Fyzika (z řeckého φυσικός (physikos): přírodní, ze základu φύσις (physis): příroda, archaicky též silozpyt) je vědní obor, který zkoumá zákonitosti přírodních jevů. Fyzikální zákon vyjadřuje objektivní souvislost mezi fyzikálními jevy nebo veličinami. Kvalitativní (mají charakter tvrzení) „Vodičem, na jehož koncích se udržuje rozdíl potenciálů prochází elektrický proud.“ Kvantitativní (zapisují se formou matematických vztahů – rovnic a vzorců) Např. Ohmův zákon U = R . I Fyzikální vlastnosti, stavy a změny v přírodě, které je možno změřit a zapsat číselnou hodnotou, vyjadřujeme fyzikálními veličinami (např. objem, hmotnost, teplota, elektrické napětí, …). Pro jednotlivé fyzikální veličiny používáme smluvené značky: objem V, hmotnost m, teplota T, rychlost v, elektrický náboj Q, síla F, … Měřit fyzikální veličinu znamená určit její hodnotu porovnáním s určitou, předem smluvenou, hodnotou veličiny téhož druhu zvolenou za měřící jednotku (= jednotku fyzikální veličiny). Výsledkem porovnání měřené fyzikální veličiny se zvolenou měřící jednotkou je číselná hodnota. Číselná hodnota fyzikální veličiny udává, kolikrát je hodnota měřené veličiny větší než zvolená měřící jednotka. Příklad: Měřící jednotka délky je metr, přičemž 1 metr je přesně definován a je neměnný. Budeme-li chtít určit délku stolu, vezmeme délkové měřidlo a na něm po přiložení ke stolu přečteme, že stůl je dlouhý 1,5 metru. A to je číselná hodnota fyzikální veličiny délka; tato číselná hodnota říká, že délka stolu je 1,5krát větší než jeden metr (měřící jednotka). See the source image Příklad: Rozměry automobilu v technické dokumentaci. Hodnota fyzikální veličiny je tedy určena číselnou hodnotou a příslušnou měřící jednotkou. Hodnota fyzikální veličiny = číselná hodnota . jednotka. Je-li X obecně symbol fyzikální veličiny, {X} její číselná hodnota a [X] měřící jednotka, platí: X = {X} .[X] Číselná hodnota {X} označuje kvantitu (množství), měřící jednotka [X] kvalitu fyzikální veličiny. Platí-li např. pro velikost rychlosti 15 m.s-1, pak {v} = 15 a [v] = 1 m.s -1. Číselná hodnota fyzikální veličiny nemá sama o sobě žádný smysl, neboť hodnotu fyzikální veličiny můžeme vyjádřit v různých jednotkách. Proto je nutné uvádět číselnou hodnotu fyzikální veličiny vždy s její jednotkou! Zápis l = 25 nemá smysl (předpokládáme, že l značí délku). Není uvedena jednotka - může tedy být l = 25 mm nebo l = 25 cm nebo l = 25 m. Zápis bez jednotek není přípustný, neboť vede k nejednoznačnosti. Fyzikální veličiny Skalární: jsou určeny pouze velikostí (hodnotou) a jednotkou (čas, hmotnost, energie, délka, teplota, frekvence, práce, náboj, odpor, kapacita, …) Vektorové: jsou určeny pouze velikostí (hodnotou), orientovaným směrem a jednotkou (rychlost, síla, …). Znázorňují se orientovanou úsečkou. Mezinárodní soustava jednotek Mezinárodní soustavu jednotek tvoří tyto skupiny jednotek: Základní jednotky (a veličiny) Definují se přírodním dějem. Jde o 7 jednotek a veličin. Odvozené jednotky Odvozují se ze základních jednotek pomocí definičních vztahů odpovídajících fyzikálních veličin: m.s-1, kg.m-3 , … Některé z nich mají své názvy podle význačných fyziků: např. N = kg.m.s-2 (newton), J = kg.m2.s-2 (joule), … • See the source image Mezi jednotky odvozené patří též dvě doplňkové jednotky: radián (rad) jako jednotka rovinného úhlu a steradián (sr) jako jednotka prostorového úhlu. Tyto jednotky nelze vyjádřit pomocí jednotek základních - považujeme je za bezrozměrné. Je-li např. α označení rovinného úhlu, lze psát α = π rad , ale při přepisu do soustavy SI se píše jen α = π, tj. α = 1. znázornění radiánu Násobné a dílčí jednotky tvoří se ze základních a odvozených jednotek pomocí mocnin o základu 10: Pozor! Je zde jedna výjimka: kilogram je jednotka základní, nikoli násobná !!! V některých případech je možné též použít předpon centi- (se značkou c), deci- (d) a hekto- (h) - např. 1 cm = 0,01 m, 1 dm = 0,1 m, 1 hl = 100 l, … Násobky jednotek https://www.jednotky.cz/ See the source image Vedlejší jednotky jejich používání je příslušnou normou dovoleno, i když do jednotek soustavy SI nepatří. Povolení bylo uděleno na základě praktických důvodů. Jedná se např. o tyto jednotky: minuta (min), hodina (h), litr (l), tuna (t), … Při výpočtech je ale převádíme na jednotky soustavy SI. Mechanika • •1. kinematika – zajímá se o popis pohybu (trajektorie, dráha, rychlost, …). Kinematika tedy zkoumá JAK se příslušné těleso či hmotný bod pohybuje. • •2. dynamika – zajímá se o příčiny pohybu (tj. o síly působící na daný hmotný bod či těleso). Zkoumá, PROČ se těleso či hmotný bod pohybuje. Kinematika Kinematika = fyzika pohybu – neřešíme příčiny pohybu •Mechanickým pohybem se ve fyzice označuje takový pohyb, při kterém dochází ke změně polohy tělesa vzhledem ke vztažné soustavě, opakem klid. •Klid a pohyb a klid těles jsou relativní. Proto se určuje vztažná soustava •Fyzikální těleso je každá ohraničená část látky bez ohledu na skupenství. •Hmotný bod je každé těleso, jehož rozměry lze vzhledem k uvažovaným vzdálenostem zanedbat. Pohyb je základní vlastností všech hmotných objektů. O tom, zda je těleso v klidu nebo v pohybu rozhoduje volba vztažné soustavy. Relativita pohybu znamená, že pohyb je relativní, t.j. závisí na tom, kdo jej pozoruje, tedy na vztažné soustavě, vzhledem ke které se pohyb zkoumá. Zatímco v jedné soustavě se těleso může pohybovat, při volbě jiné soustavy může být těleso v klidu. Absolutní klid neexistuje. Země se otáčí kolem své osy a současně obíhá kolem Slunce a s celou sluneční soustavou se pohybuje vzhledem ke hvězdám, … Neexistuje absolutní vztažná soustava, od které by se daly odvozovat další vztažné soustavy. Všechna tělesa na Zemi i ve vesmíru jsou v neustálém pohybu. Relativita pohybu Příklad Předmět, ležící na sedadle jedoucího auta je vzhledem k tomuto vozidlu v klidu, ale pohybuje se vzhledem k povrchu Země. Tentýž předmět na sedadle stojícího automobilu je v klidu vzhledem k vozidlu i k povrchu Země, ale koná otáčivý pohyb kole zemské osy a spolu se Zemí obíhá kolem Slunce. See the source image Při mechanickém pohybu mění těleso svou polohu vzhledem k jiným tělesům ve svém okolí. Pokud těleso nebo jeho části tuto polohu vzhledem k okolním tělesům nemění, říkáme, že je v klidu. Soustava těles, ke kterým vztahujeme pohyb nebo klid sledovaného tělesa, se nazývá vztažná soustava. Vztažnou soustavu se snažíme volit tak, aby popis pohybu tělesa byl co nejjednodušší. Vztažná (nebo také referenční) soustava je tedy zvolená skupina těles (příp. i jediné vztažné těleso), které jsou vzájemně v klidu, anebo zadaném či známém vzájemném pohybu (referenční tělesa). Vztažné soustavy dělíme na inerciální a neinerciální. Za vztažnou soustavu nejčastěji volíme povrch Země, nebo tělesa pevně spojená s povrchem Země, např. silnice, budovy, … K nim vztahujeme pohyb nebo klid např. dopravních prostředků a jiných pohyblivých těles. Za vztažnou soustavu někdy volíme také tělesa, která se sama vzhledem k povrchu Země pohybují. Vztažná soustava Sledujeme-li určitý pohyblivý předmět ve vagonu jedoucího vlaku , vztahujeme jeho pohyb nebo klid ke stěnám vagonu a neuvažujeme jeho pohyb vzhledem k okolní krajině Příklad See the source image Poloha hmotného bodu Chceme-li popsat mechanický pohyb hmotného bodu vzhledem ke zvolené vztažné soustavě, musíme znát jeho polohu v libovolném okamžiku jeho pohybu. Tu určujeme pomocí vhodné pravoúhlé soustavy souřadnic, kterou spojujeme se zvolenou vztažnou soustavou. Soustava souřadnic Volbou vztažné soustavy neříkáme nic o zvolené souřadnicové soustavě. Zatímco pojem vztažné soustavy má fyzikální obsah, je pojem souřadnicové soustavy matematického rázu a závisí na libovůli subjektu bez fyzikálního obsahu. V dané vztažné soustavě lze použít libovolný souřadnicový systém. Obvykle se volí takový systém souřadnic, který popis daného pohybu co nejvíce zjednodušuje. See the source image Mezi jednotlivými systémy souřadnic lze přecházet určitou matematickou transformací souřadnic, která opět nemění podkladovou fyziku, ale jen vlastnosti jejího popisu. Kartézská soustava souřadnic See the source image See the source image Polární soustava souřadnic Soustavy souřadnic v rovině Kartézská a polární soustava souřadnic - transformace Kartézské souřadnice Soustavy souřadnic v prostoru Příklad See the source image See the source image Medvěd šel ze svého obydlí 1 km na jih. Poté změnil směr a