Přirozená čísla Úmluva: Všude v dalším budeme mezi přirozená čísla počítat i číslo nula. Všude v této části se omezíme pouze na konečné množiny. Poznámka. Existují tři možnosti zavedení přirozených čísel: jako čísla kardinální, čísla ordinální a prvky Peanovy množiny. V praxi na školách je nejdůležitější a nejrozšířenější zavedení přirozených čísel jako čísel kardinálních, kdy přirozená čísla vyjadřují počty prvků konečných množin. Ve smyslu ordinálních čísel vyjadřují přirozená čísla počty prvků konečných dobře uspořádaných množin, zatímco přirozená čísla jako prvky Peanovy množiny jsou pouze symboly (nevyjadřují počet prvků). Tato poslední možnost se sice často vyskytuje v praxi (telefonní čísla, čísla občanských průkazů, bankovních kont, označení vozidel MHD, tažená čísla ve Sportce apod). Při zavádění přirozených čísel na 1. stupni ZŠ však důsledně zavádíme přirozená čísla jako počty prvků konečných množin, tzn. jako kardinální čísla. Přirozená čísla jako kardinální čísla konečných množin Víme, že dvě množiny jsou ekvivalentní, jestliže existuje bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení) jedné na druhou, což u konečných množin znamená, že obě ekvivalentní množiny mají stejný počet prvků. Tato relace ekvivalence na systému všech konečných množin ℳ (označujeme ji ∼) je ekvivalencí v relačním smyslu (zřejmě je reflexivní, symetrická a tranzitivní). Proto generuje jednoznačným způsobem rozklad na systému všech konečných množin ℳ. Třídy tohoto rozkladu se nazývají kardinální čísla. Kardinálním číslem konečné množiny M tedy rozumíme třídu ze systému ℳ, která obsahuje množinu M a všechny množiny s ní ekvivalentní. Místo označení kardinální číslo množiny M se často užívá též pojmu mohutnost množiny M (píšeme | M | ). Nyní definujeme přirozená čísla jako kardinální čísla konečných množin. Popíšeme-li výše uvedenou konstrukci populárně (a matematicky ne zcela přesně), pak kardinální číslo konečné množiny M je systém množin, který kromě dané množiny M obsahuje všechny množiny (nekonečně mnoho), které mají tentýž počet prvků jako množina M. Tato jediná společná vlastnost všech těchto množin, tj. stejný počet prvků, je vyjádřena přirozeným číslem, které je kardinálním číslem množiny M definováno. Ve školské matematice na ZŠ proto říkáme, že přirozená čísla vyjadřují počty prvků konečných množin. Definice. (Porovnávání kardinálních čísel) Varianta 1: Nechť A, B jsou konečné množiny. Pak definujeme | A | < | B |, právě když množina A je ekvivalentní s vlastní podmnožinou B^* množiny B. Varianta 2: Nechť A, B jsou konečné množiny. Pak definujeme | A | < | B |, právě když existuje prosté zobrazení celé množiny A do množiny B (nikoliv na celou množinu B). Definice. (Sčítání kardinálních čísel) Nechť A, B jsou konečné množiny, nechť platí A Ç B = . Pak definujeme | A | + | B | = | A È B | . Poznámka. Povšimněme si nyní omezující podmínky A Ç B = v předchozí definici. V případě jejího vypuštění bude pro součet kardinálních čísel množin A, B platit vztah | A | + | B | ³ | A È B |, přičemž číslo na levé straně této neostré nerovnosti je obecně větší než číslo na pravé straně o počet prvků průniku obou množin. Platí tedy rovnost | A | + | B | - | A Ç B | = | A È B |. Pokud jsou tedy množiny A, B disjunktní, pak |A Ç B|= 0 a předchozí rovnost přejde v definici sčítání kardinálních čísel podle definice. Definice. (Násobení kardinálních čísel) Nechť A, B jsou konečné množiny. Pak definujeme | A | × | B | = | A ´ B | . Poznámka. Lze ukázat, že obě operace definované definicemi 1.24. a 1.25. mají všechny vlastnosti, které očekáváme od operací sčítání a násobení přirozených čísel. Přirozená čísla jako ordinální čísla konečných množin Poznamenejme úvodem, že teorie ordinálních čísel je ve své podstatě „aplikace teorie kardinálních čísel na uspořádané množiny“. Víme již, že množina je ostře lineárně uspořádaná, jestliže je na ní definována relace antireflexivní, antisymetrická, tranzitivní a souvislá (označujeme ji [M]). Pro každou konečnou ostře lineárně uspořádanou množinu pak platí, že každý její prvek má jednoznačně určené pořadí (jako např. ve frontě osob u pokladny v supermarketu). Lze tedy vždy označit první (nejmenší) a poslední (největší) prvek této množiny. Každá ostře lineárně uspořádaná konečná množina je též současně dobře uspořádaná (každá její neprázdná podmnožina má první prvek). Na systému G všech konečných dobře uspořádaných množin je definována relace podobnost » (jde o analogii relace ekvivalence množin z teorie kardinálních čísel). Dvě dobře uspořádané množiny [A], [B] jsou podobné, píšeme [A] » [B], jestliže existuje podobné zobrazení f množiny [A] na množinu [B], pro které platí: (1) f je vzájemně jednoznačné zobrazení množiny [A] na množinu [B], tedy A ∼ B; (2) zobrazení f zachovává