Modularizace a modernizace studijního programu počáteční přípravy učitele fyziky
Studijní modul
Teorie relativity a astronomie
Lukáš Richterek
Olomouc 2013
Oponenti: RNDr. Josef Tillich, CSc.
Prof. RNDr. Jan Novotný, CSc.
Publikace byla připravena v rámci projektu „Modularizace a modernizace studijního programu
počáteční přípravy učitele fyziky“, reg. č. CZ.1.07/2.2.00/18.0018. Tento projekt je
spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
1. vydání
© Lukáš Richterek, 2012
ISBN 978-80-244-3335-6
Obsah
Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Základy speciální teorie relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Vznik speciální teorie relativity a její postuláty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Prostor a čas v nerelativistické fyzice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Éter a základní experimenty na jeho zjištění . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Einsteinovy postuláty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Lorentzova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Odvození Lorentzovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Důsledky Lorentzovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Minkowského prostoročas, čtyřvektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Minkowského diagramy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Geometrie Minkowského prostoročasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 Čtyřvektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.4 Kauzální struktura prostoročasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.5 Pohyb s konstantním zrychlením . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4 Relativistická mechanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.1 Princip kovariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2 Dynamika částice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.3 Síla, její směr a transformace složek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5 Relativistická elektrodynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.1 Maxwellovy rovnice, čtyřpotenciál a čtyřproud . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.2 Invariantní zápis Maxwellových rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6 Variační princip v teorii relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Základy astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1 Naše Slunce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.1 Základní údaje o Slunci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.2 Pohyb Slunce po obloze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Měsíc a planety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.1 Měsíc – bratr, vetřelec či souputník? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2 Planety na hvězdném nebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Hvězdy a souhvězdí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.1 Dvojhvězdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.2 Proměnné hvězdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.3 Hvězdokupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Galaxie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5 Meteory a komety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6 Pozorování oblohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6.1 Obloha a hvězdná obloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6.2 Sférické soustavy souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6.3 Časy v astronomii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.6.4 Odhady vzdáleností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3
2.7 Hertzsprungův-Russellův diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3 Základy relativistické kosmologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1 Základní východiska a principy relativistické kosmologie . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2 Friedmannova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3 Robertsonova-Walkerova metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4 Hustota a tlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 Hubbleův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6 Šíření světla ve Friedmannových modelech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.7 Observační parametry vesmíru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.8 Budoucnost vesmíru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.9 Stáří pozorovaných objektů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.10 Fotometrická vzdálenost a Hubbleovy diagramy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Základní doporučená literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Učebnice a monografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Časopisecké a internetové zdroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Populárně naučná literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Rejstřík . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Úvod
Je nemožné pohybovat se rychleji než světlo a určitě to není
žádoucí, jelikož vítr člověku neustále strhává klobouk.
Woody Allen (*1. 12. 1935)
Malá definice relativity: Pokud víme, ve Vesmíru neexistuje nic,
na co bychom se mohli zavěsit.
Anonym, s nímž by Einstein asi souhlasil
Teorie se hroutí, ale dobrá pozorování nezapadnou nikdy.
Harlow Shapley (2. 11. 1885 – 20. 10. 1972)
Život na Zemi je možná nákladný, ale zahrnuje každoroční cestu
kolem Slunce zdarma.
Anonym
Tento text si klade za cíl ve stručném přehledu shrnout nejdůležitější pojmy ze speciální teorie
relativity, astronomie a kosmologie pro potřeby studentů učitelských kombinací s fyzikou. V čase
vymezeném na jeho zpracování nebylo možné pokrýt všechna témata vyčerpávajícím a uspokojujícím
způsobem, na řadu z nich se nedostane vůbec. Naštěstí existuje řada kvalitních a dostupných
učebnic a dalších pramenů, jejichž seznam je uveden v závěru. Podle dosavadních zkušeností jde
o témata, o která projevují žáci na školách velký zájem a budoucí učitel fyziky by měl mít základní
představu o těchto disciplinách. Na druhé straně se tyto obory stále vyvíjejí, upřesňují se experimenty
a naše představy o vesmíru musíme neustále doplňovat, někdy i významně upřesňovat.
I proto by měl být tento materiál chápán pouze jako východisko k samostudiu, samostatnému vyhledávání
dalších informací a sledování dalších objevů. Pro případné použití ve výuce lze doporučit
vtipné a názorné animace vytvořené kolegy na PřF MU v Brně [12].
Materiál vychází z řady pramenů. V případě speciální teorie relativity čerpá hlavně z lety prověřeného
studijního textu [16] používaného na PřF UP a ze studijního textu pro řešitele Fyzikální
olympiády [119], kapitola zabývající se základy astronomie vychází z elektronického materiálu
PřF MU v Brně [113], základem kapitoly zabývající se kosmologií byl aktualizovaný elektronický
zdroj [108].
Rád bych poděkoval oběma recenzentům za cenné připomínky a podněty k vylepšení textu. Po
vytištění bude volně dostupný v elektronické podobě na stránkách projektu http://mofy.upol.cz.
Velkou výhodou elektronických materiálů je, že mohou být průběžně doplňovány a vylepšovány.
Budu proto čtenářům vděčný za jejich komentáře a upozornění na případné chyby.
Olomouc 15. ledna 2013 Autor
5
Albert Einstein (14. 3. 1879 – 18. 4. 1955), tvůrce teorie relativity, na přednášce ve Vídni v roce 1921, v témže roce,
kdy se stal laureátem Nobelovy ceny (zdroj: Wikipedie). Einsteinovu obecnou teorii relativity označil nositel
Nobelovy ceny a průkopník kvantové mechaniky Paul Dirac za „ …pravděpodobně největší objev v dějinách“ a Max
Born, jiný z gigantů fyziky 20. století, ji nazval „ …nejúžasnějším výkonem lidského uvažování o přírodě,
nejobdivuhodnější kombinací filozofické pronikavosti, fyzikální intuice a matematických dovedností“ [150]
6
Kapitola 1
Základy speciální teorie relativity
1.1 Vznik speciální teorie relativity a její postuláty
1.1.1 Prostor a čas v nerelativistické fyzice
Fyzikální zákony popisují souvislosti a jevy, které jsou v přírodě stálé a nezávisejí na volbě vztažné
soustavy ani na použité soustavě souřadnic, v níž jsou formulovány. Fyzikální proces musí nastat bez
ohledu na to, kterou soustavu souřadnic si k jeho pozorování a popisu zvolíme. Libovolnost volby
soustavy souřadnic musí být proto dána formulací zákonů – jejich obsah i forma musí být stejné
pro určitou třídu pozorovatelů. Pro každou objektivně identickou situaci se pro různé pozorovatele
z této třídy mohou lišit jen numerické hodnoty pozorovaných veličin, ne však vztahy mezi nimi.
Vztažné soustavy, vzhledem k nimž se volná částice pohybuje přímočaře a rovnoměrně nazýváme
inerciálními vztažnými soustavami, souřadnicové soustavy na nich definované nazýváme inerciálními
souřadnicovými soustavami. Tyto pojmy jsou stejné v relativistické i nerelativistické fyzice.
V nerelativistické mechanice je vztah mezi různými inerciálními souřadnicovými soustavami vyjádřen
tzv. Galileovou transformací
r ′
= r − v t, t′
= t, (1.1)
Tato transformace je spojena s Newtonovými pohybovými zákony a definuje třídu inerciálních
pozorovatelů. Newtonovy zákony jsou stejné pro všechny inerciální pozorovatele,
F = ma , =⇒ F ′
= ma ′
i když numerické hodnoty, např. souřadnic částice, se pro jednotlivé pozorovatele liší.
Z definice inerciální soustavy je patrné, že k její realizaci potřebujeme mít k dispozici volné hmotné
body. Za takové můžeme přibližně považovat navzájem velmi vzdálené objekty, např. hvězdy. Tak
můžeme střed inerciální soustavy ztotožnit se středem Galaxie nebo středem Slunce, pro krátké
časové intervaly můžeme za počátek inerciální vztažné soustavy zvolit střed Země.
Ukázalo se však, že zákony šíření elektromagnetických vln pro takto definovanou třídu inerciálních
pozorovatelů neplatí. Bylo zjištěno, že rychlost šíření světelných signálů je ve vakuu konstantní
v rozporu se zákonem skládání rychlostí, jež plyne z Galileovy transformace. Teorii šíření elektromagnetických
vln přitom popisují Maxwellovy rovnice, které proto nemohou platit ve všech
inerciálních soustavách definovaných Galileovou transformací. Jak uvidíme, speciální teorie relativity
nahrazuje tyto transformace Lorentzovou transformací, rozšiřující třídu inerciálních pozorovatelů
tak, že jsou pro ně invariantní všechny známé fyzikální zákony a jevy (pokud se v dalším
zpřesňování fyzikálního obrazu světa nesetkáme s jevy, které by do této třídy nezapadaly).
Každá fyzikální teorie je tedy spojena s určitou třídou transformačních zákonů definujících třídu
pozorovatelů, pro něž teorie platí. Nerelativistická mechanika byla vybudována na Newtonových
zákonech a platila pro inerciální pozorovatele definované Galileovou transformací. Z hlediska studovaných
objektů bylo třeba vyloučit z úvah částice pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla,
7
1.1 VZNIK SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY A JEJÍ POSTULÁTY
neboť takové částice, podobně jako světelné jevy, nesplňují zákony, které jsou důsledkem definice
třídy galileovských inerciálních pozorovatelů. V tomto smyslu je relativistická mechanika zobecněním
nerelativistické teorie.
Dodejme, že Newtonova mechanika je úzce spjata s pojmy absolutního prostoru a absolutního času,
které jsou neměnné a existují samy o sobě nezávisle na hmotných objektech. V neinerciálních
vztažných soustavách pak působí tzv. zdánlivé (fiktivní, setrvačné) síly, jež jsou způsobeny pohybem
těchto soustav vzhledem k absolutnímu prostoru. S touto koncepcí však nesouhlasili všichni
fyzikové, nejznámějším z odpůrců byl i profesor pražské a později vídeňské univerzity Ernst Mach
(18. 2. 1838, Chrlice – 19. 2. 1916 Vaterstetten). Podle jeho koncepce mají setrvačné síly původ
v působení ostatních těles. Machovy myšlenky a názory – podle vlastních slov Alberta Einsteina –
jej významně ovlivnily, zejména při práci na obecné teorii relativity.
1.1.2 Éter a základní experimenty na jeho zjištění
V souvislosti s hledáním absolutně klidné soustavy byla v 2. polovině 19. století získána řada experimentálních
výsledků. Hledanou absolutně klidnou soustavou měl být éter vyplňující celý prostor;
tímto éterem mělo být přenášeno i elektromagnetické vlnění. Protože Maxwellovy rovnice nezachovávají
svůj tvar při přechodu od jedné inerciální soustavy ke druhé Galileovou transformací, zcela
přirozeně se čekalo, že zkoumání elektromagnetických (optických) jevů přinese důkazy o pohybu
zvolené soustavy vzhledem k tomuto éteru, tedy vlastně důkaz o existenci „absolutního pohybu“.
Zmíněná měření se vesměs redukovala na co nejpřesnější měření rychlosti světla na Zemi pohybující
se éterem, tj. na ověření Galileova zákona skládání rychlostí pro světlo.
Výsledky měření byly často protichůdné a pro jejich vysvětlení byly vyslovovány různé hypotézy,
jež si navzájem odporovaly:
• Stokesova-Hertzova hypotéza dokonalého strhávání éteru, podle níž je pohybujícími se tělesy
éter dokonale strháván, takže v blízkosti pohybujícího se tělesa je rychlost éteru vůči němu
nulová; tuto hypotézu vyvracely např. výsledky Hoekova pokusu.
• Frenelova-Fizeauova hypotéza částečně strhávaného éteru, podle níž je pohybujícími se tělesy
éter strháván pouze částečně, takže v blízkosti pohybujícího se tělesa je rychlost éteru vůči
němu menší, než by byla v případě, že by byl éter absolutně nepohyblivý; proti této hypotéze
svědčily např. výsledky měření aberace hvězd.
• Lorentzova hypotéza absolutně klidného éteru, podle níž není éter pohybujícími se tělesy
strháván vůbec. Známý Michelsonův pokus (podrobněji v části 1.1.2) byl uspořádán tak,
aby umožnil zjistit pohyb Země vzhledem k tomuto klidnému éteru. Vzhledem k zápornému
výsledku tohoto pokusu neobstála ani tato hypotéza.
Holandský fyzik Hoek provedl r. 1868 následující interferenční experiment (viz obr. 1.1). Monochromatický
světelný paprsek je polopropustným zrcadlem rozdělen na dva paprsky procházející
opačným směrem stejnou optickou dráhu, přičemž v jednom rameni je válec délky L naplněný vodou
o indexu lomu n. Pokud bude přistroj v klidu vůči éteru, objeví se interferenční proužky, neboť
optické dráhy nikdy nebudou úplně shodné. Pokud by se měřicí aparatura vůči éteru pohybovala,
a válec bychom přemístili do ramene AB, popř. přístroj otočíme o 180◦
, měl by se objevit posun
interferenčních proužků, neboť pro časový posun mezi oběma paprsky vychází
∆t =
L
c
n
+ αv − v
+
l
c + v
−
l
c − v
−
L
c
n
− αv + v
≈
2l
v
(
1 −
1
n2
− α
)
n2
β2
,
kde α je strhávací koeficient, a pro posun interferenčních proužků
∆ =
c
λ
∆t ≈
2ln2
λ
(
1 −
1
n2
− α
)
β
8
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
Obr. 1.1: Schéma Hoekova experimentu s očekávaným posunutím proužků (zdroj: Wikipedie)
Pokus patří mezi tzv. pokusy 1. řádu, tj. měl by zaznamenat vliv členů β = v/c.
Už v roce 1851 francouzský fyzik Fizeau provedl podobné měření (viz obr. 1.2), v němž předpokládal
částečné strhávání éteru. Pro rozdíl času mezi protiběžnými paprsky vychází
∆t =
L
c
n
− αv
−
L
c
n
+ αv
=
2αLv
c2 − v2
≈
2αLvn2
c2
;
c
n
Č αv.
(a)
(b)
Obr. 1.2: (a) Historický obrázek Fizeauova experimentu
(b) Schéma Fizeauova experimentu (zdroj: Wikipedie, upraveno)
9
1.1 VZNIK SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY A JEJÍ POSTULÁTY
Měřením zjistil α ≈ 0,48, což u použité vody s indexem lomu n = 1,33 přibližně odpovídá výrazu
1 − 1/n2
≈ 0,435. Závislost na indexu lomu však v sobě skrývá problém – museli bychom zavést ne
jeden, ale nekonečně mnoho strhávaných éterů pro každou barvu. Lze ukázat, že Fizeau byl vlastně
prvním, kdo naměřil relativistické skládání rychlostí a že Fizeauův strhávací koeficient skutečně
dává nulové výsledky Hoekova pokusu v souladu s pozorováním.
Už roku 1727 anglický astronom Bradley zjistil, že v důsledku pohybu Země okolo Slunce se viděné
rozložení hvězd na obloze mění. Pozorujeme-li hvězdu v pólu ekliptiky, musíme dalekohled natočit
pod úhlem ε = arctan v/c ≈ 20,5′′
v souladu s Bradleyovými měřeními, ovšem za předpokladu
dokonale klidného éteru.
Michelsonův-Morleyův pokus
Jak již bylo naznačeno, Michelsonův-Morleyův pokus (nebo spíše série pokusů) mají mezi experimenty
na důkaz absolutního pohybu Země vůči éteru zvláštní postavení a jeho záporný výsledek
byl předznamenáním STR, i když formálně jej bylo možné vysvětlit pomocí Lorentzovy elektronové
teorie.
První pokus provedl Albert Abraham Michelson v Postupimi, opakován byl r. 1887 s Edwardem
Morleym v Cleevelandu. Jde opět o interferenční pokus (viz obr. 1.4). Pro čas prvního paprsku
vychází
t1 =
l1
c − v
+
l1
c + v
=
2l1
c
1
1 − β2
,
pro čas druhého paprsku vychází
t2 =
2l2
c
1
√
1 − β2
.
Rozdíl mezi oběma paprsky bude
(∆t)1 = t2 − t1 =
2
c
(
l2
√
1 − β2
−
l1
1 − β2
)
.
(a) (b)
Obr. 1.3: (a) Historické schéma Michelsonova experimentu (b) Moderní varianta Michelsonova experimentu použitá
při jednom z posledních zpřesnění [106]; použity jsou dva optické rezonátory v navzájem kolmých směrech chlazené
na teplotu kapalného helia (zdroj: Wikipedie, upraveno)
10
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
Po otočení o 90◦
analogicky vychází
(∆t)2 =
2
c
(
l2
1 − β2
−
l1
√
1 − β2
)
,
oba případy se tak liší o
∆t = (∆t)2 − (∆t)1 =
2
c
(l1 + l2)
(
1
1 − β2
−
1
√
1 − β2
)
≈
l1 + l2
c
β2
.
Dráhový rozdíl mezi paprsky je potom dán součinem c∆tw. Je-li λ vlnová délka použitého světla,
posune se obrazec o m proužků
m =
c∆t
λ
=
l1 + l2
λ
β2
.
Žádný posun však naměřen nebyl, přestože experiment byl od té doby mnohokrát opakován s moderními
přístroji (viz např. [79, 106]), přičemž konstantní rychlost světla v různých směrech byla
ověřena s relativní přesností ∆c/c ≈ 10−15
.
1.1.3 Einsteinovy postuláty
Základem speciální teorie relativity (dále STR) jsou dva axiomy (principy, postuláty) formulované
Albertem Einsteinem.
Princip relativity: Všechny fyzikální děje probíhají ve všech inerciálních soustavách
stejně, ve všech inerciálních vztažných soustavách platí stejné fyzikální
zákony.
Princip konstantní rychlosti světla: Světlo se ve vakuu šíří konstantní
rychlostí c stejnou pro všechny pozorovatele a nezávislou na pohybu zdroje.
Z těchto postulátů je možné vybudovat celou STR. Prvním krokem bude specifikace třídy inerciálních
pozorovatelů, pro něž bude tato teorie platit, tj. nalezení transformací, definujících přechod od
jedné inerciální vztažné soustavy k jiné, tj. nalezení Lorentzovy transformace v následující části.
(a) (b)
Obr. 1.4: (a) Schéma Michelsonova experimentu (b) Očekávaný a skutečný výsledek Michelsonova historického
experimentu v roce 1987 (zdroj: Wikipedie, upraveno)
11
1.2 LORENTZOVA TRANSFORMACE
1.2 Lorentzova transformace
1.2.1 Odvození Lorentzovy transformace
Důsledkem Einsteinových postulátů je nalezení transformace souřadnicové soustavy, která má tu
vlastnost, že ponechává nezměněnu rovnici kulové vlnoplochy světelné vlny vyslané z bodového
zdroje. Je-li z počátku souřadnicové soustavy x1
, x2
, x3
vyslán v okamžiku t = 0 světelný signál,
pak v okamžiku t je jeho vlnoplocha určena rovnicí1
(
x1
)2
+
(
x2
)2
+
(
x3
)2
= c2
t2
. (1.2)
Vzhledem k druhému Einsteinovu postulátu musí v jiné inerciální soustavě x′1
, x′2
, x′3
být rovnice
téže vlnoplochy
(
x′1
)2
+
(
x′2
)2
+
(
x′3
)2
= c2
t′2
, (1.3)
přičemž čas už nepokládáme za veličinu absolutní, plynoucí ve všech inerciálních soustavách stejně
a v nové soustavě jej značíme t′
. Z matematického hlediska tak čas hraje úlohu dalšího rozměru.
Zavedeme-li časovou souřadnici
x0
= ct, (1.4)
přecházejí rovnice (1.2) a (1.3) na
s2
= −
(
x0
)2
+
(
x1
)2
+
(
x2
)2
+
(
x3
)2
= 0
s′2
= −
(
x′0
)2
+
(
x′1
)2
+
(
x′2
)2
+
(
x′3
)2
= 0. (1.5a)
Z matematického hlediska začínáme tak pracovat s čtyřrozměrným prostorem se třemi prostorovými
a jednou časovou souřadnicí, tzv. prostoročasem, jeho jednotlivé body označujeme jako události.
Výraz s nazýváme intervalem mezi dvěma událostmi, v tomto případě mezi událostí v počátku
souřadnicové soustavy v okamžiku t = 0 (vyslání světelného signálu) a událostí v bodě vlnoplochy
v okamžiku t (příchod světelného signálu). Interval může být zaveden pro libovolné události, jež
nemusí být nutně spojeny světelných signálem. Platí
s2
AB = −
(
x0
B − x0
A
)2
+
(
x1
B − x1
A
)2
+
(
x2
B − x2
A
)2
+
(
x3
B − x3
A
)2
a pro dvě blízké události
ds2
= −
(
dx0
)2
+
(
dx1
)2
+
(
dx2
)2
+
(
dx3
)2
(1.6)
Pro libovolné dvě události A a B však obecně neplatí, že s2
AB = 0 nebo s′2
AB = 0, jak tomu je pro
dvě události spojené světelným signálem. Základní vlastností každého intervalu však je, že zůstává
invariantní při přechodu od jedné inerciální soustavy ke druhé. Ukažme to nyní pro ds.
Z anulování intervalu v jedné inerciální soustavě vyplývá vzhledem k (1.5a) nutnost jeho anulování
v každé jiné inerciální soustavě. Tento požadavek bude splněn, jestliže bude platit
ds2
= ads′2
,
kde koeficient úměrnosti a nemůže záviset na souřadnicích ani na čase, neboť by různé body prostoru
a různé časové okamžiky nebyly rovnocenné (prostor a čas by nebyly homogenní) a nemůže
záviset ani na směru relativní rychlosti obou inerciálních soustav, neboť by byla narušena izotropnost
prostoru; může proto záviset jen na velikosti relativní rychlosti obou inerciálních soustav.
1
Z důvodů, které budou zřejmé později budeme souřadnice číslovat pomocí horních indexů
12
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
Uvažujme nyní tři inerciální vztažné soustavy S, S′
a S′′
takové, že relativní rychlost S′
vůči S je
v 1, S′′
vůči S je v 2 a S′′
vůči S′
je v 12. Pak můžeme psát
ds2
= a (v1) ds′2
,
ds2
= a (v2) ds′′2
,
ds′2
= a (v12) ds′′2
.
Dosazením z poslední rovnice a porovnáním předchozích dvou plyne
a (v2)
a (v1)
= a (v12) .
Protože v12 nezávisí jen ne velikostech, ale i na vzájemných směrech rychlostí v 1 a v 2, může být
tento vztah splněn, jedině když se a redukuje na konstantu a má-li platit poslední rovnice, musí
být tato konstanta rovna 1. Platí tedy
ds2
= ds′2
(1.7)
a přejdeme-li k intervalům mezi událostmi konečně vzdálenými, musí také
s2
AB = s′2
AB (1.8)
nebo, vzhledem k (1.5a) také
s2
= −
(
x0
)2
+
(
x1
)2
+
(
x2
)2
+
(
x3
)2
= s′2
= −
(
x′0
)2
+
(
x′1
)2
+
(
x′2
)2
+
(
x′3
)2
. (1.9)
Vidíme, že čas i prostorové souřadnice jsou v definici intervalu úzce propojeny. Lze na ně nahlížet
jako na souřadnice v 4-rozměrném metrickém prostoru, kde interval hraje obdobnou roli jako
vzdálenost v trojrozměrném prostoru.
Další vlastností hledané transformace musí být jednoznačnost a linearita. Pak i vztahy mezi souřadnicemi
(x0
, x1
, x2
, x3
) událostí v jedné soustavě S a souřadnicemi (x′0
, x′1
, x′2
, x′3
) těchže událostí
v druhé soustavě musí být rovněž jednoznačné. Ukažme, že požadavek linearity vyplývá opět z homogenity
prostoru a času. Obecně můžeme transformační rovnice psát ve tvaru
x′0
= f0
(
x0
, x1
, x2
, x3
)
, (1.10a)
x′1
= f1
(
x0
, x1
, x2
, x3
)
, (1.10b)
x′2
= f2
(
x0
, x1
, x2
, x3
)
, (1.10c)
x′3
= f3
(
x0
, x1
, x2
, x3
)
, (1.10d)
kde funkce f0, f1, f2, f3 jsou zatím blíže neurčené jednoznačné funkce prostoročasových proměnných.
Uvažujme dvě události A a B, jejichž prostoročasové souřadnice v klidové resp. pohybující se
vztažné soustavě jsou {xµ
A} a {xµ
B}, přičemž index µ nabývá hodnot 0, 1, . . . , 3. V soustavě S′
jsou
souřadnice těchto událostí {x′µ
A } a {x′µ
B }. Kdyby neznámé funkce fµ nebyly lineární v proměnných
{xµ
}, pak by rozdíly (x′ν
B − x′ν
A) závisely nejen na odpovídajících rozdílech (xµ
B − xµ
A), ale i na
konkrétních (číselných) hodnotách souřadnic {xµ
A} daných událostí, což by bylo v rozporu s druhým
předpokladem. Předpokládejme pro jednoduchost, že v klidové soustavě se události A a B liší
pouze v souřadnici x1
a zaveďme označení ξ = x1
B − x1
A. Zaměřme se např. na funkci f1. Jestliže
požadujeme, aby ξ′
= x′1
B − x′1
A záviselo pouze na ξ a nezáviselo např. na souřadnici x1
A, můžeme
psát
∂ξ′
∂x1
A
= 0 při ξ = konst.
13
1.2 LORENTZOVA TRANSFORMACE
Dosadíme-li zde z (1.10d), dostáváme
∂
∂x1
A
[
f1
(
x0
A, x1
A + ξ, x2
A, x3
A
)
− f1
(
x0
A, x1
A, x2
A, x3
A
)]
= 0
Po provedení Taylorova rozvoje první funkce f1 získáme rovnici
∂
∂x1
A
[(
∂f1
∂x1
A
)
x1
A
ξ + . . .
]
= 0
Je zřejmé, že rovnost bude splněna pouze tehdy, když se výraz v hranaté závorce nebude měnit s
x1
A, tj. bude-li
∂f1
∂x1
A
= konst.
To ale znamená, že funkce f1 je funkcí lineární v proměnné x1
. Analogickým způsobem by se
dokázala linearita funkce f1 ve zbývajících proměnných x0
, x2
i x3
a pro funkce f0, f2 a f3.
Lorentzova transformace je obecně definována jako ortogonální transformace typu
x′µ
=
3∑
ν=0
aµ
νxν
. (1.11)
Ortogonalitu transformace definujeme podmínkou
3∑
µ=0
aµ
νaϱ
µ = δϱ
ν =
{
1 pro ϱ = ν,
0 pro ϱ ̸= ν.
(1.12)
Splněním podmínky ortogonality (1.12) zajistíme platnost (1.9). Protože souřadnice i čas musí být
v obou soustavách reálná čísla, musí být i matice transformace aµ
ν reálná.
Hledaná transformace navíc zřejmě pro malé rychlos-
U
O O
zz
y y
vt
r
r
x,x'
'
Obr. 1.5: Standadní konfigurace vztažných soustav
(převzato z [119])
ti v musí přecházet na Galileovu transformaci (1.1).
Pokud nebude uvedeno jinak, budeme nadále předpokládat
tzv. standardní konfiguraci vztažných soustav
S a S′
podle obr. 1.5. Pro odpovídající Galileovu
transformaci (1.1) po rozepsání do složek dostáváme
t′
= t, (1.13a)
x′
= x − vt, (1.13b)
y′
= y, (1.13c)
z′
= z. (1.13d)
Poslední dvě rovnosti budou splněny i pro Lorentzovy
transformace, v rovnicích (1.11) proto položíme
a2
µ = δ2
µ, a3
µ = δ3
µ, aµ
2 = δµ
2 , aµ
3 = δµ
3 . První dvě z rovnic (1.11) pak po rozepsání mají tvar
x0′
= a0
0x0
+ a0
1x1
, (1.14a)
x1′
= a1
0x0
+ a1
1x1
. (1.14b)
Podle (1.9) dále platí
(
x′1
)2
−
(
x′0
)2
=
(
x1
)2
−
(
x0
)2
. (1.15)
14
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
Poslední rovnici k určení maticových prvků aµ
ν pro µ, ν = 0, 1 odvodíme z rovnice pro pohyb
počátku 0′
, pro který x′1
= 0, x1
= vt, neboli (podle (1.14a))
0 = a1
0x0
+ a1
1x1
= a1
0ct + a1
1vt. (1.16)
Řešení soustavy rovnic (1.14a)–(1.16) vede k výsledku
a0
0 = a1
1 = γ, a0
1 = a1
0 = −βγ,
kde jsme ve shodě s většinou pramenů zavedli označení
β =
v
c
, γ =
1
√
1 −
v2
c2
=
1
√
1 − β2
. (1.17)
I v současné době se provádějí experimenty, které ověřují platnost Lorentzovy transformace, resp.
invariantnost fyzikálních zákonů vzhledem k této transformaci (princip relativity). Prozatím žádný
experiment nebyl v rozporu s tímto principem.Pro přehlednost a k dalšímu výkladu shrňme rovnice
Lorentzovy transformace
t′
= γ
(
t −
v
c2
x
)
=
t −
v
c2
x
√
1 −
v2
c2
,
x′
= γ (x − vt) =
x − vt
√
1 −
v2
c2
,
y′
= y,
z′
= z.
(1.18a)
(1.18b)
(1.18c)
(1.18d)
Symetrie Lorentzových transformací vynikne ve čtyřrozměrném formalismu. S využitím souřadnice
x0
= ct je můžeme zapsat v maticovém tvaru




ct′
x′
y′
z′



 =




γ −γβ 0 0
−γβ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 ·




ct
x
y
z



 . (1.19)
Vlastnosti Lorentzovy transformace pak vyniknou, pokud matici transformace parametrizujeme
pomocí hyperbolických funkcí
Lµ
ν =




γ −γβ 0 0
−γβ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 =




cosh ξ − sinh ξ 0 0
− sinh ξ cosh ξ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 , (1.20)
kde parametr ξ splňuje podmínku tanh ξ = β = v/c a nazýváme ho rapiditou; uplatnit ho lze
s výhodou např. u vícenásobného relativistického skládání rychlostí. Z vlastností hyperbolických
funkcí ihned dostáváme užitečnou identitu
cosh2
ξ − sinh2
ξ = γ2
− γ2
β2
= γ2
(
1 − β2
)
= 1, (1.21)
která samozřejmě také plyne přímo z (1.17). Výše uvedené transformace platí pro přechod od
soustavy S k S′
; obrácenou transformaci pro přechod od soustavy S′
k S získáme formální záměnou
15
1.2 LORENTZOVA TRANSFORMACE
v za −v, jak odpovídá fyzikální intuici, neboť soustava S se vzhledem k S′
pohybuje stejnou rychlostí
opačného směru. Konkrétně platí
t = γ
(
t′
+
v
c2
x′
)
=
t′
+
v
c2
x′
√
1 −
v2
c2
, (1.22a)
x = γ (x′
+ vt′
) =
x′
+ vt′
√
1 −
v2
c2
, (1.22b)
y = y, (1.22c)
z = z. (1.22d)
Ve čtyřrozměrném formalismu můžeme vztahy (1.22) zapsat v maticovém tvaru




ct
x
y
z



 =




γ γβ 0 0
γβ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 ·




ct′
x′
y′
z′



 . (1.23)
1.2.2 Důsledky Lorentzovy transformace
Z Lorentzovy transformace přímo plynou kinematické důsledky, s nimž se nesetkáváme v klasické
newtonovské fyzice a neodpovídají naší běžné zkušenosti s pomalými pohyby, pro než v Ć c.
Ačkoli se tyto jevy v literatuře probírají jednotlivě, zdůrazněme, že nejsou na sobě nezávislé – to,
co pozorovatel v jedné soustavě vysvětlí jako kontrakci délky, druhý vysvětluje jako relativnost
současnosti nebo dilataci času apod. Omezme se zde na stručné shrnutí, neboť tato problematika
je dostatečně zpracována v řadě dostupných pramenů.
Relativita současnosti a soumístnosti
Zatímco relativnost soumístnosti – tj. skutečnost, že když v jedné soustavě nastanou události na
stejném místě, v jiné soustavě na místech různých – zažíváme denně v dopravních prostředcích,
relativnost současnosti patří základním důsledkům Lorentzových transformací. Uvažujme dvě současné
události A a B, které v soustavě S nastanou v místech xA, xB v časech tA = tB = 0. Po
dosazení do (1.18a) obdržíme
∆t′
= t′
B − t′
A = γ
[
tB − tA −
v
c2
(xB − xA)
]
= γ
(
∆t
=0
−
v
c2
∆x
)
= −γ
v
c2
∆x.
Vidíme, že pokud budou události A a B v soustavě S nesoumístné, tj. ∆x ̸= 0, bude ∆t′
̸= 0 neboli
události v soustavě S′
nebudou současné.
Kontrakce délek
Uvažujme tyč s koncovými body A a B, která je v klidu v soustavě S′
a je položena ve směru osy
x′
. Pro délku tyče v této soustavě platí l0 = x′
B − x′
A; podmínkou správného měření délky je, aby
poloha obou konců byla odečtena současně, takže pro okamžiky čtení polohy obou konců v druhé
soustavě S (časové souřadnice událostí změření polohy konců tyče z hlediska pozorovatele v S)
platí tB = tA. Z Lorentzových transformací (1.18b) získáváme
l0 = x′
B − x′
A = γ [xB − xA − β (tB − tA)] = γ (xB − xA) = γl,
16
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
(a) (b)
Obr. 1.6: (a) Vzhled pravoúhlé sítě při relativistických rychlostech, pozorovatel je v jednotkové vzdálenosti od roviny
sítě a počátek O vidí kolmo před sebou (b) Pohled na pohybující se kvádry se započtením perspektivy (převzato
z [116]). Vizualizace těchto efektů lze nalézt např. na stránkách http://www.spacetimetravel.org
kde jsme označili l = xB − xA délku tyče naměřenou pozorovatelem v S. Po úpravě dostáváme
l = γ−1
l0 = l0
√
1 −
v2
c2
< l0. (1.24)
Dodejme, že z hlediska pozorovatele v soustavě S′
spojené s pohybující se tyčí nebyly odečteny
polohy konců tyče současně, tento pozorovatel proto zkrácení tyče z hlediska druhé soustavy vysvětlí
relativností současnosti.
Protože rozměry kolmé na směr pohybu se při přechodu ke druhé soustavě nezmění, pro transformaci
objemu získáváme
∆V = ∆V0
√
1 −
v2
c2
. (1.25)
Dodejme, že studium vzhledu rychle se pohybujících těles je mnohem komplikovanější. Pomineme-li
setrvačnost oka (budeme předpokládat, že bychom např. těleso fotografovali s velmi krátkou expoziční
dobou a se „švenkováním“ kamerou), projevila by se i rozdílná doba, kterou potřebují paprsky
vyslané či odražené z různých částí pohybujícího se tělesa; výsledný obraz je tvořen paprsky, které
dopadnou do fotoaparátu zároveň. Tvar pravoúhlé mříže a kvádrů je znázorněn na obr. 1.6.
17
1.2 LORENTZOVA TRANSFORMACE
Dilatace času
Uvažujme opět dvě soumístné události A a B, které v soustavě S′
nastanou v časech t′
A a t′
B
v místech o souřadnicích x′
A = x′
B. Po dosazení do rovnice (1.22a) vychází
∆t = tB − tA = γ