kráčel 1 km na východ. Pak se otočil a kráčel 1 km k severu a ocitl se přesně v místě odkud vyšel (t.j. u svého obydlí). Jakou barvu má medvěd? Odpověď: Bílý lední medvěd, bydlí na severním pólu. Vektor je orientovaná úsečka. Má svůj směr a má svoji velikost. v rovině od A[a1,a2] k B[b1,b2] v prostoru od A[a1,a2,a3] k B[b1,b2,b3] Vektory Hodnoty a1, a2, a3 a b1, b2, b3 jsou souřadnice volného vektoru který nevychází z bodu [0, 0] . Hodnoty u1 a u2 jsou souřadnice vázaného vektoru který vychází z bodu [0, 0] . See the source image Vektory vázané na určitý bod v prostoru (např. síla působící v bodě zvaném působiště síly, okamžitá rychlost hmotného bodu v daném místě trajektorie, …). Vektory vázané na přímku, na níž leží vektor (např. síla působící na tuhé těleso). Vektory volné nejsou vázány na určité umístění (např. moment dvojice sil). Vektory Pythagorova věta, úhly v pravoúhlém trojúhelníku Dvojice úhlů - souhlasné a střídavé Souhlasné úhly jsou shodné Souhlasné úhly jsou úhly, jejichž první ramena jsou rovnoběžná a druhá leží na jedné přímce. Musí také platit, že úhly mají stejnou orientaci. Souhlasné úhly jsou shodné. Střídavé úhly jsou dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je opačný (střídavý). Střídavé úhly jsou shodné. Střídavé úhly Věta sss: Pokud je ve dvou trojúhelnících poměr dvojic odpovídajících si stran vždy stejný, pak jsou podobné. Věta sus: Pokud je ve dvou trojúhelnících poměr dvou dvojic odpovídajících si stran stejný a shodují-li se v úhlu jimi sevřeným, pak jsou podobné. Podobnost trojúhelníků Věta uu: Pokud se dva trojúhelníky shodují ve dvou úhlech, pak jsou podobné. Podobnost trojúhelníků Lze využít k lineární interpolaci hodnot v tabulkách. Lze využít při geodetických měřeních. Thales Theorem for similar triangles (positive impact ... Lineární interpolace tabelovaných dat na základě podobnosti trojúhelníků D50 = 1,067 + (50-40).(1,127-1,067)/(60-40) D50 = 1,067 + (1,127-1,067)/2 D50 = 1,067 + 0,030 = 1,097 kg/m3 Excel Interpolation Formulas - Peltier Tech Blog Směrové kosiny γ Směrové kosiny se ve statice (mechanice těles) označují kosiny úhlů, které vektor a svírá s kladnými směry os souřadnicového systému. v rovině v prostoru Rovnoběžnost vektorů podíl x-ových, y-ových a z-ových souřadnic se musí rovnat jednomu číslu (násobku). v rovině v prostoru Úhel 2 vektorů úhel svíraný dvěma vektory se pohybuje v rozmezí 0°- 180°. Pokud by při výpočtu vyšlo θ = 250°, bude mít úhel svíraný dvěma vektory velikost 360°- 250° = 110°. k = konst. v rovině v prostoru Kolmost vektorů - pravý úhel Podmínka pro kolmost vektorů plyne z výše uvedeného vztahu pro výpočet úhlu vektory svíraného. Pro úhel 90° má cosinus hodnotu 0, tím pádem je podmínka kolmosti vektorů následující: v rovině v prostoru Velikost vektoru (= skalární součin vektorů) Operace se skaláry a vektory Např. skalární součin 2 vektorů je komutativní vektorový součin 2 vektorů není komutativní v rovině v prostoru v rovině v prostoru Operace s vektory — Matematika.cz Opačný vektor -u k vektoru u Násobením vektoru reálným číslem k dojde jen k vynásobení obou jeho souřadnic číslem k. V geometrické interpretaci se to projeví „natažením“ nebo „zmenšením“ vektoru, případně jeho převrácením, pokud je k záporné. Bakalářská fyzika pro HGF VŠB-TUO Součin vektoru a skaláru (reálného čísla) k k = -1 Speciálním případem je např. násobení jednotkového vektoru jeho velikostí v rovině v prostoru Součet vektorů Operace s vektory — Matematika.cz 1) Konstrukci výsledného součtového vektoru dvou vektorů lze provést pomocí rovnoběžek - takzvaným doplněním na rovnoběžník. Každá úhlopříčka dělí rovnoběžník na 2 stejné trojúhelníky. Pokud známe velikosti F1 a F2 dvou vektorů a úhel a, Který svírají, můžeme určit velikost výsledného vektoru F pomocí kosinové věty: MATEMATIKA Čtyřúhelníky pod mikroskopem Pokud potřebujeme sečíst více vektorů, sečteme jednoduše libovolné dva, k jejich výsledku přičteme další vektor, a tak dále, až vyčerpáme všechny vektory. 