MPS JČMF pobočka Olomouc UP Olomouc 2004 Sborník sestavili: J. Molnár, Přírodovědecká fakulta UP v Olomouci B. Novák, Pedagogická fakulta UP v Olomouci D. Navrátilová, Pedagogická fakulta UP v Olomouci P. Calábek, Přírodovědecká fakulta UP v Olomouci ISBN vydává UP Olomouc 2004 Česká republika Úvodní slovo Vážení a milí přátelé Matematického Klokana, držíte v ruce již desátou ročenku soutěže Matematický klokan vydanou v České republice. Klokan za tu dobu vyrostl z dětských plenek, aleje to stále trošku dovádivé mládě, které si sice vydobylo své místo na slunci, ale ke spořádané dospělosti má stále ještě daleko. Občas dělá vrásky jak pořadatelům v olomouckém centru, tak krajským, okresním i školním důvěrníkům a tisícům pedagogických pracovníků „v první linii". Odměnou nám všem však je, že Klokana mají rádi žáci a studenti na mnoha našich školách. Česká republika patří svým čtvrtmilionem zapojených dětí na přední místa mezi třemi desítkami zemí Evropy, Asie a Ameriky, ve kterých se Klokan usídlil. Deset let je mezníkem k ohlédnutí, proto připravujeme sumarizační publikaci k tomuto malému jubileu. Desátý ročník soutěže Matematický klokan se uskutečnil 19. 3. 2004 a soutěžní úlohy řešilo 249 282 žáků a studentů.ze všech 14 krajů naší republiky. Organizace soutěže přešla na strukturu krajských důvěrníků a jejich návaznost na Krajské úřady, mění se cesty přenosů úloh a zpráv okresním či školním důvěrníky. V této souvislosti oznamujeme, že informace o Matematickém klokanovi můžete nyní nalézt na webových stránkách Katedry matematiky Pedagogické fakulty UP, Katedry algebry a geometrie Přírodovědecké fakulty UP, ale také na vlastní stránce Matematického klokana na adrese www.matematickyklokan.net , kde mimo jiné naleznete i kontaktní adresy na výše zmíněné krajské důvěrníky. Údaje v této ročence jsou uspořádány obvyklým způsobem, za podklady ke statistice obtížnosti soutěžních úloh děkujeme organizátorům Královehradeckého kraje. Děkujeme samozřejmě i všem, kteří nám byli jakoukoliv formou nápomocni při organizaci nejen desátého ročníku Matematického klokana. Pořadatelé Olomouc, říjen 2004 www.matematickyklokan.net soutez@matematickyklokan.net 3 Vývoj Matematického klokana v posledních deseti letech KLOKÁNEK BENJAMIN KADET JUNIOR STUDENT CELKEM 1995 6 205 7 834 7 280 2 195 1 297 24 811 1996 18 522 30 819 27 262 6 148 3 938 86 689 1997 61 161 59 314 51 769 8 631 7 349 188 224 1998 62 963 67 417 57 653 11 580 8 484 208 097 1999 87 885 79 717 73 578 16 847 6 606 264 633 2000 95 426 87 304 81 893 20 384 10319 295 326 2001 93 434 86 458 78 408 20 173 11 228 289 701 2002 99 204 86 785 81 440 20 479 10 428 298 336 2003 83 584 74 112 65 839 19 615 9 879 253 029 2004 78 275 75 609 68 324 17 345 9 729 249 282 Vývoj počtu účastníků Matematického klokana v jednotlivých ročnících 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Soutěž Matematický Klokan pro žáky se sluchovým postižením V letošním roce proběhl zkušební ročník soutěže Matematický Klokan na školách pro žáky se sluchovým postižením. Celkem bylo osloveno 5 ze 14 základních škol pro sluchově postižené. Nakonec se soutěže zúčastnili 92 žáci ze 4 speciálních škol pro sluchově postižené v Brně, Ostravě, Olomouci a ve Valašském Meziříčí. Soutěž proběhla ve dvou kategoriích Klokánek a Benjamín. Celá soutěž byla přizpůsobena specifickým potřebám žáků se sluchovým postižením. Soutěžní kategorie Klokánek a Benjamín byly připraveny pro žáky nižších tříd než je tomu u soutěžících na běžné základní škole (Klokánek - 6. a 7. třída, Benjamín 8. a 9.třída). Počet soutěžních úloh byl snížen z 24 na 18 především vzhledem k věším časovým nárokům na porozumění psaného textu žáky se sluchovým postižením. Maximální bodový zisk byl upraven na 90 bodů ( počáteční bonus byl poměrně snížen z 24 na 18 bodů). Časová dotace pro řešení úloh 60 minut čistého času zůstala zachována. Při samotném průběhu byli řešitelé informováni o všech pravidlech soutěže prostřednictvím jimi preferovaných komunikačních prostředků (znakový jazyk a další komunikační systémy). Do soutěže byly vybrány především úlohy, u kterých byl kladen důraz na porozumění informace podané grafickou cestou, neznámá (málo používaná slova) byla nahrazena srozumitelnějším synonymem, některé jazykové formulace soutěžních úloh byly zjednodušeny při zachování matematické podstaty. Ze souboru soutěžních úloh bylo vyřazeno 6 nej obtížnějších úloh, jejichž úspěšné vyřešení záviselo především na porozumění komplikovaného textu zadání. Kategorie Klokánek: Kategorii Klokánek řešilo 42 žáků z šestých a sedmých tříd. Nejlepší řešitelé: Marie Mikulíková, Martin Paulík, Jiří Goldefus a Petr Macík průměrný bodový zisk byl 20,5 bodu z 90 (19% -ní úspěšnost) nej nižší počet získaných bodů byl 3 body nejvyšší počet získaných bodů byl 42 body z 90 (47% -ní úspěšnost) 0 0 Klokánek - výsledky soutěže 1 0 11 2 21 3 31 0 41 1 51 0 61 0 71 0 81 0 2 0 12 0 22 0 32 2 42 1 52 0 62 0 72 0 82 0 1 13 2 23 1 33 1 43 0 53 0 63 0 73 0 83 0 4 2 14 2 24 1 34 0 44 0 54 0 64 0 74 0 84 0 5 0 15 1 25 2 35 0 45 0 55 0 65 0 75 0 85 0 6 0 16 1 26 0 36 1 46 0 56 0 66 0 76 0 86 0 7 0 17 0 27 1 37 1 47 0 57 0 67 0 77 0 87 0 8 2 18 2 28 2 38 0 48 0 58 0 68 0 78 0 88 0 9 1 19 1 29 0 39 2 49 0 59 0 69 0 79 0 89 0 10 3 20 0 30 2 40 0 50 0 60 0 70 0 80 0 90 0 Nejúspěšněji řešená úloha (vyřešilo ji 48% soutěžících) 2001 + 2002 + 2003 + 2004 + 2005= ? (A) 1 015 (B) 5 010 (C) 10 150 (D) 11 005 (E) 10 015 5 Nejméně úspěšně řešená soutěžní úloha ( 86% žáků ji nevyřešilo správně) Petr a Jakub spolu chodí dojedná třídy. Při hodině tělesné výchovy se celá třída seřadila (postavila do řady) podle velikosti do jedné řady. Za Petrem stálo 16 spolužáků. Jedním z nich byl Jakub. Před Jakubem stálo 14 spolužáků. Mezi Petrem a Jakubem stálo 7 dětí. Kolik žáků stálo celkem v řadě? (A) 16 (B)22 (C)23 (D) 30 (E) 37 Úloha, kterou řešilo nejméně žáků ( 55% žáků ji neřešilo vůbec, správně ji vyřešilo 39% řešitelů) Pouze jedny hodiny na obrázku ukazují správný čas. Jedny hodiny se o 20 minut předcházejí (jdou napřed o 20 minut jedny se o 20 minut opožďují (jdou o 20 minut později). Jedny hodiny nejdou vůbec. Kolik je hodin? (A) 4 hodiny 45 minut (B) 5 hodin 5 minut (C) 5 hodin 25 minut (D) 5 hodin 40 minut (E) nemůžeme určit Benjamín: V kategorii Benjamín soutěžilo 50 žáků osmých a devátých tříd. Nejlepší řešitelé: Ondřej Vavroš, Eva Uhrová, Míša Blahová a Miroslav Březina průměrný bodový zisk byl 24,3 body z 90 (27%-ní úspěšnost ) nej nižší počet získaných bodů byl 4 body nejvyšší počet získaných bodů byl 