t′
B − t′
A +
v
c2
(x′
B − x′
A)
=0

 = γ∆t′
neboli
∆t = γ∆t′
=
∆t′
√
1 −
v2
c2
> ∆t′
. (1.26)
Vidíme, že pro děj časově vymezený událostmi A a B naměří nejkratší trvání tohoto děje pozorovatel,
pro něhož události nastanou v témže místě, pozorovatelé v ostatních soustavách naměří čas
delší, proto hovoříme o dilataci času. Má proto smysl zavést vlastní čas nějakého děje, který bude
z časů naměřených v různých inerciálních soustavách nejkratší
dτ = dt
√
1 −
v2
c2
. (1.27)
Jde navíc o invariantní veličinu s rozměrem času, neboť podle (1.6) také platí
dτ2
= dt2
(
1 −
v2
c2
)
=
1
c2
[
c2
dt2
−
(
dx
dt
)2
−
(
dy
dt
)2
−
(
dz
dt
)2
]
= −
ds2
c2
, (1.28)
vlastní čas je úměrný invariantnímu intervalu.
Dilatace času byla potvrzena experimentálně. Ke klasickým testům patří ověřování příčného Dopplerova
jevu Ivesem a Stilwellem [93, 94]. V učebnicích bývá nejčastěji zmiňován případ velmi
rychlých mionů, které vznikají ve svrchní vrstvě atmosféry a podle své doby života by neměly
urazit dráhu delší než několik stovek metrů. Skutečnost, že je registrujeme i na zemském povrchu
a musí tedy urazit desítky kilometrů, je z našeho pohledu dokladem dilatace času. V soustavě
spojené s miony bychom ovšem výsledek popsali kontrakcí délky – z jejich „pohledu“ je uražená
vzdálenost kratší. Názorně tak vidíme i relativnost vysvětlení z hlediska různých vztažných soustav,
pozorovatelé v různých soustavách se však vždy musí shodnout na pozorovaném výsledku. Dosud
nejpřesnější ověření dilatace času pro nerelativistické rychlosti okolo 10 m·s−1
bylo provedeno v roce
2010 pomocí optických atomových hodin [91].
Existuje i řada pokusů, které kromě výše popsané dilatace času spojené s pohybem ověřují i změnu
chodu hodin v gravitačním poli Země, tedy efekt předpovězený obecnou teorii relativity. Ke klasickým
již dnes patří Hafeleův-Keatingův experiment [90], v němž byla k měření použita trojice
přesných cesiových hodin, z nichž jedny zůstaly na zemi, druhé obletěly letadlem Zemi po směru
otáčení a třetí ve směru opačném. S kompenzací dilatace času se musí počítat v navigačních
systémech GPS [75, 76], čímž teorie relativity vstupuje do světa každodenních praktických aplikací.
Relativistické skládání rychlostí
Jako poslední z kinematických jevů uveďme relativistické skládání rychlostí. Označme
u =
dx
dt
e x +
dy
dt
e y +
dz
dt
e z
18
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
rychlost částice vzhledem k soustavě S a
u’ =
dx′
dt′
e ′
x +
dy′
dt′
e ′
y +
dz′
dt′
e ′
z
rychlost téže částice vzhledem k soustavě S′
; označení v si vyhradíme pro vzájemnou rychlost
vztažných soustav S a S′
. Symboly e i resp. e ′
i značíme jednotkové vektory ve směru souřadnicových
os. Podle Lorentzových transformací (1.18) platí
dt′
= γ
(
dt −
v
c2
dx
)
, (1.29a)
dx′
= γ (dx − vdt) , (1.29b)
dy′
= dy, (1.29c)
dz′
= dz. (1.29d)
Pro složky rychlosti v soustavě S′
postupně dostáváme
u′x
=
dx′
dt′
=
γ (dx − vdt)
γ
(
dt −
v
c2
dx
) =
dx
dt
− v
1 −
v
c2
dx
dt
=
ux
− v
1 −
vux
c2
, (1.30a)
u′y
=
dy′
dt′
=
dy
γ
(
dt −
v
c2
dx
) = γ−1
dy
dt
1 −
v
c2
dx
dt
= γ−1 uy
1 −
vux
c2
=
uy
√
1 −
v2
c2
1 −
vux
c2
, (1.30b)
u′z
=
dz′
dt′
=
dz
γ
(
dt −
v
c2
dx
) = γ−1
dz
dt
1 −
v
c2
dx
dt
= γ−1 uz
1 −
vux
c2
=
uz
√
1 −
v2
c2
1 −
vux
c2
. (1.30c)
Opět je zřejmé, že pro u, v Ć c výše uvedené vztahy přecházejí na klasické skládání rychlostí
plynoucí z Galileovy transformace (1.13)
u′x
= ux
− v, u′y
= uy
, u′z
= uz
. (1.31)
1.3 Minkowského prostoročas, čtyřvektory
Množina událostí tvoří tzv. Minkowského prostoročas, který budeme zkráceně označovat jako prostoročas
nebo časoprostor.2
Jeho geometrie a některé vlastností vektorů nad tímto prostoročasem se
liší od 3-rozměrného eukleidovského prostoru, se kterým pracujeme v klasické mechanice a klasické
teorii pole.
1.3.1 Minkowského diagramy
Události lze s výhodou graficky znázornit pomocí tzv. Minkowského diagramů, které zavedl právě
Herman Minkowski. Příklad takového diagramu je na obr. 1.7. Na vodorovnou osu vynášíme
2
Prostoročasem samozřejmě označujeme i zakřivené prostoročasy např. v okolí hmotných těles, jejichž popisem
se zabývá obecná teorie relativity. V tomto textu však budeme pracovat výhradně s Minkowského prostoročasem.
Někdy se odlišuje „prostoročas“ a „časoprostor“ podle pořadí souřadnic, nicméně stále více se prosazuje první označení
v souladu s anglickým „spacetime“.
19
1.3 MINKOWSKÉHO PROSTOROČAS, ČTYŘVEKTORY
O
ϕ
ϕ
S
x = 0
x = 0
x = vt
t = vx/c2
t = 0
S
x
x
ct
(a)
Q
P
S1
A
B
S
1 23
Q1
Q2
P1
P2
x
ct
ab
a
(b)
Obr. 1.7: (a) Minkowského diagram (b) Současné události v Minkowského diagramu – události A a B jsou současné
v pohybující se soustavě S′
, ale nikoli v S (převzato z [119])
souřadnici x, na svislou x0
= ct, tj. osy soustavy S. Osy soustavy S′
budou na tomto diagramu znázorněny
polopřímkami, jejichž rovnice získáme z Lorentzovy transformace. Pro osu x′
platí ct′
= 0,
neboli
0 = γ (ct − βx) , ct = βx.
Osa x′
bude s osou x svírat úhel φ = arctan β. Podobně pro osu ct′
musí být x′
= 0, takže
0 = γ (x − βct) , ct = β−1
x.
Osa ct′
tak svírá s osou ct stejný úhel φ = arctan β, obě čárkované osy jsou souměrné podle osy
prvního kvadrantu. Pro větší rychlosti soustavy S′
se budou obě osy více a více sklápět k sobě a
v limitním případě β → 1 by splynuly s osou kvadrantu.
Mějme nyní nějakou událost B různou od události A, pro kterou platí |x| > |ct|. Existuje pozorovatel,
kterému se událost B jeví jako současná s událostí A? Sestrojme kružnici nad průměrem AB
(obr. 1.7). Obrazy signálů, které se odrazily proti sobě při událostech A a B, ji protnou v bodech
P, Q. Pozorovateli 2, jehož světočárou je přímka PQ, se budou události A, B jevit jako současné,
neboť jím vyslané signály při události P se vrátily za stejnou dobu při události Q. Podle něj došlo
k událostem A a B současně s událostí S zobrazenou středem úsečky AB, která nastala uprostřed
časového intervalu mezi událostmi P a Q. Ke stejnému závěru dojde i každý jiný pozorovatel 3,
jehož světočára je rovnoběžná se světočárou pozorovatele 2. Z podobnosti trojúhelníků na obr. 1.7
plynou rovnosti P1S1 = S1Q1, P2S1 = S1Q2. Podle pozorovatele 3 tedy události A, B a S1 nastaly
současně.
1.3.2 Geometrie Minkowského prostoročasu
Dvojici událostí A, B můžeme přiřadit 4-rozměrný vektor (čtyřvektor)
VAB =
3∑
µ=0
(xµ
B − xµ
A) eµ,
20
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
kde eµ jsou vektory kovariantní báze. Zvolíme-li událost A za počátek, tj. položíme-li xµ
A =
= (0, 0, 0, 0), získáme vzájemně jednoznačné přiřazení mezi vektory a událostmi. Navíc bude splněna
„trojúhelníková rovnost“ (skládání vektorů)
VAB + VBC = VAC. (1.32)
Položíme-li v (1.32) B = A, bude
VAA + VAC = VAC =⇒ VAA = 0;
podobně volbou C = A
VAB + VBA = VAA = 0 =⇒ VBA = −VAB.
Množina událostí spolu s tímto vektorovým prostorem tak zřejmě tvoří afinní prostor.
Při rotacích v 3-rozměrném eukleidovském prostoru se nemění vzdálenost bodů od počátku soustavy
souřadnic ani bodů mezi sebou (jde o izometrické zobrazení), proto např. v kartézské soustavě
souřadnic lze psát pro dva libovolné body A a B
l2
AB = (xB − xA)2
+ (yB − yA)2
+ (zB − zA)2
= konst.
Stejnou vlastnost vůči Lorentzově transformaci má interval
s2
AB = −c2
(tB − tA)2
+ (xB − xA)2
+ (yB − yA)2
+ (zB − zA)2
= konst.
Vektory (jde o čtyřvektory) odpovídající dvojicím událostí tvoří pseudoeukleidovský vektorový prostor,
tj. vektorový prostor se skalárním součinem definovaným vztahem
V · W = −V 0
W0
+ V 1
W1
+ V 2
W2
+ V 3
W3
.
Pro vektory báze pak platí
e0 · e0 = −1, e1 · e1 = 1, e2 · e2 = 1, e3 · e3 = 1.
Tento vektorový prostor nazýváme Minkowského vektorovým prostorem. Zavedeme-li duální kontravariantní
bázi eµ
splňující podmínky
eµ
· eν = δµ
ν , µ, ν = 0, . . . , 3.
bude
e0
= −e0, ei
= ei, i = 1, 2, 3.
Vektor V pak lze vyjádřit dvojím způsobem
V =
3∑
µ=0
V µ
eµ =
3∑
ν=0
Vνeν
a skalární součin dvou vektorů přepsat ve tvaru
V · W =
3∑
µ=0
V µ
eµ ·
3∑
ν=0
Wνeν
=
3∑
µ,ν=0
V µ
Wνδν
µ =
3∑
µ=0
V µ
Wµ = V 0
W0 + V 1
W1 + V 2
W2 + V 3
W3.
Tenzorem nad Minkowského prostorem rozumíme bilineární formu (zobrazení), které dvěma vektorům
přiřadí reálné číslo
(V , W ) −→ T (V , W ) ∈ R.
21
1.3 MINKOWSKÉHO PROSTOROČAS, ČTYŘVEKTORY
Bilinearita znamená linearitu vzhledem k oběma argumentům, pro libovolné a, b ∈ R a libovolné
vektory U, V , W musí platit
T (aU + bV , W ) = aT (U, W ) + bT (V , W )
a podobně pro druhý argument. Složky tenzoru T najdeme dosazením bázových vektorů
Tµν = T (eµ, eν) , popř. Tµν
= T (eµ
, eν
)
a působení tenzoru na vektory pak lze pomocí jeho složek zapsat ve tvaru
T (U, V ) = T
( 3∑
µ=0
Uµ
eµ,
3∑
ν=0
V ν
eν
)
=
3∑
µ,ν=0
TµνUµ
V ν
.
Velmi důležitý je metrický tenzor spojený se skalárním součinem vektorů
V · W = Ę (V , W ) =
3∑
µ,ν=0
ηµνV µ
Wν
.
Metrický tenzor je symetrický, tj. platí
Ę (V , W ) = Ę (W , V ) ,
a jeho složky jsou dány skalárním součinem bázových vektorů
ηµν = Ę (eµ, eν) = eµ · eν =




−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 . (1.33)
Analogicky pro kontravariantní složky metrického tenzoru lze psát
ηµν
= Ę (eµ
, eν
) = eµ
· eν
=




−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1




a pro smíšené
ηµ
ν = Ę (eµ
, eν) = eµ
· eν = δµ
ν .
Podobně jako v eukleidovských vektorových prostorech, i v Minkowského prostoru skalární součin
vektoru sama se sebou určuje jeho velikost; pro její kvadrát můžeme psát
|V |2
= V · V = Ę (V , V ) =
3∑
µ,ν=0
ηµνV µ
V ν
.
Je zřejmé, že druhá mocnina velikosti vektorů v Minkowského prostoročase nemusí být vždy nezáporným
reálným číslem. V námi užívané znaménkové konvenci je pro tzv. prostorupodobné vektory
|V |2
> 0, pro časupodobné |V |2
< 0. Dále vidíme, že |V | = 0 může být splněno nejen pro nulové
vektory (se všemi složkami rovnými 0). Pokud |V | = 0 a zároveň V ̸= 0, jde o světlupodobné vektory
spojené se šířením světelných signálů; k těmto pojmům se ještě vrátíme v souvislosti s kauzální
strukturou prostoročasu v části 1.3.4.
22
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
Význam metrického tenzoru nespočívá jen v souvislosti se skalárním součinem a s určováním velikosti
vektorů. Dosadíme-li pouze za jeden ze dvou jeho argumentů, dostáváme objekt symbolicky
zapsaný jako Ę (V , ), který umožňuje dosadit druhý vektor. Jde tedy o lineární zobrazení na
Minkowského vektorovém prostoru neboli lineární formu. Pro její složky vychází
Ę (V , )µ = Ę (V , eµ) = V · eµ =
3∑
ν=0
V ν
eν · eµ =
3∑
ν=0
ηµνV ν
,
jde tedy o kovariantní vektor. Metrický tenzor tak umožňuje převádět kontravariantní vektory na
kovariantní a obráceně
Vµ =
3∑
ν=0
ηµνV ν
, V µ
=
3∑
ν=0
ηµν
Vν.
Tyto operace nazýváme snižováním a zvyšováním indexů. Lze ji aplikovat i na bázové vektory
V =
3∑
µ=0
Vµeµ
=
3∑
µ,ν=0
ηµνV ν
eµ
=
3∑
ν=0
V ν
eν, =⇒ eν =
3∑
µ=0
ηνµeµ
V =
3∑
µ=0
V µ
eµ =
3∑
µ,ν=0
ηµν
Vνeµ =
3∑
ν=0
Vνeν
, =⇒ eν
=
3∑
µ=0
ηνµ
eµ.
Stejné operace lze aplikovat na složky tenzorů, např. na tenzor druhého řádu
Tµν
=
3∑
α=0
ηµα
Tν
α =
3∑
α,β=0
ηµα
ηνβ
Tαβ,
Tµν =
3∑
α=0
ηµαTα
ν =
3∑
α,β=0
ηµαηνβTαβ
.
Konkrétně pro metrický tenzor (1.33) vychází
V 0
= −V0, V i
= −Vi, Tij
= Tij, T00
= T00 = −T0
0 , Tµ0
= −Tµ0. (1.34)
Odtud je také zřejmé, že ačkoli všechny uvedené pojmy a operace lze zavést i v eukleidovském
prostoru, v kartézských souřadnicích tam rozdíl mezi kovariantními a kontravariantními složkami
vymizí a není potřeba je rozlišovat. Také v Minkowského prostoročase lze obejít zavedení metrického
tenzoru např. užíváním imaginární časové souřadnice. V obecném případě (např. v obecné teorii
relativity) však hraje rozdíl mezi kovariantními a kontravariantními souřadnicemi významnou roli.
Změna báze
Důležitou vlastností tenzorů je jejich chování při změně souřadnic; na základě toho jsou také někdy
formálně definovány. Předpokládáme, že v Minkowského prostoru přejdeme k jiné bázi {e′
µ}. Jí pak
odpovídá i jiná duální báze {e′µ
}, přičemž platí
e′
µ =
3∑
ν=0
aν
µeν, e′µ
=
3∑
ν=0
bµ
ν eν
.
Z vlastnosti duálních bází
e′
µ · e′ν
= δν
µ =
( 3∑
α=0
aα
µeα
)
·
( 3∑
β=0
bν
βeβ
)
=
3∑
α,β=0
aα
µbν
βδβ
α =
3∑
α=0
aα
µbν
α
23
1.3 MINKOWSKÉHO PROSTOROČAS, ČTYŘVEKTORY
vyplývá, že matice aν
µ a bµ
ν jsou inverzní a určují inverzní zobrazení. Pro kovariantní složky vektoru
v čárkované bázi díky linearitě vychází
V ′
µ = V
(
e′
µ
)
= V
( 3∑
ν=0
aν
µeν
)
=
3∑
ν=0
aν
µV (eν) =
3∑
ν=0
aν
µVν.
Vidíme, že kovariantní složky se transformují stejně jako bázové vektory, odkud plyne i označení
„kovariantní“. Analogicky pro kontravariantní složky dostáváme
V ′µ
= V (e′µ
) = V
( 3∑
ν=0
bµ
ν eν
)
=
3∑
ν=0
bµ
ν V (eν
) =
3∑
ν=0
bµ
ν V ν
;
transformují se pomocí matice inverzní k aν
µ, tedy „obráceně“ než bázové vektory (odtud plyne
název „kontravariantní“). Obdobně pro transformaci složek tenzorů 2. řádu lze psát
T′µν
= T (e′µ
, e′ν
) =
3∑
α,β=0
bµ
αbν
βT
(
eα
, eβ
)
=
3∑
α,β=0
bµ
αbν
βTαβ
,
T′
µν = T
(
e′
µ, e′
ν
)
=
3∑
α,β=0
aα
µaβ
ν T (eα, eβ) =
3∑
α,β=0
aα
µaβ
ν Tαβ,
T′µ
ν = T (e′µ
, e′
ν) =
3∑
α,β=0
bµ
αaβ
ν T (eα
, eβ) =
3∑
α,β=0
bµ
αaβ
ν Tα
β .
1.3.3 Čtyřvektory
Transformační vlastnosti můžeme také využít k definici vektorů. Složkami čtyřvektoru A (tj. vektoru
v Minkowského prostoročase) nazýváme veličiny transformující se při přechodu od jedné inerciální
vztažné soustavy ke druhé podle Lorentzovy transformace (1.19)




A′0
A′1
A′2
A′3



 =




γ −γβ 0 0
−γβ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 ·




A0
A1
A2
A3



 (1.35)
neboli
A′µ
=
3∑
ν=0
Lµ
ν Aν
,
podobně i tenzory v Minkowského prostoročase můžeme zavést pomocí transformačních vlastností
jejich složek; např. pro tenzor druhého řádu
T′µν
=
3∑
α,β=0
Lµ
αLν
βTαβ
.
Podotkněme, že na rozdíl od antisymetrických tenzorů druhého řádu v trojrozměrném prostoru
mají antisymetrické tenzory druhého řádu v Minkowského prostoročase 6 nezávislých složek, proto
jim nemůžeme přiřadit axiální vektor (pseudovektor), ale je možné jim přiřadit dvojici vektorů
(tzv. šestivektor). Praktickou ukázku uvidíme v relativistické elektrodynamice. Uveďme nyní některé
významné čtyřvektory.
Polohu události v prostoročase popisujeme čtyřvektorem polohy, s nímž jsme již pracovali v předchozích
částech. Pohybuje-li se částice v trojrozměrném prostoru po určité trajektorii, pohybuje se
bod, který reprezentuje částici (její polohu a čas) v Minkowského prostoročase po světočáře. Poznamenejme,
že i částice, která je v trojrozměrném prostoru vůči nějaké vztažné soustavě v klidu,
se v prostoročase „pohybuje v čase“, její světočára bude rovnoběžná s časovou osou.
24
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
Čtyřrychlost
Chování kinematických veličin (rychlost, zrychlení) vůči Lorentzově transformaci ovlivňuje skutečnost,
že čas není skalárním parametrem, ale v Minkowského prostoročase je jednou ze souřadnic.
Pro konstrukci čtyřvektorů proto potřebujeme čas nahradit skalární veličinou téhož rozměru –
vlastním časem τ zavedeným vztahem (1.27). Čtyřrychlost potom definujeme pomocí čtyřvektorů
polohy
U =
dx
dτ
, ve složkách Uµ
=
dxµ
dτ
. (1.36)
Po dosazení dostaneme pro složky čtyřrychlosti částice pohybující se rychlostí u vzhledem k uvažované
vztažné soustavě
U0
=
c
√
1 −
u2
c2
= γu c, (1.37a)
Ux
=
ux
√
1 −
u2
c2
= γu ux
, (1.37b)
Uy
=
uy
√
1 −
u2
c2
= γu uy
, (1.37c)
Uz
=
uz
√
1 −
u2
c2
= γu uz
, (1.37d)
kde ux, uy, uz jsou složky obvyklé trojrozměrné rychlosti částice v dané soustavě. Velikost čtyřrychlosti
částice je konstantní, jak se lze přesvědčit dosazením
U · U =
3∑
µ,ν=0
ηµνUµ
Uν
= −
(
UO
)2
+ (Ux
)2
+ (Uy
)2
+ (Uz
)2
= −γ2
uc2
+ γ2
uu2
= −c2
.
Skutečnost, že čtverec čtyřvektoru je invariantní při Lorentzově transformaci, platí pro libovolný
čtyřvektor a lze ji využít při řešení některých úloh.
Čtyřzrychlení
Analogicky definujeme čtyřzrychlení částice pohybující se rychlostí u
Aµ
=
dUµ
dτ
=
dUµ
dt
dt
dτ
=
1
√
1 − β2
u
dUµ
dt
= γu
dUµ
dt
. (1.38)
Lze ukázat, že čtyřzrychlení má pouze tři nezávislé složky. Uvažujme částici pohybující se rychlostí
u . Za složky čtyřrychlosti částice pak dosadíme podle (1.37). Sestavíme-li výraz
−A0
U0
+
3∑
i=1
Ai
Ui
= −
dU0
dτ
U0
+
3∑
i=1
dUi
dτ
Ui
=
1
2
d
dτ
[
−
(
U0
)2
+
3∑
i=1
(
Ui
)2
]
,
který bude roven 0, neboť výraz v hranaté závorce je invariantní a je roven −c2
. Rovnice
− A0
U0
+
3∑
i=1
Ai
Ui
= 0 (1.39)
25
1.3 MINKOWSKÉHO PROSTOROČAS, ČTYŘVEKTORY
pak vyjadřuje lineární závislost mezi složkami čtyřzrychlení. Ve speciálním případě, kdy se částice
v daném okamžiku v dané inerciální soustavě nepohybuje, bude U0
= c, Ui
= 0 a z (1.39) dostáváme
γ = 1, dτ = dt, A0
= 0, Ai
=
dui
dt
= ai
.
Vidíme, že v soustavě, vůči níž je částice v daném okamžiku v klidu, splývají prostorové složky
čtyřzrychlení s odpovídajícími složkami zrychlení částice.
Vlnový čtyřvektor a Dopplerův jev
Uvažujme skalární vlnění, pro velikost jehož výchylky platí
y = Am exp [i (k · r − ωt)]
nebo např. rovinnou elektromagnetickou vlnu popsanou rovnicí
E = Em exp [i (k · r − ωt)] .
Z podmínky, aby obě uvedené rovnice byly kovariantní vyplývá, že fáze vlny musí být invariantní
vzhledem k Lorentzovým transformacím. Tento invariant lze zapsat pomocí skalárního součinu
dvou čtyřvektorů
k · r − ωt = k · r −
ω
c
ct = ηαβKα
xβ
= −K0
x0
+ K1
x1
+ K2
x2
+ K3
x3
,
kde
x =




ct
x
y
z



 , K =




ω/c
k1
k2
k3



 .
Čtyřvektor K nazýváme vlnovým čtyřvektorem, jeho prostorové složky tvoří složky vlnového vektoru
k a platí
k =
2p
λ
n =
ω
c
n ,
kde n je jednotkový vektor ve směru šíření vlny a λ vlnová délka.
Transformaci čtyřvektoru do jiné inerciální vztažné soustavy určují opět Lorentzovy transformace.
Pro standardní konfiguraci soustav v případě vlnového čtyřvektoru dostáváme
ωnx = ω′
γ (n′
x + β) , ωny = ω′
n′
x, ωnz = ω′
n′
z, ω = ω′
γ (1 + βn′
x) . (1.40)
Vyjádříme-li z první rovnice
n′
x =
ω
ω′
γ−1
nx − β
a dosadíme do poslední z rovnic (1.40), po úpravě vychází
ω = ω′
√
1 − β2
1 − βnx
. (1.41)
Vztah 1.41 vyjadřuje relativistický Dopplerův jev. Je zřejmé, že na rozdíl od klasického Dopplerova
jevu, se pohyb zdroje i pozorovatele uplatní zcela symetricky, záleží pouze na relativním pohybu
zdroje a pozorovatele.
26
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
Veličina nx udává cosinus úhlu mezi směrem šíření vlny a osou x. Ve speciálním případě nx = ±1
dostáváme podélný Dopplerův jev. Pro nx = 1 (zdroj se přibližuje k pozorovateli)
ω = ω′
√
1 + β
√
1 − β
> ω′
,
podobně pro nx = −1 (zdroj se od pozorovatele vzdaluje)
ω = ω′
√
1 − β
√
1 + β
< ω′
.
Pro nx = 0 dostáváme příčný Dopplerův jev
ω = ω′
√
1 − β2 < ω′
,
který nemá klasickou analogii a odráží dilataci času mezi uvažovanými vztažnými systémy. Experimentálně
byl prokázán Ivesem a Stilwellem v letech 1938–1941 [93, 94]. S přesností 4 · 10−5
byl
ověřen v roce 1985 [98] a s přesností 2, 2 · 10−7
v roce 2003 [89].
1.3.4 Kauzální struktura prostoročasu
Zavedeme-li pro dvě události A a B veličiny
l2
AB = (xB − xA)2
+ (yB − yA)2
+ (zB − zA)2
, tAB = tB − tA,
můžeme pro interval mezi událostmi psát
s2
AB = l2
AB − c2
t2
AB = l′2
AB − c2
t′2
AB. (1.42)
Má proto smysl položit si následující otázky:
• Existuje inerciální vztažná soustava, v níž budou obě události soumístné?
Z podmínky lAB = 0 pak dostáváme
s2
AB = −c2
t′2
AB < 0.
Intervaly mezi takovými událostmi nazýváme intervaly časové povahy (časupodobné). Intervaly
spojené se světočárami částic jsou vždy časupodobné (v < c), neboť částice v daném
intervalu urazí vždy menší vzdálenost než světlo. U časupodobných intervalů se pozorovatelé
ve všech inerciálních soustavách shodnou na jejich pořadí v čase, tj. např. událost A nastala
před událostí B ve všech soustavách.
• Existuje inerciální vztažná soustava, v níž budou obě události současné?
Analogicky z podmínky tAB = 0 vyplývá
s2
AB = l′2
AB > 0.
Takové intervaly označujeme jako intervaly prostorové povahy (prostorupodobné). Pro takové
události jsou pojmy „dříve“, „současně“ a „později“ relativní.
Dodejme, že díky vlastnostem geometrie Minkowského prostoročasu může nastat ještě jeden případ,
nímž jsme se setkali již při odvození Lorentzovy transformace. I v případě, že lAB ̸= 0 i tAB ̸= 0,
může být splněna podmínka
s2
AB = l2
AB − c2
t2
AB = 0 neboli |lAB| = ctAB.
27
1.3 MINKOWSKÉHO PROSTOROČAS, ČTYŘVEKTORY
U
D
x
absolutní budoucnost
absolutní minulost
x
ct
A
B
O
(a) Absolutní minulost a budoucnost
O
absolutní budoucnost
absolutní minulost
y
ct
x
A
(b) Světelný kužel
Obr. 1.8: Kauzální struktura prostoročasu (převzato z [119])
Vidíme, že vzdálenost mezi událostmi u takového intervalu odpovídá šíření světelného signálu,
proto takové intervaly nazýváme intervaly světlupodobné (nulové). .
Zvolíme-li nyní libovolnou událost za počátek souřadnicového systému, vymezí nám světočáry odpovídající
pohybu světelného signálu vyslané z tohoto počátku (zobrazené v Minkowského diagramu
přímkami svírajícími s časovou osou úhel 45°) čtyři oblasti (viz obr. 1.8a). Přímky odpovídající pohybům
částic procházejících počátkem a pohybujících se přímočaře musejí ležet ve vybarvených
oblastech. Pro kteroukoliv událost z této oblasti a událost v počátku bude platit c2
t2
− l2
< 0,
tj. intervaly mezi těmito událostmi jsou časové povahy. Dá se proto najít soustava, v níž kterákoliv
událost z této oblasti proběhne v tomtéž místě prostoru jako událost v počátku, ale nedá se najít
soustava, v níž by obě události byly současné. Pro oblast nad vodorovnou osou je t > 0, takže události
z vyplněné oblasti nad osou proběhnou ve všech soustavách po události v počátku; tato oblast
je proto oblastí absolutní budoucnosti vzhledem k události v počátku (i když zde používáme termín
„absolutní“, vztahuje se tento pojem k určité události a nemá tedy význam absolutního budoucího
času ve smyslu newtonovské fyziky). Podobně události z vyplněné oblasti pod osou představují
absolutní minulost vzhledem k události v počátku.
Podobnou úvahou zjistíme, že události z nevyplněné oblasti mají tu vlastnost, že interval mezi
kteroukoliv z nich a událostí v počátku je prostorupodobný; dají se proto najít soustavy, nichž by
události z této oblasti a událost v počátku proběhly v tomtéž okamžiku, avšak v žádné soustavě
nebudou tyto události soumístné, tj. neproběhnou v tomtéž bodě prostoru. Proto se tyto oblasti
nazývají oblastmi „absolutně vzdáleného“ vzhledem k bodové události v počátku. Pojmy „současně“,
„dříve“, „později“ jsou pro události z této oblasti a událost v počátku pouze relativní.
Takové dvojrozměrné zobrazení si můžeme přenést i do Minkowského prostoročasu; pohybu světelného
signálu z určitého bodu (bodové události) odpovídá v tomto prostoročase hyperkužel, tzv. světelný
kužel (viz obr. 1.8b), který nám opět rozdělí prostoročas na oblasti absolutní minulosti resp.
budoucnosti vzhledem k události v počátku (vrcholu kužele) a na oblast událostí absolutně vzdálených.
Takové dělení nám pak určuje tzv. kauzální strukturu prostoročasu. Je zřejmé, že příčinnou
28
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
souvislost mohou mít jen události, mezi nimiž je časupodobný interval. Vyplývá to ze skutečnosti,
že žádné vzájemné působení, žádná interakce, se nemůže šířit rychlostí větší než je rychlost c.
1.3.5 Pohyb s konstantním zrychlením
Vzhledem k nepřekročitelnosti rychlosti světla ve vakuu je zřejmé, že v teorii relativity se částice
vůči jednomu inerciálnímu pozorovateli nemůže pohybovat s konstantním zrychlením, neboť po
dostatečně dlouhé době by její rychlost pro daného pozorovatele překročila c. Lze však požadovat,
aby zrychlení částice bylo konstantní vůči pozorovateli, vůči kterému je částice v daném okamžiku
v klidu (tj. vůči pozorovateli, který se v daném okamžiku pohybuje stejnou rychlostí). Připomeňme,
že zrychlující nebo zpomalující částice může být v klidu vzhledem k inerciální vztažné soustavě
jen v infinitezimálně krátkém časovém intervalu, po jeho uplynutí bude v klidu vzhledem k jiné
inerciální soustavě atd. Jak ukážeme později, tato „definice“ pohybu s konstantním zrychlením
odpovídá v STR pohybu pod vlivem konstantní síly.
Najděme pro takovou částici pohybující se ve směru osy x závis-
0 x−c2
a
ct
Obr. 1.9: Znázornění pohybu
s konstantním zrychlením pomocí
Minkowského diagramu
lost x = x(t). Označíme-li okamžitou rychlost částice u, potom
podle vztahů pro transformaci složek zrychlení bude platit
ax
=
(
1 −
u2
c2
)3/2
1 +
uu′x
c2
a′x
,
přičemž v každém okamžiku platí u′x
= 0, a′x
= a = konst.
Získáváme tak diferenciální rovnici
du
dt
= a
(
1 −
u2
c2
)3/2
(1.43)
s počátečními podmínkami u|t=0 = 0, byla-li částice na počátku
v klidu. S využitím integrace ∫
dz
(c2 − z2)3/2
=
1
c2
z
√
c2 − z2
najdeme řešení
cu
√
c2 − u2
= at,
neboli
u =
dx
dt
=
at
√
1 +
(
at
c
)2
= at.
Tuto diferenciální rovnici při volbě počátečních podmínek x(t = 0) = 0 lze řešit např. substituční
metodou. Dojdeme k výsledku
x =
c
a
√
c2 + a2t2 −
c2
a
,
který lze vyjádřit ve tvaru
(
x +
c2
a
)2
(
c2
a
)2 −
c2
t2
(
c2
a
)2 = 1. (1.44)
29
1.4 RELATIVISTICKÁ MECHANIKA
Je zřejmé, že v Minkowského diagramu bude závislost mezi x a ct vyjádřena hyperbolou s asymptotou
pod úhlem 45° vzhledem k oběma osám (obr. 1.9). Odpovídá to intuitivně očekávanému závěru,
že za dostatečně dlouhou dobu se rychlost částice bude blížit rychlosti světla c. Proto také tento
typ pohybu označujeme jako hyperbolický.
1.4 Relativistická mechanika
1.4.1 Princip kovariance
Podle postulátu relativity jsou všechny inerciální vztažné soustavy ekvivalentní pro popis fyzikálních
dějů. Jinými slovy, všechny fyzikální zákony musejí být invariantní vzhledem k Lorentzově
transformaci. Studujme nejprve obecně, co znamená požadavek invariantnosti nějakého zákona
vzhledem k transformaci souřadnic.
Předpokládejme nejprve, že určitý fyzikální zákon je popsán nějakou skalární rovnicí, např. f = g.
Obě strany této rovnice jsou skalární veličiny, tedy invarianty, a požadavek invariantnosti takového
zákona je zřejmě vždy splněn.
Má-li zákon tvar vektorové rovnice
F = G, resp. Fµ
= Gµ
, i = 0, 1, 2, 3
nezůstávají obecně složky vektorů při transformaci nezměněné, nýbrž se transformují na nové
hodnoty F′µ
, G′µ
. Protože však na obou stranách rovnice je vektor a protože se všechny vektory
transformují podle téhož transformačního zákona, zůstane rovnost zachována i v nové soustavě
souřadnic
F′µ
= G′µ
a rovněž uvažovaný fyzikální zákon bude nezměněn, bude vzhledem k dané transformaci invariantní.
Invariantnost zákona je tak důsledkem toho, že se obě strany rovnice, která zákon popisuje,
transformují stejným způsobem, tj, jako vektory, v obecném případě jako tenzory stejného řádu.
Takovou rovnici, jejíž platnost je zachována v různých vztažných soustavách, resp. se nezmění při
transformaci souřadnic, nazýváme rovnicí kovariantní; příkladem jsou rovnice, v nichž se na levé
i na pravé straně vyskytují tenzory stejného řádu. Platí tedy závěr:
Fyzikální zákony jsou invariantní, budou-li formulovány pomocí kovariantních
rovnic.
Jak již víme (a jak lze ověřit výpočtem), Newtonovy pohybové rovnice nezachovávají svůj tvar
při Lorentzově transformaci. Z hlediska čtyřrozměrného formalismu není čas invariantní skalární
veličinou, což se projeví při transformaci všech veličin, které derivaci podle času obsahují. Hledámeli
čtyřrozměrné zobecnění Newtonových pohybových rovnic ve tvaru zapsaném pomocí čtyřvektorů,
musí zřejmě splňovat následující požadavky:
• musí být kovariantní;
• v limitě pro rychlosti mnohem menší než c musí přecházet v Newtonovy pohybové rovnice.
1.4.2 Dynamika částice
Nabízí se přirozeně hledat zobecnění Newtonových pohybových rovnic tak, že odpovídající trojrozměrné
veličiny (klasické vektory) nahradíme čtyřvektory a derivaci podle času nahradíme derivací
podle invariantního vlastního času τ, tedy
d
dτ
(m0Uµ
) = Kµ
, (1.45)
30
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
kde m0 je invariantní veličina charakterizujicí částici a K Minkowského čtyřsíla. Její složky určíme
právě z požadavku, aby v limitě pro malé rychlosti rovnice přecházely v rovnice newtonovské.
Prostorovou část rovnice (1.45) lze převést do tvaru
d
dt
(
m0ui
)
= Ki
√
1 −
u2
c2
.
Srovnáním s 2. Newtonovým zákonem zapsaným ve formě věty o hybnosti
dp
dt
= F
vidíme, že je vhodné zavést relativistickou hybnost částice vztahem
p =
m0u
√
1 −
u2
c2
(1.46)
a složky čtyřsíly
Ki
=
Fi
√
1 −
u2
c2
, tj. K1
=
Fx
√
1 −
u2
c2
, K2
=
Fy
√
1 −
u2
c2
, K3
=
Fz
√
1 −
u2
c2
.
Hledejme nyní význam časové složky Minkovského síly K0
. Skalárním vynásobením pohybové rovnice
(1.45) čtyřrychlostí dostaneme
3∑
µ,ν=0
ηµνUµ
Kν
= −U0
K0
+
3∑
i=1
Ui
Ki
= −U0
K0
+
3∑
i=1
Fi
ui
1 −
u2
c2
= −U0
K0
+
F · u
1 −
u2
c2
=
=
3∑
µ,ν=0
ηµνUµ d
dτ
(m0Uν
) =
3∑
µ,ν=0
ηµνUµ
Uν
−c2
dm0
dτ
0
+m0
3∑
µ,ν=0
ηµνUµ dUν
dτ
=
= m0
d
dτ
( 3∑
µ,ν=0
ηµνUµ
Uν
)
= 0.
Ve výsledku tedy máme rovnost
−U0
K0
+
F · u
1 −
u2
c2
= −
c
√
1 −
u2
c2
K0
+
F · u
1 −
u2
c2
= 0,
odkud pro časovou složku čtyřsíly vychází
K0
=
1
c
F · u
√
1 −
u2
c2
(1.47)
a časová složka rovnice (1.45) dává
K0
=
d
dt




m0c2
√
1 −
u2
c2



 = F · u . (1.48)
31
1.4 RELATIVISTICKÁ MECHANIKA
podle klasické mechaniky odpovídá pravá strana rovnice okamžitému výkonu síly F a zároveň
časové změně kinetické energie T částice
F · u =
dT
dt
.
Porovnáním s (1.48) se nabízí interpretovat veličinu
T =
m0c2
√
1 −
u2
c2
jako kinetickou energii; vztah by měl pro malé rychlosti u Ć c přecházet na známý klasický vztah
pro kinetickou energii částice T = mu2
/2. Z binomického rozvoje získáme
T ≈ m0c2
(
1 +
1
2
u2
c2
+
3
8
u4
c4
+ . . .
)
= m0c2
+
1
2
m0u2
+
3
8
u4
c2
+ . . . (1.49)
I když se omezíme na první dva členy, vidíme, že výraz s klasickým vztahem nesouhlasí; vystupuje
zde navíc člen m0c2
, jemuž připisujeme význam klidové energie částice. Každá změna klidové
hmotnosti ∆m0 je spojena se změnou klidové (vnitřní) energie
∆E = ∆m0c2
. (1.50)
Dostáváme se tak ke vztahu pro celkovou energii částice pohybující se rychlostí u v prostoru, kde
není vnějších silových polí. Celková energie takové částice se skládá z její energie klidové a energie
kinetické, neboli
E =
m0c2
√
1 −
u2
c2
= mc2
, (1.51)
což je známý Einsteinův vztah. Zavedli jsme v něm relativistickou hmotnost
m =
m0
√
1 −
u2
c2
. (1.52)
Hybnost p určenou rovnicí (1.46) pak můžeme také zapsat ve tvaru formálně shodném s hybností
nerelativistickou
p = mu .
Čtyřrozměrným zobecněním hybnosti je čtyřvektor hybnosti neboli čtyřhybnost o složkách
pµ
= m0Uµ
, p1
=
m0ux
√
1 −
u2
c2
, p2
=
m0uy
√
1 −
u2
c2
, p3
=
m0uz
√
1 −
u2
c2
, p0
=
m0c
√
1 −
u2
c2
=
E
c
. (1.53)
Protože je časová složka čtyřhybnosti úměrná energii E, mluvíme někdy o čtyřhybnosti jako o čtyřvektoru
energie-hybnosti. Pro čtverec čtyřhybnosti platí
3∑
µ,ν=0
ηµνpµ
pν
= −
E2
c2
+
(
p1
)2
+
(
p2
)2
+
(
p3
)2
= p2
−
E2
c2
= m2
0
3∑
µ,ν=0
ηµνUµ
Uν
= −m2
0c2
;
32
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
odtud plyne důležitý vztah mezi energií a hybností
E2
= c2
(
p2
+ m2
0c2
)
. (1.54)
Pomocí čtyřhybnosti můžeme zapsat pohybové rovnice (1.45) ve tvaru
dpµ
dτ
= Kµ
. (1.55)
Vztah (1.47) platí pouze tehdy, je-li m0 konstantní, tj. pouze pro mechanické děje. Pokud bereme
v úvahu i nemechanické jevy (např. Jouleovo teplo), musíme započítat i nemechanickou energii.
Invariant ηµνUµ
Kν
v takovém případě nebude roven 0, ale
3∑
µ,ν=0
ηµνUµ
Kν
=
3∑
µ,ν=0
ηµνUµ d
dτ
(m0Uν
) =
=
3∑
µ,ν=0
ηµνUµ
Uν
−c2
dm0
dτ
+ m0
3∑
µ,ν=0
ηµνUµ dUν
dτ
0
= −c2 dm0
dτ
= −Q0.
Teplu tedy odpovídá přírůstek nebo úbytek klidové hmotnosti
dm0
dτ
=
Q0
c2
v klidové soustavě částice. Zavedeme-li nemechanickou energii Q v soustavě, vůči níž se částice
pohybuje podmínkou
Q0 =
Q
1 −
u2
c2
,
můžeme rovnici (1.47) pak obecně zapsat ve tvaru
K0
=
1
c
F · u + Q
√
1 −
u2
c2
(1.56)
vyhovující zákonu zachování celkové (tj. i nemechanické) energie.
1.4.3 Síla, její směr a transformace složek
Zastavme se ještě u problému pojetí síly v relativistické mechanice, neboť s ním bývají spojeny
určité nejasnosti. Síla F , s níž jsme srovnávali prostorovou část Minkowského čtyřsíly K byla
definována jako časová změna hybnosti a nikoliv jako součin hmotnosti a zrychlení. Ze vztahu
F =
d
dt
(mu ) = m
du
dt
+ u
dm
dt
(1.57)
vidíme, že sílu lze vyjádřit jako součet dvou členů, z nichž jeden má směr zrychlení a druhý směr
rychlosti u – síla proto obecně nemá směr zrychlení. Ze vztahu (1.47) a vyjádření složek čtyřsíly
dostáváme
d
dt