2. Sčítání vektorů lze provádět technicky ještě jiným způsobem - přesouváním konce jednoho vektoru k začátku druhého. Nikdy nepůsobí jen jediná síla | Eduportál Techmania Pokud potřebujeme sečíst více vektorů, sečteme jednoduše libovolné dva, k jejich výsledku přičteme další vektor, a tak dále, až vyčerpáme všechny vektory. umdberg / Average velocity (2013) Speciální případy Sčítáme-li dva vektory mířící stejným směrem, dosadíme do vztahu úhel, který svírají a = 0°. Protože cos 0° = 1 dostaneme velikost výsledné síly: To odpovídá známé skutečnosti, že výsledné působení dvou sil stejného směru je rovno jejich prostému součtu. Podobně pro síly mířící opačným směrem, kdy a = 180° (cos 180° = -1) dostáváme výslednou sílu rovnu rozdílu působících sil: Pokud přitom vyjde velikost výsledné síly F záporná, znamená to pouze, že výslednice míří opačným směrem než F1 (tedy směrem F2). Pokud budeme sčítat dva kolmé vektory dosadíme do vztahu pro součet dvou vektorů a = 90° (cos 90° = 0) a získáme tak známou Pythagorovu větu, která zde vyjadřuje délku úhlopříčky obdélníku: Chceme-li od vektoru F1 odečíst vektor F2, viz obrázek vpravo, uděláme z vektoru F2 vektor opačný a přičteme ho k F1. Odčítání vektorů Jsou-li dány vektory u, v, potom vektor w = v + (-u) nazýváme rozdíl vektorů v a u. Zapisujeme w = v - u. Rozklad vektoru do dvou daných směrů - operace, která se ve fyzice používá velice často. V tomto případě hledáme dva takové vektory, které leží v daných směrech a jejichž vektorovým součtem dostaneme zadaný vektor. MECHANIKA I Nakloněná rovina | Eduportál Techmania Operace s vektory :: MEF Příklady Pohyb na nakloněné rovině See the source image Křivočarý pohyb, šikmý vrh Pohyb po kružnici 1.3: Dot Product - Mathematics LibreTexts Skalární součin v rovině v prostoru See the source image Výsledkem skalárního součinu dvou vektorů je skalár, tedy číslo. Skalární součin dvou vektorů a, b zapisujeme tečkou mezi vektory a jeho hodnotu určujeme ze vztahu kde a, b jsou velikosti skalárně násobených vektorů, a je úhel, který násobené vektory svírají. Skalární součin je komutativní. |b| Velikost skalárního součinu a · b = |a| × |b| × cos(θ) dotProof 2. Jeden z vektorů se zorientuje rovnoběžně s osou x. 3. Druhý z vektorů se rozloží na složky rovnoběžné s osami x a y. 1. Násobené 2 vektory Typickým uplatněním skalárního součinu ve fyzice je výpočet toků různých vektorů plochami. Každá (rovinná) plocha S je charakterizována stejnojmenným normálovým vektorem, určujícím její velikost i prostorovou orientaci. Jestliže pak takovou plochu umístíme do nějakého vektorového pole (pro začátek homogenního), definujeme tok vektoru uvažovaného pole danou plochou jako jejich skalární součin. Některé příklady: V proudící kapalině (nebo plynu) definujeme objemový tok (tok vektoru rychlosti): V magnetickém poli definujeme magnetický indukční tok: Podobně v elektrickém poli zavádíme tok elektrické intenzity: Elektrický proud lze chápat jako tok vektoru proudové hustoty plochou průřezu vodiče: V teorii elektromagnetického vlnění je zářivý tok vlastně tokem tzv. Poyntingova vektoru. Typickou ukázkou skalárního součinu je také například definiční vztah pro práci W vykonanou silou F při posunutí daném vektorem s: Uvedený skalární součin můžeme vyjádřit jako , kde F je velikost působící síly, s je vzdálenost o kterou se předmět posunul, a je úhel, který svírala síla se směrem pohybu. Příklad Skalární součin násobí vzdálenost uraženou předmětem se složkou síly ve směru pohybu: F.cosα. Právě tato složka koná skutečně práci. Pokud bude vektor síly F kolmý na směr pohybu, je tato složka nulová a síla v daném směru nekoná žádnou práci. Vektorový součin Vektorový součin — Matematika.cz Vektorový součin značíme křížkem, výsledkem vektorového součinu je opět vektor. Výsledný vektor w je kolmý na rovinu, ve které leží původní vektory u a v. Vektorový součin počítáme pouze v prostoru (nikoli v rovině). Výsledný vektor je vždy kolmý na dva násobené vektory. Jeho směr lze určit pravidlem pravé ruky: Přiložíme-li pravou ruku kolmo k vektorům tak, že prsty směřují od špičky prvního násobeného vektoru ke špičce druhého, pak vztyčený palec ukazuje směr výsledného vektoru = první násobený, druhý násobený a výsledný vektor (v tomto pořadí) tvoří takzvaný pravotočivý systém. See the source image Směr vektorového součinu závisí na pořadí násobení vektorů (vektorový součin tedy není