52 body (58%-ní úspěšnost) 0 0 Benjamín - výsledky soutěže 1 0 11 0 21 1 31 0 41 0 51 0 61 0 71 0 81 0 2 0 12 0 22 3 32 4 42 1 52 2 62 0 72 0 82 0 3 0 13 0 23 3 33 1 43 0 53 0 63 0 73 0 83 0 1 14 1 24 5 34 0 44 0 54 0 64 0 74 0 84 0 5 1 15 3 25 3 35 2 45 1 55 0 65 0 75 0 85 0 6 0 16 2 26 0 36 0 46 0 56 0 66 0 76 0 86 0 7 0 17 0 27 1 37 0 47 1 57 0 67 0 77 0 87 0 8 0 18 0 28 2 38 0 48 0 58 0 68 0 78 0 88 0 9 1 19 4 29 0 39 1 49 0 59 0 69 0 79 0 89 0 10 1 20 4 30 1 40 0 50 0 60 0 70 0 80 0 90 0 6 Nejúspěšněji řešená úloha (Vyřešilo ji 74% soutěžících) Uřízli jsme část krychle podle obrázku. Která z následujících sítí odpovídá zmenšené síti této krychle? _r (A) > □ lil! ([» Nejméně úspěšně řešená soutěžní úloha ( 88% žáků ji nevyřešilo správně) Kolik čtverečků nejméně musíme ještě vybarvit, aby výsledný obrázek byl osově souměrný? (A)l (B)2 (C)3 (D)4 (E)5 Úloha, kterou řešilo nejméně žáků ( 38%) žáků ji neřešilo vůbec, správně ji vyřešilo 10 % řešitelů) 5 2 Magda a Terezka šly na houby. Celkem nasbíraly 70 hub. — Magdiných hub byly bedly a — Terezčiných hub byly žampiony. Kolik hub našla Magda? (A) 27 (B)36 (C)45 (D) 54 (E) 10 7 Zadání soutěžních úloh kategorie Klokánek Úlohy za 3 body 1. Které číslo je o 25 menší než největší dvojciferné číslo? (A) 25 (B) 35 (C) 74 (D) 75 (E) 124 2. Vypočítej 2 001 + 2 002 + 2 003 + 2 004 + 2 005. (A) 1015 (B) 5 010 (C) 10150 (D) 11005 (E) 10015 3. Které z čísel je zapsáno současně v kruhu a v obdélníku a přitom neleží v trojúhelníku? (A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 8 (E) 10 4. Když se Jáchymovi narodila jeho sestra, byly mu 4 roky. Dnes slaví Jáchym deváté narozeniny. O kolik let je Jáchym starší než jeho sestra? (A) o 4 roky (B) o 5 let (C) o 9 let (D) o 13 let (E) o 14 let 5. Na obrázku je nakreslena silnice z města A do města B. Mezi místy C a D se silnice opravuje. Objížďka je znázorněna přerušovanou čarou. O kolik kilometrů se cesta z města A do města B po objížďce prodlouží? A_ C_D_B í 1 1 3 km | i Y i______________i (A) o3km (B) o5km (C) oókm (D) o 10 km (E) není možné určit Na telefonním drátě seděly vlaštovky. V jednom okamžiku 5 z nich odlétlo a po chvíli se 3 vrátily zpět. Na drátě pak sedělo 12 vlaštovek. Kolik vlaštovek sedělo na drátě původně? (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) 14 7. Podívej se na obrázek vpravo. Kolik bílých čtverců musíš vybarvit černě, aby počet všech černých čtverců byl roven polovině počtu bílých čtverců? (A) (D) (B) (E) (C) 4 není mozne určit 8 8. Petr a Jakub spolu chodí do jedné třídy. Při hodině tělesné výchovy se celá třída seřadila podle velikosti do jedné řady. Za Petrem stálo 16 spolužáků. Jedním z nich byl Jakub. Před Jakubem stálo 14 spolužáků. Mezi Petrem a Jakubem stálo 7 dětí. Kolik žáků stálo v řadě? (A) 16 (B) 22 (C) 23 (D) 30 (E) 37 Úlohy za 4 body 9. O kolik zestárneš za 360 000 sekund? (A) o 1 hodinu (D) o 10 hodin (B) o 2 hodiny (E) o více než 10 hodin (C) o 5 hodin 10. Na vahách jsou tužky a štětec. Kolik váží štětec? (A) 6 g (B) 7 g (Q 8 g (D) 9 g (E) 10 g 11. Eva donesla Michalovi košík s jablky a pomeranči. Michal vyndal z košíku polovinu jablek a třetinu pomerančů. Kolik ovoce zůstalo v košíku? (A) polovina (B) více než polovina (D) méně než jedna třetina (E) nelze určit (C) třetina 12. Pouze jedny z hodin na obrázku ukazují správný čas. Jedny hodiny se o 20 minut předcházejí, jedny se o 20 minut zpožďují. Jedny hodiny nejdou vůbec. Kolik je hodin? (A) 4 hodiny 45 minut (D) 5 hodin 40 minut (B) 5 hodin 5 minut (E) není možné určit (C) 5 hodin 25 minut 13. Martina dostala k narozeninám nový sešit. Z prvního listu vyřízla několik čtverečků a celou plochu obarvila vodovými barvami. Jak byl obarvený druhý list, když Martina první list vytrhla a položila vpravo? □ □ 9 14. Katka našla starou knihu, ve které chyběly některé listy. Když knihu otevřela, uviděla vedle sebe stranu číslo 24 a stranu číslo 45. Kolik listů chybělo v této části knihy? (A) 9 (B) 10 (Q 11 (D) 20 (E) 21 15. Na krychli vpravo jsou každé dvě protější stěny vybarveny stejnou barvou. Na kterém obrázku je síť této krychle? (B) in (C) 3 zľH (D, rg-fl (E) 16. Radka je o 52 dnů starší než její spolužačka Daniela. V tomto roce Radka oslavovala své narozeniny v měsíci březnu v úterý. Který den v týdnu bude letos slavit své narozeniny Daniela? (A) v pondělí (B) v úterý (C) ve středu (D) ve čtvrtek (E) v pátek Úlohy za 5 bodů 17. Čtverec na obrázku je rozdělen na čtyři políčka. Představ si, že v každém políčku je i—i— zapsáno jedno číslo tak, že součet čísel v prvním řádku je 3, součet čísel ve druhém__ řádku je 8 a součet čísel v prvním sloupci je 4. Urči součet čísel ve druhém sloupci.__ (A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 11 18. Ulice na obrázku se jmenuje Barevná. Najdete tam modrý, červený, žlutý, růžový a zelený dům. Domy jsou očíslovány od 1 do 5. Víme, že: • modrý a žlutý dům jsou označeny sudými čísly, • červený dům sousedí pouze s modrým domem, • modrý dům stojí mezi zeleným a červeným domem. Jakou barvu má dům číslo tři? / 1 \ /^\ ^\ QJJ LLU LLU (A) modrou (B) červenou (C) žlutou (D) růžovou (E) zelenou 19. Součet všech číslic deseticiferného čísla je roven 9. Jaký je součin těchto číslic? (A) 0 (B) 1 (C) 45 (D) 9-8-7-...-2 - 1 (E) záleží na číslicích daného čísla 20. Krychle na obrázku je složená pouze z černých a bílých kostek. Žádné dvě kostky stejné barvy nemají společnou stěnu. Všechny vrcholy krychle jsou černé. Kolik bílých kostek bylo použito? (A) 60 (B) 62 (C) 64 (D) 65 (E) 68 10 21. Při výrobě betonu vhodil zedník do míchačky vždy 4 lopaty štěrku, 2 lopaty písku a 1 lopatu cementu. Po dokončení práce zjistil, že do betonu dal dohromady 350 lopat materiálu. Kolik lopat štěrku bylo v betonu? (A) 200 (B) 150 (C) 100 (D) 87,5 (E) 50 22. Vpravo vidíš díly dřevěné stavebnice, které jsou vytvořeny ze 3 nebo 4 malých kostek. Kterou ze staveb na obrázcích (A) až (D) nelze postavit z našich dílů stavebnice? /V (A) J (D) (B) (C) / / / / / / £7\ / (E) všechny stavby lze z našich dílů sestavit 23. Ve třech zápasech fotbalové ligy dala Sparta celkem tři góly a jeden obdržela. Za každý vyhraný zápas dostane klub 3 body, za remízu 1 bod a žádný bod za zápas prohraný. Kolik bodů nemohla Sparta v těchto třech zápasech získat? (A) 7 (B) 6 24. Je dána následující řada obrázků: (C) 5 (D) 4 (E) 3 Na prvním obrázku vidíš 1 malý trojúhelník, na druhém 4 malé trojúhelníky, na třetím 9 malých trojúhelníků. Kolik malých trojúhelníků bude na pátém obrázku? (A) 16 (B) 20 (C) 25 (D) 30 (E) 50 Správná řešení