m0c2
√
1 −
u2
c2



 = F · u neboli
d
dt




m0
√
1 −
u2
c2



 =
dm
dt
=
F · u
c2
.
33
1.4 RELATIVISTICKÁ MECHANIKA
Po dosazení do (1.57) pak vychází
du
dt
=
1
m
F −
F · u
mc2
u . (1.58)
Z rovnice (1.58) vidíme, že síla bude mít směr zrychlení ve dvou případech:
1. F je rovnoběžná s u
V tomto případě koná částice přímočarý pohyb a platí
F = m
du
dt
+ u
dm
dt
= m
du
dt
+ u
dm
du
du
dt
=
du
dt
(
m + u
dm
du
)
.
Po dosazení za m a její derivaci pak vychází
F =
m0
(
1 −
u2
c2
)3/2
du
dt
= ml
du
dt
,
kde jsme zavedli tzv. podélnou (longitudinální) hmotnost ml = m0
(
1 − u2
c2
)−3/2
.
Vyjádříme-li v poslední rovnici zrychlení
du
dt
=
(
1 −
u2
c2
)3/2
F
m0
a výsledek porovnáme s rovnicí (1.43), vidíme, že přímočarý pohyb pod vlivem konstantní
síly F = konst. odpovídá pohybu s konstantním zrychlením zavedenému v části 1.3.5.
2. F je kolmá na u
Potom F · u = 0 a
F = m
du
dt
=
m0
√
1 −
u2
c2
du
dt
= mt
du
dt
,
kde jsme podobně zavedli tzv. příčnou (transverzální) hmotnost mt = m0
(
1 − u2
c2
)−1/2
.
Skutečnost, že Minkowského čtyřsíla se při přechodu k jiné inerciální vztažné soustavě transformuje
stejně jako ostatní čtyřvektory, umožňuje nalézt transformační vztahy pro složky síly. Nejprve
odvoďme pomocný vztah pro koeficient γ, který ve vztahu pro čtyřsílu vystupuje. Z transformace
časové složky čtyřrychlosti plyne
U′0
= γv
(
U0
− βvUx
)
,
kde γv = (1 − v2
/c2
)
−1/2
a βv = v/c. Po dosazení za složky čtyřrychlosti máme
γu′ c = γv (γuc − βvγuux
) ,
γu′ = γvγu
(
1 −
vux
c2
)
. (1.59)
Pro transformaci x-ové složky čtyřsíly platí
K′x
= γv
(
Kx
− βvK0
)
neboli γu′ F′x
= γv
(
γuFx
− βvγu
1
c
F · u
)
.
Po dosazení za γu′ z (1.59) obdržíme
F′x
(
1 −
vux
c2
)
= Fx
−
v
c2
F · u
34
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
a po úpravě
F′x
= Fx
−
v
c2 − vux
(Fy
uy
+ Fz
uz
) . (1.60)
Analogicky pro zbývající složky síly dostáváme
F′y
=
c2
Fy
c2 − vux
√
1 −
v2
c2
, F′z
=
c2
Fz
c2 − vux
√
1 −
v2
c2
. (1.61)
Dosazením lze ověřit, že rovnice (1.57) bude platit i v S′
, tj. bude splněno
F ′
=
d
dt′
(m′
u ′
) = m′ du ′
dt′
+ u ′ dm′
dt′
.
Chceme-li v STR pracovat v duchu analogií s newtonovskou mechanikou, je potřeba mít výše
uvedené skutečnosti na paměti. Právě v této souvislosti nám markantně vystupuje výhodnost
používání čtyřvektorů , které nám celou teorii velmi zjednodušují. Na druhé straně nesmíme ztrácet
souvislost s nerelativistickými veličinami a pojmy, s nimiž nás spojuje běžná praxe.
1.5 Relativistická elektrodynamika
I když z toho, co již bylo řečeno, plyne, že základní zákony, jimiž se řídí elektromagnetické pole,
jsou invariantní vůči Lorentzově transformaci, bývá zvykem zapsat rovnice elektromagnetického
pole v takovém tvaru, z něhož by byla jejich kovariantnost patrná. Použijeme k tomu opět vektorů
a tenzorů v Minkowského prostoročase. V následujících úvahách se většinou omezíme pouze na
elektromagnetické pole ve vakuu.
1.5.1 Maxwellovy rovnice, čtyřpotenciál a čtyřproud
Základní zákony elektromagnetického pole lze popsat pomocí rovnic, které zformuloval v roce 1865
James Clerk Maxwell. První série Maxwellových rovnic lze zapsat v diferenciálním tvaru
× H −
∂D
∂t
= j , · D = ϱ; (1.62)
druhou sérii pak
× E +
∂B
∂t
= 0, · B = 0. (1.63)
Ve vakuu platí Maxwellův vztah ε0µ0c2
= 1, navíc platí j = 0, ϱ = 0; obě série tedy můžeme
přepsat ve tvaru
× H −
1
c2
∂E
∂t
= 0, · E =
ϱ
ε0
= 0 (1.64)
a
× E +
∂B
∂t
= 0, · B = 0 (1.65)
Intenzitu elektrického pole E a indukci magnetického pole B lze vyjádřit pomocí vektorového
potenciálu A a skalárního potenciálu φ
E = −
∂A
∂t
− φ, B = × A . (1.66)
První rovnici první série (1.64) můžeme převést do podoby
∆A −
1
c2
∂2
A
∂t2
− ·
(
A +
1
c2
∂φ
∂t
)
= 0.
35
1.5 RELATIVISTICKÁ ELEKTRODYNAMIKA
Konkrétní výběr skalárního a vektorového potenciálu určuje doplňující Lorentzova kalibrační pod-
mínka
· A +
1
c2
∂φ
∂t
= 0, (1.67)
takže získáme
∆A −
1
c2
∂2
A
∂t2
= 0. (1.68)
Druhou rovnici první série (1.64) pak s pomocí (1.67) a záměny derivace podle času s operátorem
upravíme na
(
− φ −
∂A
∂t
)
= µ0c2
ϱ,
∆φ −
1
c2
∂2
φ
∂t2
= 0. (1.69)
Pro další výpočty připomeňme i rovnici kontinuity
· (ϱu ) +
∂ϱ
∂t
= 0. (1.70)
Ukažme, že výše uvedené rovnice lze elegantně zapsat pomocí čtyřvektorového formalismu. Zaveďme
čtyřpotenciál A a čtyřproud (nazývaný také čtyřvektorem proudové hustoty) J vztahy
A =
(φ
c
, A
)
=






φ
c
A1
A2
A3






, J = (cϱ, ϱu ) =




cϱ
ϱu1
ϱu2
ϱu3



 . (1.71)
Vidíme, že čtyřproud lze zapsat pomocí klidové hustoty náboje a čtyřrychlosti nosičů náboje
Jµ
= ϱ0Uµ
.
Po zavedení těchto čtyřvektorů přepíšeme Lorentzovu kalibrační podmínku (1.67)
∂Aα
∂xα
= 0, (1.72)
rovnici kontinuity
∂Jα
∂xα
= 0, (1.73)
a obě vlnové rovnice (1.68), (1.69)
□Aα
= −µ0Jα
, (1.74)
kde
□ = ηαβ
∂
∂xα
∂
∂xβ
(1.75)
je d’Alembertův operátor, který je invariantní vůči Lorentzově transformaci. Vlnové rovnice (1.74)
jsou proto také invariantní, zachovávají svůj tvar při přechodu k libovolné inerciální vztažné sou-
stavě.
Korektnost zavedení čtyřpotenciálu dokládá i jeho chování při přechodu k jiné inerciální vztažné
soustavě. Předpokládejme klidovou soustavu S′
nábojů s hustotou náboje ϱ0. V této soustavě platí
J1
(0) = J2
(0) = J3
(0) = 0, J0
(0) = cϱ0.
36
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
V jiné inerciální vztažné soustavě S (např. laboratorní) bude mít tento čtyřvektor složky
J0
= γu
[
J0
(0) + βu J1
(0)
]
= γu J0
(0) =
cϱ0
√
1 − β2
u
,
J1
= γu
[
J1
(0) + βu J0
(0)
]
= γuβu J0
(0) = γβu cϱ0 =
ϱ0u
√
1 − β2
u
,
J2
= J2
(0) = 0, J3
= J3
(0) = 0.
Podle (1.71) je zároveň J1
= ϱu, J0
= cϱ, takže srovnáním dostaneme
ϱ =
ϱ0
√
1 − β2
u
.
Protože element objemu se transformuje podle vztahu dV = dV(0)
√
1 − β2
u, elektrický náboj v tomto
objemovém elementu se zachovává
dq = ϱdV = ϱ0dV0 = dq0.
Invariantnost elektrického náboje potvrzuje každodenní zkušenost. Speciálně, pokud by náboj závisel
na rychlosti,nemohly by být atomy neutrální. Můžeme proto usoudit, že zavedení čtyřvektoru
bylo díky chování při Lorentzově transformaci správné.
1.5.2 Invariantní zápis Maxwellových rovnic
První sérii Maxwellových rovnic (1.62) můžeme – jak se lze přesvědčit přímým dosazením – přepsat
ve tvaru
3∑
ν=0
∂Fµν
∂xν
= Jµ
, (1.76)
kde Fµν
je tenzor elektromagnetického pole, pro jehož kartézské souřadnice platí
Fµν
=




0 cDx
cDy
cDz
−cDx
0 Hz
−Hy
−cDy
−Hz
0 Hx
−cDz
Hy
−Hx
0



 . (1.77)
Jedná se zřejmě o antisymetrický tenzor 2. řádu v Minkowského prostoročase.
Druhou sérii Maxwellových rovnic (1.63) pak podobně můžeme zapsat pomocí rovnic
∂Hµν
∂xλ
+
∂Hνλ
∂xµ
+
∂Hλµ
∂xν
= 0, µ ̸= ν ̸= λ. (1.78)
Tenzor elektromagnetického pole Hµν má kartézské složky
Hµν =






0 −Ex
c
−Ey
c
−Ez
c
Ex
c
0 Bz
−By
Ey
c
−Bz
0 Bx
Ez
c
By
−Bx
0






(1.79)
nebo v kontravariantním tvaru
Hµν
=






0 Ex
c
Ey
c
Ez
c
−Ex
c
0 Bz
−By
−Ey
c
−Bz
0 Bx
−Ez
c
By
−Bx
0






. (1.80)
37
1.5 RELATIVISTICKÁ ELEKTRODYNAMIKA
Dodejme, že složky tohoto tenzoru lze získat derivacemi čtyřpotenciálu (1.71) podle vztahu
Hµν =
∂Aµ
∂xν
−
∂Aν
∂xµ
.
Z tohoto pohledu vidíme, že dělení Maxwellových rovnic na dvě série má hlubší smysl, neboť rovnice
každé série lze zapsat pomocí jedné rovnice v čtyřrozměrném formalismu. Protože ve vakuu platí
Maxwellův vztah 1/c2
= ε0µ0, kde ε0 je permitivita a µ0 permeabilita vakua, lze mezi oběma
tenzory elektromagnetického pole nalézt vztah
Fµν
=
1
µ0
Hµν
.
Vidíme, že ve vakuu bychom vystačili pouze s jedním z těchto tenzorů, teprve studujeme-li elektrodynamiku
v látkovém prostředí, musíme použít tenzory oba.
Z transformačních vztahů pro tenzory druhého řádu při přechodu od jedné inerciální soustavy ke
druhé pomoci Lorentzovy transformace
H′µν
=
3∑
α=0
3∑
β=0
Lµ
αLν
βHαβ
lze přímým dosazením odvodit transformační vztahy pro vektory pole
E′x
= Ex
, (1.81a)
E′y
= γ (E′y
− vBz
) , (1.81b)
E′z
= γ (E′z
+ vBy
) , (1.81c)
B′x
= Bx
, (1.81d)
B′y
= γ
(
B′y
+
v
c2
Ez
)
, (1.81e)
B′z
= γ
(
B′z
−
v
c2
Ey
)
, (1.81f)
Označíme-li indexem ∥ resp. ⊥ složky ve směru vzájemné rychlosti soustav v resp. kolmo na tento
směr, můžeme také psát
E ′
∥ = E ∥, (1.82a)
E ′
⊥ = γ [E + (v × B )]⊥ , (1.82b)
B ′
∥ = B ∥, (1.82c)
B ′
⊥ = γ
[
B −
1
c2
(v × E )
]
⊥
. (1.82d)
Pro malé rychlosti můžeme položit γ ≈ 1 a získáme transformační vzorce známé z klasické fyziky
E ′
= E + v × B , B ′
= B −
1
c2
v × E .
Vidíme, že elektrické i magnetické pole v jedné soustavě je kombinací elektrického a magnetického
pole v jiné inerciální soustavě. Speciálně, je-li v nějaké soustavě nulové magnetické pole a nenulové
elektrické pole, bude v jiné inerciální vztažné soustavě magnetické pole nenulové; zde je původ známého
tvrzení, že magnetické jevy jsou relativistickým důsledkem jevů elektrických. Tato vzájemná
souvislost je důsledkem tenzorového charakteru elektromagnetického pole.
Sdružení vektorů E a B do jednoho tenzoru elektromagnetického pole svědčí o fundamentálním významu
těchto vektorů (tvořících vlastně „šestivektor“) pro teorii elektromagnetického pole, vidíme,
38
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
proč paralelou k intenzitě E není intenzita magnetického pole H , nýbrž vektor elektromagnetické
indukce B . V literatuře lze nalézt řadu praktických aplikací získaných vztahů (1.81a), např. nalezení
pole v okolí pohybujícího se náboje (zde by však bylo výhodnější nalézt transformační vzorce
pro potenciály, tzv. Lienardovy-Wiechertovy potenciály) nebo Biotův-Savartův zákon.
Invariantnost Maxwellových rovnic lze dokázat i bez zavedení tenzorů a protože lze na tomto
postupu ukázat provázanost rovnic z jiného úhlu pohledu, naznačíme postup podrobněji. Nejprve
musíme nalézt vztahy pro transformace operátorů parciální derivace ∂
∂x
, ∂
∂y
, ∂
∂z
a ∂
∂t
. Nechť je
v soustavě S dána funkce F proměnných x′
, y′
, z′
, t′
, potom její totální diferenciál můžeme zapsat
ve tvaru
dF =
∂F
∂x′
dx′
+
∂F
∂y′
dy′
+
∂F
∂z′
dz′
+
∂F
∂t′
dt′
.
Proměnné x′
, y′
, z′
, t′
jsou však funkcemi původních proměnných x, y, z, t v soustavě S. Proto pro
totální diferenciál proměnné x′
platí
dx′
=
∂x′
∂x
dx +
∂x′
∂y
dy +
∂x′
∂z
dz +
∂x′
∂t
dt.
Příslušné parciální derivace získáme z Lorentzových transformací; protože vzájemný pohyb obou
soustav je rovnoměrný přímočarý, jsou rychlost v i Lorentzův faktor γ konstantami. Potom
∂x′
∂x
= γ ,
∂x′
∂y
= 0 ,
∂x′
∂z
= 0 ,
∂x′
∂t
= −γv.
Po dosazení získáváme:
dx′
= γdx − γvdt.
Analogickým postupem dostaneme zbylé tři vztahy:
dy′
= dy,
dz′
= dz,
dt′
= −
γv
c2
dx + γdt.
Totální diferenciál funkce F je tedy možno psát ve tvaru
dF =
∂F
∂x′
(γdx − γvdt) +
∂F
∂y′
dy +
∂F
∂z′
dz +
∂F
∂t′
(
γdt −
γv
c2
dx
)
=
=
(
γ
∂F
∂x′
−
γv
c2
∂F
∂t′
)
dx +
∂F
∂y′
dy +
∂F
∂z′
dz +
(
γ
∂F
∂t′
− γv
∂F
∂x′
)
dt.
Protože funkce F je funkcí proměnných x, y, z a t, lze totální diferenciál zapsat přímo ve tvaru
dF =
∂F
∂x
dx +
∂F
∂y
dy +
∂F
∂z
dz +
∂F
∂t
dt.
Srovnáním sobě si odpovídajících složek získáme transformační vztahy pro parciální derivace
∂
∂x
= γ
(
∂
∂x′
−
v
c2
∂
∂t′
)
, (1.83)
∂
∂y
=
∂
∂y′
, (1.84)
∂
∂z
=
∂
∂z′
, (1.85)
∂
∂t
= γ
(
∂
∂t′
− v
∂
∂x′
)
. (1.86)
39
1.5 RELATIVISTICKÁ ELEKTRODYNAMIKA
Nyní můžeme přistoupit k transformaci druhé série Maxwellových rovnic (1.63). Vyjádřeme si
např. y-ovou složku první Maxwellovy rovnice
∂Ex
∂z
−
∂Ez
∂x
= −
∂By
∂t
.
Z transformací parciálních derivací dostáváme
∂Ex
∂z′
− γ
(
∂Ez
∂x′
−
v
c2
∂Ez
∂t′
)
= −γ
(
∂By
∂t′
− v
∂By
∂x′
)
,
tj.
∂Ex
∂z′
−
∂
∂x′
[γ (Ez
+ vBy
)] = −
∂
∂t′
[
γ
(
By
+
v
c2
Ez
)]
.
Dosadíme-li do této rovnice z transformačních vztahů pro složky vektorů E a B podle (1.81a),
získáme vztah
∂E′x
∂z′
−
∂E′z
∂x′
= −
∂B′y
∂t′
. (1.87)
Analogicky pro z-ovou složku
∂E′y
∂x′
−
∂E′x
∂y′
= −
∂B′z
∂t′
. (1.88)
Po úpravách x-ové složky první Maxwellovy rovnice
∂Ez
∂y
−
∂Ey
∂z
= −
∂Bx
∂t
dostáváme
γ
∂
∂y′
(E′z
− vB′y
) − γ
∂
∂z′
(E′y
+ vB′z
) = −γ
(
∂
∂t′
− v
∂
∂x′
)
B′x
,
neboli
∂E′z
∂y′
−
∂E′y
∂z′
+
∂B′x
∂t′
= v
(
∂B′x
∂x′
+
∂B′y
∂y′
+
∂B′z
∂z′
)
. (1.89)
Z transformace druhé Maxwellovy rovnice obdobnými úpravami dostaneme
∂Bx
∂x
+
∂By
∂y
+
∂Bz
∂z
= 0,
γ
(
∂
∂x′
−
v
c2
∂
∂t′
)
B′
x + γ
∂
∂y′
(
B′
y −
v
c2
E′
z
)
+ γ
∂
∂z′
(
B′
z +
v
c2
E′
y
)
= 0,
neboli
∂E′z
∂z′
−
∂E′y
∂z′
+
∂B′x
∂t′
=
c2
v
(
∂B′x
∂x′
+
∂B′y
∂y′
+
∂B′z
∂z′
)
. (1.90)
Srovnáním (1.89) a (1.90) získáváme
(
c2
v
− v
) (
∂B′x
∂x′
+
∂B′y
∂y′
+
∂B′z
∂z′
)
=
(
c2
v
− v
)
′
· B ′
= 0.
Protože v < c, potom c2
v
− v ̸= 0, musí proto nutně platit:
′
· B ′
= 0. (1.91)
Dosadíme-li (1.91) do (1.89), získáme:
∂E′z
∂y′
−
∂E′y
∂z′
= −
∂B′x
∂t′
. (1.92)
40
1. ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
Rovnice (1.87), (1.88), (1.92) jsou složkovými zápisy rovnice
′
× E ′
= −
∂B ′
∂t′
, (1.93)
což je formální zápis transformované první Maxwellovy rovnice. Lorentzovy transformace tedy
zachovávají tvar obou Maxwellových rovnic z druhé série.
Na závěr této části ještě odvoďme známý vztah pro Lorentzovu sílu. Uvažujme nezávislé částice
s elektrickým nábojem ve vnějším elektrickém poli. V klidové soustavě působí na náboje jen
coulombovská síla o hustotě f (0) = ϱ0E (0). Pro složky čtyřproudu platí (protože u (0) = 0)
Jµ
(0) =




cϱ0
0
0
0



 , J(0)µ =




−cϱ0
0
0
0



 .
Pro hustotu čtyřsíly v této soustavě platí
kµ
(0) =





u ·f (0)
c
fx
(0)
fy
(0)
fz
(0)





=




0
ϱ0Ex
(0)
ϱ0Ey
(0)
ϱ0Ez
(0)



 .
V klidové soustavě nábojů proto platí
kµ
(0) =
3∑
ν=0
Hµν
(0)J(0)ν.
Vzhledem k tomu, že tato rovnice je kovariantní a bude proto platit v jakékoli jiné inerciální vztažné
soustavě, platí obecně
kµ
=
3∑
ν=0
Hµν
Jν.
Rozepsáním pro prostorové složky obdržíme známý výraz
f = ϱ (E + u × B )
udávající hustotu Lorentzovu síly f . Pro jednu částici s nábojem q, pro niž Jµ
= qUµ
, dostáváme
vztah pro Lorentzovu sílu působící na částici v elektromagnetickém poli
Kµ
L = q
3∑
ν=0
Hµν
Uν, F L = q (E + u × B ) . (1.94)
1.6 Variační princip v teorii relativity
V nerelativistické mechanice je Hamiltonův princip vyjádřen podmínkou anulování variace integrálu
akce
δS = δ