komutativní!) Velikost vektorového součinu Velikost vektoru w (vektorového součinu) lze vypočítat pomocí vzorce pro výpočet velikosti vektoru, musíme ovšem znát vektor w. Velikost výsledného vektoru vektorového součinu odpovídá číselně ploše rovnoběžníku určeného násobenými vektory. Pro plochu S zobrazeného rovnoběžníku můžeme psát: Vyjádříme-li si dále vektory na obrázku ve složkách můžeme spočítat z definice vektorového součinu složky výsledného vektoru c: Výsledný vektor má nenulovou pouze složku ve směru osy z, to znamená, že je skutečně kolmý na rovinu xy, ve které leží vektory a a b. See the source image |b| Moment síly M je vektor (kromě jeho velikosti tedy záleží i na jeho směru) a lze jej vyjádřit pomocí vektorového součinu: kde r je polohový vektor působiště síly F vzhledem k ose otáčení jako počátku. Vektorový součin ve fyzice používá pro vyjádření veličin, jako je například moment hybnosti, obvodovou rychlost, moment síly nebo magnetická síla působící na pohybující se nabitou částici. Příklad Pokud bude pohyb konce montážního klíče ve směru hodinových ručiček, moment síly směřuje podle pravidla pravé ruky za nákresnu, tj. ve směru utahování šroubu. Obsah obrázku exteriér, kolo, motocykl, černá Popis byl vytvořen automaticky Určete velikost a směr vektoru momentu M vodorovné síly F, kterou klaun na okno působí vzhledem k ose závěsů. Podle pravidla pravé ruky je vektor momentu síly M je rovnoběžný se závěsy okna a míří nahoru (vychází přímo vzhůru z roviny obrázku, tj. před nákresnu). Jeho velikost je r . F . sin φ, kde φ je úhel sevřený vektory. Pokud vektory r a F svírají obecný úhel φ, je velikost momentu síly rovna: M = r . F . sin φ V případě, že jsou vektory r a F kolmé, je sin φ = 1, a pro velikost momentu síly platí: M = r . F Příklad Right Hand Rule for Vector Product | Electrical engineering, Math, Education See the source image See the source image Polohový vektor Polohu hmotného bodu vzhledem ke zvolené vztažné soustavě také určujeme pomocí polohového vektoru r. Polohový vektor znázorňujeme jako orientovanou úsečku, jejíž počáteční bod leží v počátku souřadnicové soustavy a koncový bod v uvažovaném hmotném bodu. Souřadnice polohového vektoru jsou totožné se souřadnicemi hmotného bodu. Velikost polohového vektoru r se rovná vzdálenosti hmotného bodu od počátku soustavy souřadnic. Směr polohového vektoru určují úhly, které polohový vektor svírá s osami souřadného systému. Polohový vektor (= rozklad polohového vektoru do směrů os kartézské soustavy souřadnic) Polohový vektor lze popsat i cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Trajektorie hmotného bodu Trajektorii lze definovat jako spojnici všech poloh, kterými prochází koncový bod polohového vektoru r: r = r(t) Je to souvislá geometrická čára v prostoru (resp. v rovině nebo v přímce), kterou opisuje hmotný bod při svém pohybu v daném časovém intervalu. Trajektorií může být přímka, anebo křivka (kružnice, elipsa, spirála apod.). Trajektorie není fyzikální veličina (nemá jednotku). X04 Trajektorie pohybu - směr nahoru Posunutí Δr je vektor, který vyjadřuje změnu polohového vektoru za určitý čas pohybu hmotného bodu. Posunutí je dáno pouze počátečním a koncovým bodem pohybu hmotného bodu (těžiště tělesa) jakožto spojnice bodů „start-cíl“ pohybu, a to bez ohledu na absolvovanou dráhu a trajektorii daného pohybu za čas pohybu. Dráha hmotného bodu s je délka trajektorie, tj. skalární fyzikální veličina, jejíž velikost se při pohybu v čase mění, tj. s = s(t). Jde tedy pouze o vzdálenost, kterou hmotný bod (resp. těžiště tělesa) opíše za určitou dobu, značí se obvykle s, případně dráha jako vzdálenost d nebo délka l. Dráha se měří se v soustavě SI v metrech, případně v dekadických násobcích nebo dílech metru. V některých, zejm. starších učebnicích může výraz „dráha“ označovat trajektorii a výraz „délka dráhy“ dráhu. Rovnoměrný pohyb po kružnici - rovnoměrný pohyb po kružnici Specifický tvar trajektorie nám pak umožňuje pohyby kvalitativně klasifikovat: Tvar trajektorie je závislý na volbě vztažné soustavy. Tentýž pohyb může být vzhledem k jedné vztažné soustavě přímočarý, vzhledem k jiné vztažné soustavě křivočarý. Volně padající míček ve vagonu jedoucím po