Základy elementární matematiky s
didaktikou pro učitelství 1. stupně
ZŠ
Jitka Panáčová
Jaroslav Beránek
Email: panacova@ped.muni.cz,
beranek@ped.muni.cz
Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity, Brno 2020
1
Obsah
1 Úvod do výrokové logiky a základní poznatky o množinách 3
1.1 Výroková logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Výroky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Logické spojky, složené výroky a výrokové formule . . . . . . . . . . 5
1.2 Úvod do teorie množin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Výrokové formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Složené výrokové formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Kvantifikátory, kvantifikované výroky . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Úlohy k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.1 Základní způsoby určení množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.2 Grafické znázornění množin, vztahy meni množinami, operace s
množinami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.3 Úlohy k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.5 Definice, matematické věty a pravidla odvozování . . . . . . . . . . . . . . 61
1.5.1 Matematická definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.5.2 Matematická věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.5.3 Pravidla odvozování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.5.4 Důkaz matematické věty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.5.5 Úlohy k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.6 Využití výrokové logiky a základních poznatků o množinách ve školské
matematice na 1. stupni ZŠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2 Binární relace a zobrazení 84
2.1 Kartézský součin dvou množin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.1.1 Úlohy k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2 Binární relace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.2.1 Pojem binární relace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.2.2 Úlohy k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.2.3 Binární relace v množině M a jejich vlastnosti . . . . . . . . . . . . 107
2.2.4 Úlohy k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.3 Relace ekvivalence a relace uspořádání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.3.1 Relace ekvivalence a rozklad množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.3.2 Úlohy k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.3.3 Relace uspořádání a uspořádané množiny . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3.4 Úlohy k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.4 Zobrazení a jeho vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.4.1 Úlohy k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.4.2 Binární relace v učivu matematiky na 1. stupni ZŠ . . . . . . . . . 152
3 Literatura 161
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 2
Úvod
Tato publikace je určena pro studentky a studenty prezenčního i kombinovaného
studia učitelství prvního stupně základní školy. Pokrývá značnou část obsahu výuky
matematiky prvního a částečně druhého semestru na Pedagogické fakultě Masarykovy
univerzity v Brně.
Jednou ze základních úloh vyučování matematiky na prvním stupni základní školy
je budování pojmu přirozeného čísla. Učitel, který vyučuje matematiku na prvním
stupni základní školy, musí znát způsob budování pojmu přirozeného čísla v matematice
jako vědě, ale hlavně ve školské matematice. K tomu je pro učitele prvního stupně ZŠ
nezbytné, aby ovládal základní pojmy logiky, intuitivní teorie množin a binárních relací,
které jsou prostředkem pro budování poznatků o přirozených číslech. Ukazuje se totiž,
že ty nejelementárnější pojmy z aritmetiky, s nimiž budete jednou seznamovat své žáky,
patří k nejobtížnějším matematickým pojmům a jejich zavedení vyžaduje u učitele
důkladnou znalost výrokové logiky, teorie množin a binárních relací.
Z popsaných důvodů je celá první kapitola této publikace věnována výrokové
logice, základním poznatkům o množinách a stavbě matematických vět. Druhá kapitola
shrnuje učivo z oblasti binárních relací, jejich vlastností a zobrazení mezi množinami.
Obě kapitoly jsou koncipovány tak, že průběžně čtenáře seznamují se základními
pojmy uvedených oblastí, na které navazují řešené úlohy. Závěr obou kapitol shrnuje
využití výrokové logiky, základních poznatků o množinách a binárních relacích v učivu
matematiky prvního stupně ZŠ. Každá podkapitola je na konci doplněna úlohami k
procvičení s výsledky, případně návody k jejich řešení.
Při zpracování této publikace autoři vycházeli z obsahu výuky matematiky na prvním
stupni základní školy.
Poznamenejme, že v celé publikaci budeme používat následující označení pro číselné
množiny:
• N - množina všech přirozených čísel,
• N0 - množina všech přirozených čísel (včetně nuly),
• Z - množina všech celých čísel,
• Q - množina všech racionálních čísel,
• R - množina všech reálných čísel.
Při studiu elementární matematiky vám, milí studenti, přejeme mnoho úspěchů.
V Brně v červenci 2020
Autoři
3
1 Úvod do výrokové logiky a základní poznatky o
množinách
1.1 Výroková logika
Při dorozumívání mezi lidmi v běžném životě, v různých oblastech lidské činnosti a v matematice
vyslovujeme mnoho výroků. Pojem výrok je základním pojmem výrokové logiky,
která se zabývá studiem různých forem myšlení a vyjadřování a studiem pravidel správného
usuzování. Poznatky z výrokové logiky nám pak umožní přesně a logicky formulovat
myšlenky.
1.1.1 Výroky
Výrokem rozumíme každé srozumitelné sdělení, které je pravdivé nebo nepravdivé,
přičemž z obou těchto možností nastane právě jedna.