soutěžních úloh kategorie Klokánek 1C,2E,3B,4A, 5C, 6E,7B, 8 C, 9 E, 10 D, 11 B, 12 B, 13 D, 14 B, 15 E, 16 E, 17 C, 18 E, 19 A, 20 B, 21 A, 22 E, 23 E, 24 C. 11 Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 3 958 žáků. Kategorie: Klokánek Úloha č. správně špatně neřešilo 1 55 35 10 2 77 21 1 3 67 30 3 4 38 59 3 5 32 57 10 6 55 42 3 7 10 77 13 8 22 66 12 9 33 50 17 10 27 52 21 11 35 56 9 12 26 60 14 13 70 17 13 14 6 91 3 15 52 37 11 16 31 49 20 17 49 37 14 18 45 46 8 19 6 59 35 20 15 58 27 21 18 55 27 22 35 42 23 23 19 55 25 24 14 72 14 12 Výsledky soutěže KLOKÁNEK 2004 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů. 120 21 100 44 80 263 60 953 40 1770 20 866 119 0 99 69 79 292 59 1009 39 1814 19 777 118 0 98 56 78 328 58 1100 38 1879 18 631 117 4 97 53 77 348 57 1098 37 1815 17 473 116 5 96 45 76 357 56 1170 36 1800 16 445 115 22 95 75 75 374 55 1199 35 1856 15 408 114 15 94 87 74 426 54 1330 34 1870 14 404 113 5 93 85 73 426 53 1344 33 1765 13 305 112 7 92 82 72 436 52 1334 32 1732 12 219 111 13 91 77 71 501 51 1309 31 1687 11 162 110 20 90 91 70 567 50 1458 30 1685 10 170 109 22 89 114 69 600 49 1608 29 1675 9 151 108 12 88 135 68 587 48 1568 28 1586 8 99 107 10 87 142 67 664 47 1595 27 1373 7 32 106 16 86 122 66 689 46 1528 26 1398 6 41 105 24 85 151 65 702 45 1677 25 1328 5 48 104 34 84 160 64 816 44 1671 24 1407 4 58 103 48 83 202 63 877 43 1681 23 1137 3 7 102 31 82 212 62 875 42 1657 22 931 2 7 101 22 81 201 61 869 41 1687 21 889 1 15 0 53 celkový počet řešitelů: 78 275 průměrný bodový zisk: 43,95 13 Klokánek 2004 Graf znázorňuje výsledky v kategorii Klokánek z tabulky na str. 13 KLOKÁNEK 2004 1. místo 120 Eva Trunečková 5. B ZS Boženy Němcové 15, Zábřeh, 789 01 1. místo 120 Aneta Feščuková 5. B Z S Dr. Horáka, Prostějov, 796 01 1. místo 120 Bohdan Frejišyn 5.A ZS Bellova 351, 109 00 Praha 10 1. místo 120 Filip Křenek 5.A ZS Pod Skalkou R.p.R 1. místo 120 Jan Dundr 5. B Z S Nové Strašecí 1. místo 120 Jan Effenberger V. ZS Petrov 281, 696 55 1. místo 120 Jana Kapounova 4. A ZS, Dr. Malíka 958, 537 01, Chrudim 1. místo 120 Katrin Tadičová 4. A ZS K Sídlišti 840, 140 00 Praha 4 1. místo 120 Kryštof Herold 5. B Z S Lupáčova 1, 130 00 Praha 3 1. místo 120 Lenka Curnová V. ZS, Na Vyhlídce 6, 373 16 Dobrá Voda 1. místo 120 Lukáš Vrcha 5. B Z S Dr. Horáka, Prostějov, 796 01 1. místo 120 Michal Bím 4. A ZS K Sídlišti 840, 140 00 Praha 4 1. místo 120 Ondřej Sefl 5.C 10. ZS, ul. Z. Štěpánka, Most, 434 01 1. místo 120 Pavel Karafiát VB ZS Hutník 1456, 698 01 Veselí nad Moravou 1. místo 120 Rachel Habermanová 4. -c- Z S Dusej ov 1. místo 120 Tereza Hlaváčová V. ZS Petrov 281, 696 55 1. místo 120 Tereza Mráčková 5. B Z S Dr. Horáka, Prostějov, 796 01 1. místo 120 Veronika Vaňková 5. Z S Josefův důl, 468 44 1. místo 120 Vít Salomon 5A ZS Jubilejní park 23, 669 02 Znojmo 1. místo 120 Vojtěch Vajčner V. ZS Petrov 281, 696 55 1. místo 120 Voženílek 4 ZS Pilníkov 35, 542 42 1. místo 120 Zuzana Mazáčová 5A ZS Pod Skalkou, 756 61 Rožnov p.R. 2. místo 117 neznáme jméno ani adresu 2. místo 117 2. místo 117 2. místo 117 3. místo 116 Michal Benda 5. A Z S Průchodní 154, Jeseník, 790 01 3. místo 116 Marek Topolář 4. ZS Borkovany 49, 691 75 3. místo 116 neznáme jméno ani adresu 3. místo 116 3. místo 116 15 Zadání soutěžních úloh kategorie Benjamín Úlohy za 3 body 1. Míša má 16 karet: 4 pikové (♦), 4 křížové («J»), 4 kárové (♦) a 4 srdcové (V) karty. Máje poskládat do čtvercového pole tak, aby v každém řádku a v každém sloupci byly karty každého druhu. Jaká bude karta místo otazníku? (A) (d) V (b) * (E) nelze určit (C) ♦ 2. (10 ■ 100) ■ (20 ■ 80): (A) 20000-80000 (d) 20000-8 000 (b) 2 000 ■ 8 000 (E) 2000-800 (C) 2000-80000 3. O kolik zestárneš za 360 000 sekund? (A) o 3 hodiny (d) o 10 hodin (b) o 6 hodin (E) o více než 10 hodin (C) o 8,5 hodiny 4. Eda sesbíral 2 004 semínek borovice. Rozdělil je do hromádek po pěti. Kolik úplných hromádek po pěti semínkách dostane? (A) 5 (b) 400 (C) 401 (d) 402 (E) 404 5. Martina dostala k narozeninám nový sešit. Z prvního listu vyřízla několik čtverečků a celou plochu obarvila vodovými barvami. Jak byl obarvený druhý list, když Martina první list vytrhla a položila vpravo? (A) □ □ (b) <■ (C) n ■ (d) ■ ■ (E) _□ n — □ □ ■ ľ □ □ 6. Tříčlenná králičí rodina sní za týden celkem 73 mrkví. Táta sní o 5 mrkví víc než maminka. Malý králíček sní 12 mrkví. Kolik mrkví sní maminka? (A) 27 (b) 28 (C) 31 (d) 33 (E) 56 7. Na trase autobusu je 9 zastávek, které jsou od sebe stejně vzdáleny. Vzdálenost mezi první a třetí zastávkou je 600 metrů. Kolik metrů je mezi první a poslední zastávkou? (A) 1200 m (b) 1500 m (C) 1800 m (d) 2 400 m (E) 2700 m 16 8. Broňa vystřihla z listu papíru dvanáctiúhelník a složila z něj krabičku (viz obrázky). Určete objem této krabičky. (A) 25 cm3 B o o 1 cm 6 cm (B) 36 cm3 (C) 30 cm3 (D) 16 cm3 (E) 24 cm3 Úlohy za 4 body 9. Petr vystřihl z papíru dva shodné šestiúhelníky (viz obrázek) a položil je před sebe na stůl. Který z následujících obrazců mu nemohl vzniknout jejich pouhým posouváním po stole? (A) (B) (C) (D) (E) 10. Jindra přeloží pětkrát tentýž list papíru na polovinu a nakonec udělá doprostřed díru. Kolik otvorů bude na rozloženém listu? (A) 6 (B) 10 (C) 16 (D) 20 (E) 32 11. Různé obrazce odpovídají různým číslicím. Najdi číslici odpovídající čtverci. (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 (E) 5 □ □ + OO AAA 12. Nejlepší matematik ze 7. B měl uhádnout přirozené číslo, o němž dostal od kamarádů následující informace: • Tomáš: „Toto číslo je 9." • Roman: „Toto číslo je prvočíslo." • Ondra: „Toto číslo je sudé." • Michal: „Toto číslo je 15." Pouze jedno z tvrzení Tomáše a Romana je pravdivé a pouze jedno z tvrzení Ondry a Michala je pravdivé. Jaké je hádané číslo? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 9 (E) 15 17 13. Urči nejmenší počet čtverečků, které je třeba ještě vybarvit, aby výsledný obrázek byl osově souměrný. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 14. Uřízli jsme část krychle podle obrázku. Která varianta odpovídá zmenšené síti této krychle? (A) (B) (C) (D) / > (E) JU N 15. Hlemýždí čtyřčata šla na výlet po cestě, která byla dlážděna stejnými obdélníkovými dlaždicemi. Tvar a délka cesty každého z nich je znázorněna na obrázku. Kolik decimetrů ušel Tin? (A) 27 dm Fin ušel 25 dm. Pin ušel 37 dm. Rin ušel 38 dm. Tin ušel dm. m~±±i (B) 30 dm (C) 35 dm (D) 36 dm (E) 40 dm 16. Na Želvím ostrově je neobvyklé počasí. V pondělí a ve středu vždy prší, v sobotu je mlha a ostatní dny svítí sluníčko. Skupinka turistů chce na ostrov přijet na 44denní dovolenou. Který den by měla dovolená začít, aby si užili co nejvíce slunečních dní? (A) v pondělí (B) ve středu (C) ve čtvrtek (D) v pátek (E) v úterý Úlohy za 5 bodů 17. V obrázku určete poměr obsahů bílé a vybarvené části. (A) 1:4 (B) 1:5 (C) 1:6 (D) 2:5 (E) 2:7 S ? v \ \ 18. Magda a Terezka šly na houby. Celkem našly 70 hub. Magda zjistila, že mezi houbami, které našla, je | bedel. Terezka zjistila, že mezi jí nalezenými houbami jsou žampionů. Kolik hub našla Magda? (A) 27 (B) 36 (C) 45 (D) 54 (E) 10 18 19. Na obrázku jeli polí. Představ si, že v prvním poli je napsáno číslo 7 a v devátém poli číslo 6. Jaké přirozené číslo musí být ve druhém poli, když má být splněna podmínka: součet každých tří bezprostředně po sobě následujících čísel je roven 21? (A) 7 (B) 8 (C) 6 (D) 10 (E) 21 20. Korálky svázané nitěmi utvořily síť, kterou vidíte na obrázku. Kolik nití musíme přestřihnout, abychom dostali náhrdelník, ve kterém je každý korálek spojen nití s právě dvěma dalšími? (A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 21 (E) náhrdelník nelze vytvořit 21. V obchodě prodávali dvě CD za stejnou cenu. Když snížili cenu jednoho CD o 5 % a cenu druhého zvýšili o 15 %, jejich ceny se lišily o 6 euro. Kolik potom stálo levnější CD? (A) 1,50 euro (B) 6 euro (C) 28,50 euro (D) 30 euro (E) 34,50 euro 22. Představ si, že máš 108 červených a 180 zelených kuliček. Všechny musíš roztřídit do sáčků tak, aby poměr počtu červených kuliček ku počtu zelených kuliček byl v každém sáčku stejný. Jaký nejmenší počet kuliček může být v jednom sáčku? (A) 288 (B) 36 (C) 18 (D) 8 (E) 1 23. Na letním soustředění Klokanů v Zakopaném se pořádala matematická soutěž, ve které bylo 10 otázek. Každá správná odpověď byla za 5 bodů, při špatné odpovědi se 3 body odečítaly. Všichni odpověděli na všechny otázky. Matěj získal 34 bodů, Zoltán 10 bodů a Gábor 2 body. Kolik měli dohromady správných odpovědí? (A) 17 (B) 18 (C) 15 (D) 13 (E) 21 24. Papírový pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami o velikostech 6 cm a 8 cm je přeložen podél spojnice středů dvou stran. Jaký obsah bude mít vzniklý lichoběžník? (A) 9 cm2 (B) 12 cm2 (C) 18 cm2 (D) 24 cm2 (E) 30 cm2 Správná řešení soutěžních úloh kategorie Benjamín 1 C, 2 E, 3 E, 4 B, 5 D, 6 B, 7 D, 8 D, 9 D, 10 E, 11 D, 12 B, 13 B, 14 E, 15 C, 16 C, 17 A, 18 B, 19 B, 20 B, 21 C, 22 D, 23 A, 24 C. 19 Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 3 588 žáků. Kategorie: Benjamín Úloha č. správně špatně neřešilo 1 72 23 5 2 55 27 17 3 38 52 10 4 74 22 4 5 83 10 6 6 46 44 10 7 26 71 4 8 20 57 23 9 41 54 6 10 46 49 5 11 17 44 39 12 44 39 16 13 16 68 16 14 65 26 8 15 34 45 21 16 46 41 12 17 16 44 40 18 21 36 44 19 40 36 24 20 10 60 29 21 16 38 46 22 18 47 35 23 13 46 41 24 11 42 47 20 Výsledky soutěže BENJAMÍN 2004 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů. 120 4 100 19 80 186 60 1033 40 2098 20 412 119 0 99 38 79 211 59 1046 39 2114 19 374 118 0 98 41 78 207 58 1239 38 2132 18 294 117 0 97 40 77 274 57 1259 37 1938 17 223 116 4 96 31 76 288 56 1278 36 1895 16 181 115 9 95 43 75 300 55 1401 35 1863 15 153 114 7 94 64 74 334 54 1500 34 1895 14 139 113 0 93 65 73 349 53 1551 33 1839 13 118 112 3 92 47 72 405 52 1657 32 1613 12 55 111 2 91 55 71 480 51 1752 31 1523 11 46 110 12 90 85 70 413 50 1769 30 1311 10 46 109 14 89 97 69 489 49 1899 29 1320 9 40 108 9 88 82 68 557 48 1935 28 1234 8 30 107 4 87 86 67 649 47 2012 27 995 7 11 106 7 86 110 66 650 46 1989 26 859 6 11 105 16 85 117 65 616 45 1997 25 847 5 15 104 29 84 144 64 764 44 2108 24 816 4 12 103 32 83 137 63 794 43 2208 23 631 3 0 102 10 82 139 62 916 42 2214 22 527 2 3 101 21 81 192 61 906 41 2097 21 437 1 3 0 9 celkový počet řešitelů: 75 609 průměrný bodový zisk: 45,6 21 Benjamín 2004 2000 1500 1000 500 0 -500 Graf znázorňuje výsledky v kategórii Benjamín z tabulky na str. 21 BENJAMÍN 2004 1. 120 Miroslav Palanský Pl Gym. J. Palacha, Mělník 1. 120 Pavel Irinkov G Ustavní, Ustavní 400, 181 00 Praha 8 1. 120 Vojtíšek Martin 7.C ZS M. Horákové 258, 500 06 Hradec Králové 1. 120 Aneta Vojtova 7. ZS, Dukelská 166, 386 01 Strakonice 2. 116 Jana Břízová 2. V Gym. J. z Poděbrad, Poděbrady 2. 116 Jakub Friš 6. ZS, Dukelská 11, 370 01 C. B. 2. 116 Jakub Maršán 6. ZS F.L.C., Jezerní 1280, 386 01 Strakonice 2. 116 Josef Konej 1 Gymnázium Mladá Boleslav 3. 115 Vlastimil Kropáč 7.A Z S Vranovice, Masarykova 178, 691 25 3. 115 Ondřej Trbola 7.B Z S Hustopeče, Komenského 2, 693 01 3. 115 Strosmajerová Adéla 8.ZS Cs.armády 570, F-M 3. 115 Martin Brousek 2. A GJS Komenského 29, Přerov, 750 11 3. 115 Vojtěch Kuželuch 5.B ZS, Tolstého , 339 OlKlatovy 3. 115 Ondřej Černý prima A G Jana Keplera, Parléřova 2, 169 00 Praha 6 3. 115 Magdalena Píchová G Ustavní, Ustavní 400, 181 00 Praha 8 3. 115 Jan Simbera I.B Jiráskovo gymnázium, Řeznická 451, 547 44 Náchod 3. 115 Ondřej Mergl sekunda G, Komenského 89, 397 01 Písek 23 Zadání soutěžních úloh kategorie Kadet Úlohy za 3 body 1. Jaká je hodnota výrazu 2 004 - 4 ■ 200? (A) 400 800 (B) 400000 (C) 1204 (D) 1200 (E) 2 804 2. Rovnostranný trojúhelník ACD se otáčí kolem bodu A proti směru hodinových ručiček. Určete velikost úhlu otočení v okamžiku, kdy překryje rovnostranný trojúhelník ABC. (A) 60° (B) 120° (C) 180c (D) 240° (E) 300° 3. Které číslo je na počátku diagramu? 50 (A) 18 (B) 24 Násob 0,5 Násob -3 Přičti 1 Druhá mocnina čísla (C) 30 (D) 40 (E) 42 Běta má 16 karet: 4 pikové (♦), 4 křížové («J»), 4 kárové (♦) a 4 srdcové (V) karty. Chce je vyložit do čtverce podle obrázku takovým způsobem, že v každé řadě a v každém sloupci bude po jedné kartě každého druhu. Ve čtverci na obrázku vidíte, jak Běta začala. Kolik ze čtyř druhů karet (pikové, křížové, kárové, srdcové) může ležet na místě označeném otazníkem? (A) žádný (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 5. Určete hodnotu výrazu (1 - 2) - (3 - 4) - (5 - 6) - ... - (99 - 100). (A) 0 (B) 49 (C) -48 (D) 48 (E) 50 6. Na obrázku je síť krychle, ve které jsou vyznačeny průniky stěn krychle s rovinou řezu. Který geometrický útvar tvoří řez krychle? (A) rovnostranný trojúhelník (B) obdélník (C) pravoúhlý trojúhelník (D) čtverec (E) šestiúhelník \ \ s \ / / / / / \ \ N \ s 7. Mirek má na zahradě obdélníkový záhon. Rozhodl se záhon zvětšit prodloužením délky i šířky o 10 %. O kolik procent se zvětší jeho plocha? (A) o 10 % (B) o 20% (C) o 21 % (D) o 40% (E) o 121 % 24 8. Určete velikost průměru kružnice na obrázku. (A) 18 cm (B) 12 cm (C) 10 cm (D) 12,5 cm (E) 14 cm Úlohy za 4 body 9. Ve stánku se zmrzlinou