t2∫
t1
Ldt

 = 0;
jinými slovy – při skutečném pohybu nabývá akce S stacionární hodnoty (většinou uvažujeme
extrémní, minimální hodnoty). Ukazuje se, že i v teorii relativity lze nalézt takovou veličinu, která
bude při skutečném pohybu extrémní. Ukazuje se, že touto veličinou je vlastní čas, variační princip
pak můžeme zformulovat např. následujícím způsobem
41
1.6 VARIAČNÍ PRINCIP V TEORII RELATIVITY
Volná částice se v prostoročase pohybuje takovým způsobem, že hodiny s ní
spojené ukazují maximální vlastní čas. Integrál
b∫
a
dτ = τ2 − τ1
počítaný podle světočáry odpovídající skutečnému pohybu částice bude nabývat
extrémní hodnoty vzhledem k dilataci času.
Význam takto formulovaného variačního principu spočívá ve skutečnosti, že jej lze použít i pro
pohyb volných částic podél geodetických čar v zakřivených prostoročasech obecné teorie relativity.
Pro částici, která se v dané vztažné soustavě pohybuje rychlostí u , ze zavedení vlastního času (1.27)
plyne
dτ2
=
1
c2
(
c2
dt2
− dx2
− dy2
− dz2
)
= dt2
(
1 −
u2
c2
)
.
Pokud bychom v analogii s klasickou mechanikou chtěli zavést Lagrangeovu funkci L volné částice,
z níž lze standardním způsobem získat složky relativistické hybnosti (1.46)
pi
=
∂L
∂ui
=
m0ui
√
1 −
u2
c2
,
stačí zvolit
L = −m0c2
√
1 −
u2
c2
. (1.95)
Pro hamiltonián volné částice pak získáme
H = p · u − L =
m0c2
√
1 −
u2
c2
,
tj. veličinu shodnou s celkovou energií částice. Pro částici v elektromagnetickém poli se skalárním
potenciálem φ a vektorovým potenciálem A pak volíme
L = −m0c2
√
1 −
u2
c2
+ q (u · A − φ) . (1.96)
Význam variačních principů pro formulaci moderních fyzikálních teorií je veliký. Zde jsme pouze
naznačili základní myšlenky jeho aplikace pro studium pohybu částic v teorii relativity. V další
kapitole se vydáme ze Země do okolního vesmíru.
42
Kapitola 2
Základy astronomie
Astronomie, řecky αστρονομία z άστρον (astron) hvězda a νόμος (nomos) zákon, je věda, která se
zabývá jevy za hranicemi zemské atmosféry, zejména výzkumem vesmírných těles, jejich soustav,
různých dějů ve vesmíru i vesmírem jako celkem.
Astronomie se podobně jako další vědy začala rozvíjet ve starověku. První se z astronomie rozvíjela
astrometrie, zabývající se měřením poloh hvězd a planet na obloze. Tato oblast astronomie měla
velký význam pro navigaci. Podstatnou částí astrometrie je sférická astronomie sloužící k popisu
poloh objektů na nebeské sféře, zavádí souřadnice a popisuje významné křivky a body na nebeské
sféře. Pojmy ze sférické astronomie se také používají při měření času.
Obr. 2.1: Poutník, který zvědavě prostrkuje hlavu sférou stálic a sleduje, co se za ní skrývá. Tento zdánlivě
středověký dřevořez fakticky pochází z okruhu od Camille Flammariona, význačného francouzského popularizátora
astronomie z konce 19. století (zdroj: Wikipedie)
43
2.1 NAŠE SLUNCE
Další oblastí astronomie, která se rozvinula, byla nebeská mechanika. Zabývá se pohybem těles
v gravitačním poli, například planet ve sluneční soustavě. Základem nebeské mechaniky jsou práce
Johanna Keplera a Isaaca Newtona.
Již Aristotelés ve svém díle O nebi z roku 340 př. n. l. dokázal, že tvar Země musí být kulatý,
jelikož stín Země na Měsíci je při zatmění vždy kulatý, což by při plochém tvaru Země nebylo
možné. Řekové také zjistili, že pokud sledujeme Polárku z jižnějšího místa na Zemi, jeví se nám
níže nad obzorem než pro pozorovatele ze severu, kterému se bude její poloha na obloze jevit výše.
Eratosthenés Kyrénský roku 250 př. n. l. při svém známém a důvtipném měření určil obvod Země
s přesností asi 15 %.
Myšlenky Aristotelovy rozvinul ve 2. století našeho letopočtu Ptolemaios, který také stavěl Zemi
do středu a další objekty nechal obíhat kolem ní ve sférách, první byla sféra Měsíce, dále sféry
Merkuru, Venuše, Slunce, Marsu, Jupitera, Saturna a sféra stálic (hvězd, jež byly považovány za
nehybné, jak to plyne z názvu, měly se pohybovat jen společně s oblohou). Tento model poměrně
dobře vyhovoval polohám těles na obloze. Roku 1514 navrhl Mikuláš Koperník nový heliocentrický,
ve kterém bylo ve středu soustavy Slunce a planety obíhaly kolem něj po kruhových drahách.
Roku 1609 zkonstruoval Galileo Galilei dalekohled, s jehož pomocí objevil čtyři měsíce obíhající
kolem planety Jupiter, a tím podpořil Koperníkovu teorii o Slunci ve středu a planetách kroužících
kolem. Johannes Kepler zaměnil kruhové dráhy planet za eliptické, čímž bylo dosaženo souladu
s pozorovanými polohami těles. V roce 1687 vydal sir Isaac Newton své Principie (celým názvem
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), kde zformuloval zákon obecné přitažlivosti, podle
něhož jsou k sobě tělesa vázána gravitací, která závisí na hmotnosti těles a na jejich vzdálenosti.
Z gravitačního zákona vychází eliptický pohyb planet. Na základě této teorie bylo možné nejen
popsat pohyb těles ve sluneční soustavě, ale také ho předvídat (návraty komet, předpověď existence
planety Neptun z poruch v pohybu Uranu Urbainem Le Verrierem v roce 1846 apod.).
2.1 Naše Slunce
2.1.1 Základní údaje o Slunci
Slunce je naší nejbližší hvězdou, připomeňme proto jeho některé vlastnosti pomocí několika důležitých
čísel:
• střední vzdálenost Země – Slunce (tzv. astronomická jednotka, zkratka AU) činí 149,6·106
km;
• průměr Slunce dosahuje 1,4·106
km, hmotnost 2·1030
kg;
• 73 % hmotnosti Slunce tvoří vodík, 25 % helium, na další těžší prvky připadají jen 2 % hmotnosti
Slunce;
• povrchová teplota dosahuje 5 510 ◦
C;
• ve vzdálenosti 1 AU od Slunce dopadá na 1 m2
povrchu namířeného kolmo na Slunce výkon
1 380 W této veličině říkáme též sluneční (solární) konstanta.
Zářivý výkon Slunce dosahuje 3,85·1026
W. Srovnáme-li celkovou energii, uvolňovanou Sluncem
každou sekundu, s energií uvolňovanou při některých dějích (jde o přibližné hodnoty), uvědomíme
si, jak je obrovská:
silný sopečný výbuch 1019
J
vodíková bomba 1017
J
tornádo nebo vlna tsunami 1015
J
Občas se v populárních knihách o astronomii dočteme, že Slunce je – co se velikosti týče – docela
obyčejnou, „tuctovou“ hvězdou, jakých je v naší Galaxii většina. Skutečnost je však jiná: ze stovky
44
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
(a) (b)
Obr. 2.2: (a) Obrázek Slunce pořízený družicí SoHO (Solar & Heliospheric Observatory) 14. září 1999 v ultrafialové
části spektra ukazuje obrovský výron hmoty do okolního prostoru. Zdroj NASA
http://soho.nascom.nasa.gov/gallery/images/superprom.html (b) Schematické znázornění stavby Slunce jako
hvězdy. Zdroj: NASA, anglická verze dostupná z http://www.solarviews.com
nejjasnějších hvězd na obloze má jen jedna menší zářivý výkon než Slunce, ze stovky nejbližších
hvězd je jich pouze sedm s větším výkonem než Slunce, z 1000 hvězd z okolí Slunce je jen 40
hmotnějších a zářivějších než Slunce. Z analýzy dat mnohem větších souborů hvězd plyne, že
Slunce je hvězdou nadprůměrně hmotnou a zářivou.
2.1.2 Pohyb Slunce po obloze
Následující údaje platí pro naši zeměpisnou šířku, tj. asi +50 stupňů severní zeměpisné šířky:
Začátek astronomického jara (kolem 21. 3., jarní rovnodennost):
• Slunce vychází v 6 h východním směrem;
• v poledne je Slunce asi 40 stupňů vysoko (nad vodorovnou rovinou);
• Slunce zapadá v 18 h západním směrem;
• „bílý den“ trvá přibližně 12 h, noc také 12 h.
Začátek astronomického léta (kolem 21. 6., letní slunovrat):
• Slunce vychází ve 4 h severovýchodním směrem;
• v poledne je Slunce asi 63 stupňů vysoko (nad vodorovnou rovinou);
• Slunce zapadá v 20 h severozápadním směrem;
• „bílý den“ trvá přibližně 16 h, noc 8 h.
Začátek astronomického podzimu (kolem 23. 9., podzimní rovnodennost):
• Slunce vychází v 6 h východním směrem;
• v poledne je Slunce asi 40 stupňů vysoko (nad vodorovnou rovinou);
• Slunce zapadá v 18 h západním směrem;
• „bílý den“ trvá přibližně 12 h, noc také 12 h.
Začátek astronomické zimy (kolem 21. 12., zimní slunovrat):
45
2.1 NAŠE SLUNCE
Obr. 2.3: Obrázek slunečních skvrn pořízený družicí SoHO (Solar & Heliospheric Observatory) 23. září 2003 ve
srovnání s velikostí Země. Zdroj NASA http://soho.nascom.nasa.gov/gallery/images/sunspot00.html
• Slunce vychází v 8 h jihovýchodním směrem;
• v poledne je Slunce asi 17 stupňů vysoko (nad vodorovnou rovinou);
• Slunce zapadá v 16 h jihozápadním směrem;
• „bílý den“ trvá přibližně 8 h, noc 16 h.
Bílé noci
Nastávají v dobách kolem letního slunovratu všude od zeměpisné šířky asi 60 stupňů až k pólu
(nejsou samozřejmě doménou severní polokoule, nastávají také na polokouli jižní). Nejde o nic jiného,
než splynutí večerního soumraku s ranním svítáním. Slunce neklesne hlouběji pod vodorovnou
rovinu než, řekněme 6° až 10°, takže se zcela nesetmí a pravá „černá noc“ nenastane (viz obr. 2.4).
Připomeňme základní definice:
den Slunce je nad obzorem
občanský soumrak Slunce je maximálně 16° pod obzorem, lze provádět běžné práce bez
nutnosti umělého osvětlení
nautický soumrak Slunce je minimálně 6° a maximálně 12° pod obzorem, venku lze
rozeznat obrysy předmětů a nejjasnější hvězdy
astronomický soumrak Slunce je minimálně 12° a maximálně 18° pod obzorem, prakticky již
nastává tma
astronomická noc Slunce je více jak 18° pod obzorem
Svítání v tropech
Kdo zažil svítání či soumrak v rovníkových krajích, potvrdí, že přechod ze tmy do bílého dne a
naopak je zde velice rychlý. Není to záležitost mnoha desítek minut jako u nás, vše se odehraje
doslova za okamžik. Příčina tohoto jevu je myslím jasná: Slunce se v tropech pohybuje po obloze
téměř kolmo k obzoru, zatímco u nás sestupuje dosti šikmo k vodorovné rovině. To se na délce
trvání soumraku a svítání pochopitelně projeví (viz obr. 2.5).
46
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
(a) V okolí severního polárního kruhu (66,5° s. š.)
(b) V našich zeměpisných šířkách (50° s. š.)
Obr. 2.4: Délka dne, soumraku a noci v našich zeměpisných šířkách a na polárním kruhu, kde vidíme i letní bílé noci;
dostupné z http://www.beda.cz/~jirkaj/soumrak/index.html
U protinožců
Jaký bude pohyb Slunce po obloze, když jej budeme sledovat odněkud z jižní polokoule, například
z Nového Zélandu? Zjistíme, že Slunce se pohybuje od východního obzoru k západnímu. Slunce
se však pohybuje opačným směrem, než na jaký jsme zvyklí, na jižní polokouli se během dne
postupně otáčíme za Sluncem doleva, kdežto u nás doma doprava. Navíc – u nás doma, když
chceme v poledne uvidět Slunce, otáčíme se k jihu, v Austrálii či Argentině k severu.
47
2.1 NAŠE SLUNCE
(a) Na obratníku raka (23,5° s. š.)
(b) Na rovníku (0° s. š.)
Obr. 2.5: Délka dne, soumraku a noci na rovníku a obratníku Raka, vidíme, že se délka dne na rovníku během roku
mění jen velmi málo; dostupné z http://www.beda.cz/~jirkaj/soumrak/index.html
Ekliptika
Slunce mění svou polohu nejen na obloze, ale také na hvězdné obloze. Vůči vzdáleným hvězdám se
Slunce pomalu posouvá, za rok se ocitne ve stejné poloze vzhledem ke hvězdám jako před rokem.
Ekliptika je průsečnice, v níž rovina dráhy Země kolem Slunce protíná nebeskou sféru. Slovo je
odvozeno od latinského eclipsis – zatmění; vychází to ze skutečnosti, že v nejtěsnější blízkosti
ekliptiky nastávají zatmění Slunce a Měsíce. Je zajímavé, že již v nejstarších dobách lidé věděli,
kde se na hvězdné obloze ekliptika nachází, i když to vůbec není snadné určit.
48
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
Obr. 2.6: Množství hodin denního světla během roku v různých zeměpisných šířkách (zdroj: Wikipedie)
Když budeme pomocí hvězdné mapy zjišťovat, která souhvězdí se nacházejí podél ekliptiky, narazíme
většinou na taková, jež se nazývají podle nějakých zvířat (proto jim také často říkáme
zvířetníková souhvězdí). Existují samozřejmě i výjimky, například Blíženci, Střelec, Vodnář. Každý
je asi ochoten přísahat, že těchto souhvězdí je celkem dvanáct. K překvapení mnohých jich však
existuje třináct – také Hadonoš je ekliptikální souhvězdí.
Čtvero ročních období
Země je veliký rotující setrvačník, jehož osa rotace svírá s rovinou oběhu Země kolem Slunce –
ekliptikou – stále stejný úhel asi 66,5°. Poloha rotační osy Země se vzhledem ke Slunci mění podle
toho, ve které části své dráhy kolem Slunce se planeta Země nachází. Máme-li u nás zimu, je severní
část Země od Slunce odkloněna, a za půl roku v létě, až se Země přesune na opačnou stranu vůči
Slunci, je severní polokoule ke Slunci přikloněna. Vzhledem k různé výšce Slunce nad obzorem
během dne i různě dlouhé době oslunění v jednotlivých obdobích roku se mění přísun energie na
jednotkový povrch (třeba 1 m2
). V našich zeměpisných šířkách dostáváme v létě asi šestkrát více
energie než v zimě, a to je příčinou střídání ročních období u nás.
I bez exaktního matematického důkazu je zřejmé, že při šikmém dopadu obdrží jednotka povrchu
méně energie slunečního záření než při kolmém dopadu paprsků. Pro celou naši planetu je však
energetická bilance prakticky vyvážená. Roční období nejsou odlišná v rovníkových oblastech, kde
je stále teplé a vlhké počasí. Také v tropických pouštích je celoročně horké (a samozřejmě suché)
počasí. V oblasti subtropického podnebí již zaznamenáváme výraznější rozdíly mezi létem a zimou,
nastávají zde horká suchá léta a chladnější vlhké zimy. V mírném podnebném pásmu, které dobře
známe, neboť tu žijeme, jsou studené zimy odděleny od teplých vlhčích letních dní přechodnými
obdobími, jarem a podzimem. Ještě v subarktických oblastech se setkáváme s ročními obdobími –
studenou zimou a přece jen o něco teplejším létem. V polárních oblastech pak už zažijeme pouze
jediné – po celý rok studené – počasí.
49
2.2 MĚSÍC A PLANETY
Obr. 2.7: Časový průběh úplného zatmění Slunce v roce 2008 nad Novosibirskem
(zdroj Wikipedie, upraveno inverzí barev)
2.2 Měsíc a planety
2.2.1 Měsíc – bratr, vetřelec či souputník?
Měsíc je jedinou přirozenou družicí Země. Přitom hmotnosti obou těles nejsou příliš rozdílné: poměr
hmotností činí asi 1:81. Proto někteří astronomové soustavu Země-Měsíc označují jako dvojplanetu.
V naší planetární soustavě je tak malý poměr hmotností výjimkou – soupeřit by mohl snad jen
Pluto se svou družicí Charon. Pluto má průměr asi 2 320 km, Charon 1 270 km. Z těchto čísel ale
vidíme, že i „planeta“ Pluto je mnohem menší než samotný Měsíc (jeho průměr dosahuje 3 476 km).
Vzdálenost Měsíce od Země činí asi 400 000 km (přesněji řešeno – mění se v rozmezí od 356 400 km
do 406 700 km). Úhlový průměr na obloze odpovídá asi 0,5°, mění se od 29 ′
do 33 ′
. Průměr Měsíce
dosahuje asi 3 500 km (přesněji 3 476 km), je tedy ve srovnání se zemským asi čtvrtinový.
Měsíc nenajdeme vždy přesně na ekliptice. Rovina měsíční dráhy je totiž k ekliptice skloněna
pod úhlem asi 5°, Měsíc tedy může být poněkud nad nebo pod rovinou ekliptiky. Proto u Měsíce
pozorujeme během roku výraznější změny ve výšce než u Slunce. Měsíc je natolik blízko u Země,
že můžeme docela snadno sledovat jeho pohyb po hvězdné obloze. Měřením jeho oběžné doby vůči
hvězdám zjistíme, že činí asi 27,32 dne, tzv. siderický měsíc. Víme však, že měsíční fáze např. od
novu k novu se vystřídají za dobu delší než je siderický měsíc, konkrétně přibližně za 29,53 dne,
což je tzv. synodický měsíc.
Měsíc přivrací k Zemi stále stejnou část povrchu. Už jsme si zvykli na rozložení oněch charakteristických
tmavých skvrn po kotoučku; některým z nás skvrny v době úplňku připomínají lidskou
tvář. Způsob rotace, při níž se k pozorovateli neustále natáčí jen jedna polokoule nějakého kosmického
tělesa, označujeme jako tzv. vázanou nebo synchronní rotaci. U družic planet je to zcela
běžný jev, naprostá většina družic natáčí ke svým planetám tutéž polokouli. Vázaná rotace vzniká
dlouhodobým gravitačním působením planety na družici.
50
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
Obr. 2.8: Průběh nejdelšího úplného zatmění Slunce ve 21. století, které proběhlo 22. 7. 2009, v místě maxima trvalo
6 min 39 s a bylo pozorovatelné především v Tichomoří. Vidíme, že průmět stínu pohybu Měsíce po pohybujícím se
povrchu Země má zajímavý tvar (tzv. pás totality), v přilehlých vyznačených oblastech je při pohledu ze Země
zakrytá příslušná část slunečního kotouče (80 %–20 %). Bod označený jako „Sub solar“ vyznačuje místo, kde je v době
zatmění Slunce v zenitu, kapkovité čáry vyznačují místa, kde zatmění vidíme při východu (na západní straně
obrázku) a západu Slunce (na východní straně obrázku). Zdroj: stránky NASA věnované
zatměním http://eclipse.gsfc.nasa.gov
51
2.2 MĚSÍC A PLANETY
Obr. 2.9: Stín vržený při východu Slunce asi 15 km dlouhou a 2 km vysokou vyvýšeninou v kráteru Tycho na
přivrácené straně Měsíce. Zdroj NASA/Lunar Reconnaissance Orbiter, snímek pořízený 10. 6, 2011 je dostupný
z http://lroc.sese.asu.edu
Kývání Měsíce
Měsíc se vůči Zemi kývavě natáčí. Příčin tohoto mírného kývání, tzv. librací, je několik. První
pochopíme snadno. Měsíc rotuje vůči vzdáleným hvězdám rovnoměrně, ale pohybuje se po mírně
eliptické dráze okolo Země nerovnoměrně. Jeho natočení vzhledem k Zemi nemůže být proto vždy
přesně stejné.
Další příčinou librací je nevelký sklon rotační osy Měsíce k rovině oběžné dráhy kolem Země.
Měsíc, jak k nám přiklání střídavě severní a jižní pól, tedy umožňuje nahlédnout jednou poněkud
za severní, podruhé za jižní okraj. Jinou příčinou kývání Měsíce je jeho poněkud vejčitý tvar.
Delší osa měsíčního tělesa, která směřuje přibližně k Zemi, je gravitačním působením naší planety
poněkud vychylována ze směru přímo k centru Země.
2.2.2 Planety na hvězdném nebi
Jen zkušený znalec hvězdného nebe už při letmém pohledu pouhýma očima na oblohu rozezná
hvězdu od planety. Uveďme proto několik jednoduchých pravidel. Především planety je nutné
hledat jen v těsném okolí ekliptiky, jinde být nemohou. Víme též, že planety svítí klidným světlem.
Je tomu tak proto, že planety jsou plošné zdroje světla, i když žádnou z nich pouhým okem jako
kotouček nevidíme. Každý bod této plošky sice bliká podobně jako hvězdy nízko nad obzorem,
neboť světlo ovlivňují nestejnorodosti zemské atmosféry, ale takových bodů je v plošce víc. Změny
jasnosti jednotlivých bodů nastávají v různých okamžicích nezávisle na sobě, takže výsledkem
je téměř klidné, neměnící se světlo planet. Nicméně nejspolehlivějším způsobem identifikace je
sledování poloh planet mezi hvězdami v průběhu týdnů a měsíců – každá planeta neustále mění
svou polohu mezi hvězdami (odtud také pochází řecký název πανήτης neboli planétés – „tulák“).
Způsobů třídění je mnoho, zde je však rozdělíme jen do dvou skupin. První budou tvořit planety
vnitřní, kam patří Merkur a Venuše, obě tělesa se nacházejí uvnitř zemské dráhy. Všechny ostatní
planety pak utvoří skupinu planet vnějších. Sám název napovídá, že sem spadá Mars a další planety
ještě vzdálenější od Slunce. Zatímco vnitřní planety jsou vidět jen zrána nebo zvečera (Venuši
podle toho říkáme Jitřenka nebo Večernice), vnější planety jsou viditelné třeba i o půlnoci. Navíc
u vnitřních planet můžeme v dalekohledu rozeznat zřetelné fáze od novu až po úplněk, což u vnějších
52
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
planeta Merkur Venuše Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun
astronomický symbol
střední r od ⊙/AU 0,387 0,723 1 1,524 5,203 9,537 19,191 30,069
R/RZ 0,3825 0,9488 1 0,53226 11,209 9,449 4,007 3,883
M/MZ 0,055 0,815 1 0,107 318 95 14 17
ϱ/kg·m−3
5 430 5 240 5 515 3 940 1 330 700 1 300 1 760
g na rovníku/m·s−2
3,70 8,87 9,81 3,71 23,12 8,96 8,69 11,00
otočka kolem osy/dny 58,646 243,019 0,997 1,026 0,413 0,444 0,718 0,671
doba oběhu okolo Slunce/y 0,240 0,615 1,000 1,881 11,863 29,447 84,016 164,791
výstřednost dráhy ε 0,205 0,006 0,016 0,093 0,048 0,054 0,047 0,008
sklon dráhy k ekliptice/° 7,004 3,394 0,000 1,850 1,305 2,484 0,769 1,769
prům. povrchová teplota/K 440 730 288–293 186–268 152 135 76 73
počet měsíců 0 0 1 2 63 57 27 13
Tab. 2.1: Vybrané parametry planet sluneční soustavy; zdroj
dat http://astronomia.zcu.cz/planety/soustava/1863-charakteristiky
planet nenastává. Fáze Venuše objevil Galileo Galilei v roce 1610. Některé parametry planet jsou
shrnuty v tabulce 2.1.
Kromě planet se ve sluneční soustavě nacházejí také trpasličí planety (např. Pluto) a planetky.
Planetky jsou tělesa většinou kilometrových rozměrů, obíhající (až na malé výjimky) kolem
Slunce v prostoru mezi Marsem a Jupiterem nebo až za Neptunem. U více než 100 000 planetek
známe dobře jejich dráhy, toto číslo se rychle zvyšuje. Zvláště intenzivně jsou studovány
tzv. blízkozemní objekty (near-Earth objects, NEO) kvůli možné hrozbě srážky se zemí. Z tohoto
pohledu jsou nebezpečné především právě asteroidy (near-Earth asteroids, NEA) s drahami
ve vzdálenostech mezi 0,983 a 1,3 AU (naproti tomu jádra komet by se rozpadla při průletu
atmosférou). Každý potenciálně podezřelý objekt je ohlášen do střediska Minor Planet Center
Obr. 2.10: Obrázky fází Venuše zachycený v roce 2004 v převrácených barvách, patrná je i změna zdánlivé velikosti
vlivem vzdalování a přibližování od Země. Zdroj ESO
http://www.eso.org/public/outreach/eduoff/vt-2004/photos/vt-photos-top04.html
53
2.3 HVĚZDY A SOUHVĚZDÍ
Obr. 2.11: Sklon rotační osy planet sluneční soustavy vzhledem k rovině jejich oběhu okolo Slunce. Vidíme, že Venuše
se otáčí opačným směrem než ostatní planety a Uran se po své dráze okolo Slunce „odvaluje“ – na jedné jeho straně
je tedy stále „léto“ a na druhé „zima“; tato skutečnost se nejčastěji vysvětluje tím, že se obě planety v minulosti
srazily s jiným tělesem. Inspirováno ilustrací NASA, kterou připravil Calvin J. Hamilton (dostupná
z http://www.solarviews.com), pro kresby planet byly použity volně dostupné cliparty z http://www.clker.com a
http://all-free-download.com/free-vector
(http://www.minorplanetcenter.net), kde se upřesňuje jeho dráha a dále vyhodnocují možná
rizika střetu Země s takovým tělesem.
2.3 Hvězdy a souhvězdí
Hvězdy jsou samostatná kulová tělesa o hmotnostech 0,05–60 M⊙, která udržuje pohromadě vlastní
gravitace; M⊙ = 2·1030
kg značí hmotnost Slunce. Na hvězdné obloze jich pouhýma očima spatříme
několik tisíc. Pro snazší orientaci spojujeme hvězdy na nočním nebi do obrazců zvaných souhvězdí.
V dnešním pojetí představuje souhvězdí určitou část hvězdné oblohy, vymezenou přesně hranicemi.
Návrh hranic vypracoval pro Mezinárodní astronomickou unii v roce 1930 Eugene Delporte,
když v nezbytné míře respektoval situaci, která se vytvořila historicky. Hranice souhvězdí jsou
tak obdobou hranic států, včetně jejich složitých tvarů. Celá hvězdná obloha je rozdělena do 88
souhvězdí.
Celá hvězdná obloha zaujímá přibližně 41 250 čtverečních stupňů. Zdá se, že starověcí hvězdáři
nejdříve jednotlivé hvězdy pojmenovali a teprve potom některé z nich pospojovali do obrazců,
vzdáleně připomínajících nějaký předmět, zvíře či mytologickou bytost. Ve svém díle Almagest
Obr. 2.12: Srovnání poměrné velikosti planet sluneční soustavy. Zdroj NASA, barevnou anglickou verzi připravil
© Calvin J. Hamilton (dostupná z http://www.solarviews.com), pro kresby planet byly použity volně dostupné
cliparty z http://www.clker.com a http://all-free-download.com/free-vector
54
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
Obr. 2.13: Obloha se spoustou hvězda a pásem Mléčné dráhy včetně centra naší galaxie nad observatoří La Silla.
Zdroj ESO, dostupné z http://www.eso.org/public/images/jfs-ls-2011_4921/
alexandrijský astronom Klaudios Ptolemaios (2. století n. l.) uvádí 48 souhvězdí, nám dnes většinou
dobře známých. Prázdná místa a oblast kolem jižního pólu pak rozdělili středověcí astronomové.
Rozmach astronomie v renesanci zaznamenal i vlnu přejmenování souhvězdí (když se někteří třeba
chtěli zavděčit svým mecenášům zanesením jejich jmen do hvězdné mapy), jiní astronomové požadovali
úplné zrušení souhvězdí. Nakonec přece jen zvítězila tradice, takže používáme většinou
starověké historické názvy. Daní za to je však složitost, se kterou se potýkají nejen mladí adepti
astronomie, ale i profesionálové.
Označování hvězd je dost komplikované, neboť se utvářelo v průběhu dlouhých věků, kdy způsob
označování hvězd nikdo nereguloval. Starými historickými jmény je označena asi stovka nejjasněj(a)
Před 50 000 lety (b) Dnes (c) Za 50 000 let
Obr. 2.14: Pomocí volně šiřitelného programu Stellarium http://www.stellarium.org můžeme sledovat změnu
tvaru souhvězdí vlivem pohybu hvězd a jejich projekce na nebeskou sféru
55
2.3 HVĚZDY A SOUHVĚZDÍ
(a) Souhvězdí Malé medvědice (Ursa minor,
UMi) s Polárkou
(b) Souhvězdí Velké medvědice (Ursa major, UMa) se známou
dvojhvězdou Mizar (ζ UMa) a Alcor, ve skutečnosti jde
o systém čtyř hvězd
(c) Souhvězdí Orion (Ori) dominuje obloze
za zimních večerů, vlevo dole najdeme nejjasnější
hvězdu Sirius v souhvězdí Velkého
psa (proto bývala někdy označována jako
„Psí hvězda“)
(d) Souhvězdí Býka (Tauris, Tau) se známou hvězdokupou
Plejády
Obr. 2.15: Podrobnější mapky několika známých souhvězdí vytvořené Mezinárodní astronomickou unií ve spolupráci
s časopisem Sky & Telescope jsou dostupné ze stránek IAU http://www.iau.org/public/constellations
ších hvězd (Sirius, Vega, Deneb,…). Jasné hvězdy běžně označujeme malými písmeny řecké abecedy,
ke kterým přidáváme jméno souhvězdí (nejčastěji je to třípísmenová zkratka latinského názvu souhvězdí
nebo latinský název souhvězdí ve 2. pádu jednotného čísla – např. δ Cyg nebo δ Cygni,
ε UMa apod.). Hvězdy viditelné pouhým zrakem často mívají také malé písmeno latinské abecedy
(a, b,…) nebo číslici (51 Pegasi apod.). Hvězdy také bývají nazvány podle svého objevitele (např.
Lalande 21185, Ross 154, Barnardova hvězda) nebo katalogu, ve kterém jsou uvedeny (HD 5513 3).
56
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
Existují desítky rozsáhlých katalogů hvězd a stovky katalogů specializovaných. V žádném případě
neexistuje možnost nechat si „pojmenovat hvězdu“ svým či jiným jménem, jak nabízejí některé
agentury.
2.3.1 Dvojhvězdy
Když se pozorně zadíváme na některé hvězdy, rozlišíme i pouhým zrakem dvě složky. Tvoří tedy
dvojhvězdu. Nejznámější dvojhvězdou jsou bezesporu hvězda ζ Velké medvědice a hvězda číslo 80
ze stejného souhvězdí, běžně známé jako Mizar a Alcor. Dohromady tvoří prostřední hvězdu v oji
Velkého vozu či v držadle pánve a obě hvězdy od sebe na obloze dělí úhlová vzdálenost asi 12 ′
.
Některé dvojice hvězd vznikají náhodně tím, že se dvě hvězdy nacházejí téměř ve stejném směru
od nás, i když jejich vzdálenosti jsou přitom různé. Označujeme je jako optické dvojhvězdy, do
této kategorie patří i Mizar s Alcorem, neboť Alcor leží od nás o 20 ly dále než Mizar. Mnohem
častější jsou ale dvojhvězdy fyzické, jejichž složky jsou gravitačně vázány a obíhají kolem hmotného
středu soustavy. Například již zmíněná hvězda Mizar má dvě složky Mizar A a Mizar B rozlišitelné
v malém dalekohledu (poprvé byly pozorovány roku 1650 italským astronomem Ricciolim). Kromě
toho jak Mizar A, tak Mizar B tvoří spektroskopické dvojhvězdy, v nichž je vzdálenost složek příliš
malá pro rozlišení v dalekohledu a přítomnost druhé hvězdy se u nich projevuje periodickými
posuvy spektrálních čar.
Dvojhvězdy, které spatříme pouhýma očima, spočítáme na prstech jedné ruky. Malým dalekohledem
jsou jich vidět stovky, možná tisíce. Ani tak to ovšem nejsou všechny dvojhvězdy, jež ve
vesmíru existují, do katalogů dvojhvězd je zaneseno hodně soustav, které sice nelze rozlišit na
složky ani největšími dalekohledy, projevují se však nepřímo periodickými změnami ve spektrech
nebo změnami jasnosti. Nechť vás proto nepřekvapí, že přibližně každých šest ze sedmi hvězd, jež
se nacházejí v širokém okolí Slunce, je vázáno ve dvojhvězdách, trojhvězdách nebo vícenásobných
soustavách. Dvojhvězd je tedy opravdu hodně.
Na každých 100 soustav hvězd připadá přibližně:
• 30 jednotlivých hvězd;
• 47 dvojhvězd = 94 hvězd;
• 23 vícenásobných hvězd = 81 hvězd.
Ve stovce soustav se tak nachází asi 205 hvězd.
2.3.2 Proměnné hvězdy
Takto označujeme hvězdy, u nichž v průběhu několika hodin až stovek dnů pozorujeme změny
jasnosti. Několik desítek jasných proměnných hvězd můžeme sledovat i pouhýma očima. Příčiny
pozorovaných světelných změn bývají velmi rozmanité: například to mohou být pulsace hvězd
(s tím jsou spojené změny povrchové teploty a tedy i množství záření, vysílaného do okolí), nebo
vzájemné zakrývání hvězd, tvoří-li docela těsnou dvojhvězdu. Jindy je příčinou obrovský výbuch
(erupce) na povrchu či dokonce exploze hvězdy.
2.3.3 Hvězdokupy
Poměrně snadno – i pouhýma očima – spatříme na noční obloze několik desítek otevřených hvězdokup.
Pravou povahu těchto seskupení rozpoznáme ovšem až při sledování dalekohledem. Otevřené
hvězdokupy čítají obvykle desítky až stovky hvězd, jejich průměr dosahuje deseti světelných let a
hmotnost 15–250 M⊙. Registrováno je více než tisíc otevřených hvězdokup, přičemž se odhaduje,
že v naší Galaxii je jich asi 100 000. Jsou to nestabilní útvary, které se postupně rozpadají a
mísí s hvězdami ve svém okolí. Otevřenými hvězdokupami jsou např. Plejády, Praesepe, dvojitá
hvězdokupa  a h (čteme „chí a há“) v souhvězdí Persea.
57
2.3 HVĚZDY A SOUHVĚZDÍ
(a) Souhvězdí Labutě
(b) Souhvězdí labutě (Cyg), Lyry (Lyr), Lištičky (Vul) a Ještěrky (Lac)
Obr. 2.16: Podrobnější mapka souhvězdí Labutě (Cygnus, Cyg) z databáze map souhvězdí vytvořené Mezinárodní
astronomickou unií ve spolupráci s časopisem Sky & Telescope (http://www.iau.org/public/constellations) ve
srovnání s mytologickým znázorněním v atlase Urania’s Mirror vydaného roku 1825 (zdroj: Wikipedie)
58
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
S
SW
W
NW
N
NE
E
SE
Ant
Aur
Boo
Cam
Cnc
CVn
CMi
Cas
Cep
Com
CrB
Crv
Crt
Cyg
Dra
Gem
Her
Hya
Lac
Leo
LMi
Lib
Lyn
Lyr
Mon
Oph
Ori
Per
Pyx
Ser
Sex
Tau
UMa
UMi
Vir
M 44
M 48
M 45
Mel 20
Cr 70
A
A
A
A
A
A
A
(a) Okolo jarní rovnodennosti
S
SW
W
NW
N
NE
E
SE
And
Aql
Aur
Boo
Cam
CVn
Cas
Cep
Com
CrB
Crv
Crt
Cyg
Del
Dra
Equ
Her
Lac
Leo
LMi
Lib
Lup
Lyn
Lyr
Oph
Peg
Per
Sge
Sgr
Sco
Sct
Ser
Ser
UMaUMi
Vir
Vul
M 8
M 24
M 31
M 7
Mel 20
α
α
α
α
α
(b) Okolo letního slunovratu
Obr. 2.17: Obloha nad Olomoucí o půlnoci v době okolo jarní rovnodennosti a letního slunovratu s vyznačenými
zkratkami souhvězdí, ekliptikou, pásem Mléčné dráhy a sítí rovníkových souřadnic. Mapky byly vytvořeny pomocí
volně dostupného programu SkyChart/Cartes du Ciel dostupného na stránce http://www.ap-i.net/skychart
59
2.3 HVĚZDY A SOUHVĚZDÍ
S
SW
W
NW
N
NE
E
SE
And
Aqr
Aql
Ari
Aur
Boo
Cam
CVn
Cap
Cas
Cep
Cet
CrB
Cyg
Del
Dra
Equ
Her
Lac
Lyn
Lyr
Mic
Oph
Peg
Per
Psc
PsA
Sge
Sgr
Scl
Sct
Ser
Tau
Tri
UMa
UMi
Vul
M 24
M 45
M 31M 33
α
α
α
(a) Okolo podzimní rovnodennosti
S
SW
W
NW
N
NE
E
SE
And
Ari
Aur
Cae
Cam
Cnc
CVn
CMa
CMi
Cas
Cep
Cet
Col
Com
CygDra
Eri
For
Gem
Hya
Lac
Leo
LMi
Lep
Lyn
Mon
Ori
Peg
Per
Psc
Pup
Pyx
Sex
Tau
Tri
UMa
UMi
M 45
M 44
M 48
Cr 135
M 42
Cr 70
M 31
M 33
α
α
α
α
β
(b) Okolo zimního slunovratu
Obr. 2.18: Obloha nad Olomoucí o půlnoci v době okolo podzimní rovnodenností a zimního slunovratu s vyznačenými
zkratkami souhvězdí, ekliptikou, pásem Mléčné dráhy a sítí rovníkových souřadnic. Mapky byly vytvořeny pomocí
volně dostupného programu SkyChart/Cartes du Ciel dostupného na stránce http://www.ap-i.net/skychart
60
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
Obr. 2.19: Novodobý důkaz otáčení Země, které se projevuje pohybem hvězd na obloze – složená expozice 310
snímků oblohy po 30 s pořízených 24. 8.2̇012 na Velké jizerské louce nedaleko Orle v Polsku. Autorem České
astrofografie měsíce ze září 2012 je Miloš Hroch, dostupné z http://www.astro.cz/cam/2012/09/
Pouhýma očima uvidíme také několik kulových hvězdokup. Celkem jich známe asi 150, ale podle
odhadu je jich v Galaxii asi 500 až 1000. Jsou to gravitačně velmi silně vázané soustavy desetitisíců
až milionů hvězd. Mají výrazně kulovitý tvar a silnou koncentraci směrem ke středu. Střední průměr
kulové hvězdokupy dosahuje 50 ly. Nejznámějšími kulovými hvězdokupami jsou 47 Tucanae, M13
v Herkulovi,  Cen.
Asi u desítky otevřených hvězdokup, které jsou k nám nejblíže, můžeme u jednotlivých hvězd měřit
změny jejich poloh vůči vzdálenějším hvězdám, tzv. „hvězdám pole“. Takovým hvězdokupám říkáme
pohybové, neboť se pozvolna pohybují na pozadí dalekých hvězd. Patří mezi ně například Plejády,
Hyády, Praesepe. Mnohé pohybové hvězdokupy ani nevidíme jako kompaktní útvar, prozradí se
jen společným pohybem hvězd v prostoru (takovou hvězdokupou je například pět jasných hvězd
z Velkého vozu, Sirius a několik dalších slabších hvězd, rozesetých po hvězdné obloze). Studiem
pohybových hvězdokup můžeme poměrně dosti přesně zjistit vzdálenost těchto kosmických útvarů.
61
2.3 HVĚZDY A SOUHVĚZDÍ
Obr. 2.20: Známý a působivý snímek mezihvězdného molekulárního vodíku ve tvaru „pilířových sloupů“ v Orlí
mlhovině (otevřené hvězdokupě) M16 (NGC 6611). Tato oblast, kde stále vznikají nové hvězdy, se nachází ve
vzdálenosti 6 500 ly v souhvězdí Hada. Zdroj: NASA, ESA, STScI, J. Hester a P. Scowen (Arizona State University),
dostupné z http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/1995/44/
Prostor mezi hvězdami není pochopitelně zcela prázdný. Nachází se tu plyn i prachové částice; souhrnně
hovoříme o mezihvězdné látce. Tato látka se projevuje zeslabováním neboli extinkcí světla.
Již v minulých stoletích pozorovatelé rozdělili mezihvězdnou látku na temná mračna a svítící mlhoviny.
Zatímco hustší temná mračna lze spatřit jen na světlejším pozadí (případně se projeví tak,
že na určitém místě oblohy je nápadně méně hvězd než jinde v okolí), svítící mlhoviny jsou vidět
samy o sobě: buď rozptylují světlo blízkých hvězd, nebo samy září, když byly k záření vybuzeny
blízkými horkými hvězdami.
(a) (b)
Obr. 2.21: Hvězdokupy (a) Příklad kulové hvězdokupy – velká kulová hvězdokupa M13 (NGC 6205) v souhvězdí
Herkula. V oblasti o průměru 145 ly obsahuje asi 300 000 hvězd, jejichž průměrná vzdálenost od nás se pohybuje
okolo 25 000 ly (zdroj: Wikipedie, ESA/HST) (b) Mozaika třiceti otevřených hvězdokup zaznamenaných přístroji
Evropské jižní observatoře v chilském Paranalu (zdroj. Wikipedie, ESO)
62
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
Obr. 2.22: Hubbleova klasifikace galaxií, naše Galaxie je typem Sb–Sc. Zdroj: NASA/STScI, dostupné
z http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/1999/34/image/o/