V případě, že dané sdělení je výrokem a je
• pravdivé, hovoříme o pravdivém výroku nebo říkáme, že výrok platí.
• nepravdivé, hovoříme o nepravdivém výroku nebo říkáme, že výrok neplatí.
Někdy nejsme schopni rozpoznat hned, zda dané sdělení je či není výrok. Zde si pak
můžeme pomoci otázkou ”Je pravda, že...?” týkající se daného sdělení - pokud tato otázka
má smysl, pak je dané sdělení výrokem.
Ve výrokové logice nás nezajímá konkrétní obsah jednotlivých výroků, ale pouze
jejich pravdivost. Je-li výrok pravdivý, říkáme, že má pravdivostní hodnotu 1, je-li
výrok nepravdivý, říkáme, že má pravdivostní hodnotu 0. Je zřejmé, že rozhodnout
o pravdivosti některých výroků je velmi obtížné ba dokonce nemožné, zcela jistě však
právě jedna z těchto dvou možností nastane.
Příklady výroků:
• Praha je hlavní město České republiky. (pravdivý výrok)
• Moskva je hlavní město Ukrajiny. (nepravdivý výrok)
• 8 − 3 > 7 (nepravdivý výrok)
• 12 + 7 = 19 (pravdivý výrok)
• 2H2 + O2 = 2H2O. (pravdivý výrok)
• Král Karel IV. dostal v říjnu roku 1347 rýmu. (výrok, o jehož pravdivosti nejsme
schopni rozhodnout)
Příklady sdělení, která nejsou výroky:
• Utíkej!
• 3 + 6 - 1
• Přijdeš?
• x > 7
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 4
Speciálními případy pravdivých výroků jsou matematické věty, o kterých bude
pojednáno podrobněji v kapitole 1.5.2. Mezi výroky řadíme rovněž tzv. hypotézy.
Hypotéza (domněnka) je výrok, u kterého nejsme v daném okamžiku schopni
rozhodnout, zda je pravdivý, či nepravdivý. Vyslovení hypotézy bývá spojeno s vědeckým
bádáním, kdy formulujeme hypotézu, jejíž pravdivost zatím pouze předpokládáme. Tento
předpoklad je však třeba ověřit například zkoumáním nebo experimentem, na jejichž
základě dospějeme k výsledku, který pravdivost vyslovené hypotézy buď potvrdí, nebo
vyvrátí. S hypotézami se rovněž setkáváme v běžném životě, kde jsou obvykle spjaty s
budoucností.
Příklady hypotéz:
• Na planetě Mars existuje život.
• Příští týden budeme psát písemku z matematiky.
• V jezeře Loch Ness žije lochnesská příšera.
Příklad 1.1 Určete, která z následujících tvrzení jsou výroky, případně hypotézy. V
případě výroků rozhodněte o jejich pravdivosti.
a) Řešte nerovnici 2x − 5 ≤ 7.
b) Pro každé přirozené číslo x platí, že 2x − 5 ≤ 7.
c) Existuje přirozené číslo x, pro které platí 2x − 5 ≤ 7.
d) Dvě strany trojúhelníka jsou shodné.
e) Brno má více než milion obyvatel.
f) V Brně sídlí univerzita.
g) Pro každá dvě celá čísla a, b platí, že 3 + a − b = 1.
h) 2x − 5 ≤ 7,
i) Číslo 2 je dělitelem čísla 10.
j) Číslo 3 není dělitelem čísla 10.
k) 3 + a − b,
l) Sněží?
Řešení:
Tvrzení a), d), h), k), l) nejsou výroky.
Tvrzení c), f), i), j) jsou pravdivé výroky.
Tvrzení b), e), g) jsou nepravdivé výroky.
Poznámka 1.1 a) Pravdivý výrok ”Číslo 2 je dělitelem čísla 10.” z příkladu 1.1 i)
můžeme také formulovat: ”Číslo 10 je dělitelné číslem 2.” nebo ”Číslo 10 je násobkem
čísla 2.” Tyto tři výroky můžeme zapsat symbolicky 2 | 10.
b) Pravdivý výrok ”Číslo 3 není dělitelem čísla 10.” z příkladu 1.1 j) můžeme také
formulovat: ”Číslo 10 není dělitelné číslem 3.” nebo ”Číslo 10 není násobkem čísla
3.” Tyto tři výroky můžeme zapsat symbolicky 3 | 10.
5
1.1.2 Logické spojky, složené výroky a výrokové formule
V odstavci 1.1.1 jsme se seznámili s jednoduchými výroky, které byly po stránce jazykové
jednoduchými větami. Tak jako v běžném životě nemluvíme pouze v jednoduchých
větách, ale pomocí různých spojek z nich vytváříme souvětí, v logice postupujeme
obdobným způsobem - pomocí tzv. logických spojek vytváříme z jednoduchých výroků
výroky složené.