mají 9 různých druhů zmrzliny. Skupina dětí přichází ke stánku a každé dítě si kupuje dva kopečky různých druhů zmrzliny do kornoutu. Jaký největší počet dětí může nakupovat u stánku zmrzlinu tak, aby žádné dvě děti neměly stejnou kombinaci druhů zmrzliny? (A) 9 (B) 36 (C) 72 (D) 81 (E) 90 10. Prstence s vnitřním průměrem 4 cm a vnějším průměrem 6 cm jsou spolu propojeny stejně jako na obrázku. Kolik prstenců potřebujeme, abychom dostali řetěz dlouhý 1,7 m? (A) 30 (B) 21 (C) 42 (D) 85 (E) 32 11. Na obrázku je nakresleno 11 polí. Představ si, že v prvním poli je napsáno číslo 7 a v devátém poli číslo 6. Jaké přirozené číslo musí být ve druhém poli, když má být splněna podmínka: součet každých tří bezprostředně po sobě následujících čísel je roven 21? (A) 7 (B) 8 (C) 6 (D) 10 (E) 21 12. V prvním ze dvou po sobě jdoucích roků bylo více čtvrtků než úterků. Kterých dní bylo ve druhém roce nejvíce za předpokladu, že ani jeden rok nebyl přestupný? (A) úterků (B) střed (C) pátků (D) sobot (E) nedělí 13. ABC je rovnoramenný trojúhelník s rameny AB, AC o délce 5 cm. Velikost úhlu BAC je větší než 60°. Obvod trojúhelníku udaný v centimetrech je celé číslo. Kolik takových trojúhelníků může existovat? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 1,7 m 25 14. Pštros Mirek trénuje na olympiádu zvířat. V pondělí v 8.15 ráno vytáhl hlavu z písku a zjistil, že dosáhl osobního rekordu. Pod zemí byl 98 hodin a 56 minut. Kdy Mirek zastrčil hlavu do písku? (A) ve čtvrtek v 5.19 hod. (C) ve čtvrtek v 11.11 hod. (E) v pátek v 11.11 hod. (B) ve čtvrtek v 5.41 hod. (D) v pátek v 5.19 hod. 15. Každé z pěti dětí si myslí jedno ze tří čísel 1, 2, 4. Jejich čísla jsou vynásobena. Které z následujících čísel může být výsledkem? (A) 100 (B) 120 (C) 256 (D) 768 (E) 2048 16. Jirka jel na kole k řece rychlostí 30 Na zpáteční cestě do kopce jel rychlostí 10 ™. Jaká byla km průměrná rychlost jeho výletu? (A) 12 (B) 15 (C) 20 (D) 22 (E) 25íf Úlohy za 5 bodů 17. Na obrázku je nakreslen čtverec a dvě půlkružnice s průměry AB a AD. Určete obsah tmavě zbarvené oblasti ohraničené těmito křivkami, když víte, že délka strany AB je 2. (A) 1 (B) 2 (C) 2n (D) § (E) f 18. Průměrný věk babičky, dědečka a jejich 7 vnoučat je 28 let. Průměrný věk 7 vnoučat je 15 let. Kolik let má dědeček, jestliže víme, že je o 3 roky starší než babička? (A) 71 (B) 72 (C) 73 (D) 74 (E) 75 19. Lucka má mnoho stavebních kostek s rozměry 1x2x3 (v centimetrech). Jaký nejmenší počet kostek bude Lucka potřebovat na to, aby z nich postavila krychli? (A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 36 (E) 60 20. V kruhu sedí více než jeden klokan. „Je nás tu 6," řekne jeden z nich a vyskočí z kruhu. Každou minutu vyskočí z kruhu další klokan a řekne: „Všichni, co vyskočili přede mnou, lhali." Tak to pokračuje dál, dokud kruh nezůstane prázdný. Kolik klokanů říkalo pravdu? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 21. Všechny časopisy v Honzově knihovně mají buď 48 nebo 52 stran. Které z následujících čísel nemůže udávat celkový počet stran časopisů v této knihovně? (A) 500 (B) 524 (C) 568 (D) 588 (E) 620 26 6 cm 22. Ve čtverci se stranou délky 6 cm jsou vepsány body A a B tak, že úsečka AB je rovnoběžná se stranou čtverce (viz obrázek). Když vedete úsečky z bodů A a B do protilehlých vrcholů, rozdělíte čtverec na 3 plochy. Jaká je délka úsečky AB, když víte, že plochy mají stejný obsah? (A) 3,6 cm (B) 3,8 cm (C) 4,0 cm (D) 4,2 cm (E) 4,4 cm 23. Všeználek věděl, že kladná celá čísla a, b mají tu vlastnost, že ani jedno z nich není dělitelné deseti, a že jejich součin a - b = 10 000. Na základě toho určil, čemu se rovná součet a + b. Jaké číslo Všeználkovi vyšlo? (A) 1024 (B) 641 (C) 1258 (D) 2 401 (E) 1000 24. Podle instrukce na obrázku vlevo určete hodnotu rozdílu x-y po 999. kroku na obrázku vpravo. a b+c 1 y z (A) -2 (B) 2 (C) 998 (D) 1998 (E) (-2) Správná řešení soutěžních úloh kategorie Kadet 1 C, 2 E, 3 E, 4 C, 5 D, 6 A, 7 C, 8 C, 9 B, 10 C, 11 B, 12 C, 13 D, 14 A, 15 C, 16 B, 17 B, 18 E, 19 D, 20 B, 21 B, 22 C, 23 B, 24 A. 27 Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 3 415 žáků. Kategorie: Kadet Úloha č. správně špatně neřešilo 1 77 18 6 2 22 66 11 3 62 22 16 4 41 46 13 5 14 56 29 6 35 47 18 7 20 68 11 8 52 23 26 9 46 42 11 10 35 38 27 11 47 31 22 12 31 38 31 13 12 48 40 14 36 49 15 15 37 33 30 16 9 78 13 17 27 36 37 18 22 41 37 19 27 45 29 20 34 38 28 21 14 45 41 22 17 31 52 23 11 35 54 24 8 38 54 28 Výsledky soutěže KADET 2004 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů. 120 11 100 23 80 140 60 797 40 1843 20 594 119 0 99 16 79 153 59 781 39 1946 19 520 118 0 98 17 78 193 58 740 38 1939 18 424 117 0 97 29 77 176 57 898 37 1874 17 310 116 1 96 23 76 207 56 1020 36 1903 16 254 115 6 95 41 75 203 55 1078 35 1946 15 287 114 6 94 32 74 252 54 1159 34 1904 14 215 113 2 93 36 73 252 53 1162 33 1782 13 174 112 2 92 39 72 257 52 1244 32 1684 12 83 111 5 91 60 71 298 51 1281 31 1664 11 83 110 11 90 52 70 353 50 1343 30 1650 10 85 109 5 89 56 69 353 49 1383 29 1565 9 66 108 7 88 54 68 399 48 1587 28 1419 8 48 107 6 87 68 67 427 47 1629 27 1271 7 20 106 13 86 105 66 444 46 1615 26 1101 6 22 105 22 85 89 65 507 45 1676 25 1095 5 19 104 16 84 88 64 545 44 1872 24 1047 4 17 103 14 83 107 63 600 43 1814 23 837 3 6 102 14 82 118 62 619 42 1853 22 713 2 3 101 18 81 133 61 693 41 1879 21 673 1 1 0 10 celkový počet řešitelů: 68 324 průměrný bodový zisk: 42,76 29 OJ o Kadet 2004 2000 1500 1000 500 0 -500 Graf znázorňuje výsledky v kategorii Kadet z tabulky na str. 29 KADET 2004 1. 120 Michaela Vitoušová 8. ZS Habartov, Komenského 312 1 120 Lucie Kurzová 4.L Gymnázium L. Pika, Opavská 21, 312 00 Plzeň 1. 120 Klára Bittalová 9.C ZS Buzulucká 392, Teplice, 415 01 1 120 Michal Kuna kvarta G J.V.Jirsíka, Fr. Šrámka 23, 371 46 České Budějovice 1. 120 Jan Matějka tercie G, Jírovcova 8, 371 61 C.B. 1. 120 Radek Novák kvarta G, Masrykova 183, 399 01 Milevsko 1. 120 Martin Beneš 9. D ZS J. Matiegky, Mělník 1. 120 Martin Jedlička 8. A Z S Sázava 1. 120 Ota Kukral Gym. Dr. Pekaře, Mladá Bol. 1. 120 Martin Hanek tercie G Písnička 760 140 00 Praha 4 1. 120 Jan Šťovíček 9.C Z S Buzulucká 392, Teplice, 415 01 2. 116 Martin Simko P3 Gym. J. Palacha, Mělník 3. 115 Toufar Tomáš ZS Opava, Otická 18 3. 115 Michael Janský 9.B 21.ZS, Slovanská alej 13, 326 00 Plzeň 3. 115 Dana Lněníčková 8.B v - Z S T. G. Masaryka Podpořany, Husova 445, 441 27 3. 115 Michal Palanský P3 Gym. J. Palacha, Mělník 3. 115 Kotrlorz Lukáš G Mírová 1142, Karviná 3. 