IMAp01 — typy příkladů pro písemku ke kolokviu
Příklad 1 (4 body) Číslo 12710 převeďte do soustavy o základu z = 4.
Použijte dva různé způsoby převodu:
(a) postupné dělení základem;
(b) dělení mocninami základu.
Potom toto číslo převeďte přímo do
(c) šestnáctkové soustavy a
(d) dvojkové soustavy.
Příklad 2 (1 bod) Porovnejte čísla:
22B16 a 4 2005
Příklad 3 (2 body) Vypočtěte:
(a)
B1512
+A2712
(b)
5 4328
−5578
Příklad 4 (3 body) (a) Vydělte a (b) proveďte zkoušku:
52 2447 : 57 =
Příklad 5 (2 body) Trojciferné přirozené číslo zapsané v desítkové soustavě
začíná číslicí 8. Přesuneme-li ji na poslední místo a zbylé dvě číslice
necháme beze změny, dostaneme číslo, které je o 189 menší než původní.
Určete původní číslo.
Příklad 6 (2 body) Jsou dána dvě přirozená čísla a, b, pro která platí: a
je dělitelné patnácti, b je dělitelné dvanáctii. Dokažte, že součin těchto dvou
čísel je dělitelný devíti.
Příklad 7 (2 body) Na místa symbolů x, y doplňte v čísle 53x7y takové
cifry, aby vzniklé číslo bylo dělitelné číslem 36. Uveďte všechny možnostii.
Příklad 8 (4 body) .
(a) Vypište (např. do tabulky) všechny dělitele čísla 108.
(b) Dále zjistěte nejmenší nenulové přirozené číslo, kterým je potřeba číslo
108 vynásobit, aby vznikla druhá mocnina přirozeného čísla.
(c) Definujte pojem samozřejmí dělitelé čísla z.
Příklad 9 (2 body) . Rozhodněte a zdůvodněte, zda je číslo 463 prvočíslo
nebo číslo složené.
Příklad 10 (2 body) Číslo 2025 rozložte na prvočinitele a určete počet
všech jeho přirozených dělitelů.
Příklad 11 (2 body) Mezi kolik dětí můžeme rozdělit 54 bonbonů tak, aby
bylo každé rozdělení spravedlivé (každé dítě dostane stejný počet bonbonů)?
Uveďte všechny možnosti.
Příklad 12 (3 body) .
(a) Pomocí Eukleidova algoritmu určete největšího splečného dělitele D(a, b)
čísel a = 464, b = 288. Díále určete nejmenší společný násobek n(a, b)
těchto dvou čísel.
(b) Definujte pojem největší společný dělitel čísel x a y.
Příklad 13 (2 body) Zjistěte. zda je daný složený výrok tautologie:
(A ⇒ B) ⇒ A
Příklad 14 (2 body) Napište negaci výroku
„Číslo je dělitelné šesti právě tehdy, když je delitelné dvěma i třemi sou-
časně.“
Příklad 15 (1 bod) V rámci příkladů se může vyskytnout také požadavek
definovat nějaký pojem. Níže uvádíme některé pojmy, které byste měli znát.
Za každou korektní definici získáte bod.
• základ číselné soustavy; číslice i-tého řádu; jednotka základu; rozvinutý
zápis čísla v dané soustavě
• součet, sčítanec; rozdíl, menšenec, menšitel; součin, činitel; podíl, dělenec,
dělitel,
• zbytek po dělení
• prvočíslo, číslo složené
• (největší) společný dělitel; nejmenší) společný násobek
• čísla soudělná a nesoudělná
• rozklad čísla na prvočinitele (základní věta aritmetiky)
• výrok; pravidovostní hodnota; negace výroku; tautologie, kontradikce;
• kojnunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence;
• kvantifikátor obecný a existenční
2