Pro snazší práci s jednoduchými i složenými výroky používáme ve výrokové
logice malá tiskací písmena, např. p, q, r,..., která zastupují konkrétní výrok s pravdivostní
hodnotou buď 0, nebo 1. Tomuto označení výroku říkáme výroková proměnná.
Základními složenými výroky jsou následující výroky:
Negací výroku p rozumíme výrok ¬p, který je nepravdivý, je-li výrok p pravdivý
a je pravdivý, je-li výrok p nepravdivý.
Konjunkcí výroků p, q rozumíme výrok p∧q, který je pravdivý, jsou-li oba výroky
p, q pravdivé.
Disjunkcí výroků p, q rozumíme výrok p∨q, který je pravdivý, je-li alespoň jeden
z výroků p, q pravdivý.
Ostrou disjunkcí výroků p, q rozumíme výrok p ∨ q, který je pravdivý, je-li právě
jeden z výroků p, q pravdivý.
Implikací výroků p, q rozumíme výrok p ⇒ q, který je nepravdivý, je-li výrok p
pravdivý a výrok q nepravdivý.
Ekvivalencí výroků p, q rozumíme výrok p ⇔ q, který je pravdivý, mají-li oba
výroky p, q stejnou pravdivostní hodnotu.
V tabulce 1.1 jsou pro přehlednost uvedeny základní složené výroky s jejich zápisy a
příslušné logické spojky.
Poznámka 1.2 a) Negování výroku p znamená vytvoření jeho negace ¬p a je založeno
na skutečnosti, že pravdivost výroku p a jeho negace ¬p se navzájem vylučují.
Negovat jednoduchý výrok lze předřazením slova ”ne” před sloveso, eventuelně pomocí
slovního spojení ”není pravda, že...”, případně záměnou slovesa ”je” za ”není”.
Postup při negování jednoduchých výroků bude vysvětlen níže na konkrétních pří-
kladech.
b) Pro implikaci výroků p ⇒ q můžeme použít také formulace: ”p implikuje q”, ”je-li
p, pak q”, ”q, jestliže p”, ”p implikuje q.
c) Pro ekvivalenci výroků p ⇔ q můžeme použít také formulaci: ”výrok p je ekvivaletní
s výrokem q”.
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 6
Tabulka 1.1: Logické spojky a základní složené výroky
výroky název výroku zápis výroku čtení logické spojky logická spojka
p Negace výroku p ¬p není pravda, že platí... ¬
p, q Konjunkce výroků p, q p ∧ q a, a současně, a zároveň ∧
p, q Disjunkce výroků p, q p ∨ q nebo ∨
p, q Ostrá disjunkce výroků p, q p ∨ q buď ..., anebo ∨
p, q Implikace výroků p, q p ⇒ q jestliže ..., pak ⇒
p, q Ekvivalence výroků p, q p ⇔ q právě tehdy, když ⇔
Tabulka 1.2: Tabulka pravdivostních hodnot základních složených výroků
výrok výrok negace konjunkce disjunkce ostrá disjunkce implikace ekvivalence
p q ¬p p ∧ q p ∨ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q
1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 1 0
0 0 1 0 0 0 1 1
Příklad 1.2 Je dána dvojice výroků p, q:
p: Prší. q: Jedu k babičce.
Z výroků p, q utvořte složené výroky ¬p, ¬q, p ∧ q, p ∨ q, p ∨ q, p ⇒ q, p ⇔ q.
Řešení:
¬p: Neprší.
¬q: Nejedu k babičce.
p ∧ q: Prší a jedu k babičce.
p ∨ q: Prší nebo jedu k babičce.
p ∨ q: Buď prší, nebo jedu k babičce.
p ⇒ q: Jestliže prší, pak jedu k babičce.
p ⇔ q: Prší právě tehdy, když jedu k babičce.
Stejně jako u jednoduchých výroků se ani u složených výroků nezabýváme jejich obsahem,
ale jejich pravdivostní hodnotou. Pravdivostní hodnotu složeného výroku určíme
z pravdivostních hodnot jednoduchých výroků, z nichž je složený výrok vytvořen. Pravdivostní
hodnoty základních složených výroků uvádí tabulka 1.2.
7
Příklad 1.3 Je dána dvojice výroků p, q, z nichž p je pravdivý a q nepravdivý:
p: Číslo 6 je dělitelné třemi. q: Číslo 12 je násobkem čísla 5.
Z výroků p, q utvořte složené výroky ¬p, ¬q, p ∧ q, p ∨ q, p ∨ q, p ⇒ q, p ⇔ q a s
využitím tabulky 1.2 rozhodněte, které z nich jsou pravdivé a které nepravdivé.
Řešení:
¬p: Číslo 6 není dělitelné třemi. (nepravdivý výrok)
¬q: Číslo 12 není násobkem čísla 5. (pravdivý výrok)
p ∧ q: Číslo 6 je dělitelné třemi a zároveň číslo 12 je násobkem čísla 5.