115 Filip Urbánek 9. A -c- ZS Jung. sady, Mělník 31 Zadání soutěžních úloh kategorie Junior Úlohy za 3 body 1. Martin má celkem 2 004 kuliček. Polovina z nich je modrých, čtvrtina červených a šestina černých. Kolik kuliček má jinou barvu než modrou, červenou nebo černou? (A) 167 (B) 334 (C) 501 (D) 1002 (E) 1837 2. Jehlan má 7 stěn. Jaký je počet jeho hran? (A) 8 (B) 9 (C) 12 (D) 18 (E) 21 3. Půdorys budovy má tvar obdélníku o stranách 40 m a 60 m. Na jednom z plánků má budova obvod 100 cm. V jakém měřítku je plánek vytvořen? (A) 1:50 (B) 1:100 (C) 1:150 (D) 1:200 (E) 1:400 Bob a Bobek dostali za pomoc od zahradníka několik mrkví. Kdyby jich dostal Bob o pět více, měl by jich dvakrát tolik co Bobek. Kdyby jich ale dostal o sedm méně, měl by jen polovinu toho co Bobek. Kolik kusů mrkve dostal Bob? (A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11 Ve čtyřúhelníku abcd na obrázku platí \ad\ = \bc\. Velikost úhlu adc je pak rovna b (A) 50° (B) 55° (C) 60c (D) 65° (E) 70c (E) 15 6. Tři sestry si mají rozdělit 770 oříšků ve stejném poměru jako je poměr jejich věků. Za každé 3 oříšky, které dostane Lenka, dostane Elenka 4 oříšky. Za každých 7 oříšků, které dostane Helenka, dostane Elenka 6 oříšků. Kolik oříšků dostane nejmladší sestra? (A) 264 (B) 256 (C) 218 (D) 198 (E) 180 7. Terč na obrázku se skládá z vnitřního kruhu a dvou vněj ších prstenců kolem něj. Šířka každého vnějšího prstence je rovna poloměru vnitřního kruhu. Kolikrát je větší obsah černého prstence než obsah černého vnitřního kruhu? (A) dvakrát (B) třikrát (C) čtyřikrát (D) pětkrát (E) obsahy jsou stejné 8. V sáčku s kuličkami je celkem třicet kuliček. Vytáhneme-li náhodně 12 kuliček, vždy mezi nimi bude alespoň jedna bílá. Vytáhneme-li náhodně 20 kuliček, vždy mezi nimi bude alespoň jedna kulička, která není bílá. Kolik bílých kuliček je v sáčku? (A) 11 (B) 12 (C) 19 (D) 20 (E) 29 32 Úlohy za 4 body 9. Dvě kružnice se středy v bodech C a D se protínají v bodech A a B. Velikost úhlu ACB je 60° a velikost úhlu ADB je 90°. Jaký je poměr poloměrů větší a menší kružnice? (A) 4:3 (B) y/2:l (C) 3:2 (D) ^3:1 (E) 2:1 10. Prstence s vnitřním průměrem 4 cm a vnějším průměrem 6 cm jsou spolu propojeny stejně jako na obrázku. Kolik prstenců potřebujeme, abychom dostali řetěz dlouhý 1,7 m? (A) 17 (B) 21 (C) 30 (D) 42 (E) 85 11. Velká hodinová ručička je 8 cm dlouhá, malá hodinová ručička je 4 cm dlouhá. V jakém poměru jsou dráhy, které opíšou koncové body malé a velké ručičky v době od 14.00 do 17.00? (A) 1:2 (B) 1:4 (C) 1:6 (D) 1:12 (E) 1:24 12. Ve čtverci se stranou 2003 jsou všechny čtverečky o straně 1 na diagonálách obarveny. (Na obrázku je situace znázorněna pro čtverec o straně 7.) Jaký je obsah neobarvené části? (A) 2 002 ■ 2 003 (B) 2 0022 (C) 2 001 ■ 2 002 (D) 20012 (E) 2000-2 001 13. Petr si vyrobil zahradní posezení ze tří polovin kmenů, z nichž dva dolní půlkmeny mají průměr 2 dm a horní půlkmen průměr 4 dm. Jak vysoká je lavička? (A) 3 dm (B) V&dm (C) 2,75 dm (D) y/J dm (E) 2,5 dm 14. Test obsahuje celkově 20 otázek, za správnou odpověď je sedm bodů, za špatnou se dva body odečtou, za nezodpovězenou otázku se žádný bod nezíská ani neztratí. Milanův výsledek testu byl 87 bodů. Kolik otázek ponechal bez vyplnění? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 15. Kolika způsoby můžeme doplnit tabulku tak, aby v každém řádku a v každém sloupci byly v nějakém pořadí zapsány číslice 1, 2, 3 a 4? (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 16 (E) 128 1,7 m 1 2 1 3 4 33 16. Na obrázku je do čtverce vepsán pravoúhlý dvanáctiúhelník, jehož strany mají stejnou délku. Jestliže je obvod dvanáctiúhelníku roven 36 cm, jaký je obsah celého čtverce? (A) 36 cm2 (B) 48 cm2 (C) 72 cm2 (D) 108 cm2 (E) 144 cm2 Úlohy za 5 bodů 17. Kolik čísel větších než 100 a menších než 200 má tu vlastnost, že jsou dělitelná dvěma nebo třemi, ale nejsou dělitelná žádným jiným prvočíslem? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 N MV 18. Kosočtverec KLMN je vepsán do obdélníku ULVN, jehož kratší strana je rovna Určete obsah kosočtverce, víte-li, že čtyř-úhelnŕk UKSN je deltoid. (A) 3 (B) 2^3 (C) 3\/3 (D) 4 (E) 4^3 UK L 19. Kolik trojmístných čísel n menších než 200 má tu vlastnost, že číslo n3 -«je dělitelné číslem 7? (A) 28 (B) 31 (C) 34 (D) 39 (E) 42 20. V obdélníku je zakreslena spojnice vrcholu se středem protilehlé delší strany a obě úhlopříčky. V jakém poměru je délka úsečky PQ a délka úhlopříčky? (A) 1:6 (B) 3:16 (C) 4:25 (D) 2:9 (E) 1:4 21. Nešikovný horolezec se potřebuje dostat z bodu A do bodu B po trase, která je vyznačena na obr. 1 (závislost výšky H na vzdálenosti mezi body A a B). Během svého přesunu však několikrát upustil batoh, pro který se musel spustit dolů a opět se s ním vrátit na místo, kde mu upadl. Závislost výšky H na čase t jeho přesunu je zaznamenána na obr. 2. Kolikrát mu během přesunu upadl batoh? H H obr. 1 (A) jednou (B) dvakrát (C) třikrát obr. 2 (D) čtyřikrát (E) pětkrát 34 22. V řádku je za sebou zapsáno 200 nul. V prvním kroku přičteme ke každé nule číslo 1. Ve druhém kroku přičteme jedničku ke každému druhému číslu zleva. V třetím kroku přičteme jedničku ke každému třetímu číslu atd. Určete číslo, které je na 120. pozici zleva po 200 krocích. (A) 12 (B) 16 (C) 24 (D) 32 (E) 48 23. Obsah šedě vybarvené části kruhu je roven 2ti. Jaká je velikost úsečky ABl (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 6 24. Na tabuli napíšeme pod sebe všechna přirozená čísla od 1 do 10 000. Potom všechna čísla, která nejsou dělitelná ani 5 ani 11, smažeme. Které číslo bude po smazání na 2 004. místě? (A) 7 271 (B) 7 304 (C) 7 305 (D) 7 315 (E) 7 348 Správná řešení soutěžních úloh kategorie Junior 1 A, 2 C, 3 D, 4 D, 5 D, 6 D, 7 D, 8 C, 9 B, 10 D, 11 E, 12 B, 13 B, 14 D, 15 C, 16 C, 17 D, 18 B, 19 E, 20 A, 21 C, 22 B, 23 D, 24 E. 35 Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 1 448 žáků. Kategorie: Junior Úloha č. správně špatně neřešilo 1 84 15 2 2 62 32 6 3 66 30 5 4 61 28 10 5 26 53 21 6 31 32 38 7 25 64 11 8 63 25 13 9 8 64 27 10 53 35 12 11 16 72 12 12 25 35 40 13 19 61 19 14 37 35 28 15 28 59 13 16 43 39 17 17 13 44 44 18 15 34 52 19 3 37 60 20 35 29 36 21 36 42 22 22 16 35 48 23 12 33 56 24 8 37 55 36 Výsledky soutěže JUNIOR 2004 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů. 120 0 100 6 80 52 60 244 40 443 20 112 119 0 99 4 79 59 59 259 39 422 19 108 118 0 98 10 78 44 58 248 38 428 18 103 117 2 97 6 77 62 57 273 37 462 17 66 116 4 96 6 76 91 56 312 36 423 16 67 115 3 95 7 75 73 55 329 35 385 15 59 114 3 94 19 74 78 54 301 34 399 14 48 113 0 93 12 73 101 53 344 33 388 13 43 112 0 92 11 72 114 52 339 32 388 12 25 111 1 91 23 71 124 51 308 31 382 11 16 110 3 90 21 70 119 50 322 30 350 10 27 109 3 89 17 69 138 49 360 29 336 9 19 108 1 88 12 68 156 48 376 28 338 8 15 107 0 87 26 67 161 47 369 27 310 7 4 106 0 86 26 66 160 46 403 26 274 6 3 105 4 85 39 65 186 45 408 25 240 5 0 104 6 84 27 64 206 44 400 24 222 4 2 103 4 83 36 63 193 43 426 23 215 3 1 102 2 82 41 62 223 42 439 22 159 2 0 101 1 81 56 61 220 41 444 21 157 1 1 0 0 celkový počet řešitelů: 17 345 průměrný bodový zisk: 45,07 37 co Junior 2004 500 Graf znázorňuje výsledky v kategorii Junior z tabulky na str. 37 JUNIOR 2004 1. 