uspořádání (mezi vzory a jejich obrazy). Populárně lze konstatovat, že dvě konečné dobře uspořádané množiny jsou podobné, mají-li stejný počet prvků. Relace podobnost » je reflexivní, symetrická a tranzitivní, je to tedy rovněž relace ekvivalence. Lze tedy analogicky definovat rozklad G systému G určený ekvivalencí » . Třídy rozkladu systému G[ ]se nazývají ordinální čísla. Ordinálním číslem konečné dobře uspořádané množiny [M] tedy rozumíme třídu ze systému G, která obsahuje množinu [M] a všechny uspořádané množiny s ní podobné. Ordinální číslo uspořádané množiny [M] budeme označovat ord [M]. Popíšeme-li výše uvedenou konstrukci populárně (a matematicky ne zcela přesně), pak ordinální číslo konečné dobře uspořádané množiny [M] je systém dobře uspořádaných množin, který kromě dané dobře uspořádané množiny [M] obsahuje všechny dobře uspořádané množiny (nekonečně mnoho), které mají tentýž počet prvků jako množina [M]. Tato jediná společná vlastnost všech těchto množin, tj. stejný počet prvků, je vyjádřena přirozeným číslem, které je ordinálním číslem množiny [M] definováno. Lze tedy říci, že přirozená čísla vyjadřují počty prvků konečných dobře uspořádaných množin. Poznámka: Další informace o ordinálních číslech uvedeme rovněž pouze populární formou. Jde o formálně složité formulace, přičemž ordinální čísla se v praxi na 1. stupni ZŠ používají jen velmi málo (sned jen u příkladů využívajících číselné osy). Definice. Nechť [M] je uspořádaná množina, nechť a Î [M]. Pak úsek dobře uspořádané množiny [M] příslušný prvku a zapisujeme U(a) a definujeme jako dobře uspořádanou podmnožinu všech takových prvků množiny [M], které předchází v uspořádání před prvkem a v původním pořadí určeném v množině [M]. Poznámka. Populárně si lze představit úsek takto. Nechť uspořádaná množina [M] je reprezentována frontou osob stojící u pokladny v obchodě. Zvolíme-li libovolnou osobu ve frontě, pak úsek příslušný této osobě je část fronty před tímto člověkem beze změny pořadí. Jakmile bude obsloužen tento úsek, je zvolená osoba na řadě. Je zřejmé, že úsek dobře uspořádané množiny [M] je vždy její vlastní podmnožinou. Definice. (Porovnávání ordinálních čísel) Varianta 1: Nechť [A], [B] jsou konečné dobře uspořádané množiny. Pak definujeme ord [A] < ord [B], právě když dobře uspořádaná množina [A] je podobná s některým úsekem dobře uspořádané množiny [B]. Varianta 2: Nechť A, B jsou konečné množiny. Pak definujeme ord [A] < ord [B], právě když existuje podobné zobrazení celé množiny [A] do množiny [B] (nikoliv na celou množinu B). Definice. (Sčítání ordinálních čísel) Nechť [A], [B] jsou konečné dobře uspořádané množiny, nechť platí A Ç B = . Pak definujeme ord [A] + ord [B] = ord [A È B] . Definice. (Násobení ordinálních čísel) Nechť [A], [B] jsou konečné dobře uspořádané množiny. Pak definujeme ord [A] × ord [B] = ord [A ´ B] . Poznámka. U definic sčítání i násobení ordinálních čísel je třeba určit také uspořádání v množinách [A È B], [A ´ B]. Tato uspořádání uvedeme opět pouze populární formou. Uspořádání v množině [A È B] můžeme verbálně popsat pomocí tří podmínek: 1. Uspořádání prvků v množině [A] zůstává beze změny. 2. Uspořádání prvků v množině [B] zůstává beze změny. 3. Nejprve se do uspořádané množiny [A È B] zařadí množina [A], za ní pak množina [B]. Příklad: Nechť [A] = ë{a, b, c}û, [B] = ë{u, v}û. Pak [A È B] = ë{a, b, c, u, v}û. Uspořádání v množině [A ´ B] můžeme verbálně popsat pomocí následujících dvou podmínek. Připomeňme, že množina A ´ B obsahuje uspořádané dvojice. Nechť [a[1], b[1]], [a[2], b[2]] Î A ´ B libovolně. 1. Je-li b[1] < b[2 ], pak [a[1], b[1]] < [a[2], b[2]]; 2. Je-li b[1] = b[2 ]a současně a[1] < a[2], pak [a[1], b[1]] < [a[2], b[2]]. Rozhodující je tedy druhá složka, v případě její rovnosti pak rozhoduje první složka.Tomuto uspořádání se říká lexikografické, lidově též princip telefonního seznamu. Považujeme-li v telefonním seznamu dvojici „jméno, příjmení“ za uspořádanou dvojici, pak rozhodující je příjmení. V případě stejného příjmení pak rozhoduje křestní jméno, např. Antonín Novák Břetislav Novák Cyril Novák Čestmír Novák Dušan Novák Emil Novák . . . Xaver Novák Zdeněk Novák Příklad: [A] = ë{a, b, c}û, [B] = ë{u, v}û. Pak [A ´ B] = ë{[a, u], [b, u], [c, u], [a, v], [b, v], [c, v]}û. Peanova množina Axiomy Peanovy množiny P Jednou ze základních charakteristik množiny všech přirozených čísel je to, že každé přirozené číslo má svého bezprostředního následovníka (pro každé nÎ N je to číslo n + 1). Tento „fakt“ znají už žáci na 1. stupni ZŠ a je často didakticky využíván při výuce. Existence následovníka využijeme při teoretickém zavedení množiny přirozených čísel. Nejprve axiomaticky definujeme tzv. Peanovu množinu a potom ukážeme, že tato množina je univerzálním modelem množiny všech