MA0005 Algebra 2, 9. seminář
30. 11. 2020
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 1/18
Náplň cvičení
□ Determinant matice
■ Inverze v permutaci
■ Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3
■ Důležitá pravidla pro výpočet determinantu
■ Laplaceův rozvoj determinantu
■ Příklady na výpočet determinantu
B Cramerovo pravidlo Literatura
■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7.
■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 2/18
Determinant
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N. Co je to determinant matice Ml
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 3/18
Determinant
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N. Co je to determinant matice Ml
Determinant
Determinant čtvercové matice M řádu n x n je číslo, které je dáno vzorcem
£ (_1)A/(y1,y2,..j„).aiji.a2
Ol J2,---Jn)
J2
kde (J1J2, • • • ,7n) Je libovolná permutace sloupcových indexů z množiny {1, 2,..., n} a N(jij2,...      je počet inverzí v dané permutaci.
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 3/18
Determinant
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N. Co je to determinant matice Ml
Determinant
Determinant čtvercové matice M řádu n x n je číslo, které je dáno vzorcem
£ (_1)A/(y1,y2,..j„).aiji.a2
Ol J2,---Jn)
J2
kde (J1J2, • • • ,7n) Je libovolná permutace sloupcových indexů z množiny {1, 2,..., n} a N(jij2,...      je počet inverzí v dané permutaci.
Důležité otázky:
Co je to permutace konečné množiny {1, 2,..., n}l Co je to inverze v dané permutaci?
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 3/18
Inverze v permutaci
Příklad: Mějme matici
M =
/ 3H 321 331 V 341
312 322 332 342
313 323 333 343
314 \ 324 334 344 )
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020
4/18
Inverze v permutaci
Příklad: Mějme matici
M =
/ 311 321 331 V 341
312 322 332 3$2
313 323 333 343
314 \
324 334 344 )
Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. ^13^24,^32,^41- Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1).
=
Lukáš Másilko
30. 11. 2020
4/18
Inverze v permutaci
Příklad: Mějme matici
M =
/ 3n 321 331 V 341
312 322 332 342
313 323 333 343
314 \ 324 334 344 )
Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. 3i3,324,a32,a4i. Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1).
nverze permutace
Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b).
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 4/18
Inverze v permutaci
Příklad: Mějme matici
M =
í	311	312	313	314 \
	321	322	323	324
	331	332	333	334
	a4i	342	343	344 )
Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. 3i3,324,a32,a4i. Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1).
nverze permutace
Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b)._
Kolik inverzí najdete v permutaci p = (3, 4, 2,1)?
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 4/18
Inverze v permutaci
Příklad: Mějme matici
M =
/ au
321 331 V a41
312 322 332 342
313 323 333 343
314 \ 324 334 344 /
Vezměme v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, např. 3i3,324,332,34i. Sloupcové indexy prvků se prohodily dle permutace P = (3,4, 2,1).
nverze permutace
Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b)._
Kolik inverzí najdete v permutaci p = (3, 4, 2,1)?
Celkem 5, např. p(l) = 3 > 2 = p(3). 0      „ ,   „ , ,
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 4/18
Geometrický význam inverze
Příklad: Mějme matici
M =
/ 3ii 321 331 V 341
312 322 332 342
313 323 333 343
314 \ 324 334 344 /
Lukáš Másilko
□ fš1
30. 11. 2020
Geometrický význam inverze
Příklad: Mějme matici
/ 3n 3n 313 Su \
_       321 322 323 ^24
331 332 333 334
\ 341 342 343 344 /
Které prvky určují hlavní diagonálu? A které vedlejší diagonálu?
Lukáš Másilko 9. cvičeni 30. 11. 2020 5/18
Geometrický význam inverze
Příklad: Mějme matici
/ 3n ai2 ai3 3l4 \
^ _       ^21 322 323 324
331 332 333 a34
\ 341 a42 343 a44 /
Které prvky určují hlavní diagonálu? A které vedlejší diagonálu?
Vezměme opět v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, znovu např. 313^24,332,341. Propojte tyto prvky čarou, každý s každým.
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 5/18
Geometrický význam inverze
Příklad: Mějme matici
/ au ai2 ai3 ai4 \
^ _     a2i a22 a23 a24
331 332 333 a34
\ 3^1    3^2 343    a44 /
Které prvky určují hlavní diagonálu? A které vedlejší diagonálu?
Vezměme opět v každém řádku a každém sloupci matice M jeden prvek, znovu např. ai3, a24, a32, a^i- Propojte tyto prvky čarou, každý s každým.
Otázka: Kolik hran má sklon "příbuzný" s vedlejší diagonálou?