2.4 Galaxie
Cizích galaxií pouhýma očima mnoho
nespatříme. Pro nás nejdůležitější je naše
Galaxie, ale několik jich přece jen najdeme.
A pak je tu přece Mléčná dráha
– součást naší Galaxie. Slovo gálaktos
označuje v řečtině mléko. Ve starém
Řecku to bylo pojmenování pro Mléčnou
dráhu, dnes pojmy Galaxie a Mléčná
dráha rozlišujeme.
Mléčnou dráhu dnešní obyvatelé velkých
měst již prakticky neznají, na
přesvětlené obloze nebývá vidět onen
světlounký pás, táhnoucí se přes celé nebe,
pás s nepravidelnými okraji, často se
větvící, s řadou tmavších míst uvnitř.
Od dob prvních teleskopických pozorování
Galilea víme, že se jedná o slabé
hvězdy čili o hvězdnou soustavu, přesněji
o část hvězdné soustavy. Tu nazýváme
Galaxie (a píšeme s velkým počátečním
písmenem), patří do ní všechny
hvězdy z Mléčné dráhy, ale i Slunce,
hvězdy ležící mimo tento pás i hvězdy
našimi přístroji nepozorovatelné. Galaxie
je zkrátka víc než Mléčná dráha,
a proto se vyplatí oba pojmy rozlišovat.
Obr. 2.23: Schéma naší Galaxie při pohledu „z boku“, který si
samozřejmě nemůžeme dopřát... (zdroj: Wikipedie, upraveno)
63
2.4 GALAXIE
100 000 ly
90°
0°
270°
180°
Sextans Dwarf
Boötes
Dwarf
Ursa Major I
Ursa Major II
Ursa Minor
Dwarf Draco
Dwarf
Sagittarius Dwarf
Sculptor Dwarf
Fornax dwarf
Carina Dwarf
Galaxie
Small
Magellanic
Cloud
Large
Magellanic
Cloud
(a) Satelitní galaxie Mléčné dráhy
1 million ly
Leo A
Sextans A
Sextans B
NGC
Antlia
Dwarf
Leo I
Leo II
Canes
Dwarf
NGC
185 NGC
147
M110
IC10
M32
IC
1613
NGC
Phoenix
Tucana Dwarf
Cetus Dwarf
WLM
Aquarius Dwarf
SagDIG
LGS 3
Pegasus Dwarf
Andromeda II, III and I
M31
90°
0°
270°
180°
M33
3109
naše Galaxie
6822
Dwarf
(b) Místní skupina galaxií
Obr. 2.24: Vesmírné okolí naší Galaxie (zdroj Wikipedie, upraveno)
Galaxií, jako je naše, se ve vesmíru nachází bezpočet. Jakkoli se nám zdá být toto tvrzení samozřejmé,
nebylo ještě před sto lety jasné, zda všechny mlhoviny jsou doopravdy „mlhovinami“, nebo
jestli některé z nich nejsou cizími hvězdnými soustavami. Rozhodla až nová pozorovací technika:
na fotografiích některých „mlhovin“, pořízených tehdy největším dalekohledem o průměru zrcadla
64
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
Carina-
Sagittarius
Crux-Scutum
Orion-Cygnus
Obr. 2.25: Znázornění struktury ramen naší Galaxie s vyznačenou polohou Slunce a směry k různým souhvězdím. Při
pohledu ze Sluneční soustavy vidíme střed naší galaxie v souhvězdí Střelce v místě, kde se nachází kompaktní a silný
zdroj radiového záření označovaný jako Sagittarius A, jde pravděpodobně o černou díru s hmotností asi 4·106
M⊙
(zdroj Wikipedie, upraveno)
2,5 metru na Mount Wilsonu, se podařilo rozeznat jednotlivé hvězdy. Dodejme, že pouhýma očima
je vidět jen několik nejbližších galaxií.
2.5 Meteory a komety
Každý určitě nějakou „padající hvězdu“, tedy meteor, na vlastní oči viděl. Meteor je světelný jev
v zemské atmosféře, k němuž dojde ve výškách menších než 120 km nad povrchem Země. Nastane
tehdy, vlétne-li z kosmického prostoru do atmosféry částice (tzv. meteoroid) o průměru alespoň
(a) (b) (c)
Obr. 2.26: Příklady impaktních kráterů ve sluneční soustavě: (a) Jeden z nejznámějších kráterů na Zemi, tzv. Meteor
crater nebo také Barringerův kráter v severní Arizoně o průměru 1,2 km a hloubce 170 m podle současných modelů
vznikl dopadem meteoritu o velikosti okolo 50 m a hmotnosti asi 300 000 t rychlostí několik km·s−1
přibližně před
50 000 lety (zdroj: Wikipedie a oficiální stránky http://barringercrater.com) (b) Zatímco na Zemi jsou impaktní
krátery postupně zahlazovány geologickou činností, na některých tělesech, např. na planetě Merkur, jsou velmi dobře
patrné – snímek z prvního průletu sondy Messenger nad povrchem v lednu roku 2008 (zdroj: NASA/apod, dostupné
z http://apod.nasa.gov/apod/ap080121.html) (c) Impaktní kráter na Saturnově měsíci Mimas zachycený sondou
Cassini v roce 2005 (zdroj: Wikipedie)
65
2.5 METEORY A KOMETY
Obr. 2.27: Příklady známých meteorických rojů a komety: (a) Jedna z Perseid zachycená 12. 8. 2006 Pierrem
Martinem v kanadské provincii Ontario. Perseidy jsou kometární meteorický roj, který vznikl z komety
Swift-Tuttle 1862 III. Na shodu dráhy Perseid s kometou první upozornil italský astronom Giovanni Schiaparelli.
Perseidy mají svůj radiant v souhvězdí Persea a roj je aktivní od 17. července do 24. srpna, přičemž maximum roje
přichází mezi 11. a 13. srpnem, podle tohoto období jsou lidově nazývány „Slzy svatého Vavřince“ (zdroj: NASA,
dostupné z http://science.nasa.gov/science-news/science-at-nasa/2007/11jul_greatperseids/) (b)
Snímek zachycující 156 bolidů meteorického roje Leonid během čtyřhodinové expozice na hvězdárně v Modré,
autorem je Juraj Tóth. Leonidy jsou meteorický roj spojený s mateřskou kometou Tempel-Tuttle. a jedná se o jeden
z nejvýraznějších a nejčastěji pozorovaných meteorických rojů. Své maximum – období, kdy je vidět nejvíce meteorů
– má okolo 17. až 18. listopadu a jeho radiant leží v souhvězdí Lva (zdroj: Wikipedie) (c) Výrazná dlouhoperiodická
kometa Hale-Boop (s dobou návratu přes 2 500 let) při průletu přísluním v roce 1997 (zdroj: Wikipedie)
několika desetin milimetru. Ta se sráží s atomy a molekulami ovzduší, zahřívá se a rozprašuje.
Přitom září sloupec par pocházejících z meteorické částice.
Jak bude meteor jasný, záleží na hmotnosti částice a na její rychlosti vůči Zemi. Meteory viditelné
pouhýma očima jsou způsobeny částicemi o hmotnosti řádově miligramy a větší. Meteor jasnější
než Venuše v době své největší jasnosti označujeme jako bolid.. Pokud se meteoroid zcela nerozpadne
v atmosféře, zbytek, jenž dopadne na povrch Země označujeme jako meteorit.. Stopami po
dopadu meteoritů jsou impaktní krátery (viz obr. 2.26), jejichž pozůstatky jsou na Zemi často
zahlazeny zvětráváním a stopy mohou být různorodé. Při dopadu se uvolňuje během krátké doby
obrovské množství energie, která se přeměňuje na teplo, což má za následek proběhnutí metamorfních
pochodů, při kterých se původní horniny přeměňují na novou, tzv. tektit; příkladem mohou být
jihočeské vltavíny (připomínajícími zvláštní druh skla), jejichž vznik je dáván do souvislosti s bavorským
Rieským kráterem. Obrovský Chicxulubský kráter je pozůstatkem po dopadu meteoritu
o průměru okolo 10 km před 65,5 miliony let do oblasti dnešního poloostrova Yucatán v Mexickém
zálivu. Samotný kráter je široký zhruba 180 km a z větší části je dnes pod hladinou moře (jen asi
třetina leží na pevnině v okolí města Chicxulub [čikšuluv]). Následky této katastrofy byly patrně
obrovské, následné klimatické změny jsou podle hypotézy Luise Waltera Alvareze považovány za
pravděpodobnou příčinu vyhynutí dinosaurů a řady dalších organismů. Po dopadu se zachovala
i geologická stopa – iridiová anomálie. Jde o výrazně navýšenou koncentraci iridia ve vrstvě zemské
kůry datované právě do tohoto období křídy. Iridium je v zemské kůře obecně velmi vzácné,
v této „iridiové vrstvě“ však dosahuje mnohonásobně vyšší koncentrace.
Drobné částečky meziplanetární látky, s nimiž se Země neustále sráží, vlétají do atmosféry nahodile
a samostatně, bez vztahu k jiným částicím. Meteory tohoto druhu nazýváme sporadické. Když se
však Země střetne se shlukem částic, které víceméně společně obíhají kolem Slunce, můžeme sledovat
meteorický roj. Při průchodu Země meteorickým rojem pozorovatel vidí, jak meteory vyletují
z jednoho místa na hvězdné obloze, toto místo nazýváme radiant. Celý úkaz je vyvolán perspektivou:
dráhy částic roje v atmosféře jsou přibližně rovnoběžné, a tak se zdá, že kdesi daleko od
nás vyletují rojové meteory z jednoho bodu, podobně jako se v dáli „spojují“ železniční koleje. Nej-
66
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
Obr. 2.28: Velikosti jader některých komet spolu s názvy sond, které k nim byly vyslány; zdroj NASA, dostupné
z http://epoxi.umd.edu
známějším meteorickým rojem jsou zřejmě Perseidy (radiant leží v souhvězdí Persea, odtud název
roje, viz obr. 2.27). Meteorické roje úzce souvisejí s kometami, jsou vlastně výsledkem pomalého
rozpadu jejich jader. Částice jsou rozptýleny podél dráhy původní komety – tím rovnoměrněji, čím
déle se kometa takto rozpadá.
Každá kometa ve velkých vzdálenostech od Slunce je vlastně jen slepencem zmrzlých plynů a hornin.
Toto tzv. jádro komety má rozměr řádově stovky metrů až desítky kilometrů (viz obr. 2.28). Jádro
je natolik malé (a navíc tmavé), že je přímo nepozorujeme. Vidíme teprve tzv. komu komety, kterou
tvoří plyny a prach uvolňovaný z jádra. Rozsáhlejší koma vzniká při příletu ke Slunci obvykle ve
vzdálenostech 2–5 AU. Je-li kometa ještě blíže ke Slunci, vytváří se ohon (viz obr. 2.29b). Ten je
tvořen ionty a prachovými částicemi, původně uloženými v jádru komety.
Na závěr našeho přehledu shrňme hmotnosti těles sluneční soustavy:
Těleso Hmotnost (celá sluneční soustava = 100 %)
Slunce 99,866
planety 0,134
komety 0,000 3
družice planet 0,000 04
planetky 0,000 000 1
meziplanetární prach 0,000 000 000 001
2.6 Pozorování oblohy
2.6.1 Obloha a hvězdná obloha
Krajinu – tedy budovy, stromy, kopce, jež jsou v našem dohledu – nazveme obzorem nebo horizontem.
Obzorem proto, že krajinu obzíráme, můžeme ji obhlédnout. Všechny směry, které míří nad
67
2.6 POZOROVÁNÍ OBLOHY
(a)
1973-10-01
1973-11-01
12-01
11
21
27
1974-01-0111
21
02-01
03-01
1974-04-01
1973-10-01
11-01
12-01
1974-01-01
11
21
02-01
03-01
04-01
11
21
(b)
(c)
Obr. 2.29: (a) Schematické znázornění oběhu periodické komety se směrem chvostů (zdroj: Wikipedie) (b) Časový
průběh průletu Kohoutkovy komety přísluním v roce 1974 (zdroj: Wikipedie) (c) Orientace trajektorie periodické
komety Hartley 2 s oběžnou dobou 6,47 let vzhledem k oběžným rovinám vnitřních planet sluneční soustavy (zdroj:
NASA, dostupné z http://www.nasa.gov/mission_pages/soho/hartley2-orbit.html). Podrobné informace
o pohybu a parametrech těles sluneční soustavy lze nalézt v JPL Solar System Dynamics
(http://ssd.jpl.nasa.gov), databázi poskytované střediskem Jet Propulsion Laboratory pro americkou NASA
obzor, tvoří naši oblohu. Spatříme tam objekty nám dobře známé – pozemské (mraky, letadla), ale
i objekty kosmické. Obloha je tedy množina všech směrů, které vycházejí z jednoho bodu (místa,
kde se nalézá pozorovatel) a jež míří nad obzor.
Kosmické objekty se po obloze pohybují od východního obzoru k západnímu. V řadě publikací
i učebnic se tento pohyb objektů označuje jako zdánlivý, protože skutečný pohyb je spojen s otáčením
Země kolem své osy ve směru od západu na východ. Fyzikálně je však takové označení
nesprávné. Zdánlivé je to, co se nám jen zdá, ale ve skutečnosti neexistuje (např. vidíme-li Měsíc
v úplňku nízko nad obzorem, zdá se nám úhlově větší než když je vysoko nad obzorem). Pohyb
objektů na obloze je veskrze reálný (skutečný), můžeme ho pozorovat, fotografovat popřípadě jinak
zaznamenat, jedná se o pohyb tělesa v nějaké fyzikální vztažné soustavě, a žádná vztažná soustava
v principu nemá být preferována na úkor druhé (pouze může být konkrétní vztažná soustava pro
popis pohybu tělesa vhodnější či méně vhodná). Na první pohled se zdá, že se Slunce, Měsíc, planety
i hvězdy pohybují po obloze naprosto stejně. Pečlivému pozorovateli však neujdou malé rozdíly:
Slunce ani Měsíc či planety se nepohybují přesně stejně rychle jako hvězdy. Pak je ovšem užitečné
vztáhnout pohyby blízkých těles (Slunce, Měsíce, planet) vůči hvězdám. Hovoříme pak o hvězdné
68
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
obloze: vzdálené hvězdy vytvářejí jakousi síť, či kulisu, vzhledem k níž budeme posuzovat polohy
relativně blízkých objektů sluneční soustavy.
Dodejme, že takto zavedený pojem obzor má svou nespornou logiku: obzor není totéž co vodorovná
rovina, procházející místem pozorování, a rozlišovat oba pojmy má svůj význam: nějaký kosmický
objekt může být totiž nad vodorovnou rovinou, ale přesto pod obzorem, chceme-li jej pozorovat
např. z údolí. V literatuře se tyto pojmy často neodlišují.
Při pohledu na hvězdnou oblohu se nám zdá, že stojíme uvnitř obrovské duté koule, která se kolem
nás otáčí (proto se dříve myslelo, že Země je středem vesmíru). Tuto myšlenou kouli nazýváme
nebeská sféra. Díky tomu se nedíváme během dne stejným směrem, ale postupně, unášeni rotací
planety, si prohlížíme jiná místa nebeské sféry (hvězdy a souhvězdí postupně vychází a zapadají
podobně jako Slunce nebo Měsíc). Takto se vzhled noční oblohy mění v průběhu dne. Během
jednoho dne ale nemůžeme zhlédnout celou nebeskou sféru, protože Slunce svým jasem přezařuje
vše ostatní (kromě Měsíce) a celá polovina nebeské sféry není kvůli tomu pozorovatelná. Díky
pohybu Země kolem Slunce se Slunce po nebeské sféře pohybuje mezi hvězdami a tak se na noční
oblohu postupně dostávají souhvězdí, která byla na denní obloze (přezářena Sluncem) a naopak
jiná souhvězdí se zase stávají nepozorovatelná. Souhvězdí proto můžeme rozdělit na jarní, letní,
podzimní a zimní - podle toho, kdy jsou na obloze nejlépe viditelná (viz obr. 2.17 a 2.18). Tato
souhvězdí na sebe plynule navazují, proto například v létě večer vidíme na západě část jarních
souhvězdí a ráno na východě vidíme vycházející souhvězdí podzimní, letní jsou pak na obloze celou
noc a zimní jsou na obloze denní.
Pozorovatel stojící na určitém místě povrchu Země však nemusí vždy během roku vidět celou
nebeskou sféru. Země pod našima nohama je tak velká, že nám zakrývá určitou část nebeské sféry
a tuto část z našeho pozorovacího stanoviště nikdy nespatříme, nikdy nevystoupí nad obzor.
2.6.2 Sférické soustavy souřadnic
Objekty se na obloze nacházejí v různých směrech. Protože většinou zjišťujeme úhly mezi dvěma
směry, s výhodou používáme tzv. sférické soustavy souřadnic. V nich musíme definovat počátek
soustavy, dva různé základní směry a způsob, jímž budeme určovat dvě úhlové souřadnice (třetí
souřadnicí je vzdálenost objektu od počátku).
Jeden ze dvou základních směrů udává tzv. „pól“ soustavy. Rovina na něj kolmá, procházející počátkem,
je „rovníkem“ soustavy. Šířková souřadnice je orientovaný úhel měřený od rovníku k pólům.
K měření délkové souřadnice potřebujeme tzv. „poledník“: polorovinu danou dvěma směry – k pólu
a k danému objektu. Délková souřadnice je orientovaný úhel mezi předem vybraným základním
poledníkem (ten je určen dalším základním směrem) a tím poledníkem, kde je náš objekt. Význačné
body jsou znázorněny na obr. 2.30.
Pro základní orientaci na obloze a udávání polohy jednotlivých objektů je potřeba nejprve se seznámit
se vzhledem oblohy a s astronomickými souřadnicemi. Nebeská sféra vypadá jako kopule
nad pozorovacím stanovištěm. Na obzoru jsou čtyři základní body (směry): sever, východ, jih a
západ. Směr, kterým se díváme, udáváme v úhlech (azimutech). Azimut je úhel měřený ve vodorovné
rovině: azimut severu je 0°, východu 90°, jihu 180° a západu 270° (v astronomii se někdy
měří i od jižního bodu k západu). K určení výšky objektu nad obzorem používáme druhou souřadnici
– elevaci. Elevace obzoru je 0°, nejvyšší elevaci 90° má zenit neboli nadhlavník – místo na
obloze ležící přímo nad pozorovatelem. Najednou tedy spatříme všechny objekty, které jsou v daný
okamžik vzdáleny maximálně 90° od zenitu („vrcholu kopule“). Tento systém nazýváme azimutálními
souřadnicemi (viz obr. 2.31b). Aktuální poloha každého objektu je dána dvěma souřadnicemi:
azimutem a elevací. Jsou to jednotky úhlové, proto i vzdálenosti mezi různými objekty a velikost
jednotlivých objektů na nebeské sféře udáváme v úhlech.
69
2.6 POZOROVÁNÍ OBLOHY
Obr. 2.30: Význačné body na nebeské sféře (zdroj: Wikipedie, upraveno)
Druhým systémem souřadnic jsou souřadnice rovníkové (ekvatoreální) (viz obr. 2.31b). Tyto souřadnice
získáme promítnutím zeměpisných souřadnic na nebeskou sféru. Vznikne tedy obdoba zeměpisné
šířky (deklinace, značka δ nebo dec) a zeměpisné délky (rektascenze, značka α nebo RA).
Stejně tak jako zemský rovník rozděluje Zemi na severní a jižní polokouli, světový (nebeský) rovník
rozděluje oblohu na severní a jižní. Světový (nebeský) pól se nachází v místech, kterým míří
rotační osa Země (u nás přibližně k Polárce). Meridián představuje místní poledník a rozděluje
N (sever)
(a) (b)
Obr. 2.31: (a) Azimutální souřadnice (b) Rovníkové (ekvatoriální) souřadnice (zdroj: Wikipedie, upraveno)
70
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
oblohu v místě pozorování na východní a západní část. Deklinaci udáváme v úhlech (stejně jako
zeměpisnou šířku), rektascenzi v časových jednotkách (hodiny, minuty a vteřiny).
Základním bodem rovníkových souřadnic je jarní bod (δ = 0°, tzn. leží na světovém rovníku,
α = 0°0′
0′′
). Deklinaci měříme od světového rovníku: na sever δ ∈ (0°; 90⟩ a na jih δ ∈ (0°; −90⟩.
Rektascenzi měříme od jarního bodu na východ a nabývá hodnot 0°0′
0′′
–23°59′
59′′
. Rovníkové
souřadnice nám poví, které objekty můžeme z našeho pozorovacího stanoviště pozorovat. Jak bylo
napsáno výše, Země nám část nebeské sféry zakrývá. Platí následující pravidla: zenitem procházejí
objekty, jejichž deklinace je rovna zeměpisné šířce pozorovatele (v ČR je to kolem 50°); světový pól
má elevaci rovnu zeměpisné šířce pozorovatele (v ČR ho tedy najdeme asi 50° nad severním obzorem
(jeho azimut je tedy 0°); vidíme objekty vzdálené maximálně 90° od zenitu (na všechny strany).
Pokud stojíme na rovníku, budou v zenitu objekty s deklinací 0° (ležící na světovém rovníku),
vidíme 90° na sever i na jih od zenitu (rovníku), čili deklinaci 90° (jižní světový pól) až +90°
(severní světový pól); oba póly tedy máme na obzoru a vidíme celou severní i jižní oblohu. Pokud
bychom stáli např. na severním pólu, máme v zenitu objekty s deklinací +90° (severní světový pól
blízko Polárky), obzor je od zenitu vzdálen 90°, z toho plyne, že na obzoru máme světový rovník a
vidíme pouze severní oblohu. Pokud nestojí pozorovatel ani na pólu, ani na rovníku, ale např. v ČR
na 50° s.š., má v zenitu deklinaci +50°. Vidí celou severní oblohu a ještě +50° − 90° = −40° jižní
deklinace, tedy téměř polovinu jižní oblohy. Všechny objekty, které jsou od pólu vzdáleny méně
než těchto 50° (jejichž δ ≧ +40°) nikdy nezapadají, jsou obtočnové neboli cirkumpolární, můžeme
je pozorovat každou jasnou noc. Naopak objekty, jejichž deklinace je nižší než −40° nikdy z ČR
neuvidíme, nad obzor u nás nikdy nevystoupí.
Rektascenze objektu nám napoví, kdy daný objekt (který není cirkumpolární ani neustále pod
obzorem) pozorovat. Platí, že meridiánem prochází objekt, jehož rektascenze je rovna aktuálnímu
hvězdnému času (proto ji uvádíme v časových jednotkách). O objektu, který právě prochází meridiánem,
říkáme, že kulminuje; pokud dosahuje nejvyšší výšky nad obzorem a je nejlépe pozorovatelný
jde o horní kulminaci, pokud je naopak v nejmenší výšce nad obzorem (popřípadě v největší hloubce
pod ním), hovoříme o dolní kulminaci. Proto v mnoha případech dolní kulminaci kosmického
objektu nemůžeme sledovat.
S průchodem meridiánem souvisí ještě jeden údaj a tím je hodinový úhel – udává se rovněž v časových
jednotkách (0 h až 24 h) a vyjadřuje úhel mezi deklinační kružnicí objektu a meridiánem,
měří se od meridiánu na západ (tedy opačným směrem než rektascenze) a platí, že objekt, který
kulminuje, má hodinový úhel 0 h. Pro objekty s deklinací 0° platí, že vychází 6 h před a zapadají
6 h po kulminaci (jejich hodinový úhel je 18 až 6 hodin), objekty s vyšší deklinací vychází dříve
(jsou na obloze déle), objekty s nižší deklinací vychází později (jsou na obloze kratší dobu).
2.6.3 Časy v astronomii
Jestliže se Země otočí o 360° vzhledem ke vzdáleným hvězdám, uvidí pozorovatel hvězdy na obloze
opět ve stejných směrech jako předtím, uplynul jeden hvězdný den. Budeme-li chtít definici upřesnit,
řekneme, že je to doba mezi dvěma následujícími horními kulminacemi jarního bodu a trvá asi
23 h 56 min 4 s. Hodinový úhel jarního bodu určuje pravý hvězdný čas. Skutečný pohyb jarního bodu
je ovlivněn nutací Země, proto se zavádí střední jarní bod, jehož rovnoměrnému pohybu odpovídá
střední hvězdný čas, rozdíl pravého a středního hvězdného času se nazývá rovnice ekvinoxií. Odhad
hvězdného času z pozorování oblohy je znázorněn na obr. 2.32.
Pozemský život se řídí střídáním dne a noci, jež je dáno rotací Země vzhledem ke Slunci a nikoli
vzhledem ke vzdáleným hvězdám. Používáme proto sluneční čas, právě na něj jsme biologicky
nastaveni. Pravý sluneční den je doba mezi dvěma následujícími horními kulminacemi Slunce.
Sluneční den tak je delší než hvězdný, neboť aby uplynul celý sluneční den, musí se Země otočit
vůči vzdáleným hvězdám o úhel asi 361°. Platí tyto převodní vztahy:
71
2.6 POZOROVÁNÍ OBLOHY
N
12 h
S
0 h
W
6 h
E
18 h
Směro
táčení oblohy
meda
ArBootes
Cancer
Cane
rSměeeni ces
ygnus
Gemini
ace
L
Pisces
Sagitta
Vulpecula
M44
M33
Ursa Major
Polaris
Cassiopeia
Cassiopeia
β
β α
Obr. 2.32: Hvězdný čas najdeme dnes pochopitelně na internetu např. na stránkách České astronomické společnosti
(http://www.astro.cz/obloha/vypocty/hvezdny_cas) nebo Štefánikovy hvězdárny v Praze
(http://www.observatory.cz). K přibližnému odhadu můžeme využít hvězdu Caph (β Cas) v souhvězdí Cassiopeia,
jejíž rektascenze α = 0 h 9 m 10,685 18 s je poměrně blízká nule a která navíc patří do cirkumpolárního souhvězdí, jež
je u nás vidět po celý rok. Spojíme-li tuto hvězdu pomyslně s Polárkou (tu vyhledáme pomocí hvězd Velkého vozu),
dostaneme „ručičku nebeských hodin“, jejichž ciferník vzhledem ke světovým stranám je naznačen na obrázku;
zobrazená situace odpovídá času krátce po 16 h hvězdného času. Tvary souhvězdí byly vygenerovány volně dostupným
programem SkyChart/Cartes du Ciel (http://www.ap-i.net/skychart), další prvky dokresleny podle [36]
1 sluneční den = 24 h 3 min 57 s hvězdného času, 1 hvězdný den = 23 h 56 min 4 s slunečního času.
1 hvězdný den = 24 h 0 min 0 s hvězdného času, 1 sluneční den = 24 h 0 min 0 s slunečního času.
Problémy s časy se komplikují, neboť pravý sluneční čas (který můžeme odvodit přímo z pohybu
Slunce po obloze) neplyne rovnoměrně. Příčiny jsou dvě: jednak se Země pohybuje kolem Slunce
nerovnoměrně (rychleji tehdy, je-li Slunci blíže, tj. když je u nás zima, pomaleji, jestliže je od Slunce
nejdále, tj. když je u nás léto). Druhou příčinou je mírný sklon roviny zemského rovníku k rovině,
v níž Země obíhá kolem Slunce (tj. k ekliptice). V důsledku toho jsou sluneční dny v březnu a září
kratší než v červnu a prosinci. Vyloučením obou těchto vlivů získáme rovnoměrně plynoucí střední
sluneční čas, jehož jednotkou je střední sluneční den. Rozdíl pravého a středního času astronomové
tradičně označují jako časovou rovnici (obdobu rovnice ekvinoxií)
časová rovnice = pravý sluneční čas − střední sluneční čas.
Rozdíly vypočítané pro rok 2000 lze odečíst z obr. 2.35.
V našich úvahách o čase, ať již slunečním nebo hvězdném, šlo zatím vždy o tzv. čas místní, tedy o čas
platný pro zeměpisný poledník, na němž se nacházíme. Na jiných polednících je v tutéž dobu odlišný
místní čas (pro ČR je situace znázorněna na obr. 2.33). Přepočet místních časů pro dvě různá místa
na Zemi je poměrně jednoduchý: rozdíl místních časů je roven rozdílu zeměpisných délek oněch
dvou míst. Musíme si jen zapamatovat, že místa položená východně od našeho stanoviště mají větší
72
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
Obr. 2.33: Korekce na zeměpisnou délku stanoviště oproti 15° východní délky; oproti časům východu (západu
i kulminace) Slunce na tomto poledníku musíme pro místa na východě republiky několik minut odečíst (Slunce tam
vychází i zapadá dříve) a pro místa na západě ČR naopak několik minut přičíst. Zdroj: příloha časopisu Povětroň
2010/06, dostupné z http://sirrah.troja.mff.cuni.cz/~mira/ashk/povetron-2010-06-p1.pdf
místní čas (Slunce tam kulminuje dříve), naopak místa položená západně mají místní čas menší než
my. Před několika staletími, kdy se cestovalo převážně povozy, nebyly tyto problémy pro většinu
lidí nijak závažné. Nevadila ani obtížnost udržování přesného času. Byl to zlatý věk slunečních
hodin. Na druhou stranu potřeba přesného určování zeměpisné délky silně vyvstala v době velkých
mořeplaveckých objevů na přelomu 15. a 16. století. Naléhavost problému dokumentuje fakt, že
španělský král Filip III. vypsal odměnu 100 000 korun, holanské generální stavy 30 000 florinů a
britský parlament 20 000 liber za metodu, která by umožnila dostatečně přesné určení zeměpisné
délky. Anglickou cenu získal až roku 1772 hodinář John Harrison za vynález chronometru; třicetileté
zkoušky prokázaly, že jeho hodiny se spirálními pery umožňují námořníkům „vozit si s sebou“
greenwichský čas a z rozdílu mezi ním a místním časem získaným z pozorováním hvězd nebo
Slunce určit zeměpisnou délku polohy jejich lodi.
Koncem 19. století díky rozvoji obchodu a železniční dopravy napříč kontinenty bylo jasné, že systém
mnoha (vlastně nekonečného počtu) místních časů je nepraktický. Proto na návrh inženýra
Kanadské pacifické dráhy sira Sandforda Fleminga byly zavedeny časy pásmové. Země byla rozdělena
podél poledníků na 24 pásem, každý zahrnoval 15° zeměpisné délky. Uvnitř časového pásma
platí stejný pásmový čas, sousední pásma mají čas lišící se právě o jednu hodinu. Na světové konferenci
ve Washingtonu bylo roku 1884 rozhodnuto, že čas v pásmu podél greenwichského poledníku
bude základní, tzv. světový, a k němu se budou vztahovat všechny ostatní časy.
Tolik teorie, praxe je však poněkud odlišná. Například v letním období celé skupiny států zavádějí
z poněkud nejasných důvodů tzv. letní čas, o hodinu předbíhající čas pásmový (letní čas tedy
odpovídá času pásma ležícího východně od nás). Někdy se chybně uvádí, že v době, kdy neplatí
letní čas, máme čas zimní, z astronomického hlediska v tu dobu používáme normální pásmový čas.
73
2.6 POZOROVÁNÍ OBLOHY
Obr. 2.34: Projekce vypočítané analemmy pro ranní polohy Slunce v určitém pevném čase na východní části oblohy
v našich severních zeměpisných šířkách, zdroj Wikipedie. Skutečné fotografie lze nalézt např. na serveru Astronomy
Picture of the day (http://apod.nasa.gov) nebo na stránkách Anthonyho
Ayiomamitise http://www.perseus.gr/Astro-Solar-Analemma.htm
Zimní čas také existuje – je to čas v pásmu ležícím západně od pásma, do něhož spadáme, v praxi
se však již dlouho nikde nepoužíval.
Proč se Slunce po obloze nepohybuje rovnoměrně, někdy se předbíhá a jindy opožďuje? Vliv mají
dva faktory:
• sklon rotační osy Země k rovině ekliptiky;
• eliptická dráha Země (s excentricitou ε = 0,017), která podle 2. Keplerova zákona nutně vede
k proměnné rychlosti oběhu Země kolem Slunce (a tedy nerovnoměrnému pohybu Slunce po
ekliptice).
I kdyby excentricita dráhy Země byla nulová a Slunce by se po ekliptice pohybovalo rovnoměrně,
nebude denní změna rektascenze Slunce vždy stejná, neboť rovník je vůči ekliptice skloněný o 23,5°.
Jestliže zaznamenáme přesnou polohu Slunce na obloze ve stejnou hodinu po všechny dny v roce
získáme křivku ve tvaru osmičky zvanou analemma (z řeckého analambanó, tj. napravuji; někdy
se uvádí analema). Konkrétní tvar analemmy (viz obr. 2.34 a 2.35) samozřejmě závisí na hodině
(určované středním slunečním časem), pro niž polohu Slunce zobrazujeme. Analemma by byla také
odlišná na jiných planetách, které mají jinou excentricitu dráhy, velikost hlavní poloosy i orientaci
osy rotace v prostoru než Země.
2.6.4 Odhady vzdáleností
Otázka měření vzdáleností se zdá být jednoduchá, ale prakticky snadná není. Nejčastěji využíváme
paralaxu a fotometrickou vzdálenost.
Paralaxa
Když se rozhlížíme po okolí, vidíme svět kolem sebe trojrozměrně. To platí jen do vzdálenosti
30–50 m. Na větší vzdálenost bezprostřední prostorový vjem již nemáme. Ten totiž vzniká proto,
že se díváme současně párem očí, které jsou od sebe vzdáleny 7–8 cm; na blízké předměty tedy
74
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
Obr. 2.35: Analemma v roce 2000 je zobrazena jako závislost časové rovnice E na deklinaci slunce. Převzato
z Havrdová, M.; Brož, M., Šolc, M.: Obecně o slunečních hodinách [online]. Dostupné
z http://sirrah.troja.mff.cuni.cz/~mira/tmp/historie_analema_orloje_preview.pdf
75
2.6 POZOROVÁNÍ OBLOHY
Obr. 2.36: Sluneční hodiny v Kolíně (15°12′
7′′
E, 50°1′
37′′
N, foto autor). Podrobný přehled slunečních hodin u nás
i na Slovensku poskytují stránky Miroslava Brože http://astro.mff.cuni.cz/mira/sh/sh.php
hledíme ze dvou poněkud různých směrů a úhel mezi těmito směry nazýváme paralaxa. U předmětů
ve vzdálenosti více než 50 m je paralaxa již natolik malá, že ji nemůžeme postřehnout. Přesto
však umíme díky zkušenosti odhadovat vzdálenosti. Víme, jak asi velké jsou stromy, budovy, kopce,
takže už z poměrné velikosti těchto objektů dokážeme jejich vzdálenost alespoň zhruba určit.
V odhadu vzdáleností v přírodě velmi pomáhá běžné zamlžení vzdáleného obzoru. Pokud by atmosféra
neexistovala a tento bělavý opar by zcela zmizel, měli bychom při odhadování vzdáleností
velké obtíže (jako i kosmonauti na Měsíci).
Pro přímá měření vzdáleností se v astronomii používá metoda známá z pozemní triangulace: ze
dvou stanovišť budeme současně měřit směry, v nichž se objekt nachází. Z rozdílu směrů – tedy
paralaxy objektu – lze při znalosti délky základny vypočítat jeho vzdálenost. Měřit můžeme současně
ze dvou míst na Zemi (u objektů blízkých, tedy ve sluneční soustavě), případně z jediného
místa na Zemi, ale s jistým časovým odstupem. Ve druhém případě je délka základny rovna vzdálenosti,
kterou Země za tuto dobu urazila při svém oběhu okolo Slunce. Tuto metodu používáme
při měřeních paralax hvězd. Ve sluneční soustavě přichází v úvahu ještě další přímá metoda zjišťování
vzdáleností – radiolokace. Z doby mezi vysláním a příjmem rádiového impulsu lze při známé
rychlosti šíření světla zjistit poměrně přesně vzdálenost „terče“, tedy objektu, od něhož se rádiové
záření odrazilo. Podobně např. k proměřování vzdálenosti Země a Měsíce se využívá intenzivního
laserového paprsku v rámci experimentu Lunar Laser Ranging (odrazná zrcadla umístila na povrch
měsíce posádka expedice Apollo 11).
Vzdálenosti kosmických objektů jsou z pozemského hlediska obrovské proto astronomové používají
speciální délkové jednotky. Za základní jednotku vzdálenosti ve sluneční soustavě platí tzv. astro-
76
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
nomická jednotka (AU – z anglického „astronomical unit“). Přibližně je to střední vzdálenost Země
od Slunce (k zapamatování postačí přibližná hodnota 1 AU ≈ 150·106
km). Ve světě hvězd a galaxií
je základní jednotkou parsek (zkratka pc): je to vzdálenost, ze které je vidět úsečku o délce 1 AU
(postavenou kolmo k zornému paprsku) pod úhlem jedné úhlové vteřiny. Jinak řečeno: paralaxa
objektu, vzdáleného 1 pc, je 1′′
. Používá se také jednotka světelný rok; je to vzdálenost, kterou
světlo šířící se ve vakuu urazí za jeden rok. Zkratkou pro světelný rok je ly (z anglického „light
year“). Jde o jednotku nejen tradiční, ale i značně názornou. Uveďme si základní převodní vztahy:
1 pc = 206 265 AU = 3,1·1016
m
1 ly = 0,307 pc
1 pc = 3,26 ly
Mezi paralaxou p vyjádřenou v úhlových vteřinách a vzdáleností r vyjádřenou v parsecích platí
jednoduchý převodní vztah
p =
1
r
. (2.1)
V mnoha případech je parsek docela „malou“ jednotkou, proto se i v astronomii běžně setkáváme
s násobnými jednotkami – kiloparsek (kpc), megaparsek (Mpc), gigaparsek (Gpc).
Magnitudy
Informace o tom, jak jsou hvězdy jasné, patří mezi nejstarší vědecká data na světě. Astronomové
z historických důvodů používají zcela jiné názvosloví než fyzikové, kteří také studují, jak různé
objekty vyzařují. Aby nedocházelo ke zmatkům, snažme se přesně pochopit základy astronomické
fotometrie.
Již v díle Klaudia Ptolemaia Almagest z 1. století n. l. je uveřejněn nejstarší soubor fotometrických
dat – celkem 1022 hvězd je zde roztříděno do šesti skupin: nejjasnější hvězdy „první velikosti“ až
nejslabší ještě okem viditelné „šesté velikosti“. Tímto na první pohled prazvláštním rozdělením se
nevědomky dosáhlo toho, že při pozorování hvězd dvou sousedních „velikostí“ (například první a
druhé, čtvrté a páté) máme pocit, že ony slabší hvězdy jsou „stejným dílem slabší“ než příslušné
jasnější hvězdy. Tak byla už ve starověku vytvořena stupnice, která respektuje způsob vnímání
světla našima očima a zpracování informace mozkem.
Moderní fyzikální definice fotometrických pojmů používaná astronomy vychází sice ze staré terminologie,
dává jí však přesný obsah. Jasnost hvězdy je osvětlení, které tato hvězda vyvolává v místě,
kde je pozorovatel, přičemž se předpokládá, že mezi ní a pozorovatelem není zemská atmosféra (jde
zajisté umělý předpoklad, ale nutný; při přesných měřeních se rušivý vliv našeho ovzduší výpočtem
odstraňuje). Fyzikální jednotkou jasnosti je lumen na čtverečný metr. V astronomické praxi
se zpravidla místo jasnosti používá veličina z ní odvozená – hvězdná velikost. Pro dva různé objekty
je definována tzv. Pogsonovou rovnicí
m2 − m1 = –2, 5 log
(
F2
F1
)
. (2.2)
Písmenem m je označena hvězdná velikost objektu (hvězdy), F je jasnost objektu. Jednotkou
hvězdné velikosti je magnituda (zkráceně mag), objekt s hvězdnou velikostí 0 mag (např. hvězda
α Lyr neboli Vega ze souhvězdí Lyry) způsobí osvětlení 2,54·10−6
lx. Hvězdné velkosti vybraných
objektů shrnuje tabulka 2.2.
Hvězdná velikost je fyzikální veličina, magnituda je název její jednotky, tato slova nemůžeme libovolně
zaměňovat. Řekneme-li např. „hvězda 8. magnitudy“, je to stejně nesmyslné jako vyjádřit
77
2.6 POZOROVÁNÍ OBLOHY
Kosmický objekt Hvězdná velikost
Slunce −26,7 mag
Měsíc v úplňku −12,7 mag
Venuše při největší jasnosti −4,7 mag
Sirius −1,5 mag
Vega 0,0 mag
nejslabší hvězdy viditelné pouhýma očima 6 mag
nejslabší hvězdy pozorovatelné triedrem asi 10 mag
nejslabší objekty pozorovatelné dalekohledem na Zemi asi 28 mag
nejslabší objekty pozorovatelné kosmickým dalekohledem asi 30 mag
Tab. 2.2: Hvězdné velikosti některých kosmických objektů
výšku budovy slovy „dům jedenáctého metru“. Můžeme však použít vyjádření, že jde o „hvězdu
osmé velikosti“. Tím se ovšem blížíme starověkému vyjadřování toho, jak jsou hvězdy jasné, a myslíme
tím, že hvězdná velikost oné hvězdy je v rozmezí 7,5 až 8,5 mag.