přirozených čísel. ^ (A1) Ke každému prvku x množiny P existuje jeho následovník, který budeme označovat x^\ . (A2) V množině P existuje prvek eÎ P, který není následovníkem žádného prvku množiny P. (A3) Různé prvky mají různé následovníky. (A4) Axiom úplné indukce. Nechť M Í P. Jestliže platí: a) eÎ M , b) (" xÎ P) xÎ M Þ x^\ Î M , pak M = P. Věta 1.1. Nechť xÎ P, pak platí: (1) x ¹ x^\ , (2) x ¹ e Þ ($ uÎ P) x = u^\. Část (1) předchozí věty říká, že každý prvek je různý od svého následovníka. Ze druhé části pak plyne, že každý prvek x Peanovy množiny s výjimkou prvku e je následovníkem nějakého prvku uÎ P. Tento prvek u budeme nazývat předchůdce prvku x a značit ^/x. Věta 1.2. Peanova množina je nekonečná množina. Definice 1.3: Nechť aÎ P je libovolný prvek. Nechť množina U(a) Í P je pro každý prvek aÎ P definována takto: (1) a Ï U(a), (2) Jestliže existuje ^/a, pak ^/a Î U(a), (3) xÎ U(a) Þ ^/xÎ U(a) (pokud ^/x existuje). Pak množinu U(a) budeme nazývat úsek Peanovy množiny příslušný k prvku a . Poznámka 1.4. Je zřejmé, že pro každé aÎ P je příslušný úsek U(a) konečná množina. Poznámka 1.5. Z předchozího plyne, že Peanovu množinu můžeme považovat za teoretický model množiny přirozených čísel. V tomto případě prvek e je roven číslu 0, následovník x^\ je roven číslu x + 1 a modely úseků příslušných ke každému přirozenému číslu chápanému jako prvek množiny P si lze představit takto: U(1) = {0}, U(2) = {0, 1}, U(3) = {0, 1, 2}, U(4) = {0, 1, 2, 3} atd. Je zřejmé, že počet prvků každého úseku je určen přirozeným číslem, jemuž daný úsek přísluší. Proto i v dalším textu je možné představit si porovnávání prvků Peanovy množiny (relaci uspořádání v množině P) a následně i operace sčítání a násobení v množině P pomocí množiny přirozených čísel. I když teoretický postup je opačný (z obecné teorie v množině P plynou speciální vlastnosti v množině přirozených čísel), je pro pochopení podstaty vhodné už na tomto místě využít množiny přirozených čísel jako modelu Peanovy množiny P. Poznamenejme dále, že existuje i možnost vybudovat axiomaticky Peanovu množinu tak, že prvek e je roven číslu 1. V tom případě je samozřejmě nutné všechny definice a tvrzení přeformulovat. Relace uspořádání v množině P Definice 1.6: Nechť a, b Î P. Pak platí: a < b Û a Î U(b) . Poznámka 1.7. Je zřejmé, že relace < z definice 1.6. je antireflexivní, antisymetrická a tranzitivní, jedná se tedy skutečně o ostré uspořádání v množině P. Pro každé dva různé prvky a, b množiny P vždy platí právě jeden ze vztahů aÎ U(b), bÎ U(a), proto je uspořádání < lineární. Věta 1.8. Nechť a, b Î P. Pak platí: (1) (" a Î P) a < a^\; (2) Mezi prvky a, a^\ neexistuje žádný prvek x množiny P s vlastností a < x < a^\ ); (3) Množina (P, £ ) je dobře uspořádaná množina. Operace sčítání v množině P Věta 1.9. Na množině P existuje právě jedna operace + (sčítání) taková, že pro každou dvojici x, y prvků množiny P platí: (1) x + e = x , (2) x + y^\ = (x + y)^\ . Věta 1.10. Operace + je v množině P asociativní a komutativní a má neutrální prvek. Operace násobení v množině P Věta 1.11. Na množině P existuje právě jedna operace × (násobení) taková, že pro každou dvojici x, y prvků množiny P platí: (1) x × e = e , (2) x × y^\ = x × y + x . Věta 1.12. Operace × je v množině P asociativní, komutativní, má neutrální prvek a s operací sčítání je svázána distributivním zákonem: " x, y, z Î P: x × (y + z) = x × y + x × z . Věta 1.19. Algebraická struktura (P, +, ×) je komutativní polookruh s neutrálním prvkem. Poznámka 1.20. Z definice množiny P a popsaných vlastností relace uspořádání a operací sčítání a násobení v této množině vyplývá, že polookruh všech přirozených čísel (N, +, ×) je jedním z možných modelů polookruhu (P, +, ×). Roli prvku e hraje číslo 0, následovníkem čísla x je číslo x + 1, úsek množiny N příslušný číslu n obsahuje všechna přirozená čísla od čísla 0 po číslo n - 1 atd. Je samozřejmé, že provádění operací sčítání a násobení podle vět 1.9. a 1.11. se nikde v praxi nepoužívá. Přirozená čísla a jejich vlastnosti Existují tři možnosti zavedení přirozených čísel: jako čísla kardinální, čísla ordinální a prvky formálně zavedené Peanovy množiny. V praxi na školách je nejdůležitější a nejrozšířenější zavedení přirozených čísel jako čísel kardinálních, kdy přirozená čísla vyjadřují počty prvků konečných množin. Ve smyslu ordinálních čísel vyjadřují přirozená čísla počty prvků konečných dobře uspořádaných množin, zatímco přirozená čísla jako prvky Peanovy množiny jsou pouze symboly (nevyjadřují počet prvků). Tato poslední možnost se sice často vyskytuje v praxi (telefonní čísla, čísla občanských průkazů, bankovních kont, označení vozidel MHD, tažená čísla ve Sportce apod), při výuce však důsledně zavádíme přirozená čísla jako počty prvků konečných množin, tzn. jako kardinální čísla. Některé základní vlastnosti přirozených čísel nyní uvedeme (jde pouze o výběr). Definice 1. 