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 5/18
Příklad 4.2.B5
Užitím pouze definice determinantu spočtěte: (a)
311	312	313	314
0	0	323	0
331	0	333	334
341	0	343	0
(b)
311	312	313	314	315
321	322	323	324	325
331	332	0	0	0
341	342	0	0	0
351	352	0	0	0
Lukáš Másilko 9. cvičeni 30.11.2020 6/18
Příklad 4.2.B5
Užitím pouze definice determinantu spočtěte: (a)
311	312	313	314
0	0	323	0
331	0	333	334
341	0	343	0
(b)
311	312	313	314	315
321	322	323	324	325
331	332	0	0	0
341	342	0	0	0
351	352	0	0	0
Výsledky: (a) -a12 • a23 • a34 • a4i,
Lukáš Másilko 9. cvičeni 30.11.2020 6/18
Příklad 4.2.B5
Užitím pouze definice determinantu spočtěte: (a)
311	312	313	314
0	0	323	0
331	0	333	334
341	0	343	0
(b)
311	312	313	314	315
321	322	323	324	325
331	332	0	0	0
341	342	0	0	0
351	352	0	0	0
Výsledky: (a) -a12 • a23 • a34 • a4i, (b) 0.
Lukáš Másilko 9. cvičeni 30.11.2020 6/18
Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3
Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2)
A =
3ll 3i2 a2l ^22
je roven číslu an • a22 + ^12 • ^21
(tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále)
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 7/18
Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3
Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2)
A =
3ll 3i2 321 322
je roven číslu au • a22 + £12 ■ a2i
(tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3.
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 7/18
Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3
Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2)
A =
3\1 3i2 a2l ^22
je roven číslu au • a22 + ai2 • a2i
(tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále)
Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3.
au ai2 ai3 a2i   a22 a23
331    332 333
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 7/18
Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3
Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2)
A =
3ll 3i2 321 322
je roven číslu au • a22 + 3i2 • 32i
(tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3.
3ll 3i2 3i3 321 322 323 331    332 333
= 3na22333 +
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 7/18
Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3
Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2)
A =
3ll 3i2 321 322
je roven číslu au • 322 + 3i2 • 321
(tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3.
3ll 3i2 3i3 321 322 323 33i    332 333
= 3n 322 333 + 3i3a2l332
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 7/18
Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3
Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2)
A =
3ll 3i2 a2l ^22
je roven číslu au • a22 + ^12 • ^21
(tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3.
3ll 3i2 ^13 321 ^22 ^23 ^31    a32 333
= ana22^33 + ^13^21^32 + ^12^23^31
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 7/18
Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3
Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2)
A =
3ll 3i2 a2l ^22
je roven číslu au • a22 + ^12 • ^21
(tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3.
3ll 3i2 ^13 321 ^22 ^23 ^31    a32 333
= ana22^33 + ^13^21^32 + ^12^23^31 ~ ^13^22^31
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 7/18
Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3
Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2)
A =
3ll 3i2 a2l ^22
je roven číslu au • 322 + £12 • 321
(tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3.
3ll 3i2 ^13 321 ^22 ^23 33i    332 333
= 3ii322333 + 3i332l332 + 312323331 — 313322331 — 3n323332
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 7/18
Výpočet determinantu matice řádu 2 a 3
Křížové pravidlo: Determinant čtvercové matice (řádu 2)
A =
3ll 3i2 a2l ^22
je roven číslu 3n • 322 + ^12 • ^21
(tj. součin prvků na hlavní diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále) Sarusovo pravidlo: slouží pro výpočet determinantu matice řádu 3.
3ll 3i2 ^13 321 ^22 ^23 ^31    ^32 333
= 311322^33 + ^13321332 + 312323^31 — 313322^31 — 3n323^32 — a^?!^
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 7/18
Výpočet determinantu matice řádu 3
Příklad 4.2.B7: Spočtěte determinant:
	3	-2	-4
a)	1	3	2
	-2	-4	6
	-2	1	-3
b)	3	2	-1
	-4	3	-1
	4	-3	5
c)	-3	2	-8
	1	-7	-5
	3	-1	4
d)	-1	3	-2
	2	4	1
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 8/18
Výpočet determinantu matice řádu 3
Příklad 4.2.B7: Spočtěte determinant:
	3	-2	-4
a)	1	3	2
	-2	-4	6
	-2	1	-3
b)	3	2	-1
	-4	3	-1
	4	-3	5
c)	-3	2	-8
	1	-7	-5
	3	-1	4
d)	-1	3	-2
	2	4	1
Výsledky: a) 90, b) -46, c) -100, d) -4,
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 8/18
Důležitá pravidla pro výpočet determinantu
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N.