přímé trati stálou rychlostí se ve vztažné soustavě pevně spojené s vagonem pohybuje po přímce (volný pád), zatímco ve vztažné soustavě spojené se Zemí opisuje parabolu (složený pohyb vodorovný vrh). Příklad MATHEMATICA TUTORIAL, Part 1.1: Cycloids Uhlová rýchlosť - Wikiwand cykloida kružnice Cyklista je vůči bicyklu v klidu a vůči chodci v pohybu. Z pohledu cyklisty bod na obvodu kola bicyklu opisuje kružnici. Cyklista i bicykl jsou vůči chodci v pohybu. Z pohledu chodce bod na obvodu kola bicyklu opisuje cykloidu. Příklad rotační + translační pohyb rotační pohyb Derivace Diferenciál Diferenciál je přírůstek bodu tečny ke grafu funkce f v bodě [x0,y0] dy = f(x0+h) - f(x0) = A.h kde A = f’(x0) = a h = dx Pokud derivace funkce y=f(x) v bodě x0 existuje, říkáme, že funkce f je v bodě x0 diferencovatelná. Derivace je směrnice tečny ke grafu dané funkce v daném bodě. Definice derivace - velký obrázek Definice derivace - velký obrázek Derivace Tečna a normála křivky Tečnu můžeme definovat jako přímku, která má s křivkou jeden společný bod dotyku. Na rozdíl od průsečíku, leží všechny okolní body křivky v polorovině, která je určena přímkou. Pokud je křivka grafem nějaké funkce, pak první derivace funkce je směrnice tečny. Tečný vektor, je vektor tečny křivky, jejíž body jsou určeny polohovým vektorem r = r(t), která prochází bodem r0= [x0, y0, z0] dané křivky, tedy bodem, v němž má t = t0 směr určený vektorem obrázek tečny tečný vektor Všechny přímky, které prochází daným bodem křivky r = r(s),kde s je oblouk křivky, a jsou kolmé na tečný vektor t v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě. Jednotkový vektor n, který má stejný směr jako vektor dt / ds, se nazývá jednotkový vektor hlavní normály. obrázek normály Oskulační kružnice rovinné křivky v určitém bodě je kružnice, která tímto bodem prochází, má zde s danou rovinnou křivkou společnou první derivaci a rovněž i druhou derivaci. Poloměr oskulační kružnice rovinné křivky v určitém bodě se nazývá poloměr křivosti. Oskulační kružnice Křivost křivky k je funkcí jejího parametru t. V daném bodu určuje míru vychýlení křivky od tečny. Je-li křivka parametrizována obloukem, pak je křivost přímo rovna velikosti vektoru druhé derivace. Převrácená hodnota křivosti 1/k určuje poloměr křivosti křivky v daném bodě, tj. poloměr oskulační kružnice sestrojené ke křivce v daném bodě. Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tedy při dostatečně malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní libovolně málo. Intuitivní (ne zcela přesná) představa spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá. Diferencovatelná funkce je funkce, jejíž derivace existuje v každém bodě její domény: pokud x0 je vnitřní bod v doméně funkce f(x), pak se říká, že f(x) je diferencovatelné na x0, pokud existuje derivace f′(x0). V důsledku toho graf diferencovatelné funkce musí mít tečny (ne vertikální !) v každém bodu ve svém oboru, průběh funkce je poměrně hladký a nemůže obsahovat žádné přerušení, úhel nebo hrot. Křivka je hladká tehdy a jen tehdy, má-li spojitou derivaci. Pokud je derivace spojitá, původní (nederivovaná) funkce byla hladká. Kochova křivka See the source image Weierstrassova funkce See the source image See the source image Peanova křivka Spojité křivky nemající v žádném svém bodě derivaci. Vektorová funkce skalárního argumentu Když každému číslu z daného intervalu I přiřadíme vektor v, říkáme, že na intervalu je definována vektorová funkce skalárního argumentu, kterou zapisujeme jako v(t). V(t) Vektory můžeme při znázornění vynést z jednoho bodu, jak je to znázorněno na obrázku. Souřadnice takového vektoru jsou obyčejnými reálnými funkcemi téže proměnné. Pojem limity a spojitosti tak můžeme snadno přenést na vektorové funkce. Vektorová funkce v(t) má v bodě t0 limitu b , když mají limitu souřadnice a platí: Podobně definujeme spojitost vektorové funkce. Derivace vektoru podle skalárního argumentu a(t) a(t+Δt) Δa Vlastnosti derivace: Rovnice tečny k prostorové křivce Na křivce zvolíme pevný bod A, tečnu sestrojíme v bodě P. polohu libovolného bodu křivky můžeme určit jeho radiusvektorem nebo jeho vzdáleností s od bodu A, měřenou na křivce. Radiusvektor je