117 Dan Marek 2.C G Christiana Dopplera, Zborovská 45, 150 00 Praha 5 2. 116 Miroslav Češka Gymnázium Mnichovo Hradiště 2. 116 Barbora Moravcová II.M SPS ST,Panská 3, 110 00 Praha 1 2. 116 Libor Šimůnek 2.A Gymnázium J.K.Tyla, Tylovo nábřeží 682, 500 02 Hradec Králové 2. 116 Petr Hanek 6.B G Nad Kavalírkou 1, 150 00 Praha 5 3. 115 Jan Hrnčíř 2.B Gymnázium F.X.Saldy, Partyzánská 530/3, 460 11 Liberec 11 3. 115 Martin Klejch 2.B Gymnázium F.X. Saldy, Partyzánská 530/3, 460 11 Liberec 11 3. 115 Sablatura Jakub G Olgy Havlové, Ostrava 39 Zadání soutěžních úloh kategorie Student Úlohy za 3 body 1. Jehlan má 17 stěn. Kolik má hran? (A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 32 (E) 34 2. Najděte nejmenší reálné číslo x, které splňuje nerovnost x2 - 2004 < 0. (A) 2004 (B) -2004 (C) 0 (D) V2004 (E) -V2004 3. Každý Marťan má na hlavě jedno, dvě, nebo tři tykadla. Právě 1 % marťanské populace je složeno z jedinců se třemi tykadly, právě 97 % jedinců má na hlavě dvě tykadla a zbývající 2 % populace jsou složena z jedinců s jedním tykadlem. Kolik procent Marťanů má na hlavě víc tykadel než je průměrný počet tykadel na hlavě v celé populaci? (A) 1 % (B) 3 % (C) 97% (D) 98% (E) 99% Nechť s je liché přirozené číslo. Ve čtverci se stranou délky s jsou čtverečky se stranou délky 1 „ležící na úhlopříčkách čtverce" vybarveny (viz obrázek). Určete obsah nevybarvené části čtverce. (A) s2 - 2s + 1 (D) s2-2s-l (B) s2-4s + 4 (E) s2-2s (C) s2-As+ 1 5. Kolik existuje dvojmístných čísel, jejichž druhá i třetí mocnina končí stejnou číslicí? (A) 1 (B) 9 (C) 10 (D) 21 (E) víc než 30 6. Kolik existuje pravoúhlých trojúhelníků, jejichž vrcholy j sou totožné s některými třemi vrcholy pravidelného čtrnáctiúhelníku? (A) 72 (B) 82 (C) 84 (D) 88 (E) jiná odpověď 7. Na poli je 15 ovcí a několik pastýřů. Po odchodu poloviny pastýřů a třetiny ovcí měli zbývající pastýři a ovce dohromady 50 nohou. Kolik nohou měli celkem pastýři a ovce na počátku? (Předpokládejte, že každá ovce má čtyři nohy a pastýř dvě nohy.) (A) 60 (B) 72 (C) 80 (D) 90 (E) 100 40 8. Na kružnici se středem M a poloměrem r leží body X, Y, A tak, že \XY\ = r a úhel XYA je pravý. Určete velikost úhlu XAY. (A) 15° (B) 22,5° (C) 30° (D) 36° (E) 45° Úlohy za 4 body 9. Kolik čtverců v kartézské souřadnicové soustavě má vrchol A[-l,-1] a je osově souměrných podle alespoň jedné souřadnicové osy? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 10. V neprůhledné obálce je 100 karet označených čísly od 1 do 100. Na každé kartě je jiné číslo. Určete, jaký nejmenší počet karet musíme z obálky vytáhnout, aby součin čísel na vytažených kartách byl vždy dělitelný čtyřmi. (A) 51 (B) 52 (C) 53 (D) 54 (E) 55 11. Dva rovnostranné trojúhelníky ABC a ECD na obrázku mají po řadě strany délek 2 a 1. Určete obsah čtyřúhelníku ABCE. (A) ^ (B) ^fi (C) 3 (D) ^fi (E) ^ C D 12. Číslo (V22+ 12\/2- V22- 12\/2~)2je (A) záporné (B) rovné nule (C) čtvrtou mocninou přirozeného čísla (D) rovné 11V2 (E) přirozený násobek čísla 5 13. Kružnice k je vepsána čtvrtkruhu o poloměru 6 (viz obrázek). Určete poloměr kružnice k. (A) (D) 3 (B) ^ (E) 6(\/2-l) (C) 2,5 14. Kolik přirozených čísel můžeme zapsat ve tvaru «0 + fli3 + 0.2i1 + + a^, kde cio, a\, ai, a?,, «4 jsou prvky množiny {-1,0,1}? (A) 5 (B) 80 (C) 81 (D) 121 (E) 243 41 15. Který z následujících grafů znázorňuje množinu všech dvojic (x, y) reálných čísel vyhovujích současně podmínkám xy < 0 a \x\2 + \y\2 = 4? y (D) -2 0 2 x -2 (B) -2 (E) -2 x 16. Určete číslici na místě desítek v desítkovém zápise čísla ll2004. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 Úlohy za 5 bodů 17. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC se stranou délky 4. Určete poloměr oblouku kružnice se středem v bodě A, který dělí trojúhelník na dvě části se stejným obsahem. (A) 1273 ji (B) 2473 ji (C) 3073 ji (D) 6-Ý (E) 4873 ji 18. Podle volebního průzkumu v Zelené každý, kdo volil Stranu brokolice, jí pouze brokolici. Navíc 90 % voličů zbývajících stran nikdy brokolici nejedlo. Kolik procent hlasů získala Strana brokolice, jestliže právě 46 % voličů někdy jedlo brokolici? (A) 40% (B) 41 % (C) 43 % (D) 45 % (E) 46 % 19. Rovnoběžník je rozdělen na čtyři trojúhelníky, které mají společný vrchol (viz obrázek). Čísla v následujích odpovědích udávají obsahy jednotlivých trojúhelníků. Může nastat právě jedna možnost. Která? (A) 4, 5, 8, 9 (D) 11, 13, 15, 16 (B) 5,6,7, 12 (C) 10, 11, 12, 19 (E) žádná z předcházejících možností nenastane 42 20. Na obrázku jsou sestrojeny grafy funkcí / a g definovaných na množině reálných čísel. Která z následujících rovnic je splněna pro každé reálné číslo jc? (A) f(x) = -g(x) + 2 (C) f(x) = -g(x + 2) (E) f{x+\) = -g{x-\) (B) f(x) = -g(x)-2 (D) f(x + 2) = -g(x) 21. V řádku je za sebou zapsáno 200 nul. V prvním kroku přičteme ke každé nule číslo 1. Ve druhém kroku přičteme jedničku ke každému druhému číslu zleva. V třetím kroku přičteme jedničku ke každému třetímu číslu atd. Určete číslo, které je na 120. pozici zleva po 200 krocích. (A) 16 (B) 12 (C) 20 (D) 24 (E) 32 22. Určete, kolik různých trojúhelníků má vrcholy v některých z 18 bodů dělících strany rovnostranného trojúhelníku na 18 shodných úseček. (A) 816 (B) 711 (C) 777 (D) 717 (E) 811 23. Jsou dány tři různé číslice a, b, c, 0 < a < b < c desítkové soustavy. Číslo 1554 je součet všech trojmístných čísel, jejichž zápis v desítkové soustavě obsahuje číslice a,bac. Určete číslici c. (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 24. Nechť ABCD je konvexní čtyřúhelník s jednotkovým obsahem takový, že AB a BD jsou po řadě základny rovnoramenných trojúhelníků ABD a B CD s vnitřními úhly při vrcholech D a C o velikostech 20° a 100°. (Viz obrázek.) Určete hodnotu součinu \AC\ ■ \BD\. (A) ^ (D) (B) ^ (E) jiná odpověď (C) Vš Správná řešení soutěžních úloh kategorie Student 1 D, 2 E, 3 D, 4 A, 5 E, 6 C, 7 C, 8 C, 9 D, 10 B, 11 E, 12 C, 13 E, 