Lukáš Másilko 9. cvičení 30.11.2020 9/18
Důležitá pravidla pro výpočet determinantu
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N.
M
MT , kde M' je transponovaná matice M,
T
Jestliže matice Mf vznikne z matice M výměnou dvou řádků, pak
M
M1
Jestliže matice Mř vznikne z matice M vynásobením některého řádku
i
k
nenulovým číslem k G IR — {0}, pak \M
Determinant matice M se nezmění, přičteme-li k některému řádku nenulový /c-násobek jiného řádku (/c e IR — {0}).
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 9/18
Důležitá pravidla pro výpočet determinantu
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N.
M
MT , kde M' je transponovaná matice M,
T
Jestliže matice Mf vznikne z matice M výměnou dvou řádků, pak
M
M1
Jestliže matice Mř vznikne z matice M vynásobením některého řádku
i
k
nenulovým číslem k G IR — {0}, pak \M
□ Determinant matice M se nezmění, přičteme-li k některému řádku nenulový /c-násobek jiného řádku (/c e IR — {0}).
Důležité důsledky:
■ Determinant matice M se dvěma stejnými řádky je roven 0.
■ Determinant matice M obsahující nulový řádek je roven 0.
■ Je-li některý řádek matice M lineární kombinací ostatních, pak M\ = 0.
^rSi^ 1 ^)Q,0
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 9/18
Laplaceův rozvoj determinantu
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde r? G N.
Lukáš Másilko 9. cvičení 30.11.2020 10/18
Laplaceův rozvoj determinantu
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde	n e N.	
Rozvoj podle /c-tého řádku:		
M = ÍT(-l)k+J ■ BkJ J'=l kde M/y jsou matice vzniklé z M vypuštěním	• \Mkj ,	
	/c-tého řádku a j-tého	
sloupce.		
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 10/18
Laplaceův rozvoj determinantu
Mějme čtvercovou matici M řádu n x n, kde n 6 N.
Rozvoj podle /c-tého řádku:
M
Y,(-l)k+J-akj-\Mkj j'=i
kde M/y jsou matice vzniklé z M vypuštěním /c-tého řádku a 7-tého sloupce.
Rozvoj podle /-tého sloupce:
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 10/18
Příklad 4.2.Bil
Spočtěte determinant (a)
(b)
3
-3 2
-1
-3 -5
4
7
-2 -5
1
0
9 8
-5
-8
1
2
-2
3
3 2
-3 -4
-2
0
-4
1
6
7
-2 -5
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020       11 /18
Příklad 4.2.Bil
Spočtěte determinant (a)
(b)
Výsledky: (a) -195,
3
-3 2
-1
-3 -5
4
7
-2 -5
1
0
9 8
-5
-8
1
2
-2
3
3 2
-3 -4
-2
0
-4
1
6
7
-2 -5
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020       11 /18
Příklad 4.2.Bil
Spočtěte determinant (a)
(b)
Výsledky: (a) -195, (b) 18
3
-3 2
-1
-3 -5
4
7
-2 -5
1
0
9 8
-5
-8
1
2
-2
3
3 2
-3 -4
-2
0
-4
1
6
7
-2 -5
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020       11 /18
Příklad 4.2.Bil
Spočtěte determinant (c)
(d)
2 1
-4 3
3 5 2 2
-1 2
-1
2
-2 -1
3
2
-1 1
3 1
-1 1
-2 -1 3
2	1	0	2	1
1	0	2	1	2
1	2	1	0	2
0	2	2	1	1
2	1	1	2	0
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 12/18
Příklad 4.2.Bil
Spočtěte determinant (c)
(d)
2 1
-4 3
3 5 2 2
-1 2
-1
2
-2 -1
3
2
-1 1
3 1
-1 1
-2 -1 3
2	1	0	2	1
1	0	2	1	2
1	2	1	0	2
0	2	2	1	1
2	1	1	2	0
Výsledky: (a) -28,
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 12/18
Příklad 4.2.Bil
Spočtěte determinant (c)
2 1
-4 3
3 5 2 2
-1 2
-1
2
-2 -1
3
(d)
2
-1 1
3 1
-1 1
-2 -1 3
2	1	0	2	1
1	0	2	1	2
1	2	1	0	2
0	2	2	1	1
2	1	1	2	0
Výsledky: (a) -28, (b) 30
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 12/18
Příklad 4.2.B12
Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte: (a)
(b)
1	2	3	4	5	6
6	5	4	3	2	1
1	2	3	4	0	0
4	3	2	1	0	0
1	2	0	0	0	0
2	1	0	0	0	0
1	0	2	0	3	0
5	1	4	2	7	3
1	0	4	0	9	0
8	1	5	3	7	6
9	1	5	4	3	8
1	0	7	0	9	0
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 13/18