potom funkcí s. Tento parametr se nazývá přirozeným parametrem křivky r = r(s) . P rP t0 r t0 je jednotkový vektor ve směru tečny. Rovnice tečny bude: s rP P A r A Integrál Proces integrování funkce je opačný k procesu derivování funkce. Pojem integrálu je zobecněním pojmů jako plocha, objem, součet či suma. Neurčitý integrál Primitivní funkce k funkci f(x) na intervalu (a, b) je taková funkce F(x), že pro každé x ∈ (a, b) je F‘(x) = f(x). Procesu hledání primitivní funkce se často říká integrování (integrace), jelikož primitivní funkce se používá při určování obsahu plochy pod křivkou (integrálu) podle základní věty integrálního počtu. Ke každé funkci f(x) spojité na (a, b) existuje v (a, b) primitivní funkce. Je jich dokonce nekonečně mnoho. Je-li F(x) jedna z nich, pak všechny ostatní mají tvar F(x) + C, kde C je integrační konstanta, která je libovolná. Používáme formální zápis ʃ f(x).dx = F(x) + C, ʃ f(x) dx znamená množinu všech primitivních funkcí k funkce f(x) a nazývá se neurčitý integrál funkce f(x). \hspace{11mm} \displaystyle\int\limits_a^b k\cdot f(x)\,\mathrm{d}x See the source image Integrační vzorce See the source image See the source image Určitý integrál Určitý integrál nezáporné funkce f(x) mezi dvěma body a, b je roven ploše obrazce omezeného přímkami x = a, x = b, osou x a křivkou definovanou grafem funkce f(x). Určitý integrál není funkce, ale číslo. Určitý integrál z funkce je roven obsahu plochy ohraničené touto funkcí nebo dráze uražené tělesem, jehož rychlost je popsána touto funkcí. (Určitý) integrál funkce f(x) od a do b. a je DOLNÍ MEZ, b je HORNÍ MEZ integrálu. •Určitý integrál budeme počítat podle vzorce: Funkce F(x) je integrál (primitivní funkce) k f(x). Při výpočtu integrujeme funkci f(x) a odečteme od sebe funkční hodnoty v horní (b) a dolní (a) mezi. Určitý integrál Při záměně mezí se mění znaménko určitého integrálu. Pokud je číslo c z intervalu (a,b), platí: c Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací křivky dané funkcí f(x) je možné určit využitím určitého integrálu: Určitý integrál Obsah plochy U mezi dvěma křivkami danými grafy funkcí f(x) a g(x) při využití určitého integrálu řešíme podle vztahu: Pokud se grafy obou křivek protínají, nejsou většinou zadány meze, ty dopočítáme jako průsečíky grafů funkcí. Určitý integrál The Pythagorean Theorem is the key to the arc length formula. See the source image Délka rovinné křivky arc length between points Nechť je funkce f(x) definovaná na intervalu a má zde spojitou derivaci. Pak je délka této křivky Křivka nemusí být vždy zadána explicitní funkcí y = f(x) , může být dána rovněž parametrickými rovnicemi x = x(t), y =y(t), t ∈< a, b > . See the source image Střední hodnota funkce na intervalu See the source image Visual of the average value theorem f(c) = Např. pokud je f(x) funkce charakterizující rychlost, odpovídá f(c) střední hodnotě rychlosti. f(c) je střední hodnota funkce f na intervalu [a, b] c je hodnota x, odpovídající střední hodnotě f(c) Nechť je funkce f(x) spojitá na intervalu . Pak existuje číslo c ∈ < a b, > takové, že platí Určitý integrál z rychlosti podle času je roven změně polohy během časového úseku od t1 do t2. Pokud polohu v závislosti na čase označíme x(t), platí tedy Tento vzorec je zobecněním známého vztahu pro pohyb konstantní rychlostí Tyto vzorce se liší pouze v tom, že ten, který využívá integrál, lze použít i pro pohyb proměnlivou rychlostí. Neurčitý integrál z rychlosti podle času je poloha. Argumentem integrálu je zde funkce představující závislost rychlosti na čase; výsledkem je množina primitivních funkcí, které představují závislost polohy na čase. Těchto funkcí je nekonečně mnoho, jedna pro každou možnou počáteční polohu objektu. (To odpovídá fyzikální realitě, že ze znalosti rychlosti lze spočítat polohu objektu v čase t, jen pokud známe jeho polohu v nějakém čase t0 odpovídající integrační konstantě). Určitý integrál se využívá v řadě fyzikálních definic – například určitý integrál síly podle polohy je vykonaná práce, určitý integrál ze zrychlení je změna rychlosti, objemový integrál z hustoty je hmotnost tělesa apod. Příklad Pokud se těleso pohybuje volným pádem, pak jeho rychlost je kde