14 D, 15 C, 16 E, 17 A, 18 A, 19 A, 20 C, 21 A, 22 B, 23 B, 24 D. 43 Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 738 žáků. Kategorie: Student Úloha č. správně špatně neřešilo 1 39 58 3 2 39 57 4 3 36 57 7 4 49 32 19 5 38 40 22 6 21 31 48 7 83 15 2 8 69 25 7 9 9 69 22 10 29 25 46 11 45 27 28 12 29 45 26 13 9 57 34 14 9 29 62 15 38 36 25 16 29 36 35 17 22 26 52 18 20 41 39 19 27 27 46 20 17 46 36 21 23 36 40 22 10 32 58 23 16 29 54 24 9 23 68 44 Výsledky soutěže STUDENT 2004 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů. 120 2 100 5 80 31 60 103 40 202 20 120 119 0 99 9 79 36 59 95 39 250 19 85 118 0 98 6 78 35 58 116 38 237 18 76 117 0 97 7 77 32 57 121 37 217 17 54 116 1 96 9 76 44 56 111 36 275 16 58 115 0 95 10 75 41 55 133 35 255 15 42 114 1 94 9 74 45 54 135 34 247 14 29 113 0 93 7 73 45 53 140 33 282 13 16 112 0 92 9 72 47 52 162 32 271 12 15 111 0 91 13 71 48 51 156 31 228 11 13 110 3 90 13 70 61 50 158 30 255 10 15 109 1 89 13 69 95 49 172 29 241 9 13 108 0 88 9 68 89 48 168 28 255 8 5 107 1 87 22 67 73 47 189 27 227 7 1 106 0 86 16 66 80 46 198 26 198 6 2 105 3 85 17 65 60 45 225 25 189 5 1 104 7 84 20 64 62 44 186 24 177 4 2 103 3 83 22 63 78 43 246 23 173 3 0 102 3 82 15 62 84 42 209 22 150 2 0 101 3 81 25 61 94 41 245 21 119 1 0 0 2 celkový počet řešitelů: 9 729 průměrný bodový zisk: 42,65 45 Graf znázorňuje výsledky v kategórii Študent z tabulky na str. 45 STUDENT 2004 1. 120 Jaroslav Fikar A8 Havlíčkovo Gymnázium, Havlíčkův Brod 1. 120 Eva Patáková Gymnázium Dobříš 2. 116 Cerná Michaela G Komenského 2, Havířov 3. 114 Petr Havránek Okt. A Gymnázium Mikulášké náměstí 23, 326 00 Plzeň 47 OBSAH Úvodní slovo ........................................................................................... 3 Vývoj Matematického klokana v posledních deseti letech .................................. 4 Soutěž Matematický klokan pro žáky se sluchovým postižením .............................. 5 Klokánek Zadání soutěžních úloh ............................................................................... 8 Správná řešení ......................................................................................... 11 Obtížnost soutěžních úloh (podle vybraných okresů) ............................................ 12 Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ...................................................... 13 Graf ................................................................................................... 14 Nejlepší řešitelé ....................................................................................... 15 Benjamín Zadání soutěžních úloh ............................................................................. 16 Správná řešení ......................................................................................... 19 Obtížnost soutěžních úloh (podle vybraných okresů) ............................................ 20 Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ...................................................... 21 Graf ................................................................................................... 22 Nejlepší řešitelé ....................................................................................... 23 Kadet Zadání soutěžních úloh .............................................................................. 24 Správná řešení ......................................................................................... 27 Obtížnost soutěžních úloh (podle vybraných okresů) ............................................ 28 Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ...................................................... 29 Graf ................................................................................................... 30 Nejlepší řešitelé ....................................................................................... 31 Junior Zadání soutěžních úloh ............................................................................... 32 Správná řešení ......................................................................................... 35 Obtížnost soutěžních úloh (podle vybraných okresů) ............................................ 36 Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ...................................................... 37 Graf ................................................................................................... 38 Nejlepší řešitelé ....................................................................................... 39 Student Zadání soutěžních úloh ............................................................................... 40 Správná řešení ......................................................................................... 43 Obtížnost soutěžních úloh (podle vybraných okresů) ............................................ 44 Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ...................................................... 45 Graf ................................................................................................... 46 Nejlepší řešitelé ....................................................................................... 47 Obsah ................................................................................................... 48 48 Název: Matematický klokan 2004 Odpovědní redaktoři: Josef Molnár Bohumil Novák Dita Navrátilová Pavel Calábek Znění úloh podle evropské verze v jednotlivých kategoriích upravili: Klokánek Bohumil Novák, Eva Kubátová, Martina Uhlířová Benjamín Milan Kopecký, Bronislava Růžičková Kadet Petr Emanovský, Jitka Hodaňová Junior Radek Horenský, Josef Molnár Student Pavel Calábek, Jaroslav Svrček Matematický klokan pro žáky se sluchovým postižením: Anna Sarátková Vydala a vytiskla: Univerzita Palackého v Olomouci, Křížkovského 8, 771 47 Olomouc Olomouc 2004 1. vydání ISBN: Partneři Matematického klokana ve školním roce 2003/2004 MORA VIA Consulting, Brno prodos, pedagogické nakladatelství, Olomouc CK Morávie, Olomouc, ul. Kosmonautů Kontaktní adresa: Dita Navrátilová, Katedra matematiky PdF UP, Žižkovo nám. 5, 771 40 OLOMOUC e-mail: navratid@pdfnw.upol.cz tel.: 58 563 57 02 Josef Molnár, Katedra algebry a geometrie PřF UP, Tomkova 40, 779 00 OLOMOUC e-mail: molnar@risc.upol.cz tel.: 58 563 46 57 Bohumil Novák, Katedra matematiky PdF UP, Žižkovo nám. 5, 771 40 OLOMOUC e-mail: novakvb@pdfnw.upol.cz tel.: 58 563 57 01 www.matematickyklokan.net www.upol.cz katmat.upol.cz e-mailová adresa pro korespondenci: soutez@matematickyklokan.net