; -3; 5; -7) Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 20/25 Vektory generující vektorový prostor Příklad 16: Ve vektorovém prostoru R jsou dány vektory: í/l = (l;-2;3), U2 = (2;-1;0), uÍ = (1; 1; -3), ti* = (1;0;-1). Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor R . Příklad 3.3.B2: Rozhodněte, zda vektory ú[,... ,0$ generují vektorový prostor Q4, je-li: (a) JÍ = (1;2; 1; 2), u2 = (2; 1; 2; 1), u3 = (1; 1; 1; 1), 174 = (-2; 0; -1; -3), u5 = (-1; 1; 0; -2) (b) £ = (-l;l;0;-l), u2 = (2; 0; 1; 3), u3 = (1; 2; 3; 4), tŤ4 = (2; 3; 4; 6), iľ5 = (1; -3; 5; -7) Výsledky: 16. ne, Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 20/25 Vektory generující vektorový prostor Příklad 16: Ve vektorovém prostoru irj jsou dány vektory: ni = (1;-2; 3), u2 = (2;-1; 0), u3 = (l;l;-3), i* = (1; 0;-1). Rozhodněte, zda tyto vektory generují vektorový prostor ir3. Příklad 3.3.B2: Rozhodněte, zda vektory Jí,..., J5 generují vektorový prostor Q4, je-li: (a) iii = (l;2;l;2), u2 = (2; 1; 2; 1), u3 = (1; 1; 1; 1), ú* = (-2; 0; -1; -3), u5 = (-1; 1; 0; -2) (b) Jí = (-l;l;0;-l), u2 = (2; 0; 1; 3), £ = (1; 2; 3; 4), 04 = (2; 3; 4; 6), u5 = (1; -3; 5; -7) Výsledky: 16. ne, 3.3.B2.(a) ne, (b) ano. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 20/25 Vektor příslušející vektorovému pod prostoru Ve vektorovém prostoru M3 jsou dány vektory u = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory Ú1 v leží ve vektorovém podprostoru 1/1/ generovaném následující skupinou vektorů. (a) x = (l;-l;3),y = (-2;4;-l),z = (-1;3;2); (b) x = (2;-3;0),y = (-l;5;-2),z = (0;-4; 1); (c) x = (3; 5; -2), y = (2; 3; -3). Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 21/25 Vektor příslušející vektorovému pod prostoru Ve vektorovém prostoru ir3 jsou dány vektory Ú = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory u, v leží ve vektorovém podprostoru W generovaném následující skupinou vektorů. (a) x = (1; -1; 3),y = (-2; 4; -1), z = (-1; 3; 2); (b) x = (2; -3;0),y = (-1;5; -2),z = (0;-4; 1); (c) x= (3;5;-2),y = (2;3;-3). Výsledky: (a), u £ 1/1/, v^W; Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 21/25 Vektor příslušející vektorovému pod prostoru Ve vektorovém prostoru M3 jsou dány vektory u = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory Ú1 v leží ve vektorovém podprostoru 1/1/ generovaném následující skupinou vektorů. (a) x = (l;-l;3),y = (-2;4;-l),z = (-1;3;2); (b) x = (2;-3;0),y = (-l;5;-2),z = (0;-4; 1); (c) x = (3; 5; -2), y = (2; 3; -3). Výsledky: (a) . ueW, v(£W; (b) u e W, ve W; Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 21/25 Vektor příslušející vektorovému pod prostoru Ve vektorovém prostoru M3 jsou dány vektory u = (0; 2; 5), v = (1; 2; 1). Zjistěte, zda vektory Ú1 v leží ve vektorovém podprostoru 1/1/ generovaném následující skupinou vektorů. (a) x = (l;-l;3),y = (-2;4;-l),z = (-1;3;2); (b) x = (2;-3;0),y = (-l;5;-2),z = (0;-4; 1); (c) x = (3; 5; -2), y = (2; 3; -3). Výsledky: (a) . ueW, v(£W; (b) u e W, ve W; (c) u£ W, veW. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 21/25 Dimenze a báze podprostoru Ve vektorovém prostoru R je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi aw podprostoru W. (a) ul = (1; -1; 0; 2), u2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), iT4 = (3; 2; 0; 5); (b) ul = (1; 2; 3; 4), u2 = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), JÍ = (-4; -5; -6; -7), u5 = (5; 6; 7; 8); (c) JÍ = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), JÍ = (3; -4; 1; -2), íT5 = (2; 1; 0; -3); Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 22/25 Dimenze a báze podprostoru Ve vektorovém prostoru R je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi aw podprostoru W. (a) ul = (1; -1; 0; 2), u2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), iT4 = (3; 2; 0; 5); (b) ul = (1; 2; 3; 4), u2 = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), iM = (-4; -5; -6; -7), u5 = (5; 6; 7; 8); (c) ul = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), uA = (3; -4; 1; -2), íT5 = (2; 1; 0; -3); Výsledky: (a), dim 1/1/ = 3, např. aw = (JÍ, J2, J3); Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 22/25 Dimenze a báze podprostoru Ve vektorovém prostoru R4 je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi aw podprostoru 1/1/. (a) ul = (1; -1; 0; 2), u2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), u4 = (3; 2; 0; 5); (b) ú[ = (1; 2; 3; 4), u2 = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), 174 = (-4; -5; -6; -7), tf5 = (5; 6; 7; 8); (c) ul = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), iŤ4 = (3; -4; 1; -2), ď5 = (2; 1; 0; -3); Výsledky: (a) , dim W = 3, např. 014/ (b) dim W = 2, např. 014/ (ul, ti2,773); ("1, ui); Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 22/25 Dimenze a báze podprostoru Ve vektorovém prostoru R je podprostor 1/1/ zadán následující množinou generátorů. Určete dimenzi a bázi aw podprostoru W. (a) £ = (1; -1; 0; 2), tT2 = (2; 2; -1; 3), u3 = (0; 1; 1; 0), uA = (3; 2; 0; 5); (b) ul = (1; 2; 3; 4), u2 = (-2; -3; -4; -5), u3 = (3; 4; 5; 6), JÍ = (-4; -5; -6; -7), u5 = (5; 6; 7; 8); (c) ul = (1; 2; -1; 0), u2 = (0; 1; -1; -7), u3 = (-8; 0; 0; -5), JÍ = (3; -4; 1; -2), iľ5 = (2; 1; 0; -3); Výsledky: (a) , dim 1/1/ = 3, např. «1/1/ (b) dim 1/1/ = 2, např. (c) dim 1/1/ = 4, např. aw (JÍ, už, J3); (JÍ, J2); (JÍ, Ů2, J3, 05). Vyjadrení vektoru v jiné bázi Příklad 3.3.B5: Ověřte, zda zadané vektory tvoří bázi a vekt. prostoru ir3. Pokud ano, najděte souřadnice vektoru w = (0; 1; 2)s v bázi a. a) q = ((1;2;-1),(1;1;0),(2;-1;3)) b) q = ((1;2;-1),(2;-1;1),(-1;1;2)) c) a = ((1; 2; -2), (1; 1; -1), (-2; -1; 2)) Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 23/25 Vyjadrení vektoru v jiné bázi Příklad 3.3.B5: Ověřte, zda zadané vektory tvoří bázi a vekt. prostoru ir3. Pokud ano, najděte souřadnice vektoru w = (0; l;2)s v bázi a. a) a = ((l;2;-l),(l;l;0),(2;-l;3)) b) a = ((l;2;-l),(2;-l;l),(-l;l;2)) c) a = ((l;2;-2),(l;l;-l),(-2;-l;2)) Příklad 3.4.B23: Ve vektorovém prostoru ir4 jsou dány lineárně nezávislé vektory ů[ = (1; 1; 1; 1), u2 = (0; 1; 1; 1), u3 = (0; 0; 1; 1), u4 = (0; 0; 0; 1). Vyjádřete souřadnice vektoru w = (2; 1; 1; 4) a) v bázi a = (Jí, u2, J3, J4); b) v bázi p = (1Í3, u2, JÍ, JÍ). Výsledky: 3.3.B5.a) vektory netvoří bázi, b) (Ä; Ä; jf)a, c) (—l;5;2)a. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 23/25 Vyjadrení vektoru v jiné bázi Příklad 3.3.B5: Ověřte, zda zadané vektory tvoří bázi a vekt. prostoru M3. Pokud ano, najděte souřadnice vektoru w = (0; 1; 2)s v bázi a. a) a = ((1;2 b) a = ((1;2 c) a = ((1;2 -1),(1;1;0),(2;-1;3)) -1),(2;-1;1),(-1;1;2)) -2),(l;l;-l),(-2;-l;2)) Příklad 3.4.B23: Ve vektorovém prostoru ir4 jsou dány lineárně nezávislé vektory ů[ = (1; 1; 1; 1), u2 = (0; 1; 1; 1), u3 = (0; 0; 1; 1), u4 = (0; 0; 0; 1). Vyjádřete souřadnice vektoru w = (2; 1; 1; 4) a) v bázi a = (Jí, J3, J4); b) v bázi p = (1T3, Ú2,1/4, u{). Výsledky: 3.3.B5.a) vektory netvoří bázi, b) (^; ^; y|)a, c) (—1;5;2) 3.4.B23.a) (2;-l;0;3)ai b) (0;-1; 3; 2)^. Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 23/25 Součet a průnik vektorových podprostorů Součet a průnik vektorových podprostorů Součtem Wi + I/I/2 vektorových podprostorů l/l/i, I/I/2 prostoru V nad tělesem (7",+,-) rozumíme lineární obal jejich sjednocení, tj. w1 + w2 = L(w1uw2) = {oí'U + i3'v\a,i3e T,ue wuve 1/1/2} Průnikem l/l/i + W2 vektorových podprostorů l/l/i, I/I/2 prostoru V nad tělesem (7",+,-) rozumíme množinu vektorů, které leží ve l/l/i i W2 zároveň, tj. Wi (1 W2 = {u e V \ Ú e l/l/i A J G 1/1/2} Věta: Jsou-li l/l/i, I/I/2 podprostory s konečnou dimenzí, pak platí dim (l/l/i + I/I/2) = dim l/l/i + dim l/l/2 - dim (l/l/i n l/l/2). Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 24/25 Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory M/i, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů Wi + W2, Wi n I/I/2, je-li: (a) V = R3, W1 = /.(Ji, u2), W2 = L(vi, v2) vz), JÍ = (l;l;-3),u2 = (1;2;2), v! = (1; 1; -1), v2 = (1; 2; 1), ^ = (1; 3; 3); (b) V = ir4, Wx = ({JÍ, J*2, J3}), W2 = ({ví, v2, v3}), JÍ = (1; 2; 0; 2), u2 = (1; 2; 1; 2), J3 = (3; 1; 3; 1), v{ = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; -1; 1; -1), £ = (1; 3; 1; 3); (c) V = ir4, M/i = /.(JÍ, o*), W2 = L(vÍ, v2), JÍ = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 0; 1; 0), v\ = (1; 1; 1; 0), £ = (1; 2; 0; 1). Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 25/25 Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory l/l/i, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů W1 + W2, Wx n 1/V2, je-li: (a) V = M3, H/i = L(ůi, u2), W2 = L(v[, v2, ví), ui = (1;1;-3),íŤ2 = (1;2;2), vl = (1; 1; -1), £ = (1; 2; 1), £ = (1; 3; 3); (b) V = R4, W1 = ({JÍ, úl, tví}), l/l/2 = (K, ví, ví}), lil = (1; 2; 0; 2), tT2 = (1; 2; 1; 2), tT3 = (3; 1; 3; 1), ví = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; -1; 1; -1), ví = (1; 3; 1; 3); (c) V = R\ Wx = L{ůi, u2), W2 = L(v{, ví), til = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 0; 1; 0), v{ = (1; 1; 1; 0), v2 = (1; 2; 0; 1). Výsledky: (a), dim (l/l/i + W2) = 3, příklad báze: aWl+w2 = (uí, u2, ví), dim (l/l/i n W2) = 1, příklad báze: aw1nw2 = ((3; 5; 1)); Lukáš Másilko 7. cvičení □ e 16. a 23. 11. 2020 25/25 Dimenze a báze součtu a průniku podprostorů Příklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory Wi, W2. Určete dimenzi a bázi podprostorů Wi + W2, Wi n W2, je-li: (a) V = M3, W1 = L(ůi, u2), W2 = L(v[, v2, ví), ui = (1;1;-3),íŤ2 = (1;2;2), vl = (1; 1; -1), v2 = (1; 2; 1), £ = (1; 3; 3); (b) V = R4, Wi = ({JI, ul, tví}), W2 = ({ví, vs, ví}), lil = (1; 2; 0; 2), tví = (1; 2; 1; 2), tT3 = (3; 1; 3; 1), vi = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; -1; 1; -1), ví = (1; 3; 1; 3); (c) V = R\ W1 = L{ůi, tví), W2 = /.(ví, ví), lil = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 0; 1; 0), ví = (1; 1; 1; 0), v2 = (1; 2; 0; 1). Výsledky: (a) , dim (Wi + W2) = 3, příklad báze: aWl+w2 = (ui, u2, v{), dim (Wi n W2) = 1, příklad báze: an/inn/2 = ((3; 5; 1)); (b) . dim (Wi + W2) = 3, příklad báze: awl+w2 = ("!) "2^ ^1). dim (Wi n W2) = 2, příklad báze: aWlnw2 = ti); □ ► "2? dim (M/i n W2) = 2, příklad báze: aWinW2 = (u2; 1t3); (c) . dim (M/i + W2) = 4, příklad báze: aWl+w2 = ("1, "2, v{, v2), dim (M/i n W2) = 0, báze tedy neexistuje._p a ► < 1 ► < 1 ► 1 -00.0- Lukáš Másilko 7. cvičení 16. a 23. 11. 2020 25/25