21. (dělení se zbytkem v množině přirozených čísel) Pro každá dvě přirozená čísla a, b (b ¹ 0) existuje jediná dvojice přirozených čísel q, z (z < b) s vlastností a = b × q + z. Číslo a se nazývá dělenec, číslo b se nazývá dělitel, číslo q se nazývá neúplný podíl a číslo z se nazývá zbytek. Definice 1. 22. Nechť a, b jsou libovolná přirozená čísla. Nechť existuje přirozené číslo x s vlastností a = b + x. Potom přirozené číslo x nazveme rozdílem přirozených čísel a, b a píšeme x = a - b. Definice 1. 23. Nechť a, b jsou libovolná přirozená čísla. Nechť existuje přirozené číslo x s vlastností a = b × x. Potom přirozené číslo x nazveme podílem přirozených čísel a, b a píšeme x = a : b. Poznámka 1. 24. Vlastnosti sčítání, násobení a porovnávání: : Sčítání: ND, K, A, EN Násobení: ND, K, A, EN × D + Porovnávání: AR, AS, T, SO (ostré lineární uspořádání). Z vlastnosti SO plyne, že každá dvě přirozená čísla lze porovnat. Celá čísla Motivace 2.0. Známe již polookruh všech přirozených čísel a známe tedy všechny jeho vlastnosti a pravidla pro počítání s přirozenými čísly. Problémem ale je, že v oboru přirozených čísel nelze neomezeně odčítat ani dělit. Problém s odečítáním vyřešíme zavedením celých čísel. Obor celých čísel musí mít tedy následující vlastnosti: 1. Musí v něm platit všechna pravidla a vlastnosti operací jako v oboru přirozených čísel. 2. Musí být zajištěno neomezené odčítání každých dvou celých čísel. 3. Přirozená čísla musí být součástí (podmnožinou) celých čísel. Matematicky říkáme, že polookruh přirozených čísel lze izomorfně vnořit do oboru integrity celých čísel. Konstrukce 2.1. Při konstrukci oboru integrity celých čísel postupujeme takto: Vyjdeme z kartézského součinu N ´ N, na kterém definujeme pro každé dvě dvojice [a, b], [c, d]Î N ´ N relaci ∼ vztahem: [a, b] ∼ [c, d] = a + d = b + c. Tato relace je ekvivalence (je reflexivní, symetrická a tranzitivní), existuje tedy rozklad kartézského součinu N ´ N na třídy. Definice 2.2. Třídy rozkladu kartézského součinu N´N určeného ekvivalencí ∼ se nazývají celá čísla. Celá čísla jsou tedy třídy navzájem ekvivalentních uspořádaných dvojic přirozených čísel. Poznámka 2.3. Z definice relace ekvivalence ∼ plyne, že všechny navzájem ekvivalentní uspořádané dvojice přirozených čísel mají tentýž rozdíl mezi první a druhou složkou. Tento rozdíl určuje celé číslo, danou třídou definované. V dalším textu o celých číslech je proto nutno rozlišovat mezi případem, kdy [a, b] bude označovat tuto jednu konkrétní uspořádanou dvojici přirozených čísel a případem, kdy bude hrát roli reprezentující dvojice nějakého celého čísla. V tomto druhém případě budeme užívat tučného označení [a, b]. Platí tedy např. [4, 2] = {[2, 0], [3, 1], [4, 2], [5, 3], [6, 4], ...}. Celé číslo je vždy reprezentováno nekonečnou množinou navzájem ekvivalentních uspořádaných dvojic přirozených čísel. Podle dohodnutého označení je nutno také rozlišovat následující vztahy: Např. pro uspořádané dvojice [5, 3], [6, 4] platí [5, 3] ¹ [6, 4], [5, 3] ∼ [6, 4], pro dvě celá čísla [5, 3], [6, 4] ale platí rovnost [5, 3] = [6, 4], protože obě tyto dvojice jsou reprezentanty téže třídy rozkladu systému N ´ N. Poznamenejme, že v dalším textu budeme pro zjednodušení označovat celá čísla velkými tučnými písmeny, např. A, B, .... Toto označení není v rozporu s uvedenou konstrukcí; vždy lze přejít k reprezentaci pomocí uspořádaných dvojic, např. A = [a, b], B = [c, d], .... Operace s celými čísly a jejich vlastnosti Definice 2.4. Sčítání na množině celých čísel je definováno předpisem [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]. Věta 2.5. Operace + z předchozí definice je komutativní, asociativní, má neutrální prvek 0 reprezentovaný dvojicí [n, n] pro libovolné nÎ N a ke každému celému číslu A = [a, b] existuje právě jedno opačné číslo - A = [b, a]. Věta 2.6. Algebraická struktura (Z, +) je komutativní grupa, ve které jsou řešitelné základní rovnice, tj rovnice A + X = B má vždy řešení v množině Z pro každá dvě celá čísla A, B. Věta 2.7. V grupě (Z, +) existuje právě jedna inverzní operace k operaci sčítání. Tato operace se nazývá odčítání a je definována vztahem A - B = A + (-B). Poznámka 2.8. Z předchozí věty a věty 2.6. lze odvodit početní pravidlo pro operaci odčítání: [a, b] - [c, d] = [a + d, b + c]. Povšimněme si, že v definici odčítání vystupují na pravé straně pouze součty přirozených čísel, tzn. operace odčítání je neomezeně definovaná a tedy algebraická struktura (Z, -) je grupoid. Tento grupoid není pologrupou, protože operace odčítání zřejmě není asociativní ani komutativní. Definice 2.9. Na množině Z definujme binární operaci × následujícím způsobem: [a, b] × [c, d] = [ac + bd, ad + bc]. Tuto operaci nazveme násobením v množině celých čísel. Tato operace je v množině Z neomezeně definovaná, struktura (Z, ×) je tedy grupoid. Věta 2.10. Grupoid (Z, ×) je asociativní, komutativní a má neutrální prvek 1 reprezentovaný dvojicí [n+1,n] pro libovolné nÎ N . Věta 2.11. V grupoidu (Z, ×) pro každá tři celá čísla x, y, z, x ¹ 0 platí implikace x × y = x × z Þ y = z . Věta 2.12. Operace násobení je v množině celých čísel svázána s operací sčítání distributivním zákonem, tj. A, B, C Î Z: A × (B + C) = A × B + A × C. Věta 2.13. Algebraická struktura (Z, +, ×) je komutativní okruh s neutrálním prvkem, který není tělesem. V tomto okruhu neexistují vlastní dělitelé nuly, je to tedy obor integrity. Poznámka 2.14. V oboru integrity všech celých čísel (Z, +, ×) platí řada tvrzení, běžně užívaných při výpočtech. Uveďme některé příklady. Věta 2.15. Nechť A, B, C Î Z. Pak platí: (1) -(-A) = A; (2) -(A + B) = (-A) + (-B); (3) -(A - B) = B - A; (4) (A - (B - C) = (A + C) - B; (5) (-A) × B = A × (-B) = -(A × B). Poznámka 2.16. Operace dělení není v množině Z neomezeně definované, proto nemůže existovat obecný vzorec pro výpočet podílu každých dvou celých čísel. Chceme-li zjistit podíl dvou celých čísel A : B = X, je nutno postupovat podle definice podílu. Vztah A : B = X přepíšeme na tvar A = B × X , dosadíme za A, B reprezentující uspořádané dvojice a řešíme součin A = B × X jako rovnici. V případě, že podíl existuje, je možno ho tímto postupem určit. Relace uspořádání v množině celých čísel Definice 2.17. Nechť A = [a, b] je celé číslo. Řekneme, že toto číslo je kladné a píšeme A > 0, právě když platí a > b. Je-li a = b, pak číslo A = 0 ; ve zbývajícím případě pro a < b říkáme, že celé číslo A je záporné a píšeme A < 0. Poznámka 2.18. Je zřejmé, že jeden z předchozích případů vždy musí nastat. Každé celé číslo je tedy buďto kladné nebo záporné nebo je rovno nule. Existuje tedy rozklad množiny všech celých čísel na čísla kladná, nulu a čísla záporná. Definice 2.19. Nechť A, B jsou celá čísla. Řekneme, že A < B, právě když platí A- B < 0. Je-li A- B = 0, pak A = B; ve zbývajícím případě pro A - B > 0 pak platí A > B. Poznámka 2.20. Je zřejmé, že i v předchozí definici jeden z případů vždy musí nastat. Relace uspořádání všech celých čísel je tedy lineární. Věta 2.21. Nechť A je celé číslo. Pak platí: (1) A > 0 Þ - A < 0. (2) A < 0 Þ - A > 0. Věta 2.22. Nechť A, B jsou kladná celá čísla. Potom jejich součet A + B i součin A × B jsou také kladná celá čísla. Poznámka 2.23. Výše definovaná relace uspořádání v množině všech celých čísel je spojena s operacemi v této množině řadou vztahů. Uveďme alespoň některé. Věta 2.24. Nechť A, B, C, D jsou libovolná celá čísla. Pak platí: (1) Jestliže A > B a C < 0, potom AC < BC; (2) Jestliže A + C > B + C, potom A > B; (3) Jestliže AC > BC a C > 0, potom A > B; (4) Jestliže AC > BC a C < 0, potom A < B; (5) Jestliže A > B a C > D, potom A + C > B + D; (6) Jestliže A > B a C > D a C > 0 a B > 0, potom A × C > B × D . Věta 2.25. Nechť A, B jsou libovolná celá čísla, přičemž B ¹ 0. Pak existuje jednoznačně určená dvojice celých čísel Q, R (přičemž 0 £ R < çBç) s vlastností A = B × Q + R. Číslo A se nazývá dělenec, číslo B dělitel, číslo Q je podíl (někdy též neúplný podíl) a číslo R je zbytek. Proces nalezení čísel Q, R se nazývá dělení se zbytkem v množině celých čísel. Definice 2.26. Absolutní hodnotu çA ç celého čísla A definujeme takto: (1) Je-li A ³ 0, pak çAç = A ; (2) Je-li A < 0, pak çAç = -A. Věta 2.27. Nechť A, B jsou libovolná celá čísla, pak platí: (1) çAç = ç-Aç; (2) A £ çAç; (3) çAç^2 = A^2; (4) çA × Bç = çAç× çBç; (5) çA + Bç £ çAç+ çBç; (6) çA - Bç ³ çAç- çBç. Poznámka 2.28. Vnoření y : N ® Z grupoidu N do grupy Z je definováno pro každý prvek n Î N předpisem y(n) = {[n,0]; nÎ N}. Každé celé kladné (tj. přirozené) číslo n je tedy reprezentováno dvojicí [n, 0], číslo nula je reprezentováno dvojicí [0, 0] a každé celé záporné číslo - n je reprezentováno dvojicí [0, n]. Racionální čísla Motivace 3.0. Známe již obor integrity všech celých čísel a známe tedy všechny jeho vlastnosti a pravidla pro počítání s celými čísly. Problémem ale je, že v oboru celých čísel nelze neomezeně dělit. Problém s dělením vyřešíme zavedením racionálních čísel. Obor racionálních čísel musí mít tedy následující vlastnosti: 1. Musí v něm platit všechna pravidla a vlastnosti operací jako v oboru celých čísel. 2. Musí být zajištěno neomezené dělení každých dvou racionálních čísel (kromě dělení nulou). 