Jasnosti hvězd, o nichž jsme dosud pojednávali, jsou vztaženy k pozorovateli nacházejícím se na
Zemi. Hvězdy jsou však od nás různě daleko, takže pouhým porovnáním jasností, aniž bychom vzali
v úvahu vzdálenosti hvězd, nemůžeme určit, jak mnoho hvězdy září (tedy jaké jsou jejich zářivé
výkony). K takovému porovnání zářivých výkonů musíme „přemístit“ pozorovatele (nebo hvězdy)
do jisté dohodnuté vzdálenosti. Ve hvězdné astronomii se používá vzdálenost 10 pc. Jasnost, kterou
by hvězda měla, kdybychom ji sledovali z této vzdálenosti, se nazývá absolutní jasnost hvězdy.
Obdobně zavádíme pojem absolutní hvězdná velikost.
Mezi pozorovanou hvězdnou velikostí m a absolutní hvězdnou velikostí M platí převodní vztah
M = m + 5 + 5 log p = m + 5 − 5 log r,
kde p je paralaxa hvězdy (v úhlových vteřinách), r je vzdálenost (v parsecích). Přesvědčte se, že po
dosazení r = 10 pc je M = m. Rozdíl pozorované a absolutní hvězdné velikosti (m−M) označujeme
jako modul vzdálenosti.
m − M = 5 log r − 5.
Dosud jsme mlčky předpokládali, že hvězdné velikosti jsou odvozeny z osvětlení ve vizuální části
spektra. Může tomu však být také jinak: filtrem nebo receptorem záření vymezíme pouze část
spektra (dokonce nemusí jít o část optické oblasti spektra, ale třeba o oblast infračervenou). Pak
hovoříme o měření hvězdných velikosti v tzv. barvách. Je-li těchto „barev“ více, jedná se o barevný
systém. Když u hvězdy změříme hvězdnou velikost v několika barvách, můžeme vypočítat i její
barevný index: ten je roven rozdílu hvězdných velikostí v barvě s kratší vlnovou délkou a delší
vlnovou délkou. Dnes se v astronomii běžně používá několik desítek různých barevných systémů.
Jeden z nejrozšířenějších (a také jeden z nejdéle používaných) je barevný systém UBV. Zkratka
napovídá, kterou část spektra tento systém pokrývá: U (ultraviolet) – ultrafialovou, B (blue) –
modrou, V (visual) – žlutozelenou (podobá se, i když přesně neodpovídá, spektrální citlivosti oka).
Na systém UBV navazují v dlouhovlnné oblasti spektra barvy R (red) – červená, I (infrared) –
infračervená atd. (systém UBVRI). Lze tedy psát
barevný index = mkrátkovlnnáoblast–mdlouhovlnnáoblast.
Např. barevný index (B–V) = mB–mV, kde mB je hvězdná velikost objektu v barvě B a mV je
hvězdná velikost v barvě V.
Když budeme chtít znát jasnost (resp. hvězdnou velikost) nějakého objektu nejen v určité části
spektra, ale v celém spektrálním oboru, musíme změřenou fyzikální veličinu (jasnost, hvězdnou
78
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
velikost) přepočítat na tzv. bolometrickou. Žádný přístroj, který by měřil např. osvětlení v celém
oboru elektromagnetického záření neexistuje, vždy je to záležitost přepočtu za jistých předpokladů.
Rozdíl bolometrické a vizuální hvězdné velikosti (ať již pozorované nebo absolutní) označujeme jako
bolometrickou korekci, u některých hvězd činí až několik magnitud Je zřejmé, že teprve absolutní
bolometrická hvězdná velikost Mbol je mírou zářivého výkonu hvězdy.
Hmotnosti hvězd
Hmotnost je nejpodstatnější charakteristikou hvězdy, protože na její velikosti závisí stavba a vývoj
hvězdy. Určování hmotností hvězd, jež jsou od nás velmi daleko, určitě není snadné, u osamělých
hvězd jde o velmi těžký úkol. Prakticky jen u dvojhvězd se lze dobrat spolehlivých výsledků díky
Keplerovým zákonům.
Známe-li vzdálenosti složek dvojhvězdy od středu hmotnosti soustavy a oběžnou dobu dvojhvězdy,
můžeme z 3. Keplerova zákona zjistit hmotnosti obou složek. Tato metoda má ale jeden háček:
abychom určili vzájemnou vzdálenost složek dvojhvězdy (v délkových jednotkách, nikoli jen úhlových),
musíme znát vzdálenost dvojhvězdy od nás. Podle 3. Keplerova zákona lze psát
(r1 + r2)3
P2
=
(M1 + M2) G
4p2
, (2.3)
kde r1, r2 jsou vzdálenosti obou hvězd od hmotného středu soustavy, P je oběžná doba, M1, M2
hmotnosti hvězd, G je gravitační konstanta. Budeme-li vzdálenosti r1, r2 měřit v astronomických
jednotkách, čas P v rocích a hmotnosti M1, M2 ve slunečních hmotnostech, koeficient G/(4p2
)
se vykrátí a v rovnici jej můžeme vypustit. Z třetího Keplerova zákona určíme součet hmotností
(M1 + M2), jestliže známe součet vzdáleností od středu hmotnosti (r1 + r2). Budeme-li však znát
nejen součet (r1 +r2), ale i jednotlivé hodnoty r1, r2, můžeme vypočítat též hmotnosti každé složky
M1, M2, protože platí M1/M2 = r2/r1.
Hmotnosti osamocených hvězd přímým způsobem prakticky nezjistíme. Naštěstí však existuje statistická
závislost mezi hmotnostmi hvězd a jejich zářivými výkony. Tato závislost plyne z teorie
vnitřní stavby hvězd a na jejím odhalení se podílel zejména anglický astrofyzik první poloviny
20. století Arthur Eddington (1882–1944). Závislost platí spolehlivě sice jen pro hvězdy podobné
stavby jako Slunce, těch je však více než 90 %. Abychom závislost mohli použít, musíme znát zářivý
výkon hvězdy, tedy její vzdálenost. Navíc jde pouze o statistickou závislost, takže stěží určíme
nepřesnost takového odhadu pro nějakou konkrétní hvězdu. Matematicky můžeme závislost mezi
hmotností hvězdy M a jejím zářivým výkonem L zapsat ve tvaru
L = aMb
,
kde a, b jsou konstanty. Konstanta b má hodnotu blízkou 3.
Rozměry hvězd
Ve velikostech hvězd jsou obrovské rozdíly. Porovnáváme-li je se Sluncem, existují hvězdy miniaturní
i veleobři. Není určitě nijak snadné změřit velikost hvězdy, když v dalekohledu nevidíme
nic než bod. Navíc chvění atmosféry rozmývá obraz hvězd v dalekohledech, takže běžnými pozorovacími
technikami nemůžeme dosáhnout lepšího rozlišení než řádově desetiny úhlové vteřiny, což
k rozeznání kotoučků hvězd nestačí. Zlepšení tohoto stavu přinese spřažení dvou blízkých velkých
dalekohledů, pracujících dohromady jako tzv. interferometr. Takto mohou pracovat např. čtyři
8,2 m-teleskopy Very Large Telescope array (VLT) Evropské jižní observatoře na hoře Paranal
v Chile.
V pásu kolem ekliptiky, kde se pohybuje Měsíc, dochází k mnoha zákrytům hvězd Měsícem. Měsíc
osvětlený hvězdou vrhá stín, jehož okraj se po zemském povrchu pohybuje rychlostí asi kilometr
79
2.7 HERTZSPRUNGŮV-RUSSELLŮV DIAGRAM
za sekundu (právě taková je oběžná rychlost Měsíce vzhledem k Zemi, jak lze ověřit jednoduchým
výpočtem). Pozorovatel, vybavený fotometrem schopným zaznamenat změny jasnosti hvězdy s časovým
rozlišením tisíciny sekundy, ovšem nezaregistruje okamžité zmizení hvězdy. Několik setin
sekundy před zákrytem nastane několik zjasnění a zeslabení, přičemž průběh intenzity osvětlení
závisí na úhlovém průměru zdroje. Porovnáním takového záznamu získaného pozorováním s teoretickými
průběhy změn jasnosti lze určit, jaký úhlový průměr měla hvězda, která byla Měsícem
zakryta. Poznamenejme, že z fyzikálního hlediska se jedná o ohyb světla bodového zdroje na ostré
hraně, tzv. Fraunhoferův ohybový jev.
Zákrytové dvojhvězdy jsou takové hvězdné soustavy, u nichž je oběžná rovina orientována vůči
nám – pozorovatelům – docela význačným způsobem: dochází totiž ke vzájemnému zakrývání
složek dvojhvězdy (oběžná rovina je tedy téměř totožná se směrem zorného paprsku). My ovšem
jednotlivé složky nevidíme, jsou úhlově příliš blízko u sebe a že se jedná o zakrývající se dvojhvězdu,
poznáme z charakteristického tvaru světelné křivky, tedy z časového průběhu jasnosti, která se
periodicky mění. Zákrytovou dvojhvězdou je například Algol ze souhvězdí Persea, v katalozích
najdeme v současné době na 10 000 podobných položek.
Zákrytové dvojhvězdy jsou opravdu zajímavé soustavy; mimo jiné umožňují určit zřejmě tím nejspolehlivějším
způsobem průměry jednotlivých hvězd. Ze světelné křivky lze snadno odvodit okamžiky
začátků a konců zákrytů a zatmění jednotlivých složek dvojhvězdy. Při známé periodě oběhu složek
kolem společného těžiště (také tu lze zjistit ze světelné křivky) získáme poměry velikostí hvězd
k poloměru oběžné dráhy. Ze spektroskopických měření navíc můžeme určit oběžné rychlosti složek
vzhledem k těžišti, takže nakonec stanovíme průměry obou hvězd přímo v kilometrech.
2.7 Hertzsprungův-Russellův diagram
Když o dostatečně velkém počtu hvězd víme, jak jsou
bílí trpaslíci
barevný index (B – V)0
absolutnímagnituda
hlavní posloupnost
obřipodobři
jasní obři
veleobři
Slunce
Obr. 2.37: Hertzsprungův-Russellův diagram
(zdroj Wikipedie, upraveno)
daleko a jak jsou velké, hmotné a horké, můžeme mezi
těmito veličinami hledat nějaké statistické závislosti.
Budou-li existovat, pak zřejmě lépe porozumíme tomu,
jak a z čeho jsou hvězdy sestaveny, jak se vyvíjejí. Takových
závislostí může být jistě velké množství. Jedna
z nich je však natolik důležitá, že se jí musíme věnovat
podrobněji. Je spjata se jmény dvou astronomů –
Ejnara Hertzsprunga a Henry Russella.
V roce 1905 si dánský astronom Ejnar Hertzsprung
(1873–1967) povšiml, že vedle malých červených hvězd
(malých rozměry i výkony) existují také červené hvězdy
s velkým zářivým výkonem a rozměry. Hertzsprung tehdy
použil přirovnání, že jde „o velryby mezi rybami“.
Jeho závěry plně potvrdil americký astronom Henry
Russell (1877–1957). V roce 1913 uveřejnil výsledky
svého rozsáhlého výzkumu, v němž zjišťoval vztah mezi
zářivým výkonem a teplotou hvězdy. Sestrojil diagram
(podobný diagramu na obr. 2.37), který znázorňuje
závislost mezi absolutní hvězdnou velikostí a
spektrální třídou hvězd. Dnes tento diagram, bezpochyby
nejdůležitější astrofyzikální diagram vůbec, nazýváme
Hertzsprungovým-Russellovým diagramem (zkráceně
HR diagramem). Absolutní hvězdná velikost je mírou zářivého výkonu hvězd, spektrální třída
80
2. ZÁKLADY ASTRONOMIE
Vývojový cyklus Slunce
Vznik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Miliardy let (přibližně)
Současnost Postupný růst teploty
Rudý obr
Planetární mlhovina
Bílý trpaslík
Obr. 2.38: Vývoj Slunce jako hvězdy v čase (zdroj Wikipedie, upraveno)
úzce souvisí s povrchovou teplotou hvězd. Z fyzikálního hlediska je tedy HR diagram závislostí
zářivého výkonu na povrchové teplotě hvězd. Diagram ukazuje, že v rozmanitosti hvězd lze najít
jisté zákonitosti. Například pomocí tohoto diagramu můžeme odhadnout vzdálenost hvězdy; stačí
znát její spektrální třídu a příslušnost hvězdy k hlavní posloupnosti, obrům či trpaslíkům (a to
lze za jistých okolností také vyčíst ze spektra). Pak z diagramu odečteme absolutní hvězdnou velikost,
a při známé pozorované hvězdné velikosti jsme již schopni vypočítat vzdálenost hvězdy. HR
diagram je též neocenitelným pomocníkem při výzkumu hvězdokup. V neposlední míře je diagram
výborným testem platnosti teorií stavby a vývoje hvězd. Je tedy mnoho důvodů, proč astronomové
věnují HR diagramu tolik pozornosti.
Hvězdy nezaplňují plochu HR diagramu rovnoměrně, ale soustřeďují se v několika oblastech. Nejvíce
hvězd je v pásu, který probíhá od oblasti horkých a zářivých hvězd do míst, kde jsou hvězdy chladné
a s malým výkonem. Jde o hlavní posloupnost; obsahuje přes 90 % všech hvězd včetně našeho
Slunce. Další hvězdy jsou v oblasti relativně nízkých povrchových teplot, ale vysokých výkonů.
Jde o obry (červené obry) a veleobry (1 %). V oblasti malých zářivých výkonů a dosti vysokých
povrchových teplot narazíme na bílé trpaslíky (asi 7 %). Hvězdy spektrálních tříd K a M s malým
zářivým výkonem označujeme jako červené trpaslíky. Hvězda typu našeho Slunce během svého
vývoje prochází různými stádii (viz obr. 2.38)
V HR diagramu se může silně uplatňovat výběrový efekt. Spočívá v tom, že hvězdy s velkým
zářivým výkonem jsou pozorovatelné zdaleka, zatímco slabé zaznamenáme jen v bezprostředním
okolí Slunce (navíc mnoho takových hvězd nebylo dosud objeveno). Výběrový efekt se projevuje
nadměrným zastoupením obrů, veleobrů a hvězd z horního konce hlavní posloupnosti, zatímco
červených a bílých trpaslíků vidíme relativně málo. Kdybychom však do HR diagramu vynášeli jen
hvězdy z určitého omezeného prostoru, převládaly by zcela jednoznačně hvězdy hlavní posloupnosti
(a z nich červení trpaslíci).
Většina hvězd je tak málo jasná, že nelze pořídit jejich spektra s dostatečně velkým rozlišením, aby
byly zřetelně vidět spektrální čáry. Pak je ovšem nelze přesně spektrálně klasifikovat, určit jejich
spektrální třídu. Náhradou je ale měření barevného indexu, který je rovněž určitým měřítkem
povrchové teploty hvězd.
Pro hvězdy, které jsou od nás přibližně stejně daleko (například hvězdy ve hvězdokupě), můžeme
HR diagram nahradit tzv. barevným diagramem. Spektrální třídy hvězd nahradí jejich barevný
index, absolutní hvězdnou velikost pozorovaná hvězdná velikost. Určíme-li u některé hvězdokupy
(např. pohybové) její vzdálenost přímou metodou, známe též její modul vzdálenosti. Můžeme proto
sestrojit barevný diagram, v němž na svislou osu vyneseme nikoli pozorované, ale již absolutní
hvězdné velikosti (tento postup je využit na obr. 2.37). Pro jinou hvězdokupu, jejíž vzdálenost
neznáme, sestrojíme ve stejném měřítku „normální“ barevný diagram s pozorovanými hvězdnými
velikostmi na svislé ose. Pak oba diagramy přeložíme přes sebe a ztotožníme hlavní posloupnosti
hvězdokup. Posun stupnic pozorovaných hvězdných velikostí nové hvězdokupy a absolutních hvězd-
81
2.7 HERTZSPRUNGŮV-RUSSELLŮV DIAGRAM
ných velikostí hvězdokupy pohybové (tedy posun ve svislém směru) udává modul vzdálenosti druhé
hvězdokupy, a tedy i její vzdálenost.
Hrubé třídění hvězd na veleobry, obry, hvězdy hlavní posloupnosti a trpaslíky se zjemňuje zavedením
dalšího parametru při klasifikaci spekter – tzv. luminozitní třídy. K údaji o spektrálním
typu (a podtypu) se dodá římská číslice a případně písmeno, např. K2 III (čti: ká dva, římská tři).
Údaj o spektrálním typu je informací především o povrchové teplotě hvězdy, zatímco údaj o luminozitní
třídě hovoří o tlaku v atmosféře hvězdy (určuje se zejména podle profilu spektrálních čar
ionizovaných prvků, citlivých na tlak v atmosféře). Protože hmotnosti hvězd se mění v relativně
malém rozmezí, je údaj o luminozitní třídě spolu se spektrálním typem hvězdy rámcovou informací
o velikosti hvězdy.
Označení luminozitních tříd lze shrnout následovně:
Ia: jasní veleobři
Ib: (normální) veleobři
II: jasní obři 6)
III: (normální) obři
IV: podobři
V: hvězdy hlavní posloupnosti (a červení trpaslíci)
VI: podtrpaslíci
VII: bílí trpaslíci
V příští kapitole se budeme věnovat vlastnostem vesmíru jako celku a popíšeme základní představy
o něm a o jeho vývoji.
82
Kapitola 3
Základy relativistické kosmologie
V této kapitole odvodíme základní rovnice popisující rozpínání (i případné smršťování) vesmíru.
Ukážeme si vliv základních kosmologických parametrů na možný budoucí osud vesmíru, budeme
diskutovat jejich měření i nejpravděpodobnější hodnoty.
Otázky spojené s existencí, vlastnostmi našeho vesmíru i s postavením člověka v něm se vždy
promítaly do základů lidské kultury, náboženských a filozofických směrů. Od dob Galileových a
Newtonových se rozvíjejí kosmologické teorie vycházející z fundamentálních fyzikálních zákonů,
jež kladou důraz jak na přesné výpočty a předpovědi, tak především na konfrontaci se stále se
zpřesňujícími pozorováními. V tomto smyslu je fyzikální kosmologie vědeckou, tj. vyvratitelnou
teorií, v níž jsou naše představy a modely neustále korigovány, aby bylo dosaženo stále větší a lepší
shody s tím, co v našem vesmíru pozorujeme.
Obr. 3.1: Galaxie v souhvězdí Andromedy známá pod označením z katalogu francouzského astronoma Charlese
Messiera (1730-1817) jako M31, v NGC katalogu J.L.E. Dreyera (1852–1926) je uvedena pod číslem NGC 224 (oba
katalogy jsou dnes k dispozici na internetových adresách http://www.seds.org/messier/ resp.
http://www.seds.org/~spider/ngc/ngc.html). Jedná se o superobří spirální galaxii typu Sb ve vzdálenosti více
jak 2·106
ly, spolu s naší Galaxií je největší v naší místní skupině. Na obrázku vidíme také dvě satelitní trpasličí
eliptické galaxie NGC 205 a NGC 221 (M32). Galaxie M31 představuje zvětšenou obdobu naší vlastní Galaxie
s hmotností okolo 3 · 109
M⊙. Do místní skupiny Galaxií patří celkem asi 30 galaxií, z nichž nejznámější jsou satelity
naší Mléčné dráhy – nepravidelné galaxie Velké a Malé Magellanovo mračno (LMC neboli Large Magellanic Cloud a
SMC neboli Small Magellanic Cloud). Galaxie v místní skupině tvoří gravitačně vázaný systém a díky tomu se od
sebe nevzdalují v důsledku rozpínání vesmíru (viz část 3.5), naopak lze předpokládat, že ve velmi vzdálené
budoucnosti může dojít ke srážkám např. naší Galaxie a M31. Podle nejpřesnějších měření se LMC vůči naší Galaxii
pohybuje rychlostí 378 ± 18 km·s−1
[99]
83
3.1 ZÁKLADNÍ VÝCHODISKA A PRINCIPY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
Naše chápaní vesmíru a jeho vývoje s neustále vyvíjí, jak po stránce teoretické, tak získáváním a
zpracováním stále přesnějších experimentálních dat. V moderní kosmologii se doslova a do písmene
uplatňuje celá fyzika – od fyziky mikrosvěta a kvantové teorie pole až po teorii relativity. Zde
se budeme zabývat pouze základy relativistické kosmologie, základními pozorovanými vlastnostmi
vesmíru a z nich vyplývajícími nejjednoduššími modely. Otázky týkající se raného a velmi raného
vesmíru v prvních minutách po velkém třesku, inflační teorie a problematiky formování struktur
najde čtenář v podrobnějších monografiích, např. [7, 10, 47, 55, 56].
3.1 Základní východiska a principy relativistické
kosmologie
V této kapitole se budeme zabývat společnými základy moderních kosmoObr.
3.2: Mikoláš
Koperník (1473–1543),
převzato z Wikipedie
Obr. 3.3: H. W. M.
Olbers (1758–1840),
převzato z Wikipedie
logických teorií, které můžeme shrnout označením standardní kosmologický
model. Vychází ze dvou základních principů, zobecněného Koperníkova
principu a principu uniformity. Jádro prvního tvoří tvrzení, že se nenalézáme
ve středu vesmíru ani v jeho význačném bodě. V historickém kontextu
jde o velmi důležitý myšlenkový zlom, neboť ve starověku i středověku byla
právě Země považována za střed všehomíra, okolo něhož obíhala všechna
ostatní tělesa. Průlom představoval heliocentrický model sluneční soustavy
Mikoláše Koperníka z r. 1543, jenž zbavil Zemi „výsadního“ postavení.
Dnes víme, že z kosmologického hlediska není význačná ani naše Galaxie
nebo kupa galaxií, dokonce i hmota, z níž jsou složena naše těla představuje
pouze malou část v porovnání s převažujícím typem hmoty ve vesmíru.
„Princip uniformity“ nebo také „princip homogenity a izotropie“ tvrdí, že
vesmír je ve velkých měřítkách homogenní a izotropní, tj. stejný ve všech
místech a ve všech směrech. Je zřejmé, že např. v měřítkách naší sluneční
soustavy, popř. naší Galaxie uvedený princip neplatí; ve Slunci popř. v jádru
Galaxie je soustředěno mnohem více hmoty než na okraji. Homogenita
a izotropie se projevuje až na velkých škálách o rozměrech řádově 103
Mpc,
jak o tom svědčí výsledky řady pozorování (viz obr. 3.5–3.6)
O vlastnostech vesmíru vypovídají i zdánlivě triviální otázky; příkladem
může být tzv. Olbersův paradox. Otázka „Jak to, že je noční obloha temná?“
byla poprvé zformulována Keplerem v roce 1610, diskutována Halleym a
Cheseauxem v 18. století a zpopularizována německým lékařem a astronomem Heinrichem Wilhelmem
Matthäusem Olbersem (objevitelem planetek Pallas a Vesta i komety 13P/Olbers) v r. 1826.
Význam otázky vynikne v kontextu dobových filozofických představ, užitečné je i srovnání s odpovědí,
které dává současná kosmologie. Pokud by vesmír byl nekonečný a obsahoval nekonečné
množství rovnoměrně rozmístěných hvězd, pak by noční obloha měla být stejně jasná jako povrch
Slunce. Zjednodušeně řečeno, v každém místě oblohy bychom nalezli svítící hvězdu.1
Možná řešení paradoxu jsou následující:
1. mezihvězdný prach nám brání vidět vzdálené hvězdy;
2. vesmír obsahuje pouze konečný počet hvězd;
3. hvězdy nejsou rozmístěny rovnoměrně
4. vesmír se rozpíná, světlo od nejvzdálenějších hvězd má takový rudý posuv, že je mimo oblast
viditelného světla;
5. vesmír má konečné stáří, světlo od nejvzdálenějších objektů k nám ještě nedorazilo.
1
Přesnější formulace vychází z poznatku, že světelný tok od vzdálených zdrojů klesá se čtvercem jejich vzdálenosti
od nás r, tj. s 1/r2
, ale objem kulové vrstvy, v níž se hvězdy nacházejí je roven 4pr2
dr, výsledný světelný tok z takové
vrstvy tak nezávisí na její vzdálenosti; podrobnější diskusi lze najít např. v [122].
84
3. ZÁKLADY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
Obr. 3.4: Úhlové rozdělení galaxií podle projektu APM (Automated Plate Measuring, domovská stránka
http://www-astro.physics.ox.ac.uk/~wjs/apm_survey.html) [102]. Zahrnuta je asi 1/4 oblohy rozdělená do
menších čtverečku, jejichž barva odráží počet galaxií v každém z nich (čím světlejší, tím více). Vidíme, že na velkých
škálách se počet galaxií v jednotlivých směrech neliší
Z hlediska moderní kosmologie se nejvýznamněji uplatňuje právě poslední možnost – vesmír existuje
pouze konečnou dobu, podle nejnovějších odhadů asi (13, 7 ± 0, 2) miliard světelných let [78].
Vesmír je ve velkých měřítkách homogenní a izotropní; svědčí o tom rozbory kosmického mikrovlnného
záření a statistické sledování rozmístění galaxií v něm. Nejen z Olbersova paradoxu vyplývá,
že vesmír netrvá „odjakživa“, ale pouze konečnou dobu.
K plnému porozumění moderní kosmologii a korektnímu odvození rovnic, popisujících expanzi
vesmíru je nezbytná znalost obecné teorie relativity. Avšak i čtenář, jenž se studiem Einsteinovy
teorie dosud nezabýval, může řadu jevů odvodit a popsat na základě elementárnějších úvah vyžadujících
znalosti na úrovni základního vysokoškolského kurzu fyziky. Potřebuje k tomu především
Friedmannovu rovnici (3.3) a rovnici pro práci vykonanou tlakem při rozpínání vesmíru. Zájemce
o nástin plně relativistického odvození rovnic odkazujeme na následující podkapitolu 3.3.
3.2 Friedmannova rovnice
V této části vyjdeme z modelu newtonovského vesmíru, v němž uvažujeme pouze nerelativistické
pohyby a gravitace je chápána jako síla působící mezi hmotnými částicemi [10, 97]. Friedmannova
rovnice (3.3) v tomto případě popisuje zachování celkové mechanické energie částice (galaxie)
v průběhu vesmírné expanze. V relativistickém odvození namísto klasické hustoty hmotnosti musíme
započítat hustotu energie v souladu se známou rovnicí ekvivalence hmotnosti a energie E = mc2
a namísto gravitace jako síly uvažovat zakřivení prostoročasu, nicméně výsledek je formálně tentýž,
85
3.2 FRIEDMANNOVA ROVNICE
Obr. 3.5: Teplota kosmického mikrovlnného záření podle výsledků družice COBE, konkrétně její součásti DMR
(Differential Microwave Radiometer). Tři mapy teploty záření pro různé rozsahy jsou vyneseny v galaktických
souřadnicích, rovina naší Galaxie se nachází uprostřed. Horní mapa dokládá, že záření je vysoce homogenní
s teplotou T ≈ 2, 73 K. Prostřední část ukazuje rozdíly v teplotě řádu mK. Zřetelná dipólová anizotropie odpovídá
pohybu sluneční soustavy vůči kosmickému mikrovlnnému záření (jeho klidové soustavě). Pokud tuto anizotropii
odečteme, získáme zbývající anizotropii řádu µK na dolní mapě, přičemž výrazný červený pruh uprostřed odpovídá
záření z naší Galaxie; více obrázků a informací lze nalézt na http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/cobe/ a
v [77]. Studium anizotropií mikrovlnného záření, jež jsou podle současných představ „otiskem“ fluktuací hustoty
vesmíru v době vzniku mikrovlnného záření (tj. asi 300-400 000 let po velkém třesku), je považováno za klíč
k pochopení vzniku pozorovaných struktur (galaxií). Poskytuje dosud nejpřesnější určení stáří vesmíru i dalších
kosmologických parametrů – viz stránky projektu WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe)
http://map.gsfc.nasa.gov nebo např. [118]
86
3. ZÁKLADY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
Obr. 3.6: 2dF Galaxy redshift survey ukazuje polohu 62 559 z celkového počtu 220 929 galaxií, u nichž byly určeny
úhlové souřadnice a rudý posuv [82]. V souladu s Hubbleovým zákonem (3.16) je radiální vzdálenost galaxií určena
rudým posuvem z. Zdánlivě galaxií v prostoru s rostoucí vzdáleností od nás ubývá, ale jde jen o výběrový efekt – ve
velkých vzdálenostech můžeme pozorovat pouze nejzářivější objekty. Pro malé rudé posuvy, kde je počet galaxií
zmapován důkladněji, vidíme zřetelně vláknovitou strukturu s uzly a mezerami. Homogenita vesmíru předpokládá, že
rozmístění galaxií ve vzdálenějších oblastech musí být stejné. Více obrázků a informací lze nalézt na stránkách
projektu http://www.mso.anu.edu.au/2dFGRS/
bez jakýchkoli korekčních členů či přiblížení. Do hustoty energie však musíme započítat všechny
její formy. K pochopení a správné interpretaci šíření světla v zakřiveném vesmíru (Hubbleovy
diagramy, fotometrická vzdálenost apod. – viz část 3.10) se pak bez teorie relativity neobejdeme!
Rozpínání vesmíru pozorujeme jako vzájemné vzdalování galaxií objevené Edwinem Hubblem (viz
část 3.5). Východiskem našich úvah bude zákon zachování energie. Náš newtonovský model si lze
představit jako rozpínající se plyn, jehož „molekuly“ jsou celé galaxie (ty samy se nerozpínají).
Gravitace naopak galaxie přitahuje k sobě a rozpínání zpomaluje. Zvolíme-li počátek souřadnic
v „místě“ některé galaxie (např. naší), potom na galaxii ve vzdálenosti R působí pouze hmota obsažená
v kouli o poloměru R (působení vnějších vrstev se vyruší, to je důležitá vlastnost gravitační
i coulombovské síly v klasické fyzice), jejíž hmotnost M = 4pR3
ϱ/3, kde ϱ je hustota vesmírné
„tekutiny“. Mechanická energie uvažované galaxie bude potom
E =
1
2
m
(
dR
dt
)2
−
GMm
R
=
1
2
m
(
dR
dt
)2
−
4p
3
mϱR2
.
Předpokládáme-li, že na galaxii působí ještě izotropní síla F = Λmc2
R/3, jíž odpovídá potenciální
energie2
U = −
1
6
Λmc2
R2
,
2
V daném kontextu jde o ad hoc předpoklad; zavedení kosmologické konstanty přirozeně plyne z Einsteinových
rovnic obecné teorie relativity (3.7) a v důsledku novějších pozorování (viz např. [78, 100]) o nutnosti zahrnout i tento
člen dnes málokdo pochybuje.
87
3.2 FRIEDMANNOVA ROVNICE
Obr. 3.7: Pohled na velmi vzdálené galaxie Hubbleovým teleskopem označovaný jako „the Hubble eXtreme deep
field“. Snímek pokrývá tak malou část jižní oblohy v souhvězdí Pec (For), že se v ní nachází pouze několik jasných
hvězd z naší Galaxie, velikost příslušné části oblohy je porovnána s velikostí Měsíce v průmětu na snímek přilehlé
části oblohy pořízený pozemským dalekohledem. Snímek vznikl složením mnoha snímků pořízených v letech
2003–2004. Vidíme na něm řadu galaxií (celkem je jich na snímku přes 5 000) v různých stadiích vývoje – od
spirálních a eliptických, až po slabě zářící nepravidelné objekty, jejichž světlo bylo vysláno méně jak miliardu let po
velkém třesku, tj. zhruba před 13,2 miliardami let, které patří k nejstarším dosud pozorovaným objektům ve vesmíru.
Vzhledem k homogenitě a izotropii vesmíru lze i tento malý vzorek oblohy považovat za reprezentativní, typické
rozmístění galaxií. Obrázky byly upraveny převedením na stupně šedi ze zdroje NASA a ESA
http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2012/37/
vychází celková energie dané galaxie
E =
1
2
m
(
dR
dt
)2
−
1
6
Λmc2
R2
−
4p
3
mϱR2
. (3.1)
Parametr Λ o rozměru m−2
nazýváme kosmologickou konstantou a standardně bývá interpretována
jako vliv energie samotného vakua.
Vzhledem k homogenitě a izotropii rozpínání je výhodné zavést tzv. „comoving“ souřadnice, které
jsou „unášeny“ rozpínáním a pro zvolenou galaxii zůstávají po celou dobu konstantní. Zvětšování
ˇcas
Obr. 3.8: K zavedení „comoving“ souřadnic: souřadnicový systém je unášen expanzí, takže uvažovaný objekt zůstává
stále ve zvoleném bodě souřadnicové sítě, ostatní body se od něj v důsledku rozpínání vzdalují
88
3. ZÁKLADY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
vzájemných vzdáleností je pak popsáno expanzním faktorem a = a(t) závisejícím na čase (viz
obr. 3.8). Pro skutečnou vzdálenost proto platí
R = a(t)x (3.2)
a po dosazení do (3.1) získáváme
2E
mx2
=
(
da
dt
)2
−
1
3
Λc2
a2
−
8p
3
ϱa2
.
Jak energie E, hmotnost m i „comoving“ souřadnice x jsou v rámci našeho newtonovského modelu
pro uvažovanou galaxii konstantami, použijeme-li ekvivalenci hmotnosti a energie E = mc2
, bude
2E/(mx2
) = 2c2
/x2
. Výraz 2/x2
odráží geometrii vesmíru v „comoving“ souřadnicích a obvykle
klademe 2/x2
= −k. Po dosazení do předcházející rovnice dospějeme k základní, tzv. Friedmannově
rovnici popisující rozpínání vesmíru pomocí expanzního faktoru
1
a2
(
da
dt
)2
=
8pG
3
ϱ +
1
3
Λc2
−
kc2
a2
. (3.3)
Nazvána je po ruském matematikovi A. A. Friedmannovi3
, který v roce
Obr. 3.9: A. A.
Friedmann(1888–1925),
převzato z Wikipedie
1922 odvodil a předpověděl rozpínání vesmíru z Einsteinových rovnic obecné
teorie relativity. Výše uvedené odvození dokazuje platnost rovnice (3.3)
pro newtonovský model vesmíru, v rámci obecné teorie relativity lze dokázat
(viz část 3.3) její platnost pro všechny homogenní izotropní kosmologické
modely popsané metrickým tenzorem (3.6).
Friedmannova rovnice určuje změnu expanzního faktoru s časem, tj. „rychlost“
rozpínání. Každodenní zkušenost nám napovídá, že k popisu běžných
pohybů potřebujeme znát i zrychlení, tj. druhou derivaci expanzního faktoru
podle času – pouze s Friedmannovou rovnicí zcela určitě nevystačíme.
I když zavedení konstant k a Λ ve Friedmannově rovnici můžeme chápat
formálně, mají svůj fyzikální význam. Těmto otázkám se budeme věnovat ve zbytku podkapitoly.
Parametr k s rozměrem m−2
charakterizuje konstantní křivost vesmíru a po vhodném přeškálování
souřadnic lze uvažovat pouze tři hodnoty k = 0, ±1; potom už jde o parametr bezrozměrný a
s takovým budeme nadále pracovat [7]. Hodnota k = 0 odpovídá nekonečnému plochému vesmíru,
v němž platí zákony eukleidovské geometrie (součet úhlu v trojúhelníku je roven 180°, obvod
kruhu je roven 2pr). Hodnota k = 1 odpovídá uzavřenému konečnému vesmíru, jehož geometrie
je podobná geometrii kulové plochy (lze jej v principu „obejít dokola“, součet úhlů v trojúhelníku
je větší než 180°, obvod kruhu menší než 2pr). Konečně hodnota k = −1 odpovídá nekonečnému
otevřenému vesmíru, jehož geometrie je podobná geometrii sedlové plochy (součet úhlů v trojúhelníku
je menší než 180°, obvod kruhu větší než 2pr); dvourozměrné analogie zmíněných geometrií
vesmíru jsou znázorněny na obr. 3.10. V současné době nelze s jistotou říci, jakou geometrii náš
vesmír má, zda je přesně plochý, jak jej vnímáme z běžné každodenní zkušenosti (kdy běžně používáme
uvedené vzorce eukleidovské geometrie), nebo je na velkých škálách zakřiven. Víme, že se
jeho geometrie od Euklidovy liší jen velmi málo, což teoreticky vysvětlujeme pomocí mechanismu
inflace (viz část 3.7). Podrobnější rozbor topologie našeho vesmíru v závislosti na parametru k lze
nalézt např. v [5, 7, 47, 56].
Druhou rovnici popisující expanzi vesmíru získáme z práce, kterou přitom hmota – „plyn galaxií“ –
vykoná. V části 3.4 ukážeme, že různé formy energie, jež mohou být ve vesmíru obsaženy, přispívají
3
V české literatuře se setkáme se dvěma různými přepisy jeho jména: s fonetickým ruským transkriptem „Fridman“
anebo s podobou obvyklou v anglosaské literatuře, kterou používáme v textu. Friedmannova maminka, profesionální
pianistka, se za svobodna jmenovala Ludmila Vojáčková [142].
89
3.2 FRIEDMANNOVA ROVNICE
Obr. 3.10: Dvourozměrné analogie různých geometrií vesmíru v závislosti na hodnotách parametru k (upraveno podle
http://map.gsfc.nasa.gov/m_uni/uni_101shape.html)
k tlaku „plynu“ rozdílně a vedou k odlišné závislosti hustoty energie ϱ na čase. Uvažujme kouli
o objemu V , jejíž objem se změní o dV . Energie obsažená v tomto objemu bude
E =
4p
3
ϱc2
R3
.
Považujeme-li rozpínání za adiabatické (nedodáváme žádnou vnější energii), musí podle 1. věty
termodynamické platit
dE + p dV = 0 neboli
dE
dt
+ p
dV
dt
= 0.
Dosadíme-li postupně
dE
dt
= 4pϱc2
R2 dR
dt
+
4p
3
c2
R3 dϱ
dt
,
dV
dt
= 4pR2 dR
dt
a přejdeme ke „comoving“ souřadnicím (3.2), dospějeme k další důležité rovnici pro změnu hustoty
energie s časem
dϱ
dt
+
3
a
da
dt
(
ϱ +
p
c2
)
= 0. (3.4)
Ke změně hustoty energie přispívá jednak zvětšení objemu (člen da/dt, jednak práce vykonaná při
expanzi tlakem p, jež se v našem newtonovském modelu mění na gravitační potenciální energii.
Derivujeme-li Friedmannovu rovnici (3.3) podle času, získáme
2
1
a
da
dt
1
a2
[
a
d2
a
dt2
−
(
da
dt
)2
]
=
8pG
3
dϱ
dt
+
2kc2
a3
da
dt
,
90
3. ZÁKLADY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
po dosazení za dϱ/dt z (3.4) dále
1
a
d2
a
dt2
−
(
1
a
da
dt
)2
= − 4pG
(
ϱ +
p
c2
)
+
kc2
a2
a odečtením Friedmanovy rovnice (3.3) druhou základní rovnici popisující „zrychlení“ rozpínání
vesmíru
1
a
d2
a
dt2
= −
4pG
3
(
ϱ +
3p
c2
)
+
1
3
Λc2
. (3.5)
Vidíme, že v rozporu s intuitivním předpokladem, že tlak „plynu galaxií“ se podílí na rozpínání
vesmíru, přispívá naopak ke zpomalení expanze podobně jako Λ < 0. Naopak Λ > 0 přispívá ke
zrychlení expanze. Tlak p skutečně nemůže vyvolávat rozpínání vesmíru, neboť v homogenním
vesmíru nemohou existovat tlakové síly (vyžadovaly by gradient tlaku).
Friedmannova rovnice (3.3), rovnice pro časovou změnu hustoty energie (3.4) a z nich vyplývající
rovnice (3.5) popisují rozpínání vesmíru prostřednictvím změny expanzního faktoru a(t) s časem.
K jejich řešení potřebujeme znát ještě stavovou rovnicí, tj. závislost tlaku na hustotě p = p(ϱ)
charakterizující typ materiálu (energie) vyplňující vesmír. S nejdůležitějšími případy stavových
rovnic (z kosmologického hlediska) se setkáme v části 3.4.
Pro čtenáře obeznámeného se základy obecné teorie relativity v následující části naznačíme, jak lze
rovnice (3.3) a (3.5) odvodit z Einsteinových rovnic aplikovaných na homogenní izotropní vesmír.
Ostatní čtenáři mohou tuto část při prvním čtení přeskočit, neboť její prostudování není nezbytně
nutné k pochopení dalšího výkladu. Dále se budeme odvolávat pouze na Robertsonovu-Walkerovu
metriku (3.6).
3.3 Robertsonova-Walkerova metrika
V obecné teorii relativity je základní veličinou popisující geometrii prostoročasu metrický tenzor
gµν. Lze ukázat (viz např. [5, 47]), že předpoklad homogenity a izotropie splňuje RobertsonovaWalkerova
metrika, která popisuje prostoročas s konstantní křivostí
ds2
= −c2
dt2
+ a(t)2
[
dr2
1 − kr2
+ r2
(
dϑ2
+ sin2
ϑ dφ2
)
]
; (3.6)
v „comoving“ souřadnicích x0
= ct, x1
= r, x2
= ϑ a x3
= φ má odpovídající metrický tenzor tvar
gµν =