(nepravdivý výrok)
p ∨ q: Číslo 6 je dělitelné třemi nebo číslo 12 je násobkem čísla 5. (pravdivý výrok)
p ∨ q: Buď je číslo 6 dělitelné třemi, nebo číslo 12 je násobkem čísla 5.
(pravdivý výrok)
p ⇒ q: Jestliže číslo 6 je dělitelné třemi, pak číslo 12 je násobkem čísla 5.
(nepravdivý výrok)
p ⇔ q: Číslo 6 je dělitelné třemi právě tehdy, když číslo 12 je násobkem čísla 5.
(nepravdivý výrok)
Poznámka 1.3 Jednoduché výroky p, q a složené výroky z nich vytvořené vz příkladu
1.3 lze zapsat pomocí matematické symboliky takto:
p: 3 | 6, q: 5 | 12, ¬p: 3 | 6,
¬q: 5 | 12, p ∧ q: 3 | 6 ∧ 5 | 12, p ∨ q: 3 | 6 ∨ 5 | 12,
p ∨ q: 3 | 6 ∨ 5 | 12, p ⇒ q: 3 | 6 ⇒ 5 | 12, p ⇔ q: 3 | 6 ⇔ 5 | 12
Příklad 1.4 Zformulujte negace jednoduchých výroků a určete jejich pravdivostní
hodnoty:
p1: 3 + 5 < 8,
p2: Číslo 6 je prvočíslo.
p3:
√
32 = 2
√
8,
p4: Číslo 5 není dělitelem čísla 100.
p5: 5 + 6 > 2.
Řešení:
¬p1: 3 + 5 ≥ 8, (pravdivý výrok)
¬p2: Číslo 6 není prvočíslo. (pravdivý výrok)
¬p3:
√
32 = 2
√
8, (nepravdivý výrok)
¬p4: Číslo 5 je dělitelem čísla 100. (pravdivý výrok)
¬p5: 5 + 6 ≤ 2. (nepravdivý výrok)
V následujícím textu vymezíme soubor znaků, s nímž operujeme ve výrokové logice.
Tento soubor nazýváme abecedou výrokové logiky a tvoří jej
• znaky pro výrokové proměnné: p, q, r, s,...
• znaky pro konstanty P a N, kde P, resp. N značí pravdivý, resp. nepravdivý výrok,
• znaky pro logické spojky: ¬, ∧, ∨, ∨, ⇒, ⇔,
• pomocné znaky: (), [], { }.
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 8
Pomocí výše uvedených znaků abecedy výrokové logiky můžeme vytvářet tzv.
výrokové formule. Tvoříme je podle následujících pravidel:
1. Každá výroková proměnná p, q, r, s,... je výrokovou formulí.
2. Konstanty P a N jsou výrokové formule.
3. Jestliže výrazy p, q jsou výrokové formule, potom i ¬p, ¬q, p ∧ q, p ∨ q, p ∨ q, p ⇒ q,
p ⇔ q jsou výrokové formule.
4. Žádné jiné výrazy nejsou výrokové formule.
Výroková formule je tedy takový zápis, který obsahuje výrokové proměnné, logické
spojky a závorky, ze kterého po dosazení konkrétních výroků za výrokové proměnné
dostaneme výrok. Výrokovými formulemi vyjadřujeme sled logických operací, při jejichž
tvorbě budeme vycházet z následujících zásad:1
• logické operace v závorkách mají přednost před logickými operacemi vně závorek,
• znak ¬ má přednost před ostatními logickými spojkami,
• logické spojky ∧, ∨, ∨ mají přednost před logickými spojkami ⇒, ⇔.
Příklady výrokových formulí:
• p ∧ ¬q,
• ¬p ∨ r,
• (r ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q),
• [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ q).
Poznámka 1.4 Vymezením pojmu pro výrokovou formuli výše je zřejmé, že libovolná
posloupnost vytvořená ze znaků abecedy výrokové logiky nemusí být výrokovou formulí.
Například posloupnosti znaků (p ⇒ q)∧ nebo (p ⇒) ∨ q nejsou výrokové formule.
Příklad 1.5 Zapište prostřednictvím výrokových formulí následující složené výroky:
a) Přijde Adam, ale Filip ne.
b) Ze sourozenců Adam, Filip přijde nejvýše jeden.
c) Ze sourozenců Adam, Filip přijde alespoň jeden.
d) Přijde Adam a Filip.
e) Buď přijde Adam nebo Filip.
f) Když přijde Adam, tak nepřijde Filip.
g) Přijde právě jeden ze dvojice Adam, Filip.
h) Z trojice Adam, Filip, Katka přijdou všichni.
i) Z trojice Adam, Filip, Katka nepřijde nikdo.
j) Jestliže přijde Adam, pak nepřijde ani Filip ani Katka.
k) Jestliže přijde Adam a Filip nepřijde, pak přijde Katka.
l) Katka s Filipem přijdou právě tehdy, když nepřijde Adam.