3. Celá čísla musí být součástí (podmnožinou) racionálních čísel. Matematicky říkáme, že obor integrity celých čísel lze izomorfně vnořit do tělesa racionálních čísel. Konstrukce 3.1. Při konstrukci tělesa racionálních čísel postupujeme takto: Vyjdeme z kartézského součinu Z ´ Z - {0}, na kterém definujeme pro každé dvě dvojice [a, b], [c, d]Î Z ´ Z - {0} relaci ∼ vztahem: [a, b] ∼ [c, d] = a × d = b × c. Tato relace je ekvivalence (je reflexivní, symetrická a tranzitivní), existuje tedy rozklad kartézského součinu Z ´ Z- {0} na třídy. Definice 3.2. Třídy rozkladu kartézského součinu Z ´ Z - {0} určeného ekvivalencí ∼ se nazývají racionální čísla. Racionální čísla jsou tedy třídy navzájem ekvivalentních uspořádaných dvojic celých čísel. Poznámka 3.3. V dalším budeme kartézský součin Z ´ Z - {0} označovat M a nazývat množina všech zlomků. Protože se racionální čísla běžně vyjadřují pomocí zlomků, budeme uspořádané dvojice z množiny M zapisovat jako zlomky, tedy místo [a, b] budeme psát . Odtud je také zřejmé, proč se v množině M pro druhé složky všech dvojic nepřipouští číslo nula. Poznámka 3.4. Racionální čísla jsou podle této konstrukce třídami rozkladu M |[∼], tedy třídami navzájem ekvivalentních zlomků. Vnoření y : Z ® Q okruhu Z do tělesa Q je definováno pro každý prvek z Î Z předpisem y (z) = { ; xÎ Z- {0}}. Poznámka 3.5. Analogicky jako u celých čísel budeme rozlišovat jeden konkrétní zlomek od racionálního čísla. Tučným označením budeme označovat stav, kdy tento zlomek bude reprezentovat racionální číslo, zatímco běžným způsobem budeme označovat tento jeden konkrétní zlomek. Platí tedy např. = { }. Poznamenejme, že v dalším textu budeme pro zjednodušení označovat racionální čísla velkými tučnými písmeny, např. A, B, .... Toto označení není, tak jako u celých čísel, v rozporu s uvedenou konstrukcí; vždy lze přejít k reprezentaci pomocí uspořádaných dvojic, např. A = , B = , .... Věta 3.6. Operace sčítání v množině všech racionálních čísel je definována vztahem . Tato operace je komutativní, asociativní, má neutrální prvek, ke každému racionálnímu číslu existuje právě jedno číslo opačné a jsou řešitelné základní rovnice. Algebraická struktura (Q, +) je tedy komutativní grupa. Poznámka 3.7. V grupě (Q, +) platí analogické vlastnosti a vztahy jako v grupě (Z, +), není tedy nutné je na tomto místě znovu uvádět. Poznamenejme jen, že neutrálním prvkem je číslo 0 reprezentované třídou a opačným racionálním číslem k číslu je číslo - , které lze reprezentovat buďto třídou nebo třídou . Poznámka 3.8. Analogicky jako pro celá čísla lze zavést operaci odčítání jako přičtení opačného prvku, tedy A - B = A + (-B). Takto lze snadno odvodit běžně užívaný vztah pro odčítání zlomků: . Poznámka 3.9. Operace odčítání má v množině všech racionálních čísel tytéž vlastnosti jako v množině celých čísel (tj. není komutativní ani asociativní). Věta 3.10. Operace násobení v množině všech racionálních čísel je definována vztahem . Tato operace je v množině Q komutativní, asociativní a má neutrální prvek. Tímto neutrálním prvkem je číslo 1 reprezentované třídou zlomků . Algebraická struktura (Q, ×) je komutativní pologrupa s neutrálním prvkem. Operace násobení je distributivní vzhledem k operaci sčítání v množině všech racionálních čísel. Poznámka 3.11. Budeme-li zkoumat i existenci inverzních prvků a řešitelnost základních rovnic vzhledem k operaci násobení v množině Q, snadno zjistíme, že jediným prvkem, který neumožňuje platnost těchto vlastností, je číslo 0. Po jeho odstranění z množiny Q můžeme vyslovit následující větu. Věta 3.12. (1) Algebraická struktura (Q - {0}, ×) je komutativní grupa. (2) Algebraická struktura (Q ,+, ×) je komutativní těleso. Poznámka 3.13. Inverzním prvkem k racionálnímu číslu je číslo . Toto číslo vždy jednoznačně existuje (b ¹ 0 podle konstrukce racionálních čísel a a ¹ 0 podle předpokladu z poznámky 3.11. a věty 3.12.), nazývá se převrácené číslo k číslu a označuje . Při označení racionálního čísla A se převrácené číslo kromě zápisu A^-^1 zapisuje též . V množině Q - {0} jsme nyní připraveni k definici operace dělení. Definice 3.14. Dělení v množině Q - {0} je definováno jako násobení převráceným číslem, tj. A : B = A × B^-^1 . Vyjádřeno pomocí definice operace násobení a převráceného čísla dostáváme . Poznámka 3.16. Připomeňme znovu, že existence převráceného čísla i operace dělení jsou neomezeně definovány v množině Q - {0}, tedy že skutečně nemůže dojít k „dělení nulou“. Pro operace dělení a násobení platí rovněž řada vlastností, z nichž uvedeme např.: Věta 3.17. Nechť A, B, C Î Q. Pak platí: (1) (A^-^1)^-^1 = A; (2) (A × B)^-^1 = A^-^1 × B^-^1; (3) (A × B^-^1)^-^1 = B × A^-^1; (4) (A × B^-^1) × C ^-^1 = A × (B × C)^-^1; (5) A × (B × C ^-^1)^-^1 = (A × C) × B^-^1. Relace uspořádání v množině racionálních čísel Definice 3.18. Nechť A = je racionální číslo. Řekneme, že toto číslo je kladné a píšeme A > 0, právě když platí a i b jsou buďto obě současně kladná celá čísla nebo obě současně záporná celá čísla. Je-li a = 0, pak číslo A = 0 ; ve zbývajícím