Příklad 4.2.B12
Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte: (a)
(b)
1	2	3	4	5	6
6	5	4	3	2	1
1	2	3	4	0	0
4	3	2	1	0	0
1	2	0	0	0	0
2	1	0	0	0	0
1	0	2	0	3	0
5	1	4	2	7	3
1	0	4	0	9	0
8	1	5	3	7	6
9	1	5	4	3	8
1	0	7	0	9	0
Výsledky: (a) -105,
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 13/18
Příklad 4.2.B12
Pouze užitím Laplaceova rozvoje a definice determinantu spočtěte: (a)
(b)
1	2	3	4	5	6
6	5	4	3	2	1
1	2	3	4	0	0
4	3	2	1	0	0
1	2	0	0	0	0
2	1	0	0	0	0
1	0	2	0	3	0
5	1	4	2	7	3
1	0	4	0	9	0
8	1	5	3	7	6
9	1	5	4	3	8
1	0	7	0	9	0
Výsledky: (a) -105, (b) -18
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 13/18
Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých
Mějme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých
3n*i + 3i2x2 = bl
32lXi + 322X2 = b2
Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých
■v
Řešení této soustavy lze vypočítat takto:
xi =
A
A
x2 =
Ai A
kde následující determinanty spočítáme křížovým pravidlem
A
3\\ 3\2 321 322
A
bi 312 £>2 322
A2 =
3n bi
321 b2
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 14/18
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Mějme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých
anxi + a12x2 + a13x3 = b\ a2\xi + a22*2 + 323x3 = b2 331x1 + 332x2 + 333x3 = b3
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
■v
Řešení této soustavy lze vypočítat takto:
xi =
A
A
x2 =
\Ä2
\A\
X3 =
A^ \A\
kde následující determinanty spočítáme Sarusovým pravidlem
		bi	312	313		311	bi	313		3U	312	bi
Ai	—	b2	322	323		321	b2	323	, \A3\ =	321	322	b2
		b3	332	333		331	b3	333		331	332	b3
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 15/18
Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.30]:
7x - 3y = 15 5x + 6y = 27
3x + 2y = 20 2x + 3y = 20
3(x-2) + 2y = x + y 4x + 5(y + x) = 3x - 6
x - 5y = 7 x — 5y = 6
H 2x - 3y = 5 4x - 6y = 10
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 16/18
Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.30]:
(a) 7x — 3y = 15 5x + 6y = 27
(b) 3x + 2y = 20 2x + 3y = 20
(c) 3(x - 2) + 2y = x + y 4x + 5(y + x) = 3x - 6
(e) x — 5y = 7 x — 5y = 6
(f) 2x - 3y = 5 4x - 6y = 10
Výsledky: (a) [3; 2], (b) [4; 4], (c) [9;-12], (e) nelze spočítat Cramerovým pravidlem, (f) nelze spočítat Cramerovým pravidlem.
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 16/18
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]:
(a) x + y+ 2z = -1 2x - y + 2z = -4 4x + y + 4z = -2
(b) 2x + 3y + z = 15 7x - y + z = 9
x + 2y + z = 9
(c) 2x + y - z = 0 4x + 2y + z = 0 x - y + 3z = 0
Lukáš Másilko
9. cvičení
< rS1 ► < -ž ► 4     >     -E ^)Q,0
30. 11. 2020 17/18
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]:
(a) x + y + 2z= -1 2x - y + 2z = -4 4x + y + 4z = -2
(b) 2x + 3y + z = 15 7x - y + z = 9
x + 2y + z = 9
(c) 2x + y - z = 0 4x + 2y + z = 0 x - y + 3z = 0
Výsledky: (a) [l;2;-2], (b) [2;4;-l], (c) [0;0;0].
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 17/18
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]:
(d) 2x-y = 6 y + 4z = 8 x-z = 1
(e) 2x + y - z = 0 x + y + 2z = 4 4x + 3y + 3z = 5
(f) 3x + 2y + z = 3 x + y+ z = 2
4x + 3y + 2z = 5
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 18/18
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavy rovnic ([Petáková, 2.16.31]:
(d) 2x - y = 6 y + 4z = 8 x-z= 1
(e) 2x + y - z = 0 x + y + 2z = 4 4x + 3y + 3z = 5
(f) 3x + 2y + z = 3 x + y+ z = 2 4x + 3y + 2z = 5
Výsledky: (a) [3;0;2], (b) nelze spočítat Cramerovým pravidlem, (c) nelze spočítat Cramerovým pravidlem.
Lukáš Másilko
9. cvičení
30. 11. 2020 18/18