Řešení:
1
Řada publikací, které se zabývají výrokovou logikou, vychází při tvorbě výrokových formulí z odlišných
zásad. My jsme pravidla pro tvorbu výrokových formulí převzali z publikace (Bartsch, 1987).
9
Označme výroky:
a: Přijde Adam. f: Přijde Filip. k: Přijde Katka.
Symbolické zápisy složených výroků prostřednictvím výrokových formulí jsou
a) a ∧ ¬f, b) ¬a ∨ ¬f, c) a ∨ f, d) a ∧ f,
e) a ∨ f, f) a ⇒ ¬f, g) a ∨ f, h) a ∧ f ∧ k,
i) ¬a ∧ ¬f ∧ ¬k, j) a ⇒ (¬f ∧ ¬k), k) (a ∧ ¬f) ⇒ k, l) (k ∧ f) ⇔ ¬a.
Pravdivostním ohodnocením výrokové formule rozumíme určení její pravdivostní
hodnoty v závislosti na pravdivostních hodnotách výrokových proměnných, z nichž
je složena. Pravdivostní ohodnocení výrokové formule provádíme na základě tabulky pravdivostních
hodnot 1.2.
Příklad 1.6 Proveďte pravdivostní ohodnocení výrokové formule
[p ⇒ (q ⇒ r)] ⇔ [(p ∧ q) ⇒ r].
Řešení: Pravdivostní ohodnocení výrokové formule provedeme pomocí tabulky, do jejíhož
záhlaví nejdříve zapíšeme zadanou výrokovou formuli. Do tabulky dále zapíšeme
pod výrokové proměnné p, q, r (zleva) všechny variace jejich možných pravdivostních
hodnot. Následně ohodnotíme výrokové formule v kulatých závorkách q ⇒ r a p ∧ q
(tj. jejich pravdivostní hodnoty zapíšeme do tabulky pod jejich příslušné logické spojky)
a analogicky výrokové formule v hranatých závorkách p ⇒ (q ⇒ r) a (p ∧ q) ⇒ r. Pravdivostní
hodnoty těchto složených výrokových formulí určíme dle tabulky 1.2. Na závěr
ohodnotíme výrokovou formuli s hlavní logickou spojkou ⇔ opět dle tabulky 1.2.
[p ⇒ (q ⇒ r)] ⇔ [(p ∧ q) ⇒ r]
1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1 1 0
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1
S ohledem na pravdivostní ohodnocení výrokových formulí rozlišujeme následující
typy:
1. Tautologie je výroková formule, která pro libovolné pravdivostní hodnoty svých
výrokových proměnných nabývá vždy pravdivostní hodnotu 1.
2. Kontradikce je výroková formule, která pro libovolné pravdivostní hodnoty svých
výrokových proměnných nabývá vždy pravdivostní hodnotu 0.
3. Splnitelné formule je výroková formule, která není kontradikce ani tautologie.
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 10
Poznámka 1.5 Výroková formule [p ⇒ (q ⇒ r)] ⇔ [(p ∧ q) ⇒ r] z příkladu 1.6 je
tautologie (vždy pravdivá), viz 6. sloupec v tabulce pravdivostních hodnot.
Příklad 1.7 Dokažte, že výroková formule p ∨ ¬p je tautologie a výroková formule
p ∧ ¬p je kontradikce.
Řešení: Důkaz podává tabulka pravdivostních hodnot:
p ¬p p ∨ ¬p p ∧ ¬p
1 0 1 0
0 1 1 0
Příklad 1.8 Dokažte, že výroková formule [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) je tautologie.
Řešení: Důkaz podává tabulka pravdivostních hodnot:
[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 1 0
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0 1 1
Poznámka 1.6 Mají-li dvě výrokové formule v1 a v2 stejných výrokových proměnných
stejná pravdivostní ohodnocení, pak se nazývají logicky ekvivalentní výrokové formule.
Zapisujeme je symbolem v1 ∼ v2. Je zřejmé, že výroková formule v1 ⇔ v2 je
tautologií. Po dosazení jednoduchých výroků za všechny výrokové proměnné do logicky
ekvivalentních výrokových formulí v1 a v2 získáme dvojici výroků, které nazýváme logicky
ekvivalentní výroky.
Příklad 1.9 Dokažte, že výrokové formule ¬(p ⇔ q) a (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) jsou logicky
ekvivalentní.
Řešení: Provedeme pravdivostní ohodnocení výrokové formule
[¬(p ⇔ q)] ⇔ [(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)].
Důkaz podává tabulka pravdivostních hodnot:
[¬ (p ⇔ q)] ⇔ [(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)]
0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0
11
Z tabulky je patrné, že výroková formule [¬(p ⇔ q)] ⇔ [(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)]
je tautologie. Výrokové formule ¬(p ⇔ q) a (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) jsou tedy logicky
ekvivalentní, neboť mají stejné pravdivostní hodnoty. Skutečnost, že se jedná o logicky
ekvivalentní výrokové formule, zapíšeme
¬(p ⇔ q) ∼ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q).