g je tíhové zrychlení a znaménko mínus vyjadřuje směr dolů. Pro polohu pak platí: Číslo c se nazývá integrační konstanta, za níž dosazením různých hodnot dostaneme různé možné závislosti polohy na čase. Například funkce popisuje volný pád z výšky 50 metrů. Určitý integrál lze spočítat jako rozdíl dvou hodnot neurčitého integrálu. Například výpočet dráhy uražené mezi časem 3 sekundy a 5 sekund se spočte tak, že zvolíme libovolnou z primitivních funkcí (zde je nejpřirozenější volit a spočteme její rozdíl v obou časových mezích: x(t) = Rychlost hmotného bodu Rychlost je charakteristika pohybu, která nám sděluje, jakým způsobem se mění poloha hmotného bodu v čase. See the source image v (skalár) v (vektor) Velikost rychlosti Rychlost Okamžitá rychlost hmotného bodu Okamžitá rychlost (v) je vektor charakterizující změnu polohového vektoru r za velmi krátký časový interval. Složky okamžité rychlosti Velikost okamžité rychlosti: |v| = v = √vx2 + vy2 + vz2 Směrové kosiny cos(α) = vx/v cos(β) = vy/v cos(γ) = vz/v Velikost okamžité rychlosti hmotného bodu Velikost okamžité rychlosti (v) je dána podílem velikosti změny polohového vektoru a časového intervalu, který změna polohy trvala. Je to vlastně průměrná rychlost na velmi krátkém úseku trajektorie a ve velmi malém časovém intervalu. Poznámky k pojmu rychlost ve středoškolské fyzice Průměrná rychlost hmotného bodu Průměrná rychlost (vp) podíl celkové dráhy s a doby t, za kterou hmotný bod tuto dráhu urazí. Průměrná rychlost je skalár, hlavní jednotkou je m.s-1. U dopravních prostředků se používá jednotka km.h-1. Pro jednoznačný popis pohybu hmotného bodu není průměrná rychlost dostačující. Během pohybu po dané dráze s se velikost rychlosti může měnit. Průměrná rychlost tedy závisí na dráze s, na níž byla změřena. Kinematika hmotného bodu Pozor!!! Průměrnou rychlost nelze počítat jako aritmetický průměr rychlostí! Průměrná rychlost cyklisty jedoucího v hornatém terénu bude jiná po ujetí prvních 5 kilometrů do kopce a jiná po ujetí dalších 10 kilometrů z kopce. Příklad cochranmath / Displacement, velocity, and acceleration for linear motion Pokud lze rychlost na intervalu t ∈ popsat spojitou funkcí v(t), je průměrná rychlost rovna Průměrná rychlost hmotného bodu Zrychlení hmotného bodu Zrychlení (akcelerace) je charakteristika pohybu, která popisuje, jakým způsobem se mění rychlost tělesa (hmotného bodu) v čase. Zrychlení •Změny rychlosti charakterizuje vektorová veličina zrychlení a. Jednotkou je m.s-2 •Okamžité zrychlení je dáno změnou vektoru rychlosti za jednotku času • • • • 2. Kinematika pohybu hmotného bodu U křivočarého pohybu bývá zvykem rozložení vektoru zrychlení a do dvou navzájem kolmých složek – tečné a normálové. rovnice (1,18) Dynamics and Vibrations: Notes: Equations of Motion for Particles Tečné (tangenciální) zrychlení (at) charakterizuje změnu velikosti rychlosti (v) s časem. Tečné zrychlení je rovno časové derivaci velikosti rychlosti. Tečné zrychlení at a normálové zrychlení an představují rozklad vektoru zrychlení a. Platí tedy vztah Pro velikost zrychlení pak platí Velikost normálového zrychlení (an) souvisí se zakřivením dráhy pohybu. Směřuje do středu křivosti oskulační kružnice. rovnice (1,19) R je poloměr oskulační kružnice dráhy bodu a v je velikost rychlosti bodu v místě, pro které je určena hodnota an . Roste-li velikost rychlosti, je tečné zrychlení orientováno souhlasně se směrem rychlosti, klesá-li velikost rychlosti, jsou orientace tečného zrychlení a rychlosti opačné. V reálném světě se obvykle vyskytují pohyby zahrnující různé základní druhy pohybů. Např. pohyb automobilu se skládá z pohybu rovnoměrně zrychleného (rozjíždění), pohybu rovnoměrného (jízda konstantní rychlostí) a pohybu rovnoměrně zpomaleného (brzdění). Příklad See the source image Velocity-Time Graphs - 1.4 Graphing Motion: Distance, Velocity, and AccelerationBy Jessica Wilslev Rozdělení pohybů podle rychlosti •Přímočarý pohyb: směr rychlosti je po celou dobu pohybu stálý (konstantní). •Křivočarý pohyb: směr rychlosti se během pohybu mění. • •Rovnoměrný pohyb: velikost rychlosti je po celou dobu pohybu stálá (konstantní). •Nerovnoměrný pohyb: velikost rychlosti se během pohybu mění.