případě (jedno z čísel a,b je kladné celé číslo a jedno záporné) říkáme, že racionální číslo A je záporné a píšeme A < 0. Poznámka 3.19. Je zřejmé, že jeden z předchozích případů vždy musí nastat. Každé racionální číslo je tedy buďto kladné nebo záporné nebo je rovno nule. Existuje tedy rozklad množiny všech racionálních čísel na čísla kladná, nulu a čísla záporná. Definice 3.20. Nechť A, B jsou racionální čísla. Řekneme, že A < B, právě když platí A - B < 0. Je-li A - B = 0, pak A = B ; ve zbývajícím případě pro A - B > 0 pak platí A > B. Poznámka 3.21. Je zřejmé, že i v předchozí definici jeden z případů vždy musí nastat. Relace uspořádání všech racionálních čísel je tedy lineární. Poznámka 3.22. Pro relaci uspořádání v množině racionálních čísel a její spojení s operacemi v množině Q platí analogické vztahy jako v množině celých čísel, stejně je definována i absolutní hodnota racionálního čísla. Platí zajímavá vlastnost relace uspořádání racionálních čísel, která v množinách přirozených ani celých čísel platit nemohla. Definice 3.23. Uspořádání v množině racionálních čísel je husté, tzn. " x, y Î Q, x ¹ y; $ zÎ Q: x < z < y . Poznámka 3.24. Definice hustého uspořádání říká, že „mezi každá dvě různá racionální čísla lze vložit další racionální číslo“. Desetinné rozvoje racionálních čísel Věta 3.25. Každé racionální číslo lze vyjádřit pomocí desetinného rozvoje, přičemž tento desetinný rozvoj je buďto ukončený nebo je periodický. Ukončený je právě tehdy, je-li dané racionální číslo tvaru , tj. obsahuje-li rozklad jeho jmenovatele na prvočinitele pouze prvočísla 2 nebo 5. Reálná čísla Poznámka 4.1. Podle definice 3.23 a poznámky 3.24 se „laickým pohledem“ zdá, že každý bod číselné osy je obrazem racionálního čísla. To však neplatí. Snadno lze dokázat, že na číselné ose jsou „mezery“; např. je číslo, které zcela jistě existuje (délka úhlopříčky čtverce o straně 1), avšak není racionální (nelze ho vyjádřit pomocí zlomku). Definice 4.2. Každá mezera v uspořádané množině (Q, < ) určuje právě jedno iracionální číslo. Označíme-li množinu všech iracionálních čísel I, pak pro množinu všech reálných čísel R platí R = Q È I . Věta 4.3. (1) Lineárně uspořádaná množina (R, < ) je spojitě uspořádaná (neobsahuje mezery). (2) " x, y Î R, x < y; $ zÎ Q: x < z < y . (3) Desetinný rozvoj iracionálních čísel je nekonečný a nikdy není periodický. (4) Algebraická struktura (R,+, ×) je komutativní těleso. Poznámka 4.4. Protože lineárně uspořádaná množina (R, <) neobsahuje mezery, lze konstatovat, že každý bod číselné osy je obrazem právě jednoho reálného čísla a naopak, každé reálné číslo lze jednoznačně znázornit na číselné ose. Číselné soustavy Poznámka 9. 1. Nepoziční soustavy nerozlišují řád číslice, zatímco poziční soustavy ano. Tedy např. v zápise římskými číslicemi je číslo I I I rovno třem, zatímco v desítkové soustavě je číslo 111 rovno sto jedenácti. Nepoziční soustavy nemají symbol pro nulu, který je naopak v pozičních soustavách nutný. Např. čísla sto jedna, tisíc jedna jsou zapsána v desítkové soustavě 101, 1001, zatímco pomocí římských číslic C I, M I. Věta 9. 3. Nechť z je pevně zvolené přirozené číslo větší než jedna, nechť a je libovolné přirozené číslo. Pak platí: (1) Existuje přirozené číslo n s vlastností z^n £ a < z^n+1. (2) Číslo a lze vyjádřit právě jedním způsobem ve tvaru a = a[n ]z^n + a[n][-][1 ]z^n^-^1 + a[n][-][2 ]z^n^-^2 + ... + a[2 ]z^2 + a[1] z + a[0 ], (⋆) kde a[i] , i = 0, 1, 2, ..., n jsou nezáporná celá čísla menší než z. Definice 9. 4. Nechť platí označení předchozí věty a pro čísla a, n platí vyjádření (⋆). Pak říkáme, že jsme číslo a vyjádřili v číselné soustavě o základu z. Zkráceně píšeme a = (a[n]a[n][-][1]...a[0])[z ], přičemž závorky lze v zápisu vynechat. Číslo z nazýváme základ číselné soustavy, symboly a[i] , i = 0, ..., n se nazývají číslice (cifry). O číslici a[i] říkáme, že je řádu i, číslo z^i se nazývá jednotka řádu i pro i = 0, ..., n. Poznámka 9. 5. Je-li z > 10, plyne z předchozí věty, že v soustavě o základu z musí existovat právě z různých cifer 0, 1, ..., z - 1. Protože v běžně užívané desítkové soustavě máme k dispozici pouze deset cifer 0, ..., 9, je nutno doplnit další symboly. Podle mezinárodní konvence se užívá A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Soustavy o základu větším než 16 se již nepoužívají, proto není potřeba zavádět další symboly. Poznámka 9. 6. (Porovnávání čísel). V každé poziční číselné soustavě platí stejná pravidla pro porovnávání čísel jako v soustavě desítkové. Obsahuje-li zápis přirozeného čísla a v číselné soustavě o základu z právě n číslic (číslice nejvyššího řádu je nenulová), pak z^n^-^1 £ a < z^n. Jsou-li zapsána dvě přirozená čísla a, b v číselné soustavě o stejném základu (číslice nejvyššího řádu jsou nenulové), pak platí: 1. To číslo, v jehož zápisu je více číslic, je větší. 