−1 0 0 0
0 a(t)2
/(1 − kr2
) 0 0
0 0 a(t)2
r2
0
0 0 0 a(t)2
r2
sin2
ϑ



 .
Parametr k = ±1, 0 zavedený v předcházející podkapitole 3.2 charakterizuje křivost prostoročasu,
jež v důsledku homogenity a izotropie musí být konstantní. Obsah vesmíru modelujeme ideální
tekutinou s tenzorem energie hybnosti (viz např. [7, 32, 46, 55])
Tµν =
(
ϱ +
p
c2
)
uµuν + gµνp.
V klidové soustavě tekutiny pro složky čtyřrychlosti platí u0 = −c, ur = uϑ = uφ = 0, takže
Tµν =




ϱc2
0 0 0
0 pa(t)2
/(1 − kr2
) 0 0
0 0 pa2
r2
0
0 0 0 pa2
r2
sin2
φ



 .
91
3.4 HUSTOTA A TLAK
Po dosazení do Einsteinových rovnic obecné teorie relativity (viz např. [5, 19, 45, 63])
Gµν + Λgµν =
8pG
c4
Tµν (3.7)
získáme dvě nezávislé rovnice
3
a2
[(
da
dt
)2
+ kc2
]
− Λc2
= 8pGϱ,
−
1
a2
[
kc2
+ 2a
d2
a
dt2
+
(
da
dt
)2
]
+ Λc2
= 8pG
p
c2
.
První z nich dává přímo Friedmanovu rovnici (3.3), z druhé odečtením (3.3) pak získáme (3.5).
Konečně z relativistického zákona lokálního zachování energie-hybnosti4
∑
ν
νTµν
= 0,
kde ν značí kovariantní derivaci, obdržíme přímo (3.4).
Zdůrazněme ještě jednou, že obecná teorie relativity dává hlubší a konzistentnější odvození rovnic,
které jsme v části 3.2 získali pomocí newtonovského kosmologického modelu. Moderní relativistická
kosmologie představuje jednu z nejúspěšnějších a nejzajímavějších aplikací Einsteinovy teorie
relativity.
Homogenní izotropní vesmír s konstantní křivostí je v „comoving“ sférických souřadnicích popsán
Robertsonovou-Walkerovou metrikou (3.6). Zakřivení prostoru ovlivňuje šíření světelných signálů.
Na konci části 3.2 jsme se zmínili o významu stavové rovnice: charakterizuje typ materiálu, kterým
je v našem modelu vesmír vyplněn a který určuje jeho rozpínání. V následující podkapitole
probereme nejdůležitější příklady stavových rovnic a jim odpovídajících druhů energie.
3.4 Hustota a tlak
Tlak tekutiny v kosmologickém modelu závisí na typu materiálu, jímž je vesmír zaplněn. V zásadě
může jít o běžnou hmotu, záření, vakuum, popř. o jejich kombinaci (což je samozřejmě nejrealističtější
model); s každým z těchto typů energie je spojen jiný tlak.
Vztah p = p(ϱ) mezi tlakem a hustotou popisuje stavová rovnice. Dosazením za p do (3.4) pak pro
každý typ materiálu získáme předpis, jak se jeho hustota mění s časem. Stavová rovnice má pro
uvažované typy energie tvar
p = wϱc2
. (3.8)
Dosazením do rovnice (3.4) a integrací získáváme závislost
ϱ ∝
1
a3+3w
. (3.9)
Hmotu, tj. materiál z něhož se skládají i naše těla, popisujeme v kosmologickém měřítku jako
tzv. prach. Srážky galaxií jsou odlišné od srážek molekul v plynu a nevytvářejí žádný tlak, proto
4
Zákon musíme skutečně chápat v lokálním smyslu, protože pokud není zakřivení prostoročasu konstantní, i energie
se odpovídajícím způsobem mění; příkladem může být energie mikrovlnného záření, která v důsledku rozpínání vesmíru
klesá (viz vztah (3.11)). V plochém prostoročase speciální teorie relativity ovšem zákon zachování platí globálně [5].
Narušení globálního zákona zachování energie bychom mohli vysvětlit tím, že nebereme do úvahy energii gravitačního
pole, přitom však existují různé názory, jak tuto energii vyjádřit.
92
3. ZÁKLADY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
Obr. 3.11: Hodnota parametru w určená z pozorování
supernov (SNe), rozboru reliktního mikrovlnného záření
(CMB) a modelování baryonových fluktuací v raném
vesmíru (BAO). Výsledky se protínají okolo hodnoty
w = −1 odpovídající interpretaci temné energie jako
energie vakua spojované s kosmologickou konstantou.
Zdroj: Supernova cosmology project, barevná verze
dostupná z http://supernova.lbl.gov
Obr. 3.12: Zastoupení jednotlivých druhů energie se
během vývoje vesmíru mění. Zdroj NASA (WMAP),
barevná verze dostupná z http://map.gsfc.nasa.gov
wm = 0.5
Pro závislost hustoty energie hmoty ϱm na čase pak podle (3.9) vychází
ϱm ∝
1
a3
; (3.10)
hustota energie v kouli o poloměru a(t) zůstává konstantní, neboť
d
d
(
ϱma3
)
= 0.
Vidíme, že hustota energie hmoty – prachu klesá pouze v důsledku rozpínání vesmíru.
Stavovou rovnici pro záření (ideální „plyn“ tvořený z fotonů) lze odvodit z následující úvahy: uvažujme
fotony s hybností p , jež se odrážejí od rovinné stěny s plochou A postavenou kolmo na
osu x. Při odrazu od stěny se změní složka hybnosti fotonu px na −px, ostatní složky zůstanou
stejné. Průměrná síla, kterou působí fotony na stěnu, je dána změnou jejich hybnosti v uvažovaném
časovém intervalu, tj. 2px násobek počtu fotonů, které v tomto intervalu do stěny narazí.
Uvažujeme-li fotony s různými hybnostmi p a uvědomíme-li si, že v průměru se pouze polovina
pohybuje v kladném směru osy x (polovina v opačném) a tlak je určen podílem síly a plochy, na
kterou síla působí, pro tlak na stěnu A vychází
pγ =
1
2
2 pxvx nγ,
kde nγ je počet fotonů v jednotkovém objemu (koncentrace) a čárkou „nad“ značíme střední časovou
hodnotu příslušného výrazu. Fotony se pohybují rychlostí c a pohyby ve směru os x, y i z jsou
5
Srážky galaxií znamenají v podstatě jejich prostoupení, nikoli odraz pružných „kuliček“; výsledkem jsou – v závislosti
na hmotnosti interagujících galaxií - většinou různé nepravidelné galaxie nebo galaktický kanibalismus – pohlcení
jedné galaxie druhou.
93
3.4 HUSTOTA A TLAK
stejně pravděpodobné, takže v průměru se ve směru osy x pohybuje pouze 1/3 z jejich celkového
počtu, takže
pγ =
1
3
c |p | nγ.
Připomeňme, že energie Eγ fotonu o vlnové délce λ je rovna
Eγ = h
c
λ
= c |p | ,
kde h je Planckova konstanta. Pro záření tak dostáváme stavovou rovnici6
pγ =
1
3
ϱγc2
tj. wγ = 1/3. Dosazením do (3.9) obdržíme
ϱ� ∝
1
a4
. (3.11)
Hustota energie záření tak klesá rychleji než hustota prachu podle rovnice (3.10), protože se nejenom
mění počet fotonů v jednotkovém objemu v důsledku rozpínání vesmíru, ale navíc se mění i jejich
energie v důsledku rudého posuvu popsaného v části 3.6. Ze statistického rozboru záření černého
tělesa popsaného Planckovým zákonem a Wienovým posunovacím zákonem (viz např. [20, 34, 38,
41]) plyne, že nejvíce energie připadá na fotony s energií E ≈ 2, 8 kBT a střední energie fotonů
záření při teplotě T je E ≈ 2, 7 kBT. Při rozpínání vesmíru pak vlnová délka λ, energie fotonu E a
rovnovážná teplota záření T závisejí na expanzním faktoru a(t)
λ ∝ a(t), E ∝
1
λ
∝
1
a(t)
, T ∝ E ∝
1
a
.
Počet fotonů se přitom zachovává, takže jejich počet nγ v objemové jednotce musí při rozpínání
klesat
nγ ∝
1
a(t)3
,
zatímco energie fotonů v této jednotce se mění podle vztahu (3.11)
ϱγ = nγE ∝ T4
v souladu se Stefanovým-Boltzmannovým zákonem.
Konečně hustota energie vakua se s časem nemění, tj.
dϱv
dt
= 0, (3.12)
tudíž
d
dt
(
ϱva3
)
= ϱv
da3
dt
.
Z rovnice (3.4) pak vychází
pv = −ϱvc2
neboli wv = −1. Výsledek je v souladu s požadavkem, že hustota energie vakua musí být stejná
pro všechny pozorovatele, tj. invariantní pro vzhledem k Lorentzově transformaci speciální teorie
relativity. V homogenním vesmíru musí být konstantní v prostoru, a kombinace časové i prostorové
6
Přesné odvození stavové rovnice ideálního fotonového plynu lze nalézt ve většině učebnic statistické fyziky, např. [20,
34, 38, 41]
94
3. ZÁKLADY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
derivace v Lorentzových transformacích vyžaduje, aby nezávisela ani na čase (důkaz invariantnosti
a odpovídající tvar tenzoru energie-hybnosti vakua lze nalézt např. v [97]).
V poslední době byla předložena řada hypotéz, předpokládajících, že vesmír obsahuje speciální
látku zvanou „quintessence“, pro niž w < −1/3, popř. závisí na čase. Důvodem je snaha vysvětlit
zrychlující se rozpínání vesmíru, jež by existence takové – dosud experimentálně neprokázané –
formy hmoty vysvětlovala. Zda existuje „quintessence“ nebo jde o pouhou spekulaci nelze dnes
ještě rozhodnout.
Ze závislostí (3.10), (3.11) a (3.12) vyplývá, že vzájemný poměr jedln
t
ln γ
m
γ > m m > γ
Obr. 3.13: Éry dominantního
záření a prachu
notlivých druhů energie se s časem mění (viz obr. 3.12). Hustota energie
záření klesá rychleji, než hustota energie hmoty; v raných stádiích
vývoje vesmíru proto bylo dominantní záření. Je-li vakuum nositelem
energie, bude někdy v budoucnu dominantní právě vakuum. V současné
době jsme v etapě rozpínání vesmíru, kde je dominantní nebo
alespoň velmi významnou složkou „prach“ (chladná hmota).
Jiná dominantní energie má za následek jinou závislost expanzního
faktoru a(t) na čase. Kvalitativní rozdíl můžeme demonstrovat na
nejjednodušším modelu s k = 0 i Λ = 0. Friedmannova rovnice (3.3)
se potom zjednoduší na
(
da
dt
)2
∝ ϱa2
.
Pro prach po dosazení z (3.10) s počáteční podmínkou a(t = 0) = 0 vychází
da
dt
∝
1
a1/2
=⇒ a ∝ t2/3
; (3.13)
podobně pro záření podle (3.11)
da
dt
∝
1
a
=⇒ a ∝ t1/2
(3.14)
a pro vakuum v souladu s (3.12)
da
dt
∝ a =⇒ a ∝ exp (Ht) , (3.15)
kde H je Hubbleův parametr definovaný vztahem (3.17), v tomto případě je konstantní. Exponenciální,
rychlé a obrovské rozpínání způsobené energií vakua nazýváme inflací.. Ve skutečném vesmíru
se uplatňují všechny zmíněné složky, ale v různých fázích vývoje různou měrou. Na počátku vývoje
prošel vesmír fází dominantního záření, nyní dominuje prach a v daleké budoucnosti bude pravděpodobně
rozhodující energie vakua. Přechod mezi érami dominantního záření a dominantního
prachu pro model s k = 0 a Λ = 0 je znázorněn na obr. 3.13.
Vesmír je naplněn různými typy energie, z nichž nejvýznamnější vliv na jeho expanzi mají chladná
hmota (prach), záření a energie vakua. Jejich vzájemné zastoupení se s časem mění; v dávné
minulosti prošel vesmír érou dominantního záření, nyní se nachází ve stavu dominantního prachu a
ve vzdálené budoucnosti pravděpodobně bude dominovat energie vakua. Předpokládá se, že energie
vakua dominovala i v krátkém časovém intervalu (řádově t = 10−34
s po velkém třesku). Tuto fázi
označujeme jako inflace a vesmír se během ní exponenciálně zvětšil.
Po odvození základních rovnic můžeme nyní přistoupit k podrobnější diskusi vlastností našich
matematických modelů a jejich konfrontaci s výsledky pozorování reálného vesmíru. V následující
podkapitole se zaměříme na ústřední pozorovanou skutečnost, která ve své době překvapila
i samotného Einsteina: náš vesmír se rozpíná…
95
3.5 HUBBLEŮV ZÁKON
3.5 Hubbleův zákon
Označíme-li v rychlost, jíž se od nás vzdaluje galaxie ve vzdálenosti d = a(t)r , kde r reprezentuje
„comoving“ souřadnice, lze psát
v =
dd
dt
=
da
dt
r =
1
a
da
dt
d
neboli
v = Hd , (3.16)
kde jsme zavedli časově proměnný parametr
H = H(t) =
1
a
da
dt
. (3.17)
Vztah (3.16) nazýváme Hubbleovým zákonem a parametr H(t) definovaObr.
3.14: E. P. Hubble
(1889–1953), převzato
z Wikipedie
ný rovnicí (3.17) Hubbleovým parametrem. Současná hodnotu parametru
H0 = H(t0) představuje jeden z důležitých observačních údajů – Hubbleovu
konstantu7
. Jednoduchý vztah (3.16) vyjadřuje skutečnost, že čím je od
nás objekt dále, tím se od nás více vzdaluje a tím je světlo, které od objektu
přichází, posunuto k delším vlnovým délkám; vzhledem k proměnnosti
Hubbleova parametru H(t) s časem však nejde o přímou úměru. Hubbleův
zákon představuje přímý experimentální důkaz o rozpínání našeho vesmíru
a poprvé byl ověřen Edwinem Powellem Hubblem v roce 1929 pomocí
100-palcového dalekohledu observatoře na Mt. Wilsonu v USA. Většinou
počítáme s hodnotou Hubbleovy konstanty
H0 = 100h km·s−1
·Mpc−1
, kde h ∈ 0, 55 − 0, 75. (3.18)
Bezrozměrný parametr h, odrážející neurčitost v současném měření Hubbleovy konstanty, slouží
jako „měřítko mapy“ pro kosmologické vzdálenosti, proto bývá výhodné pracovat s poměrnými
veličinami, v nichž se vykrátí (Hubbleův parametr (3.17), decelerační parametr (3.30)). Ze studia
anizotropií kosmického mikrovlnného záření vychází hodnota h = 0, 71 ± 0, 04 [78], k podobným
výsledkům konvergují i další nezávislá pozorování [87].
I když se Hubbleova konstanta tradičně udává v kmsMpc, v soustavě SI má rozměr s−1
. Její
převrácenou hodnotu nazýváme Hubbleovým časem tH . V miliardách let (Gyr) vychází
tH =
1
H0
= 9, 78 h−1
Gyr. (3.19)
Hubbleův čas představuje hrubý odhad stáří vesmíru – tak dlouho by trval, pokud by se po celou
dobu rozpínal rovnoměrně (srovnejte se vztahem (3.32)).
Rychlost, s jakou se od nás vzdalují galaxie, se zvětšuje s jejich vzdáleností od nás podle Hubbleova
zákona (3.16). Hubbleův parametr vystupující v této rovnici jako koeficient úměrnosti závisí obecně
na čase. Jeho současnou hodnotu nazýváme Hubbleovou konstantou a patří k nejdůležitějším
experimentálním údajům o našem vesmíru. Její převrácená hodnota se nazývá Hubbleovým časem
a slouží jako hrubý odhad stáří vesmíru.
V části 3.4 jsme viděli, že hustota energie záření při expanzi vesmíru klesá rychleji než hustota
prachu a tudíž i rychleji, než by odpovídalo pouhému zvětšení objemu. Proč tomu tak je? V následující
podkapitole odhalíme příčinu: při rozpínání vesmíru se mění vlnová délka (a tím samozřejmě
i frekvence) světelných signálů. V kombinaci s výše popsaným Hubbleovým zákonem to znamená,
že čím je pozorovaná galaxie od nás dále, tím je změna vlnové délky větší. Připomeňme, že pozorování
galaxií je zároveň výletem do jejich minulosti, neboť na překonání vzdálenosti od nich k nám
potřebuje světlo jistý čas (viz část 3.9).
7
V kosmologii obvykle indexem „0“ značíme současné hodnoty veličin.
96
3. ZÁKLADY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
3.6 Šíření světla ve Friedmannových modelech
Při popisu šíření světelných signálů musíme vzít v úvahu geometrii vesmíru charakterizovanou
metrickým tenzorem. Studujme pro jednoduchost radiální šíření světelných signálů v RobertsonověWalkerově
prostoročase (3.6). Světlo se podle obecné teorie relativity šíří po nulových geodetických
čarách, pro něž platí ds2
= 0, pro čistě radiální pohyb ze zdroje o souřadnici r = re k pozorovateli
o souřadnici r = r0 jsou navíc ϑ i φ konstantní, tj. dϑ = dφ = 0. Dosazením do (3.6) získáme
cdt
a(t)
= ±
dr
√
1 − kr2
,
kde kladné resp záporné znaménko odpovídá fotonům šířícím se ve směru rostoucího resp. klesajícího
r. Po integraci dostáváme
t0∫
te
cdt
a(t)
= ±
r0∫
re
dr
√
1 − kr2
. (3.20)
Označíme-li periody v místě vyslání a zachycení signálu po řadě Te a T0 a jim odpovídající vlnové
délky λe = cTe a λ0 = cT0, bude pro signál emitovaný v čase te + Te analogicky platit
t0+T0∫
te+Te
cdt
a(t)
= ±
r0∫
re
dr
√
1 − kr2
. (3.21)
Vzhledem k tomu, že r je „comoving“ souřadnicí, která se nemění s časem, budou na čase nezávislé
pravé strany rovnic (3.20) a (3.21), musí být proto rovny i jejich levé strany
t0+T0∫
te+Te
cdt
a(t)
=
t0∫
te
cdt
a(t)
.
S využitím vlastností mezí určitých integrálů po úpravě dostáváme
te∫
te+Te
cdt
a(t)
+
t0∫
te
cdt
a(t)
+
t0+T0∫
t0
cdt
a(t)
=
t0∫
te
cdt
a(t)
,
t0+T0∫
t0
cdt
a(t)
=
te+Te∫
te
cdt
a(t)
.
V malých časových intervalech odpovídajících periodě světelných vln Te a T0 lze pokládat expanzní
faktor a(t) za konstantní, tudíž
cT0
a(t0)
=
cTe
a(te)
, neboli
λ0
a(t0)
=
λe
a(te)
.
Vlnová délka světla se mění úměrně s expanzním faktorem. Protože a(t) s časem roste, zvětšuje se
i vlnová délka směrem k červenému konci spektra. V praxi charakterizujeme změnu vlnové délky
nejčastěji tzv. rudým posuvem z definovaným vztahem
z =
λ0 − λe
λe
(3.22)
97
3.6 ŠÍŘENÍ SVĚTLA VE FRIEDMANNOVÝCH MODELECH
λ
z = 0,067
λ
z = 0,264
Obr. 3.15: Příklady spekter dvou galaxií s různými rudými posuvy. Vlnová délka je udávána v angströmech,
1 Å = 0, 1 nm. Vyznačeny jsou i typické spektrální čáry; všimněme si různé polohy těchto čar jež odráží různý rudý
posuv. Svislá osa znázorňuje relativní světelný tok připadající na jednotlivé části spektra. Upraveno podle [81]
neboli
1 + z =
λ0
λe
=
a(t0)
a(te)
. (3.23)
Příklady spekter galaxií s různými rudými posuvy jsou na obr. 3.15.
Naměření rudého posuvu vzdálených galaxií je přímým důkazem rozpínání našeho vesmíru. Např.
signál, pro který naměříme z = 1, byl vyslán v čase te, kdy a(te) = a(t0)/2, tj. vesmír měl poloviční
velikost než dnes. Nejjednodušší vysvětlení rudého posuvu předpokládá, že se vlnová délka
světla zvětšuje spolu s vesmírem (obr. 3.16). Nabízí se i vysvětlení, že jde vlastně o dopplerovský
posun způsobený vzdalováním zdrojů světla v důsledku rozpínání vesmíru. Odvozený vzorec pro
rudý posuv z (3.23) je v souladu se vztahem pro Dopplerův posuv ve speciální teorii relativity
pouze v prázdném prostoru, prakticky pro dostatečně blízké zdroje (z = v/c Ć 1). V zakřiveném
prostoročase je korektní zavedení relativní rychlosti zdroje a pozorovatele komplikovanější. Obecně
relativistický výpočet v [48] dokazuje, že kosmologický rudý posuv lze skutečně interpretovat jako
dopplerovský, i když v literatuře není na tuto otázku jednotný názor.
98
3. ZÁKLADY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
ˇcas
Obr. 3.16: K vysvětlení rudého posuvu: vlnová délka fotonu se „rozpíná“ s vesmírem jako u fotonu v uzavřené krabici
Šíření světla odráží geometrii prostoročasu. V rozpínajícím se homogenním a izotropním vesmíru
roste vlnová délka světla úměrně velikosti vesmíru. Mírou změny vlnové délky je rudý posuv
spektrálních čar.
Známe již klíčové rovnice (3.3)–(3.5) a přirozeně se ptáme: jaká byla minulost a jaká může být
daleká budoucnost právě našeho jedinečného vesmíru? Zdaleka ne všechny parametry vystupující
ve zmíněných rovnicích umíme snadno určit – vždyť už v části 3.5 jsme viděli, že Hubbleova
konstanta není známa s velkou přesností. Pro řadu úloh je výhodnější pracovat s bezrozměrnými,
tzv. observačními parametry, jejichž hodnoty lze určit přímo z pozorování. Zavedení těchto veličin
je věnována následující podkapitola.
3.7 Observační parametry vesmíru
Ze všech Friedmannových modelů je nejjednodušší případ s k = 0 a Λ = 0. Odpovídá mu nekonečný
vesmír s eukleidovskou geometrií, který se bude neustále rozpínat. Z Friedmannovy rovnice (3.3)
pro hustotu vesmíru v tomto modelu dostáváme
ϱc =
3H2
8pG
(3.24)
označovanou jako kritická hustota. Vzhledem k tomu, že Hubbleův parametr H se mění s časem,
není ani hodnota kritické hustoty neměnná. Pro současnou hodnotu (3.18) dostáváme
ϱc0 =
3H2
0
8pG
= 1, 88 h2
· 10−26
kg·m−3
= 2, 78 h−1
· 1011
M⊙/
(
h−1
Mpc
)
. (3.25)
Vidíme, že ačkoli v běžně užívaných jednotkách jde o hustotu velmi malou, je průměrná hustota
našeho vesmíru této hodnotě velmi blízká, i když lokálně (např. v našem těle, na Zemi, ve Sluneční
soustavě) může být mnohem větší. Galaxie totiž obsahují miliardy hvězd a jejich hmotnost
se pohybuje okolo 1011
–1012
hmotností Slunce M⊙ a 1 Mpc je zároveň typickou mezigalaktickou
vzdáleností. Jsou i další argumenty, např. inflační modely, podle nichž se hustota našeho vesmíru
od ϱc0 liší jen velmi málo.
Pro jednotlivé druhy energie (prach, záření i vakuum) můžeme zavést hustotní parametr prachu
Ωm (t) =
ϱm
ϱc
, (3.26)
záření
Ωγ (t) =
ϱγ
ϱc
(3.27)
nebo vakua
Ωv (t) =
ϱv
ϱc
=
8pGϱv
3H2
=
Λc2
3H2
. (3.28)
99
3.7 OBSERVAČNÍ PARAMETRY VESMÍRU
Protože prach i záření hrají v dynamice kosmologických modelů obdobnou úlohu a jednu z těchto
složek považujeme většinou za dominantní (po většinu doby expanze je to právě prach), budeme
jejich součet nadále označovat jako Ωm. Dosazením do Friedmannovy rovnice (3.3) vychází
kc2
H2a2
= Ωm + Ωv − 1. (3.29)
Vidíme, že pokud má mít vesmír plochou eukleidovskou geometrii k = 0, musí být splněno
Ωm + Ωv = 1.
Pokud se rozpínání vesmíru zpomaluje, potom se součin H2
a2
= (da/dt)2
zmenšuje a zlomek na
levé straně rovnice (3.29) zvětšuje. Je-li odchylka Ωm + Ωv od 1 nyní malá, musela být v minulosti
ještě mnohem, mnohem menší, hovoříme o tzv. problému plochosti vesmíru: jak to, že je geometrie
vesmíru vyladěna tak blízko k eukleidovské? Tato skutečnost je jednou z motivací k předpokladu,
že vesmír ve velmi raném stadiu prošel fází tzv. inflace, prudkého rozpínání s H ≈ konst., kdy
se hodnota zlomku zmenšila úměrně 1/a2
a vesmír se stal (téměř) plochým. Potvrzuje to i rozbor
anizotropií mikrovlnného záření s výsledkem Ωm + Ωv = 1, 02 ± 0, 02 [78].
Důležitou charakteristikou expanze vesmíru je kromě rychlosti rozpínání, jejíž mírou je Hubbleova
konstanta, také „zrychlení“. Až do 90-tých let minulého století se předpokládalo, že expanze se bude
vždy zpomalovat, namísto akcelerace bylo proto přirozenější zavést veličinu zvanou decelerační
parametrq definovaný vztahem
q = −
d2
a
dt2
a
(
da
dt
)2 . (3.30)
Dosazením do (3.5) s využitím (3.26)–(3.28) pak vychází
q =
Ωm
2
− Ωv. (3.31)
Zřejmě pokud Ωm/2 − Ωv = 0, rozpínání probíhá s konstantní rychlostí, pro q > 0 se zpomaluje a
pro q < 0 se zrychluje.
Rozvineme-li vztah pro expanzní faktor a(t) v Taylorovu řadu okolo současného stáří vesmíru
t = t0, dostáváme
a(t) = a(t0) +
da
dt t0
(t − t0) +
d2
a
dt2
t0
(t − t0)2
+ . . .
a pro rudý posuv objektu, od něhož bylo světlo vysláno z čase t podle (3.23) vychází
1
1 + z
=
a(t)
a(t0)
= 1 + H0 (t − t0) −
q0
2
H2
0 (t − t0)2
+ . . . ,
kde H0 = H(t0), q0 = q(t0) představují současné hodnoty Hubbleova a deceleračního parametru.
Z Friedmannovy rovnice (3.29) pak lze vyjádřit současnou hodnotu expanzního faktoru
a0 =
c
H0
√
k
Ωm0 + Ωv0 − 1
.
V případě plochého vesmíru k = 0 vychází neurčitý výraz 0/0, pro který z limitního chování
obdržíme tzv. Hubbleovu délku
dH = ctH =
c
H0
≈ 2 998 h−1
Mpc, (3.32)
100
3. ZÁKLADY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
která odpovídá dráze, kterou urazí světlo za Hubbleův čas (3.19) v plochém vesmíru. Přibližně tak
charakterizuje odhad velikosti pozorovaného vesmíru, tj. oblasti, z níž můžeme zachytit světelné
(i jakékoli jiné) signály.
Kritickou hustotou nazýváme hustotu plochého homogenního vesmíru s nulovou energií vakua.
Hustotu všech typů energie pak s výhodou vyjadřujeme poměrem k této kritické hustotě pomocí
hustotních parametrů. Spolu s deceleračním parametrem, popisujícím zrychlování resp. zpomalování
expanze, představují další důležité měřitelné charakteristiky vesmíru.
Jedna z ústředních otázek kosmologie zní: bude se náš vesmír stále rozpínat nebo se někdy v budoucnu
smrští zpět do stavu podobného jako na počátku? Odpověď dávají hodnoty hustotních parametrů,
jejichž přesné určení představuje výzvu mnoha experimentálním projektům (Boomerang,
2dF Galaxy Redshift Survey, Sloan Digital Sky Survey, Supernova Cosmology Project, Wilkinson
Anisotropy Probe). Konkrétní možnosti vývoje vesmíru v závislosti na obsahu množství hmoty a
energie vakua diskutujeme v následující části.
3.8 Budoucnost vesmíru
Moderní kosmologie předpokládá, že vesmír se rozpíná z velmi horkého, superhustého stavu, označovaného
jako velký třesk nebo anglicky „Big Bang“ Jednou ze zajímavých otázek, které můžeme
zkoumat je, zda rozpínání vesmíru bude trvat věčně nebo zda se zastaví, vesmír dosáhne maximálního
rozměru a poté se začne znovu smršťovat a skončí „velkým křachem“ (anglicky „Big Crunch“).
Různé případy možného vývoje v závislosti na geometrii vesmíru (parametr k) a energii vakua, resp.
hodnotě kosmologické konstanty (parametr Ωv) jsou přehledně znázorněny na obr. 3.17. Rozpínání
se zřejmě změní ve smršťování, pokud pod celou dobu vývoje vesmíru d2
a/dt2
< 0 (neboli q > 0)
a navíc v některém okamžiku bude splněna podmínka pro maximum da/dt = 0 (resp. H = 0).
Podle (3.31) tato situace vždy nastane pro Ωv < 0, neboť potom
q =
Ωm
2
− Ωv > 0
a ve Friedmannově rovnici (3.29) lze nalézt a, pro něž H = 0, neboť na pravé straně je vždy alespoň
jeden kladný i záporný člen. Pro Ωv = 0 přejde rozpínání ve smršťování pouze pro uzavřený vesmír
(k > 0 neboli Ωm > 1). Nejbohatší spektrum možných scénářů vývoje nabízí modely s kladnou
hodnotou Ωv, do této kategorie patří zřejmě i náš vesmír blízký případu pro k ≈ 0. Zajímavé, i když
zřejmě pouze teoretické případy souvisejí s konkrétní hodnotou Ωv = ΩE, kdy jako jedno z řešení
vychází Einsteinův statický vesmír, V tomto limitním případě dospěje vesmír do stavu, v němž
pod celou dobu q = 0 i H = 0. 8
Různé případy lze také přehledně znázornit v rovině parametrů Ωm a Ωv (záření, které dominovalo
krátkou dobu na počátku vesmíru neuvažujeme). Při Ωm ≧ 1 existuje maximální hodnota Ωv,
při které se rozpínání ještě zastaví a přejde v kontrakci (viz obr. 3.18). Úpravou Friedmanovy
rovnice (3.29) se započtením závislostí hustoty energie prachu na expanzním faktoru (3.10)–(3.12)
lze psát
H2
= H2
0 Ωm0
a3
0
a3
+ H2
0 Ωv0 −
kc2
a2
.
Z této rovnice lze pro t = t0 vyjádřit
kc2
= H2
0 a2
0 (Ωm0 + Ωv0 − 1)
8
Kosmologická konstanta Λ byla Einsteinem zavedena právě proto, aby získal statický, nerozpínající se model
vesmíru. Po Hubbleových pozorováních, která rozpínání vesmíru prokázala, označil Einstein zavedení Λ jako jeden ze
svých největších omylů, dnes se však zdá být omylem velmi inspirujícím…
101
3.8 BUDOUCNOST VESMÍRU
Ωv > 0 Ωv = 0 Ωv < 0
k < 0
t
a
t
a
t
a
k = 0
t
a
t
a Einstein˚uvde
Sitter˚uv
t
a
Ωv > ΩE Ωv = ΩE Ωv < ΩE
k > 0
t
a
Lemaˆıtr˚uv
t
a Eddington˚uv-
Lemaˆıtr˚uv
Einstein˚uv
statick´y
t
a
t
a
t
a
Obr. 3.17: Klasifikace Friedmannových kosmologických modelů (zpracováno podle [8, 129])
a dosadit zpět, čímž dostaneme
H2
H2
0
= Ωm0
(
a3
0
a3
−
a2
0
a2
)
+ Ωv0
(
1 −
a2
0
a2
)
+
a2
0
a2
= 0. (3.33)
Podobně podmínka q = 0 podle (3.31) dává
Ωv0 = 4Ωm0
(a0
2a
)3
.
Dosazením do (3.33) a zavedením substituce a = a0/(2x) dospějeme ke kubické rovnici
4x3
− 3x + 1 −
1
Ωm0
= 0. (3.34)
Podle definice x < 1, rovnici proto lze řešit pomocí goniometrické substituce x = cos β. S využitím
vzorce (viz např. [58])
cos 3β = 4 cos3
β − 3 cos β
obdržíme z (3.34) postupně
cos 3β = −
(
1 −
1
Ωm0
)
,
cos (3β − p) = 1 −
1
Ωm0
,
x = cos
[
1
3
arccos
(
1 −
1
Ωm0
)
+
p
3
]
,
Ωv0 = 4Ωm0x3
= 4Ωm0 cos3
[
1
3
arccos
(
1 −
1
Ωm0
)
+
p
3
]
. (3.35)
102
3. ZÁKLADY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
Obr. 3.18: Znázornění výsledků tří různých
nezávislých měření v rovině parametrů Ωm0 a
Ωv0: pozorování vzdálených supernov [100],
kosmického mikrovlnného záření (CMB) [118]
a studia rozložení hmoty ve skupinách galaxií
[74]. Vidíme, že pozorování konvergují
k hodnotám Ωm0 = 0, 3 a Ωv0 = 0, 7.
Upraveno podle [110]
Poslední závislost (ve zvětšeném měřítku) je také vykreslena na 3.18. Podrobnější rozbor této
problematiky lze nalézt např. v [86].
Budoucnost vesmíru – věčné rozpínání versus budoucí smršťování, zrychlování versus zpomalování
expanze – lze jednoznačně předpovědět v závislosti na hodnotách hustotních parametrů hmoty a
vakua. Pro jejich současné nejpravděpodobnější hodnoty se vesmír bude stále rychleji rozpínat.
Již v souvislosti s rudým posuvem jsme připomínali, že pozorování vesmíru je cestou do minulosti.
Zejména u velmi vzdálených objektů je důležité určit dobu, kterou jejich světlo potřebovalo
k uražení vzdálenosti k nám. Pozorujeme-li dnes objekty, jejichž světlo bylo vyzářeno před 10 a
více miliardami let (viz obr. 3.7), získáváme konkrétnější představu o formování galaxií, formování
prvních hvězd apod. Díky rozpínání vesmíru a možné křivosti jeho geometrie však určování
časů a vzdáleností není jednoduché. Nejpraktičtější je najít jejich vztah k experimentálně dobře
definovaným veličinám: rudému posuvu z a hustotním parametrům.
3.9 Stáří pozorovaných objektů
V této části odvodíme vztah mezi rudým posuvem z světla vyslaného vzdálenou galaxií a časem t,
který světelný signál potřeboval k překonání vzdálenosti k nám. Určování vzdálenosti pozorovaných
objektů se pak budeme věnovat v následující podkapitole 3.10. Obě veličiny musí odrážet geometrii
103
3.9 STÁŘÍ POZOROVANÝCH OBJEKTŮ
vesmíru a nutně proto závisejí na hustotě hmoty Ωm (prachu popř. záření) i hustotě vakuové energie
Ωv.
Vyjádříme změnu času v závislosti na expanzním faktoru. Vyjdeme ze zavedení Hubbleova parametru
(3.17), jež přepíšeme do tvaru
dt =
1
H
da
a
. (3.36)
Ze vztahu (3.33) dále plyne
H = H0
√
Ωm0
(
a3
0
a3
−
a2
0
a2
)
+ Ωv0
(
1 −
a2
0
a2
)
+
a2
0
a2
a z definice rudého posuvu (3.23) také
a =
a0
1 + z
, da = −
a0
(1 + z)2 dz,
kde a0 značí současnou hodnotu expanzního faktoru. Označíme-li rudý posuv pozorované galaxie
ze a expanzní faktor v čase vyslání světla ae, po dosazení do (3.36) obdržíme [80]
∆t = t0 − te =
1
H0
a0∫
ae
da
a
√
Ωm0
(
a3
0
a3
−
a2
0
a2
)
+ Ωv0
(
1 −
a2
0
a2
)
+
a2
0
a2
= (3.37)
=
1
H0
ze∫
0
dz
(1 + z)
√
Ωm0 (1 + z)3
+ Ωv0 + (1 − Ωm0 − Ωv0) (1 + z)2
.
Pokud bychom započítali i hustotu záření, která klesá s a podle vztahu (3.11) a je popsána hustotním
faktorem Ωγ, analogickými úvahami odvodíme
∆t =
1
H0
ze∫
0
dz
(1 + z)
√
Ωm0 (1 + z)3
+ Ω�0 (1 + z)4
+ Ωv0 + (1 − Ω0) (1 + z)2
, (3.38)
kde jsme označili Ω0 = Ωm0+Ω�0+Ωv0 současnou hodnotu celkového hustotního faktoru zahrnujícího
všechny formy energie [55].
Protože 1 + z > 0, bude Ωm0 (1 + z)3
> Ωm0 (1 + z)2
a Ωv0 < Ωv0 (1 + z)2
, větší Ωm0 vede ke
zkrácení ∆t, naopak větší kladné Ωv0 má za následek větší ∆t. Kvalitativně tak můžeme posoudit
vliv jednotlivých forem energie na stáří samotného vesmíru, jež je extrapolací uvedeného vztahu.
Numerický model vývoje expanzního faktoru v závislosti na čase pro plochý vesmír (tj. Ω0 = 1) je
znázorněn na obr. 3.19.
Čas, za který k nám doputovalo světlo ze vzdálených objektů, stejně jako stáří samotného vesmíru
závisejí na zastoupení jednotlivých forem energie.
Pracujeme-li v astronomii s jednotkou světelný rok (1 ly), chápeme ji jako vzdálenost uraženou
světlem ve vakuu za jeden rok. Na první pohled by mělo stačit vynásobit pravou stranu rovnice
(3.38) rychlostí světla ve vakuu c a zjistili bychom vzdálenost objektu s příslušným rudým posuvem.
Jenže přesně vzato tak jednoduché to není! Protože náš vesmír nemá geometrii příliš odlišnou
od Euklidovy, pro bližší galaxie a přibližně to sice platí a někdy je dokonce takový odhad i postačující.
Chceme-li však studovat Hubbleovy diagramy a zkoumat, jakým hustotním parametrům
odpovídají, musíme se tímto problémem zabývat detailněji.
104
3. ZÁKLADY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
budoucnostdnesminulost
Miliardyletvzhledemk současnosti
relativní
jasnost
zkolabuje
stále
se
rozpíná
Po inflační fázi vesmír... ...nebostálezpomaluje
Velikostvesmíruvpoměrukdněšní
nejprvezpomaluje, pak zrychluje
rudýposuv
Obr. 3.19: Rekonstrukce a možné předpovědi rozpínání (popř. budoucího smršťování) vesmíru z výsledků měření
vzdálených supernov (data znázorněná černými body) pro plochý vesmír s eukleidovskou geometrií. Současná
hodnota expanzního faktoru je přeškálována na hodnotu a0 = 1, takže a = 1/(1 + z). Křivky v oblasti s modrým
pozadím představují modely, u nichž převáží vliv kosmologické konstanty a rozpínání se bude zrychlovat. Křivky
v oblasti se žlutým pozadím odpovídají modelům, u nichž se rozpínání bude zpomalovat, u posledních dvou modelů
nakonec dojde ke zpětnému smršťování. Upraveno podle [110]
3.10 Fotometrická vzdálenost a Hubbleovy diagramy
Hubbleovy diagramy znázorňují závislost vzdálenosti pozorovaného objektu, resp. jeho hvězdné
velikosti, na rudém posuvu z a poskytují detailnější obraz vlastností vesmíru na velkých vzdálenostech.
Zpočátku, ve třicátých letech 20. století přesně odpovídaly Hubbleovu zákonu (3.16)
s konstantním Hubbleovým parametrem H. Novější data získaná např. v rámci „Supernova cosmology
project“ [100, 110] zahrnují pozorování mnohem vzdálenějších objektů a ukazují, že rozpínání
vesmíru se skutečně s časem mění.
Rychlost, s jakou se od nás vzdalují daleké galaxie, určujeme z rudého posuvu spektrálních čar
(viz část 3.6). Zatímco rudý posuv je možné změřit s poměrně vysokou přesností, mezigalaktické
vzdálenosti musíme určovat nepřímo. Nejčastěji se využívá fotometrických zákonů: skutečnosti,
že intenzita osvětlení (obecně ozáření) nějaké plochy klesá se čtvercem její vzdálenosti od zdroje.
Pokud bychom znali svítivost vzdáleného zdroje, potom bychom změřením světelného výkonu dopadajícího
do našich měřicích přístrojů mohli určit jeho vzdálenost. K takovým měřením se používají
tzv. standardní svíčky („standard candles“), tj. objekty, jejichž absolutní svítivost, resp. skutečný
zářivý výkon určujeme z jiných, nezávislých fyzikálních vlastností (viz obr. 3.20). Vlivem rozpínání
105
3.10 FOTOMETRICKÁ VZDÁLENOST A HUBBLEOVY DIAGRAMY
Obr. 3.20: Supernova 1994D na okraji galaxie NGC 4526 je příkladem supernovy typu Ia, jejichž kulminační jasnost
převýší svítivost celého jádra galaxie; proto lze supernovy pozorovat i ve velkých vzdálenostech. V tomto případě se
z kosmologického hlediska díváme „za humna“ přibližně 20 Mpc. Supernovy typu Ia jsou příkladem standardních
svíček, u nichž byla empiricky zjištěna závislost mezi kulminační svítivostí a dobou poklesu jasnosti. Upraveno
podle [110]
vesmíru a možnému zakřivení jeho geometrie se takto určená, tzv. fotometrická vzdálenost, liší od
pouhého součinu c∆t, kde ∆t je dáno vztahem (3.38) nalezeným v předcházející podkapitole 3.9.
Pro šíření signálu z (3.20) získáváme [5, 55]
t0∫
te
cdt
a(t)
=
re∫
0
dr
√
1 − kr2
= χ. (3.39)
Analogickými úvahami jako při odvození (3.38) vypočítáme integrál na levé straně
χ =
c
a0H0
ze∫
0
dz
√
Ωm0 (1 + z)3
+ Ω�0 (1 + z)4
+ Ωv0 + (1 − Ω0) (1 + z)2