Příklad 1.10 Uvažujme výroky
s: V sobotu bude pršet.
n: V neděli bude pršet.
p: Půjdeme na procházku.
Zapište symbolicky složené výroky
v1: Jestliže bude v sobotu nebo v neděli pršet, pak nepůjdeme na procházku.
v2: Jestliže půjdeme na procházku, pak nebude pršet ani v sobotu ani v neděli.
a rozhodněte, zda jsou výroky v1, v2 logicky ekvivalentní.
Řešení: Složené výroky v1, v2 zapíšeme symbolicky pomocí výrokových proměnných
s, n, p následovně:
v1: (s ∨ n) ⇒ ¬p, v2: p ⇒ (¬s ∧ ¬n).
Provedeme pravdivostní ohodnocení výrokové formule [(s ∨ n) ⇒ ¬p] ⇔ [p ⇒ (¬s ∧ ¬n)]
pomocí tabulky pravdivostních hodnot:
[(s ∨ n) ⇒ ¬p] ⇔ [p ⇒ (¬s ∧ ¬n)]
1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1
1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Z tabulky pravdivostních hodnot je zřejmé, že výroková formule
[(s ∨ n) ⇒ ¬p] ⇔ [p ⇒ (¬s ∧ ¬n)]
je tautologie a složené výroky v1, v2 jsou logicky ekvivalentní, tj. v1 ∼ v2.
Při hlubším studiu matematiky se využívá řada ekvivalentních výrokových formulí.
Základní ekvivalentní výrokové formule vyjadřující komutativnost konjunkce a disjunkce
výroků jsou uvedeny ve vztazích 1.1 a 1.2. Mezi základní ekvivalentní výrokové formule,
které vyjadřují asociativnost konjunkce a disjunkce výroků, řadíme vztahy 1.3 a 1.4:
(p ∧ q) ∼ (q ∧ p), (1.1)
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 12
(p ∨ q) ∼ (q ∨ p), (1.2)
(p ∧ q) ∧ r ∼ p ∧ (q ∧ r), (1.3)
(p ∨ q) ∨ r ∼ p ∨ (q ∨ r), (1.4)
Ekvivalentní výrokové formule vyjadřující vzájemnou distributivnost konjunkce a
disjunkce výroků zaznamenávají vztahy 1.5 a 1.6.
p ∧ (q ∨ r) ∼ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), (1.5)
p ∨ (q ∧ r) ∼ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), (1.6)
Ekvivalentní výrokové formule 1.7 a 1.8 nazýváme de Morganovými zákony a používáme
je společně se vztahy 1.9, 1.10, 1.11 při negování složených výroků.
¬(p ∨ q) ∼ ¬p ∧ ¬q, (1.7)
¬(p ∧ q) ∼ ¬p ∨ ¬q, (1.8)
¬(p ∨ q) ∼ p ⇔ q, (1.9)
¬(p ⇒ q) ∼ p ∧ ¬q, (1.10)
¬(p ⇔ q) ∼ p ∨ q, (1.11)
Ekvivalentní výrokové formule 1.12, resp. 1.13, resp. 1.14 nazýváme zákon dvojité
negace, resp. zákon o vyloučení třetí možnosti, resp. zákon sporu.
¬(¬p) ∼ p, (1.12)
(p ∨ ¬p) ∼ P, (1.13)
(p ∧ ¬p) ∼ N. (1.14)
Běžně používané ekvivalentní výrokové formule uvádí vztahy 1.15 a 1.16.
p ⇔ q ∼ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), (1.15)
p ⇒ q ∼ ¬p ∨ q. (1.16)
Ponecháváme na samotném čtenáři, aby si výše uvedené tautologie 1.1 - 1.16 ověřil
pomocí tabulky pravdivostních hodnot.
13
Příklad 1.11 Zapište symbolicky složené výroky a zformulujte jejich negace dle pravidel
1.7 - 1.11:
a) Dám si zmrzlinu nebo čokoládu.
b) Nedám si zmrzlinu ani čokoládu.
c) Jestli si dám zmrzlinu, nedám si čokoládu.
d) Zmrzlinu si dám, když si nedám čokoládu.
Řešení: Označme výroky:
p: Dám si zmrzlinu. q: Dám si čokoládu.
Složené výroky a jejich negace určené pomocí pravidel 1.7 - 1.11 zapíšeme symbolicky
prostřednictvím výrokových formulí takto:
složený výrok negace složeného výroku
a) p ∨ q ¬p ∧ ¬q
b) ¬p ∧ ¬q p ∨ q
c) p ⇒ ¬q p ∧ q
d) p ⇔ ¬q p ∨ ¬q
Negace složených výroků z tabulky zapíšeme slovy takto:
a) Nedám si zmrzlinu ani čokoládu.
b) Dám si zmrzlinu nebo čokoládu.
c) Dám si zmrzlinu i čokoládu.
d) Buď si dám zmrzlinu, nebo si nedám čokoládu.
