1
Konstrukční úlohy, část 2
Irena Budínová
Základní množiny bodů s danou vlastností
Základními množinami bodů s danou vlastností budeme rozumět některé jednoduché a
v geometrických úvahách často se vyskytující množiny bodů s danou vlastností. Ve školské
geometrii se používají hlavně při řešení konstrukčních úloh a jejich bezpečná znalost je
nezbytná. V následujícím textu uvádíme přehled některých základních množin bodů s danou
vlastností spolu se symbolikou, kterou budeme pro jejich označení užívat v konstrukčních
úlohách.
1. Množinou všech bodů roviny, které mají od dvou různých bodů 𝐴, 𝐵 stejnou
vzdálenost, je osa úsečky AB.
Symbolicky: 𝑀 = {𝑋 ∈ 𝜌; |𝐴𝑋| = |𝐵𝑋|}
2. Množinou všech bodů konvexního úhlu ∢𝐴𝑉𝐵, které mají stejnou vzdálenost od obou
ramen úhlu, je osa úhlu ∢𝑨𝑽𝑩.
Symbolicky: 𝑀 = {𝑋 ∈ ∢𝐴𝑉𝐵; |𝑋 ⟼ 𝑉𝐴| = |𝑋 ⟼ 𝑉𝐵|}
2
3. Množinou všech bodů roviny, které mají od daného bodu 𝑆 vzdálenost 𝑟 ∈ 𝑅 , je
kružnice se středem 𝑆 a poloměrem 𝑟.
Symbolicky: 𝑀 = {𝑋 ∈ 𝑆; |𝑆𝑋| = 𝑟} = 𝑘(𝑆, 𝑟)
4. Množinou všech bodů roviny, které mají od dané přímky 𝑝 vzdálenost 𝑎 ∈ 𝑅 , je
ekvidistanta přímky, tj. sjednocení dvou rovnoběžek s přímkou 𝑝, jejichž vzdálenost
od přímky 𝑝 je 𝑎.
Symbolicky: 𝑀 = {𝑋 ∈ 𝜌; |𝑋𝑝| = 𝑎}
5. Množinou všech bodů roviny, které mají od dané kružnice 𝑘(𝑆, 𝑟) vzdálenost 𝑎 ∈ 𝑅 ,
0 < 𝑎 < 𝑟, je ekvidistanta kružnice 𝒌 o poloměrech 𝑟 − 𝑎, 𝑟 + 𝑎.
Symbolicky: 𝑀 = {𝑋 ∈ 𝜌; |𝑋𝑘| = 𝑎}
3
6. Množinu všech bodů roviny, které mají od dvou daných rovnoběžných přímek 𝑝, 𝑞
stejnou vzdálenost, je osa rovinného pásu(𝒑, 𝒒) určeného těmito rovnoběžkami.
Symbolicky: 𝑀 = {𝑋 ∈ 𝜌; |𝑋𝑝| = |𝑋𝑞|}.
7. Množinou všech bodů roviny, které mají od dvou daných různoběžných přímek 𝑝, 𝑞
stejnou vzdálenost, je sjednocení os všech úhlů určených těmito různoběžkami.
Symbolicky: 𝑀 = {𝑋 ∈ 𝜌; |𝑋𝑝| = |𝑋𝑞|}.
8. Množinou vrcholů všech pravých úhlů v rovině, jejichž ramena procházejí dvěma
různými body 𝐴, 𝐵, je tzv. Thaletova kružnice s průměrem 𝑨𝑩, tj. kružnice s průměrem
𝐴𝐵 s výjimkou bodů 𝐴, 𝐵.
4
Symbolicky: 𝑀 = {𝑋 ∈ 𝜌; |∢𝐴𝑋𝐵| = 90°}.
9. Jsou dány dva různé body 𝐴, 𝐵 a konvexní úhel velikosti α, který není plný, přímý ani
nulový. Množinu všech bodů 𝑋 v rovině, pro které platí, že velikost úhlu 𝐴𝑋𝐵 je α, je
sjednocení dvou kružnicových oblouků 𝒐 𝟏, 𝒐 s krajními body 𝐴, 𝐵 (s výjimkou bodů
𝐴, 𝐵), které jsou souměrně sdružené podle přímky 𝐴𝐵.
Symbolicky: 𝑀 = {𝑋 ∈ 𝜌; |∢𝐴𝑋𝐵| = 𝛼}.
Konstrukce čtyřúhelníků
Příklad 1. Sestrojte kosočtverec 𝐴𝐵𝐶𝐷, jestliže 𝑒 = 8 cm, 𝑣 = 5 cm (𝑒 je úhlopříčka 𝐴𝐶).
Příklad 2. Je dána kružnice 𝑘(𝑆, 4 cm). Sestrojte lichoběžník 𝐴𝐵𝐶𝐷 vepsaný do této
kružnice, je-li dále 𝑎 = 7 cm, 𝑐 = 2 cm.
Příklad 3. Sestrojte lichoběžník 𝐴𝐵𝐶𝐷, jsou-li dány délky obou jeho základen 𝑎, 𝑐 a obou
jeho úhlopříček 𝑒, 𝑓.
Literatura: Budínová, I., Pavlíčková, L. (2020). Konstrukční úlohy. Brno: MuniPress.