1
1. FUNKCE N-PROMĚNNÝCH ( N  2 )
Def. 1.0: N-rozměrným eukleidovským prostorem En nazýváme množinu všech
uspořádaných n-tic ( x1, x2, …, xn ) reálných čísel, v níž vzdálenost  ( X, Y )
dvou bodů X  x1, x2, …, xn a Y  y1, y2,..., yn je definována vzorcem
 ( X, Y ) = 22
22
2
11 )(...)()( nn yxyxyx −++−+−
Vzdálenost  ( X, Y ) splňuje tyto axiomy:
1. pro každé dva body X, Y  En platí  ( X, Y )  0, přičemž  ( X, Y ) = 0 právě
když je X = Y
2. pro každé dva body X, Y  En platí  ( X, Y ) =  ( Y, X )
axiom symetričnosti
3. pro každé tři body X, Y, Z  En platí  ( X, Z )   ( X, Y ) +  ( Y, Z )
trojúhelníková nerovnost
Def. 1.1: Reálnou funkcí n reálných proměnných nazýváme zobrazení f množiny M  En
do množiny E1. Množinu M = D(f) nazýváme definičním oborem funkce f. Číslo y,
které je funkcí f přiřazeno bodu X  M nazýváme funkční hodnotou funkce f
v bodě X, y = f(X) = f (x1, x2, …, xn).
Množinu všech funkčních hodnot funkce f nazýváme oborem funkčních hodnot
f(M) = H(f).
Def. 1.2: Jsou-li f a g dvě funkce se společným definičním oborem M, pak jejich součtem
f + g nazýváme funkci h, která je na M definována rovnicí: h(X) = f(X) + g(X).
Obdobně se definuje rozdíl, součin, podíl ( g(X)  0 pro X  M ).
Def. 1.3: Funkci f nazýváme shora (resp. zdola) ohraničenou na množině M, M  En, je-li
množina M částí definičního oboru funkce f a  k takové, že f(X)  k (resp.  k) pro
 X  M. Funkcí f, která je na M ohraničená shora a zároveň zdola, nazýváme
ohraničenou na M. (  k, že ( )Xf  k pro  X  M ).
Def. 1.4: Grafem funkce f s definičním oborem M  E2 nazýváme množinu všech bodů
 zyx ,, prostoru E3, pro které platí  yx,  M a z = f(x, y).
Vrstevnicí funkce f dvou proměnných x, y nazýváme množinu
 yx,  M  E2, f(x, y) = c, c = konst.
Hladinou (ekvipotenciální plochou) funkce f n-rozměrných prostorů (n  2)
nazýváme množinu všech bodů X  M, pro něž je f(X) = konst.
2
Def. 1.5: (Spojitost)
Nechť M je množina bodů prostoru En a X  M.
Nechť f je funkce n proměnných. Říkáme, že funkce f je spojitá v bodě X vzhledem
k množině M, jestliže ke každému   0  takové   0, že pro  X´ M, jehož
vzdálenost od bodu X je menší než  [tj. (X, X´)  ], platí )(´)( XfXf −  .
Věta 1.1: Je-li funkce f spojitá na kompaktní množině K  En, pak je na množině
K ohraničená.
Věta 1.2: Nechť funkce f a g jsou spojité v bodě X vzhledem k množině M, M  En. Pak
funkce f , c . f, f + g, f . g, f / g ( pokud g  0 ) pro  X  M jsou rovněž spojitými
v bodě X na M.
Věta 1.3: Na kompaktní množině nabývá spojitá funkce nejmenší a největší hodnoty.
Věta 1.4: Polynomy a racionální funkce n proměnných jsou spojité funkce.
Def. 1.6: (Limita)
Nechť f je funkce s definičním oborem D(f). Nechť M je neprázdná množina bodů
prostoru En a bod A je hromadným bodem množiny M z D(f). Pak říkáme, že číslo α
je (vlastní) limitou funkce f v bodě A vzhledem k množině M, jestliže ke    0 
takové   0, že pro  X  M  D(f) různé od A, jejichž vzdálenost od A je menší
než  (0  (A, X)  δ) platí −)(Xf  .
Ozn.
AX →
lim f(X) =  , X  M
nebo
   nn aaaxxx ,...,,,...,, 2121
lim
→
f  nxxx ,...,, 21 =   nxxx ,...,, 21 M
Množina M je často určena vztahy mezi souřadnicemi jejich bodů, pak místo
symbolu X  M připojujeme přímo tyto vztahy, např.:
   
xy
yx
=
→ 0,0,
lim 44
22
yx
yx
+
=
2
1
Věta 1.5: Funkce f n proměnných má v bodě A vzhledem k množině M nejvýše jednu limitu.
Věta 1.6: Jestliže funkce f(X) má v bodě A limitu, pro niž platí ( )Xf
MX
AX

→
lim > 0 (resp. < 0), pak
 takové prstencové okolí P bodu A, že v každém bodě množiny MP  platí
f(X) > 0 (resp. < 0).
Věta 1.7: Funkce f je spojitá v bodě A vzhledem k množině M, právě když
MX
AX

→
lim f(X) = f(A).
Věta 1.8: Nechť funkce f(X) a g(X) mají v bodě A vlastní limitu. Pak v bodě A mají limitu
funkce )(Xf , c1f(X) + c2g(X), c1, c2 jsou konstanty, f(X) . g(X), f(X) / g(X) (je-li
AX →
lim g(X)  0) a platí:
3
a)
AX →
lim )(Xf = )(lim Xf
AX →
b)
AX →
lim = [ )()( 21 XgcXfc + ] = 1c
AX →
lim )(Xf + 2c
AX →
lim )(Xg
c)
AX →
lim = [ )().( XgXf ] =
AX →
lim )(Xf .
AX →
lim )(Xg
d)
AX →
lim ( ) ( ) XgXf / =
AX →
lim )(Xf /
AX →
lim )(Xg
Pozn.: Předchozí limity označujeme jako dvojné. Limita
0
lim
xx→
[
0
lim
yy→
( )yxf , ], kde
0
lim
yy→
),( yxf = )(x a poté
0
lim
xx→
)(x =
0
lim
xx→
[
0
lim
yy→
),( yxf ] se označuje jako
dvojnásobná nebo postupná.
Příklad: Vypočítejte limitu funkce
   
( )
   
   
   
    11
1
lim.5
5
3
lim.4
5
3
lim.3
72
3
lim.2
lim.1
2220,0,0,,
3:
3,2,
1:
3,2,
1,2,
22
1,2,
−+++
+−+
−+
−
−+
−
+−
+
++
→
=
→
+=
→
→
→
zyx
xyyzx
yx
y
yx
y
yx
x
yxyx
zyx
yM
yx
xyM
yx
yx
yx
Výsledky: 1. 7; 2.
2
1
; 3.
2
1
; 4. 0; 5. +