Příklad 1.12 Zapište symbolicky složené výroky a zformulujte jejich negace dle pravidel
1.7 - 1.11:
a) 3 > −5 ∧ 3 | 15.
b) 2 | 6 ⇒ 2 | 12.
c) 1 + 1 = 3 ∨ 2 · 5 = 10.
Řešení: Označme výroky:
a) r: 3 > −5 s: 3 | 15
b) t: 2 | 6 u: 2 | 12
c) v: 1 + 1 = 3 w: 2 · 5 = 10
Složené výroky a jejich negace určené pomocí pravidel 1.7 - 1.11 zapíšeme symbolicky
prostřednictvím výrokových formulí takto:
složený výrok negace složeného výroku
a) r ∧ s ¬r ∨ ¬s
b) t ⇒ u t ∧ ¬u
c) v ∨ w ¬v ∧ ¬w
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 14
Negace složených výroků z tabulky zapíšeme matematicky takto:
a) 3 ≤ −5 ∨ 3 | 15.
b) 2 | 6 ∧ 2 | 12.
c) 1 + 1 = 3 ∧ 2 · 5 = 10.
V závěru tohoto odstavce uvedeme slovní úlohu, při jejímž řešení využijeme znalostí
z výrokové logiky.
Příklad 1.13 Tři stroje v dílně jsou v provozu podle následujících podmínek: Pracuje-li
první stroj, pracuje i druhý. Pracuje druhý nebo třetí stroj. Nepracuje-li první stroj, nepracuje
ani třetí. Kolik existuje různých situací, při nichž jsou splněny všechny podmínky?
Řešení:
Označme výroky:
p: Pracuje první stroj. d: Pracuje druhý stroj. t: Pracuje třetí stroj.
Zadané podmínky pro výroky p, d, t vyjádříme prostřednictvím složených výroků
takto: p ⇒ d, d ∨ t, ¬p ⇒ ¬t. Situaci, kdy uvedené složené výroky jsou současně
pravdivé, zapíšeme výrokovou formulí (p ⇒ d) ∧ (d ∨ t) ∧ (¬p ⇒ ¬t), jejíž pravdivostní
ohodnocení je určeno v tabulce:
p d t ¬p ¬t p ⇒ d d ∨ t ¬p ⇒ ¬t (p ⇒ d) ∧ (d ∨ t) ∧ (¬p ⇒ ¬t)
1 1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 1 0 0 1 0
0 1 1 1 0 1 1 0 0
0 1 0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 0 1 1 0 0
0 0 0 1 1 1 0 1 0
Z posledního sloupce tabulky je zřejmé, že výroková formule
(p ⇒ d) ∧ (d ∨ t) ∧ (¬p ⇒ ¬t)
je pravdivá ve třech případech. Úloha má tedy tři řešení:
1. všechny tři stroje pracují současně,
2. pracuje první a druhý stroj, třetí stroj nepracuje,
3. pracuje jen druhý stroj.
15
1.2 Úvod do teorie množin
V matematice se při hlubším zkoumání výroků neobejdeme bez pojmu množina, který je
jedním ze základních pojmů matematiky, jehož intuitivní pojetí je založené na představě
souboru. V běžném jazyce používáme v konkrétních situacích místo pojmu množina
jiných názvů, jako například hromada (brambor), skupina (lidí), stádo (ovcí), sbírka
(známek) apod. Množinu charakterizujeme jako soubor (souhrn, skupinu) navzájem
různých objektů, kdy u každého objektu nastane právě jedna ze dvou možností - buď do
uvažovaného souboru patří, nebo nepatří. Poznamenejme, že uvedená formulace množiny
není její definicí, je to pouze intuitivní popis pojmu množiny, který je pro účely školské
matematiky dostačující.
Příklady množin:
• množina obyvatel České republiky,
• množina studentů 1. ročníku na Masarykově univerzitě v Brně v roce 2019,
• množina zvířat žijících na Měsíci,
• množina bodů na přímce,
• množina všech přirozených čísel.
Množiny budeme označovat velkými tiskacími písmeny, např. A, B, M, případně
velkými psacími písmeny, např. A, B, M... Jednotlivé objekty, které do dané množiny
patří, nazýváme prvky množiny. Značíme je zpravidla malými tiskacími písmeny, např.
a, b, x, y.
Skutečnost, že objekt a patří do množiny A, zapisujeme a ∈ A.
Zápis a ∈ A čteme: ”prvek a je prvkem množiny A”,
”prvek a náleží množině A”,
”prvek a patří do množiny A,
”prvek a náleží do množiny A”.
Skutečnost, že objekt b není prvkem množiny A, zapisujeme b /∈ A.
Zápis b /∈ A čteme: ”prvek b není prvkem množiny A”,
”prvek b nenáleží množině A”,
”prvek b nepatří do množiny A”,
”prvek b nenáleží do množiny A”.