2. Mají-li zápisy obou čísel stejný počet číslic, pak je větší to číslo, v jehož zápisu číslice nejvyššího řádu označuje větší přirozené číslo. 3. Nechť dvě různá čísla a, b jsou zapsána v téže soustavě zápisem o stejném počtu číslic, tj. (a[n]a[n][-][1]...a[0])[z ], (b[n]b[n][-][1]...b[0])[z]. Existuje-li číslo k (0 £ k < n) s vlastností a[i] = b[i] pro i = n, n-1, ..., k+1, a[k] ¹ b[k] , pak větší je to číslo, v jehož zápise číslice řádu k označuje větší přirozené číslo. Poznámka 9. 7. (Převádění zápisů přirozených čísel) Při převádění zápisu přirozeného čísla a z desítkové soustavy do číselné soustavy o základu z postupujeme tak, že číslo a vydělíme číslem z se zbytkem. V dalším kroku vezmeme neúplný podíl předchozího dělení a opět dělíme základem soustavy. Takto pokračujeme tak dlouho, dokud není neúplný podíl roven nule (po konečném počtu dělení tento případ musí nastat). Hledaný zápis čísla a v soustavě o základu z je určen všemi zbytky po všech provedených děleních, které napíšeme vedle sebe počínaje od posledního k prvnímu. Při praktickém převádění využíváme nejčastěji jednoduchou tabulku, kterou si ilustrujeme nejprve pro a = 986, z = 4, pak pro a = 2507, z = 16. V tabulce o dvou sloupcích zapíšeme do záhlaví čísla a, z, do levého sloupce píšeme neúplné podíly a do pravého sloupce zbytky. Obrácený převod z nedesítkové do desítkové soustavy se provádí rozvojem v nedesítkové soustavě. Příklad 9. 8. 986 4 246 61 15 3 0 2 2 1 3 3 986 = 33122[4 ]. Zkouška: 3122[4 ] = 3 . 4^4 + 3 . 4^3 + 1 . 4^2 + 2 . 4 + 2 = 3 . 256 + 3 . 64 + 16 + 8 + 2 = 986. Příklad 9. 9. 2507 16 156 9 0 11 12 9 2057 = 9CB[16] . Zkouška: 9CB[16] = 9 . 16^2 + 12 . 16 + 11 = 9 . 256 + 12 . 16 + 11 = 2304 + 192 + 11 = 2507. Povšimněme si, že v případě z > 10 přepisujeme dvouciferné zbytky pomocí písmen a opačně, při rozvoji čísla místo písmene použijeme příslušné dvouciferné číslo. Poznámka 9. 10. Na základě poznámky 9.7. lze nyní převést zápis jakéhokoliv přirozeného čísla z desítkové soustavy do nedesítkové a naopak. V případě, že chceme převést zápis přirozeného čísla zapsaného v nedesítkové soustavě do jiné nedesítkové soustavy, je nejvýhodnější přechod přes desítkovou soustavu. Existují ovšem případy (a jsou hojně využívány zejména v informatice), kdy lze takový převod mezi dvěma nedesítkovými soustavami provést přímo. To lze provést tehdy, jestliže pro dva základy soustav z[1] , z[2 ] platí vztah z[1 ]= z[2]^n pro nějaké přirozené číslo n. S ohledem na praktické využití jsou důležité zejména přímé převody mezi soustavou dvojkovou a čtyřkovou, dvojkovou a osmičkovou, dvojkovou a šestnáctkovou, resp. mezi čtyřkovou a šestnáctkovou. Převody se provádí na základě následující věty: Věta 9. 11. Nechť pro dva základy soustav z[1] , z[2 ] platí vztah z[1 ]= z[2]^n pro nějaké přirozené číslo n. Pak číslo zapsané n ciframi v číselné soustavě o základu z[2] lze zapsat jedinou cifrou v číselné soustavě o základu z[1] . Příklad 9. 12. Převeďte číslo 110110010110[2] do soustavy se základem 8. Víme, že 8 = 2^3. Platí : 110101010110[2 ]= 1 . 2^11 + 1 . 2^10 + 0 . 2^9 + 1 . 2^8 + 0 . 2^7 + 1 . 2^6 + 0 . 2^5 + 1 . 2^4 + 0 . 2^3 + 1 . 2^2 + 1 . 2 + 0 = (1 . 2^2 + 1 . 2 + 0) . (2^3)^3 + (1 . 2^2 + 0 . 2 + 1) . (2^3)^2 + (0 . 2^2 + 1 . 2 + 0) . 2^3 + (1 . 2^2 + 1 . 2 + 0) = 6 . 8^3 + 5 . 8^2 + 2 . 8 + 6 = 6526[8] . Poznámka 9. 13. Postup uvedený v předchozím příkladu je těžkopádný a nepřehledný. V praxi postupujeme tak, že při převodu zápisu přirozeného čísla ze základu z[2] na základ z[1] = z[2]^n zapíšeme dané číslo ve zkráceném tvaru v soustavě z[2], rozdělíme zprava na n-ciferné skupiny, přičemž každá taková skupina n cifer dá podle věty 9. 11. jednu cifru v soustavě z[1]. Příklad 9.12. lze pak psát takto: 110110010110[2] = 110| 110| 010| 110[2 ]= 6526[8 ]. Při opačném převodu postupujeme analogicky. Musíme si však uvědomit, že vždy vytváříme z každé cifry v soustavě z[1] skupinu n cifer v soustavě z[2], tedy např. 301[4] = 110001[2], 301[8] = 011000001[2] , tzn. např. číslo nula je zapsáno v prvním případě dvěma nulami, zatímco ve druhém případě třemi nulami. Poznámka 9.13. Pro počítání v nedesítkových soustavách platí stejná pravidla jako pro počítání v desítkové soustavě. Pravidla pro provádění písemného sčítání, odčítání, násobení a dělení v desítkové soustavě lze všechna „přenést“ i pro počítání v nedesítkové soustavě. Procvičení takových početních výkonů poznáte v semináři. Poznámka 9.14. V závěru textu jsou jako přílohy dvě tabulky. První z nich obsahuje převody čísel od 0 do 40 do všech soustav od základu 2 až do základu 16, ve druhé tabulce jsou uvedeny převodní vztahy pro přímé převody mezi nedesítkovými soustavami v případech, kdy to je možné (až do základu 16).