(3.40)
Integrál na pravé straně (3.39) dává různé výsledky pro různé hodnoty k, což odráží vliv geometrie
vesmíru na šíření světelných signálů [5, 97]
re = sin χ pro k = 1,
re = χ pro k = 0,
re = sinh χ pro k = −1.
(3.41)
Označíme-li L absolutní svítivost zdroje (celkový vyzářený výkon) a F jeho zdánlivou svítivost
(zářivý tok, tj. výkon záření dopadající v místě pozorovatele na jednotkovou plochou kolmou na
směr šíření záření), potom v plochém prostoru pro fotometrickou vzdálenost dL platí [5, 7]
F =
L
4pd2
L
(3.42)
106
3. ZÁKLADY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
Nachází-li se zdroj v místě s „comoving“ souřadnicí re a vyšle signál v čase te, dopadne světlo
v současnosti (tj. v čase t0) na plochu
S = 4pa2
0r2
e ;
re je přitom obecně dáno vztahy (3.41). V důsledku kosmologického rudého posuvu (3.23) však
bude energie každého fotonu namísto hc/λe rovna hc/λ0 = hc/[λe (1 + z)]. V důsledku poklesu
frekvence záření fotony vyzářené v intervalu ∆te dopadnou do místa pozorování v intervalu
∆t0 = ∆te (1 + z)
Pro zářivý tok v místě pozorování pak vychází
F =
L
4pa2
0r2
e (1 + z)2
a srovnáním s (3.42) pro fotometrickou vzdálenost odvodíme
dL = rea0 (1 + z) , (3.43)
kde za re opět musíme dosadit z (3.41) a (3.40). Fotometrická vzdálenost závisí na současné velikosti
vesmíru a rudém posuvu pozorované galaxie.
Pro malé rudé posuvy přibližně do hodnoty z ≈ 0, 4 vystačíme s užitečnou aproximací. Rozvineme-li
expanzní faktor a(t) v Taylorovu řadu v okolí současné hodnoty a(t0)
a(t) ≈ a(t0) +
da
dt 0
(t − t0) +
d2
a
dt2
0
(t − t0)2
+ . . .
a dosadíme podle (3.17) a (3.30)
a(t) ≈ a(t0)
[
1 + H0 (t − t0) −
1
2
q0H2
0 (t − t0)2
+ . . .
]
S použitím (3.43) pak dospějeme ke vztahům [7]
dL =
c
H0
[
z +
1
2
(1 − q0) z2
+ . . .
]
respektive
z =
H0
c
[
dL +
1
2
(1 + q0)
H0
c
d2
L + . . .
]
.
U členů vyšších řádů se již projevuje zakřivení geometrie a situace je mnohem komplikovanější [7].
Pro malé z ≈ v/c pak v 1. přiblížení dostáváme Hubbleův zákon (3.16). Dodejme, že Edwin Hubble
při svých měřeních z roku 1929 pozoroval galaxie se z ≈ 0, 003.
Jak již bylo uvedeno v předchozí kapitole, při samotných pozorováních pracujeme obvykle namísto
fotometrické vzdálenosti s historicky zavedenými hvězdnými velikostmi (viz část 2.6.4), i když
v případě kosmologie nejde o pozorování hvězd, nýbrž galaxií. Systém hvězdných velikostí byly
zavedeny již ve starověku Ptolemaiem a Hipparchem a odrážejí zkušenost, že naše fyziologické
vjemy jsou úměrné logaritmu intenzity podnětu (dnes se však už pouze na lidské smysly zdaleka
nespoléháme). Absolutní hvězdná velikost M je definována vztahem
M = −2, 5 log10
(
L
L⊙
)
+ 4, 74, (3.44)
107
3.10 FOTOMETRICKÁ VZDÁLENOST A HUBBLEOVY DIAGRAMY
20
21
22
23
24
25
0,01 0,02 0,04 0,1
14
16
18
20
22
24
26
0,40,2 0,6 1,0
0,40,2 0,6 1,0
magnituda
rudý posuv
Calan/Tololo
Supernova Survey
High-Z Supernova Search
Supernova Cosmology Project
slabší
zpomalující se
rozpínání
zrychlující se
rozpínání
prázdný
hustota
hmoty
0
1
0,1
1
0,01
0,001
0,0001
relativníjasnost
0,70,8 0,6 0,5
velikost vesmíru
[vzhledem k dnešní]
Obr. 3.21: Příklad Hubbleova diagramu, tj. závislosti pozorované hvězdné velikosti na rudém posuvu z, odpovídající
datům získaným pozorováním supernov typu Ia, za které byla udělena Nobelova cena za fyziku pro rok 2011. Pro
z = 0, 1 (odpovídá vzdálenosti asi 109
ly se začínají křivky lišit v závislosti na předpokládaných hodnotách hustotních
parametrů Ωm0 a Ωv0. Červené křivky odpovídají modelům bez kosmologické konstanty Ωv0 = 0, a hodnotám
Ωm0 = 1 až Ωm0 = 0 (prázdný vesmír). Naměřeným datům nejlépe odpovídá modrá křivka s hodnotami Ωm0 ≈ 0, 3 a
Ωv0 ≈ 2Ωm0, což podle rovnice (3.31) znamená, že se rozpínání vesmíru v současné době zrychluje. Upraveno podle
[110]
kde L⊙ = 3, 85 · 1026
W je zářivý výkon Slunce, relativní hvězdná velikost pak
m = −2, 5 log10
(
F
F⊙ v 10 pc
)
+ 4, 74,
kde F⊙ v 10 pc = 3, 21·10−10
Wm je zářivý výkon Slunce, který by dopadal na jednotku plochy, pokud
by se nacházelo ve vzdálenosti 10 pc. Obecně je proto zdánlivá hvězdná velikost objektu rovna jeho
absolutní hvězdné velikosti, kterou by měl ve vzdálenosti 10 pc od nás. Rozdíl
m − M = 5 log10
(
dL
10 pc
)
nazývaný modulem vzdálenosti je astronomickým vyjádřením vztahu (3.42). Příklad závislosti
hvězdné velikosti na rudém posuvu pro vzdálené supernovy je na obr. 3.21.
Vlastnosti vesmíru na velkých vzdálenostech dobře charakterizují Hubbleovy diagramy, tj. závislosti
vzdálenosti galaxií na rudém posuvu. Měření vzdáleností představuje v kosmologii velký problém,
většinou pracujeme s tzv. fotometrickou vzdáleností, při samotných pozorováních i s hvězdnou
velikostí neboli magnitudou. Také z Hubbleových diagramů pro supernovy ve vzdálených galaxiích
vyplývá, že rozpínání vesmíru se v současné době zrychluje.
108
3. ZÁKLADY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
Podle současných představ našemu skutečnému vesmíru nejlépe vyhovuje tzv. ΛCDM model (viz
obr. 3.22), který popisuje globálně homogenní a izotropní vesmír s téměř plochým prostorem,
dominantní kosmologickou konstantou a chladnou nebaryonovou temnou hmotou, který se rozpíná
z počátečního velkého třesku a dnes expanduje zrychleně. Jeho parametry nabývají podle [95]
nejpravděpodobnějších hodnot:
stáří vesmíru t0 13,75 ± 0, 11 Gyr
Hubbleova konstanta H0 70,4+1.3
−1.4 km·s−1
·Mpc−1
hustota baryonové hmoty Ωb 0,045 6 ± 0, 0016
hustota temné hmoty ΩCDM 0,227 ± 0, 014
hustota temné energie Ωv 0,728+0.015
−0,016
celková hustota Ωtot 1,002 3+0.0056
−0,0054
Z těchto údajů lze pomocí (3.24) odhadnout kritickou hustotu; pro H0 = 70,4 km·s−1
·Mpc−1
=
= 2,27·10−18
s−1
vychází ϱc0 = 9,23·10−27
kg·m−3
.
Obr. 3.22: Úhlové rozdělení teplotních fluktuací v reliktním mikrovlnném záření velice dobře odpovídá tzv. ΛCDM
kosmologického modelu. Zdroj: NASA (WMAP), barevná verze dostupná z http://map.gsfc.nasa.gov
V této kapitole jsme nastínili základní představy moderní relativistické kosmologie, základní scénáře
možného vývoje vesmíru i výsledky nejnovějších měření jeho základních observačních parametrů.
V následujících letech můžeme očekávat další, přesnější a důkladnější pozorování, která bezpochyby
naše porozumění vesmíru prohloubí a přinesou i nejedno překvapení. Čtenáře s hlubším zájmem
o tuto problematiku můžeme odkázat na mnoho zajímavých monografií: od populárních [125, 127,
142, 143, 160, 165] až po odborné [7, 15, 47, 52, 55, 56]. Řečeno slovy amerického nositele Nobelovy
ceny S. Weinberga: „úsilí pochopit vesmír je jednou z velmi mála věcí, která zvedá lidský život
trochu nad úroveň frašky a dává mu něco z krásy tragédie“ [165].
109
3.10 FOTOMETRICKÁ VZDÁLENOST A HUBBLEOVY DIAGRAMY
Obr. 3.23: Naše současná představa o vzniku a vývoji vesmíru podle teorie velkého třesku. Vesmír se rozpíná,
důležitým zdrojem informací je tzv. reliktní mikrovlnné záření, které pozorovala i družice WMAP a v roce 2013
očekáváme první výsledky družice Planck. Zdroj: NASA (WMAP), barevná verze dostupná
z http://map.gsfc.nasa.gov, česká verze dostupná
z http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:UniverseEvolution_WMAP_czech.jpg
Obr. 3.24: Malá ukázka modelování vývoje vesmíru, konkrétně srážky galaxie M31 v souhvězdí Andromedy s naší
Galaxií, k níž dojde asi za 4 miliardy let. Na snímcích je znázorněn obraz této galaxie s Mléčnou dráhou dnes, za 2,
3,75 a 3,85 miliard let. Zdroj: NASA; ESA; Z. Levay a R. van der Marel, STScI; T. Hallas, A. Mellinger, barevná
verze dostupná z http://www.nasa.gov/mission_pages/hubble/science/milky-way-collide.html
110
3. ZÁKLADY RELATIVISTICKÉ KOSMOLOGIE
Obr. 3.25: Standardní modle podle současných představ částicové fyziky – 1. část. Barevná verze dostupná
z http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/dolejsi/dolejsi.html
111
3.10 FOTOMETRICKÁ VZDÁLENOST A HUBBLEOVY DIAGRAMY
Obr. 3.26: Standardní modle podle současných představ částicové fyziky – 2. část. Barevná verze dostupná
z http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/dolejsi/dolejsi.html
112
Použité prameny a literatura k dalšímu studiu
Základní doporučená literatura
[1] Bajer, J.: Mechanika 2. PřF UP Olomouc, 2004, ISBN 80-244-0884-8.
[2] Bartuška, K.: Kapitoly ze speciální teorie relativity. Praha: SPN, 1991, ISBN 80-04-22915-8.
[3] Bartuška, K.: Fyzika pro gymnázia – Speciální teorie relativity. Praha: Prometheus, 2010,
ISBN 978-80-7196-388-2.
[4] Dvořák, L. Obecná teorie relativity a moderní fyzikální obraz vesmíru. Praha: SPN, 1984.
[5] Hartle, J. B.: Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity. San Francisco:
Addison Wesley, 2003, ISBN 0-8053-8662-9.
[6] Horský, J.; Novotný, J.; Štefaník, M.: Mechanika ve fyzice. Praha: Academia, 2001,
ISBN 80-200-0208-1.
[7] Horský, J.; Novotný, J.; Štefaník, M.: Úvod do fyzikální kosmologie. Praha: Academia, 2004.
[8] d’Inverno, R.: Introducing Einstein’s Relativity. Oxford: Clarendon Press, 1992,
ISBN 0-19-859653-7.
[9] Lambourne, R. J. A.: Relativity, Gravitation and Cosmology. Cambridge: Cambridge
University Press, 2010, ISBN 978-0-521-13138-4.
[10] Liddle, A. R.: An Introduction to Modern Cosmology. Chichester: John Wiley & Sons Ltd,
2003, ISBN 978-0470848357.
[11] Macháček, M.: Fyzika pro gymnázia – Astrofyzika. Praha: Prometheus, 1998,
ISBN 80-7196-091-8.
[12] Novotný, J.; Jurmanová, J.; Geršl, J. et al.: Základy teorie relativity [online]. Brno: MU,
2005, ISBN 1802-128X. Dostupné z http://is.muni.cz/elportal/?id=703391.
[13] Rindler, W.: Relativity. Special, General, and Cosmological. Oxford University Press, 2006,
ISBN 0-19-856732-4.
[14] Schutz, B.: A First Course in General Relativity. Cambridge University Press, 2009,
ISBN 0-521-88705-4.
[15] Štefl, V.; Krtička, J.; Korčáková, D.: Úlohy z astrofyziky. Brno: PřF MU, 2002. Dostupné
z http://astro.physics.muni.cz/download/documents/skripta/F9090pc.pdf.
[16] Tillich, J.: Teoretická mechanika. Olomouc: PřF UP Olomouc, 1984.
[17] Vanýsek, V.: Základy astronomie a astrofyziky. Praha: Academia, 1980.
Učebnice a monografie
[18] Bondi, H.: Relativity and the Common Sense. New York: Anchor Books, Doubleday &
Company, Inc., 1964.
[19] Carroll, S. M.: Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. San
Francisco: Addison-Wesley, 2003, ISBN 0-8053-8732-3. Dostupné
z http://preposterousuniverse.com/spacetimeandgeometry/ (částečně, v podobě
poznámek k přednáškám).
[20] Čulík, F.; Noga, M.: Úvod do štatistickej fyziky a termodynamiky. Bratislava: Alfa, 1982.
[21] Dodelson, S.: Modern Cosmology. Amsterdam: Academic Press, Elsevier Science, 2003,
ISBN 978-012-219141-1
113
POUŽITÉ PRAMENY
[22] Einstein, A.: Teorie relativity. VUT Brno: VUTIUM, 2005, ISBN 978-80-214-3418-9.
[23] Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M.: Feynmanovy přednášky z fyziky 1–3. Havlíčkův
Brod: Fragment, 2000–2002, ISBN 80-7200-405-0, 80-7200-420-4, 80-7200-421-2.
[24] French, A. P.: Special Relativity. London: Thomas Nelson and Sons Ltd, 1975.
ISBN 0-17-771075-6.
[25] Fuka, J.: Základní poznatky teorie relativity. SPN, 1973.
[26] Greiner, W.: Classical mechanics. Point particles and relativity. New York: Springer-Verlag,
2004, ISBN 0-387-95586-0.
[27] Grøn, Ø.; Hervik, S.: Einstein’s general theory of relativity: with modern applications in
cosmology. New York: Springer, 2007.
[28] Havel, V.: Základy teorie relativity. Plzeň: PdF Plzeň, 1979.
[29] Havelka, B.; Tillich, J.: Teorie relativity. Praha: SPN, 1964.
[30] Hlad, O.; Pavlousek, J.: Přehled astronomie. Praha: SNTL, 1990, ISBN 80-03-00160-9.
[31] Horský, J.: Úvod do teorie relativity. Praha: SNTL, 1975.
[32] Horský, J.; Bartoň, S.: Relativistický vesmír. Brno: Ando Publishing, 1997,
ISBN 80-86047-15-6.
[33] Jackson, J. D.: Classical Electrodynamics. New York-London-Sydney: John Willey & Sons,
1998, ISBN 0-471-30932-X.
[34] Janků, V.: Základy statistické fyziky. Olomouc: UP, 1984.
[35] Kenyon, I. R. General Relativity. Oxford: Oxford University Press, 1990,
ISBN 0-19-851996-6.
[36] Klepešta, J.; Rükl, A.: Souhvězdí. Praha: Artia, 1971.
[37] Kuchař, K.: Základy obecné teorie relativity. Praha: Academia, 1968.
[38] Kvasnica, J.: Statistická fyzika. Praha: Academia, 1983 a 1998.
[39] Kvasnica, J.; Havránek, A.; Lukáč, P. et al.: Mechanika. Praha: Academia, 2004,
ISBN 80-200-1268-0.
[40] Ландay, Л. Д.; Лифшиц, E. M.: Теория поля. Москвa: Нaука, 1973.
[41] Ландay, Л. Д.; Лифшиц, E. M.: Статистическая физика. Часть I. Москвa: Нaука,
1976.
[42] Lightman, A. P.; Press, W. H.; Price, R. H. et al.: Problem Book in Relativity and
Gravitation. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1975.
[43] Ludvigsen, M.: General Relativity – A Geometric Approach. Cambridge: Cambridge
University Press, 1999, ISBN 0-521-63976-X.
[44] Mcmahon, D. M.: Relativity Demystified. New York: McGraw-Hill, 2006,
ISBN 0-07-145545-0.
[45] Misner, C.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A.: Gravitation. San Francisco: W. Freeman, 1973.
[46] Møller, C.: The Theory of Relativity. Oxford: Clarendon Press, 1962.
[47] Narlikar, J. V.: Introduction to Cosmology. Cambridge: Cambridge University Press, 1993,
ISBN 0-521-41250-1.
[48] Narlikar, J. V.: Spectral shifts in general relativity. Am. J. Phys., 1994, roč. 62, č. 10,
s. 903–907.
[49] Natário, J.: General Relativity Without Calculus: A Concise Introduction to the Geometry
of Relativity. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-21451-6.
[50] Noga, M.: Teória relativity. Bratislava: MFF UK, 1987.
[51] Novotný, J.; Horský, J.: Teorie relativity. Brno: PřF UJEP, 1985.
[52] Padmanabhan, T.: Cosmology and Astrophysics Through Problems. Cambridge: Cambridge
University Press, 1996, ISBN 0-524-42783-7.
[53] Padmanabhan, T.: An Invitation to Astrophysics. World Scientific, 2006, ISBN
981-256-638-4.
[54] Padmanabhan, T.: Gravitation: Foundations and Frontiers. Cambridge University Press,
114
POUŽITÉ PRAMENY
2010, ISBN 978-0-521-88223-1.
[55] Peacock, J. A.: Cosmological Physics. Cambridge: Cambridge University Press, 1999,
ISBN 0-521-42270-1.
[56] Peebles, P. J.: Principles of physical cosmology. New Jersey: Princeton University Press,
1993, ISBN 0-691-01933-9.
[57] Phillips, A. C.: The Physics of Stars. Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 1999,
ISBN 978-0-471-98798-7.
[58] Rektorys, K. et al.: Přehled užité matematiky I, II. Praha: SNTL, 1988.
[59] Rindler, W.: Introduction to Special Relativity. Oxford: Oxford University Press, 1991,
ISBN: 0-19-853952-5.
[60] Rosser, W. G. V.: Introductory Special Relativity. London-New York-Philadelphia: Taylor &
Francis, 1991, ISBN 0-85066-838-7.
[61] Ryan, S. G.; Norton, A. J.: Stellar Evolution and Nucleosynthesis. Cambridge: Cambridge
University Press, 2010, ISBN 978-0-521-13320-3.
[62] Shu, F. H.: The Physical Universe: An Introduction to Astronomy. Sausalito: University
Science Books, 1982, ISBN 0-935702-05-9.
[63] Schutz, B.: Gravity from the ground up. Cambridge: Cambridge University Press, 2003,
ISBN 0-521-44506-5. Další informace dostupné
z http://www.gravityfromthegroundup.org/.
[64] Široký, J.; Široká, M.: Základy astronomie v příkladech. Praha: SPN, 1966.
[65] Šolc, V. et al.: Fyzika hvězd a vesmíru. Praha: SPN, 1983.
[66] Takeuchi, T.: An Illustrated Guide to Relativity. Cambridge: Cambridge University Press,
2010, ISBN 978-0-521-14100-0.
[67] Ullmann, V.: Gravitace, černé díry a fyzika prostoročasu. Ostrava: ČAS, 1986. Dostupné
z http://www.sweb.cz/AstroNuklFyzika/GravitCerneDiry.htm.
[68] Votruba, V.: Základy speciální teorie relativity. Praha: Academia, 1977.
[69] Wald, R. M.: General Relativity. Chicago: The University od Chicago Press, 1984,
ISBN 0-226-87033-2.
[70] Weinberg, S.: Gravitation and Cosmology. New York: John Wiley & Sons, 1972.
[71] Wolf, M.: Astronomická příručka. Praha: Academia, 1992.
[72] Woodhouse, N. M. J.: Special Relativity. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag,
1992, ISBN 3-540-55049-6.
[73] Woodhouse, N. M. J.: General Relativity. London: Springer-Verlag, 2007,
ISBN 978-1-84628-486-1.
Časopisecké a internetové zdroje
[74] Allen, S. W.; Schmidt, R. W.; Fabian, A. C.: Cosmological constraints from the X-ray gas
mass fraction in relaxed lensing clusters observed with Chandra. Mon. Not. Roy. Astron.
Soc., 2002, roč. 334, L11, DOI: 10.1046/j.1365-8711.2002.05601.x Dostupné
z arXiv:astro-ph/0205007.
[75] Ashby, N.: Relativity and the Global Positioning System. Phys. Today, 2002, roč. 55, č. 5,
s. 41–47.
[76] Ashby, N.: Relativity in the Global Positioning System. Living Reviews in Relativity, 2003.
Dostupné z http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2003-1/.
[77] Bennett, C. L.; Banday, A. J.; Gorski, K. M. et al.: Four-Year COBE DMR Cosmic
Microwave Background Observations: Maps and Basic Results. Astrophys. J., 1996,
roč. 464, s. L1–L4.
115
POUŽITÉ PRAMENY
[78] Bennett, C. L. et al.: First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP)
Observations: Preliminary Maps and Basic Results. Astrophys. J. Suppl., 2003, roč. 148,
s. 1–27. Dostupné z arXiv:1001.4744 [astro-ph.CO].
[79] Brillet, A.; Hall, J. L.: Improved Laser Test of the Isotropy of Space. Phys. Rev. Lett., 1979,
roč. 42, č. 9, s. 549–552. DOI: 10.1103/PhysRevLett.42.549.
[80] Carroll, S. M.; Press, W. H.; Turner, E. L.: The cosmological constant. Annual Rev. Astron.
Astrophys., 1992, roč. 30, s. 499–542.
[81] Colless, M.; Boyle, B.: Redshift Surveys with 2dF. 1997, dostupné
z arXiv:astro-ph/9710268.
[82] Colless M. a kol. (The 2DFGRS): The 2dF Galaxy Redshift Survey: Spectra and redshifts.
Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 2001, roč. 328, s. 1039, astro-ph/0106498. Dostupné
z http://www.mso.anu.edu.au/2dFGRS/.
[83] Cranor, M. B., Heider, E. M.; Price, R. H.: A circular twin paradox. Am. J. Phys, 2000,
roč. 68, č. 11, s. 1016–1020. DOI: 10.1119/1.1286313.
[84] Dolby, C. E.; Gull, S. F.: On radar time and the twin “paradox”. Am. J. Phys., 2001,
roč. 69, č. 12, s. 1257–1261. DOI: 10.1119/1.1407254. Dostupné z arXiv:gr-qc/0104077.
[85] Einstein, A.: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Annalen der Physik, 1905, s. 891–921.
Anglický překlad dostupný z http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/.
[86] Felten, J. E.; Isaacman, R.: Scale factors R(t) and critical values of the cosmological
constant Λ in Friedman universes. Rev. Mod. Phys., 1986, roč. 58, č. 3, s. 689–698.
[87] Freedman, W. L. et al.: Final Results from the Hubble Space Telescope Key Project to
Measure the Hubble Constant. Astrophys. J., 2001, roč. 553, s. 47–72. Dostupné
z arXiv:astro-ph/0012376.
[88] Freedman, W. L. et al.: Carnegie Hubble Program: A Mid-Infrared Calibration of the
Hubble Constant. The Astrophysical Journal, 2012, roč. 758, č. 1, 24.
DOI: 10.1088/0004-637X/758/1/24. Dostupné z arXiv:1208.3281 [astro-ph.CO].
[89] Gwinner, G. et al.: Improved test of time dilation in special relativity. Phys. Rev. Lett.,
2003, roč. 91, č. 19, 190403. DOI: 10.1103/PhysRevLett.91.190403.
[90] Hafele, J. C.; Keating, R. E.: Around-the-World Atomic Clocks: Observed Relativistic Time
Gains. Science, 1972, roč. 177, č. 4044, s. 168–170. DOI: 10.1126/science.177.4044.168.
[91] Chou, C. W. et al.: Optical Clocks and Relativity. Science, 2010, roč. 329, č. 5999,
s. 1630–1633. DOI: 10.1126/science.1192720.
[92] Iorio, L.: On the clock paradox in the case of circular motion of the moving clock. European
Journal of Physics, 2005, roč. 26, s. 535–541. DOI: 10.1088/0143-0807/26/3/018.
[93] Ives, H. E.; Stilwell, G. R.: An Experimental Study of the Rate of a Moving Clock.
J. Opt. Soc. Am., 1938, roč. 28, s. 215–226.
[94] Ives, H. E.; Stilwell, G. R.: An Experimental Study of the Rate of a Moving Clock II.
J. Opt. Soc. Am, 1941, roč. 31, s. 369–374.
[95] Jarosik, N. et al.: Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP)
Observations: Sky Maps, Systematic Errors, and Basic Results. Astrophys. J. Suppl., 2011,
roč. 192, č. 2, s. 14, DOI: 10.1088/0067-0049/192/2/14. Dostupné z arXiv:1001.4744
[astro-ph.CO].
[96] Jelen, J.: Paradoxy prostoročasu. PMFA, 2001, roč. 46, č. 1, s. 18–32. Dostupné
z http://aldebaran.feld.cvut.cz/vyuka/paradoxy/.
[97] Jordan, T. F.: Cosmology calculations almost without general relativity. Am. J. Phys.,
2005, roč. 73, s. 653. DOI: 10.1119/1.1900095. Dostupné z arXiv:astro-ph/0309756.
[98] Kaivola, M. et al.: Measurement of the Relativistic Doppler Shift in Neon. Phys. Rev. Lett.,
1985, roč. 54, s. 255–258.
[99] Kallivayalil, N. et al.: The Proper Motion of the Large Magellanic Cloud using HST.
Astrophys. J., 2006, roč. 638, s. 772–785. Dostupné z arXiv:astro-ph/0508457.
116
POUŽITÉ PRAMENY
[100] Knop, R. A. et at.: New Constraints on ΩM, ΩΛ, and w from an Independent Set of Eleven
High-Redshift Supernovae Observed with HST. Astrophys. J., 2003, roč. 598, s. 102–137.
Dostupné z arXiv:astro-ph/0309368.
[101] Kulhánek, P.; Červenka, M.: Příklady z astrofyziky [online]. 2001. Dostupné
z http://www.aldebaran.cz/studium/astrofyzika.pdf.
[102] Maddox, S. J.; Efstathiou, G.; Sutherland, W. J.: The APM Galaxy Survey – Part Two –
Photometric Corrections. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 1990, roč. 246, s. 433–457.
[103] Matsas, G. E. A.: Relativistic Archimedes law for fast moving bodies and the
general-relativistic resolution of the “submarine paradox”. Phys. Rev. D, 2003, roč. 68,
článek č. 027701. DOI: 10.1103/PhysRevD.68.027701. Dostupné z arXiv:gr-qc/0305106.
[104] Mikulášek, Z.; Krtička, J.: Fyzika hvězd a hvězdných soustav [online]. Dostupné
z http://astro.physics.muni.cz/download/documents/skripta/F3080.pdf.
[105] Mikulášek, Z.; Votruba, V. Stavba a vývoj vesmíru [online]. Dostupné
z http://astro.physics.muni.cz/download/documents/skripta/F6550.pdf.
[106] Mueller, H. et al.: Modern Michelson-Morley experiment using cryogenic optical resonators.
Phys. Rev. Lett., 2003, roč. 91, č. 2, s. 020401. DOI: 10.1103/PhysRevLett.91.020401.
Dostupné z arXiv:physics/0305117 [physics.class-ph].
[107] Nemiroff, R. J.; Patla, B.: Adventures in Friedmann cosmology: A detailed expansion of the
cosmological Friedmann equations. Am. J. Phys., 2008, roč. 76, č. 3, s. 265–276.
DOI: 10.1119/1.2830536. Dostupné z arXiv:astro-ph/0703739.
[108] Opatrný, T.; Richterek, L.: Vybrané partie současné fyziky [online]. Olomouc: 2005.
Dostupné z http://muj.optol.cz/~richterek/data/media/texty/vkf.pdf.
[109] Opatrný, T.: Kapitoly z termodynamiky a statistické fyziky. Olomouc: 2009. Dostupné
z http://www.ktf.upol.cz/tom/bookex1.pdf.
[110] Perlmutter, S.: „Supernovae, Dark Energy, and the Accelerating Universe.“ Physics Today,
2003, roč. 56, č. 4, s. 53–60. Dostupné z http://panisse.lbl.gov.
[111] Perrin, R.: Twin paradox: A complete treatment from the point of view of each twin. Am.
J. Phys., 1979, roč. 47, č. 4, s. 317–319. DOI: 10.1119/1.11835.
[112] Pierce, E.: The lock and key paradox and the limits of rigidity in special relativity. Am. J.
Phys., 2007, roč. 75, č. 7, s. 610–614. DOI: 10.1119/1.2711827.
[113] Pokorný, Z.: Základy astronomie 1 [online]. Dostupné
z http://astro.physics.muni.cz/download/documents/skripta/F1251.pdf.
[114] Pokorný, Z.: Základy astronomie 2 [online]. Dostupné
z http://astro.physics.muni.cz/download/documents/skripta/F2252.pdf.
[115] Price, R. H.; Gruber, R. P.: Paradoxical twins and their special relatives. Am. J. Phys.,
1996, roč. 64, č. 8, s. 1006–1008. DOI: 10.1119/1.18318.
[116] Scott, G. D.; Viner, M. R.: The Geometrical Appearance of Large Objects Moving at
Relativistic Speeds. Am. J. Phys. 1965, roč. 33, č. 7, s. 534–536. DOI: 10.1119/1.1971890.
[117] Smoljak, L.: Jára Cimrman (K 100. výročí narození). Čs. čas. fyz. A, 1973, roč. 23,
s. 184–185.
[118] Spergel, D. N. et al. First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP)
Observations: Determination of Cosmological Parameters. 2003, Astrophys. J. Suppl.,
roč. 148, s. 175. Dostupné z arXiv:astro-ph/0302209.
[119] Šedivý, P.: Kapitoly ze speciální teorie relativity. Knihovnička FO č. 60. Hradec Králové:
MAFY, 2003. Dostupné z http://fo.cuni.cz/texty/str.pdf.
[120] Štefl, V.; Krtička, J. Historie astronomie [online]. Dostupné
z http://astro.physics.muni.cz/download/documents/skripta/F6560.pdf.
[121] Hanč, J.; Tuleja, S.: Teória relativity s príkladmi [online]. Košice: PřF UPJŠ, 2008.
Dostupné
z http://physedu.science.upjs.sk/modelovanie/files/hanc_relativita_2008.pdf.
117
POUŽITÉ PRAMENY
[122] Wesson, P. S.: Olbers’s paradox and the spectral intensity of the extragalactic background
light. Astrophys. J., 1991, roč. 367, s. 399–406.
[123] Astronomia – astronomický server Fakulty pedagogické ZČU v Plzni [online]. Dostupné
z http://astronomia.zcu.cz.
Populárně naučná literatura
[124] Balek, V.: Prečo svietia hviezdy. Bratislava: Alfa, 1986.
[125] Barrow, J. D.: Teorie všeho. Praha: Mladá fronta, 1999, ISBN 80-204-0602-6.
[126] Barrow, J. D.: Konstanty přírody. Praha a Litomyšl: Paseka, 2005, ISBN 80-7185-689-4.
[127] Barrow, J. D.: Teorie ničeho. Praha: Mladá fronta, 2005, ISBN 80-204-1156-9.
[128] Barrow, J. D.: Kniha o nekonečnu. Praha a Litomyšl: Paseka, 2007, ISBN
978-80-7185-822-5.
[129] Barrow, J. D.: Vesmírná galerie. Praha: Argo/Dokořán, 2011, ISBN 978-80-7363-291-5.
[130] Close, F.: Částicová fyzika. Průvodce pro každého. Praha: Dokořán, 2008,
ISBN 978-80-7363-160-4.
[131] Einstein, A.: Jak vidím svět. Praha: Lidové noviny, 1993, ISBN 80-7106-078-X.
[132] Feynman, R. P.: O povaze fyzikálních zákonů. Praha: Aurora, 1998, ISBN 80-85974-53-3.
[133] Fischer, J.: Průhledy do mikrokosmu. Praha: Mladá fronta, 1986.
[134] Fölsing, A.: Albert Einstein. Praha: Volvox Globator, 2001. ISBN: 80-7207-418-0.
[135] Galison, P.: Einsteinovy hodiny a Poincarého mapy. Praha: Mladá fronta, 2005,
ISBN 80-204-1188-7.
[136] Gamow, G.: Pan Tompkins v říši divů. Praha: Mladá fronta, 1986.
[137] Ginzburg, V.: Astrofyzika. Bratislava: Alfa, 1983.
[138] Greene, B.: Elegantní vesmír. Praha: Mladá fronta, 2001, ISBN 80-204-0882-7.
[139] Greene, B.: Struktura vesmíru. Praha: Paseka, 2006, ISBN 80-7185-720-3.
[140] Gribbin, J.: Pátrání po velkém třesku. Praha: Columbus, 2002, ISBN 80-7249-046-X.
[141] Gribbin, J.: Životopis vesmíru – Od velkého třesku po zánik vesmíru. Praha: Mladá fronta,
2009, ISBN 978-80-204-1902-6.
[142] Grygar, J.: Vesmírná zastavení. Praha: Pyramida, 1990, ISBN 80-7038-202-3.
[143] Grygar, J.: Vesmír jaký je. Praha: Mladá fronta, 1997, ISBN 80-204-0637-9.
[144] Grygar, J.; Železný, V.: Okna vesmíru dokořán. Praha: Naše vojsko, 1989,
ISBN 80-206-0126-0.
[145] Hajduk, A.; Štohl, J.: Encyklopédia astronómie. Bratislava: Obzor, 1987.
[146] Hawking, S. W.: Stručná historie času. Praha: Mladá fronta, 1991, ISBN 80-204-0169-5.
[147] Hawking, S. W.: Černé díry a budoucnost vesmíru. Praha: Mladá fronta, 1995,
ISBN 80-204-0515-1.
[148] Hawking, S. W.; Penrose, R.: Povaha prostoru a času. Praha: Academia, 2000,
ISBN 80-200-0745-8.
[149] Horský, Z.; Plavec, M.: Poznávání vesmíru. Malá moderní encyklopedie. Praha: Orbis, 1962.
[150] Isaacson, W.: Einstein Jeho život a vesmír. Praha: Paseka, 2010, ISBN 978-80-7432-020-0.
[151] Kaku, M.: Einsteinův vesmír (Jak vize Alberta Einsteina změnily naše chápání prostoru a
času). Praha: Dokořán a Argo, 2005, ISBN 80-7363-015-X.
[152] Kaku, M.: Paralelní světy. Praha: Argo/Dokořán, 2007, ISBN 978-80-7203-847-3.
[153] Kirshner, R. P.: Výstřední vesmír (Explodující hvězdy, temná energie a zrychlování kosmu).
Praha a Litomyšl: Paseka, 2005, ISBN 80-7185-729-7.
[154] Kleczek, J.: Encyklopedie Vesmíru. Praha: Academia, 2002, ISBN 80-200-0906-X.
[155] Kleczek, J.: Život se Sluncem a ve vesmíru. Praha a Litomyšl: Paseka, 2011,
ISBN 978-80-7432-075-0.
118
POUŽITÉ PRAMENY
[156] Krauss, L. M.: Proměny vesmíru (Od velkého třesku k životu na Zemi...a ještě dál). Praha a
Litomyšl: Paseka, 2006, ISBN 80-7185-722-X.
[157] Landau, L. D.; Rumer, J. B.: Co je to teorie relativity. Praha: Albatros, 1976.
[158] Novikov, I.: Černé díry a vesmír. Praha: Mladá fronta, 1989, ISBN 80-204-0028-1.
[159] Penrose, R.: Makrosvět, mikrosvět a lidská mysl. Praha: Mladá fronta, první vydání, 1999,
ISBN: 80-204-0780-4.
[160] Rees, M.: Náš neobyčejný vesmír. Praha: Dokořán, 2002, ISBN: 80-86569-17-9.
[161] Singh, S.: Velký třesk. Praha: Argo/Dokořán, 2007, ISBN 978-80-86569-62-8.
[162] Thorne, K. S.: Černé díry a zborcený čas (Pozoruhodná dědictví Einsteinova génia). Praha:
Mladá fronta, 2004, ISBN 80-204-0917-3.
[163] Veltman, M.: Fakta a záhady ve fyzice elementárních částic. Praha: Academia, 2007,
ISBN 978-80-200-1500-6.
[164] Weinberg, S.: Snění o finální teorii. Praha: Hynek, 1996, ISBN 80-85906-26-0.
[165] Weinberg, S.: První tři minuty. Praha: Mladá fronta, 1998, ISBN 80-204-0700-6.
119
Rejstřík
A
aberace 8
analemma 74
astronomie 43
azimut 69
B
Big Bang viz třesk velký
Big Crunch viz křach velký
bod jarní 71
bolid 66
budoucnost absolutní 28
Č
čas
– absolutní 8
– Hubbleův 96
– hvězdný
– – pravý 71
– – střední 71
časoprostor viz prostoročas
čtyřhybnost 32
čtyřpotenciál 36
čtyřproud 36
čtyřrychlost 25
čtyřvektor
– proudové hustoty viz čtyřproud
– vlnový 26
čtyřzrychlení 25
D
deklinace 70
délka Hubbleova 100
den 46
– hvězdný 71
– sluneční
– – pravý 71
– – střední 72
diagram Hertzsprungův-Russellův 80
dvojhvězda
– fyzická 57
– optická 57
– spektroskopická 57
E
ekliptika 48
elevace 69
energie
– celková 32
– klidová 32
éter 8
experiment
– Fizeauův 9
– Hoekův 8
– Michelsonův-Morleyův 10
F
faktor expanzní 89
Friedmann Alexandr Alexandrovič 89
G
Galaxie 63
H
hmotnost
– longitudinální viz hmotnost podélná
– podélná 34
– příčná 34
– transverzální viz hmotnost příčná
horizont 67
Hubble Edwin Powell 96
hustota kritická 99
hvězda 54
hvězdokupa
– kulová 61
– otevřená 57
– pohybová 61
hypotéza
– absolutně klidného éteru 8
– částečně strhávaného éteru 8
– dokonalého strhávání éteru 8
I
inflace 95, 100
interval 12
– časové povahy viz interval časupodobný
– časupodobný 27
– nulový viz interval světlupodobný
120
REJSTŘÍK
– prostorové povahy viz interval
prostorupodobný
– prostorupodobný 27
– světlupodobný 28
J
jasnost 77
jednotka astronomická 44, 77
jev
– Dopplerův 26
– – podélný 27
– – příčný 27
K
kometa 67
konfigurace standardní 14
konstanta
– Hubbleova 96
– kosmologická 88
– sluneční 44
– solární viz konstanta sluneční
Koperník Mikoláš 84
křach velký 101
kulminace
– dolní 71
– horní 71
L
librace 52
M
meridián 70
měsíc
– siderický 50
– synodický 50
meteor 65
meteorický roj 66
meteorit 66
meteoroid 65
minulost absolutní 28
model standardní kosmologický 84
modul vzdálenosti 78, 108
N
nadhlavník viz zenit
noc astronomická 46
O
objekt cirkumpolární 71
obloha 68
– hvězdná 69
obzor 67
Olbers Heinrich Wilhelm 84
operátor d’Alembertův 36
P
paradox Olbersův 84
paralaxa 76
parametr
– decelerační 100
– Hubbleův 96
– hustotní 99
parsek 77
planeta
– vnější 52
– vnitřní 52
planetka 53
podmínka Lorentzova kalibrační 36
pohyb hyperbolický 30
pól nebeský 70
posloupnost hlavní 81
posuv rudý 97
pozorovatel inerciální 7
prach 92
princip
– Hamiltonův 41
– konstantní rychlosti světla 11
– Koperníkův 84
– relativity 11
problém plochosti vesmíru 100
prostor
– absolutní 8
– afinní 21
– vektorový
– – Minkowského 21
– – pseudoeukleidovský 21
prostoročas 12, 19
– Minkowského 19
Q
quintessence 95
R
radiant 66
rapidita 15
rektascenze 70
rok světelný 77
rotace
– synchronní viz rotace vázaná
– vázaná 50
rovnice
– časová 72
– Einsteinovy 92
– ekvinoxií 71
121
REJSTŘÍK
– Friedmannova 85
– kovariantní 30
– Pogsonova 77
– stavová 91, 92
– – vakua 94
– – záření 94
rovník nebeský 70
S
sféra nebeská 69
síla Lorentzova 41
snižování indexů 23
souhvězdí 54
soumrak
– astronomický 46
– nautický 46
– občanský 46
souřadnice
– azimutální 69
– rovníkové 70
souřadnice comoving 88
souřadnice ekvatoreální viz souřadnice
rovníkové
soustava vztažná inerciální 7
STR 11
světočára 24
svíčky standardní 105
T
tektit 66
tenzor
– elektromagnetického pole 37
– metrický 22
transformace
– Galileova 7
– Lorentzova 7, 14
– ortogonální 14
třesk velký 101
třída luminozitní 82
U
událost 12
úhel hodinový 71
V
vektor
– časupodobný 22
– prostorupodobný 22
vektory
– báze
– – kovariantní 21
velikost hvězdná
– absolutní 78, 107
– relativní 108
vesmír
– Einsteinův statický 101
– otevřený 89
– plochý 89
– uzavřený 89
vzdálenost fotometrická 106
vztah Maxwellův 35
Z
zákon Hubbleův 96
zenit 69
zvyšování indexů 23
122
Lukáš Richterek
Teorie relativity a astronomie
Výkonný redaktor: prof. RNDr. Tomáš Opatrný, Dr.
Odpovědná redaktorka: Mgr. Lucie Loutocká
Technické zpracování systémem XƎLATEX: Mgr. Lukáš Richterek, Ph.D.
Návrh obálky: Jiří Jurečka
Publikace neprošla ve vydavatelství redakční ani jazykovou úpravou.
Vydala a vytiskla Univerzita Palackého v Olomouci
Křížkovského 8, 771 47 Olomouc
www.upol.cz/vup
e-mail: vup@upol.cz
Olomouc 2012
1. vydání
Neprodejné
ISBN 978-80-244-3335-6