Je patrné, že pro každou množinu A a pro každý objekt a nastane právě jedna z těchto
dvou možností: buď a ∈ A, nebo a /∈ A.
Množinu, která neobsahuje žádný prvek, nazýváme prázdnou množinou a značíme ji
symbolem ∅ nebo {}. Množiny, které obsahují alespoň jeden prvek, nazýváme neprázdné.
Množina může být určena výčtem prvků, jestliže vyjmenujeme všechny její prvky.
Pokud například množina A obsahuje prvky 1, 2, 3, 4, potom množinu A zapíšeme výčtem
prvků A = {1, 2, 3, 4}, tj. do složených závorek vypíšeme všechny prvky, které množině
A náleží. V tomto případě pak výrazy 1 ∈ A, 3 ∈ A jsou pravdivé výroky, výraz 5 /∈ A
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 16
je výrok nepravdivý. Na tomto místě je užitečné přijmout dohodu, že každý prvek, který
do množiny patří, budeme zapisovat do složených závorek právě jednou. Je zřejmé, že
výčtem prvků můžeme určit jen konečné množiny.
Množina může být dále určena charakteristickou vlastností. Pro vymezení množiny
pomocí charakteristické vlastnosti je třeba zavést pojem výrokové formy, se kterým
budeme pracovat v následujícím odstavci 1.3. Poznamenejme, že problematikou množin se
budeme podrobně zabývat v kapitole 1.4 a ke způsobu určení množiny charakteristickou
vlastností se vrátíme v odstavci 1.4.1, kde si ho všimneme významněji.
1.3 Výrokové formy
Výroková forma v(x) jedné proměnné x je výraz obsahující proměnnou x, ze kterého
získáme po dosazení objektu za proměnnou x výrok.
Každé výrokové formě jedné proměnné x přiřazujeme dvě množiny, tzv. definiční obor
výrokové formy a tzv. obor pravdivosti výrokové formy, které zavedeme v následujícím
textu.
Definičním oborem výrokové formy v(x) jedné proměnné x rozumíme množinu D,
pro jejíž libovolný prvek po dosazení za proměnnou x dostaneme výrok.
Obor pravdivosti výrokové formy v(x) jedné proměnné x rozumíme množinu P,
pro jejíž libovolný prvek po dosazení za proměnnou x dostaneme pravdivý výrok.
Příklady výrokových forem jedné proměnné (v závorce je uveden jejich definiční
obor):
• v1(x) : 2x − 7 < 5 (x ∈ Z),
• v2(x) : x2
− 6x + 4 = 0 (x ∈ R),
• v3(y) : |y − 3| < 2 (y ∈ R),
• v4(x): Číslo x je dělitelné sedmi. (x ∈ N),
• v5(z) : z | 18 (z ∈ N).
Výroková forma v(x1, x2, ..., xn) více proměnných x1, x2, ..., xn je výraz obsahující
proměnné x1, x2, ..., xn, ze kterého získáme po dosazení objektů za proměnné x1, x2, ..., xn
výrok (n ∈ N).
Příklady výrokových forem více proměnných (v závorce je uveden jejich definiční
obor):
• v1(x, y) : 2x + 3y < 5 (x, y ∈ Z),
• v2(x, y) : x2
+ y2
= 4 (x, y ∈ R),
• v3(x, y, z) : 4x + y − 3z = 4 (x, y, z ∈ R),
• v4(x, y): Číslo x je dělitelné číslem y. (x, y ∈ N).
17
Tabulka 1.3: Tabulka základních složených výrokových forem
Složená výroková forma Název složené výrokové formy
¬p(x) negace výrokové formy
p(x) ∧ q(x) konjunkce výrokových forem p(x), q(x)
p(x) ∨ q(x) disjunkce výrokových forem p(x), q(x)
p(x) ∨ q(x) ostrá disjunkce výrokových forem p(x), q(x)
p(x) ⇒ q(x) implikace výrokových forem p(x), q(x)
p(x) ⇔ q(x) ekvivalence výrokových forem p(x), q(x)
Příklad 1.14 Zapište všechny výroky, které získáte dosazením do výrokové formy za
proměnnou x a rozhodněte o jejich pravdivosti:
a) x + 7 < 10, kde množina D = {1, 2, 3, 4, 5} je definiční obor proměnné x,
b) 2x + 4 = 0, kde množina D = {0, −1, −2} je definiční obor proměnné x,
c) 3 | x, kde množina D = {0, 1} je definiční obor proměnné x,
Řešení: Dosazením prvků z definičního oboru za proměnnou x získáme výroky:
a) 1 + 7 < 10; 2 + 7 < 10. (pravdivé výroky)
3 + 7 < 10; 4 + 7 < 10; 5 + 7 < 10. (nepravdivé výroky)
b) 2 · 0 + 4 = 0; 2 · (−1) + 4 = 0. (nepravdivé výroky)
2 · (−2) + 4 = 0. (pravdivý výrok)
c) 3 | 0 (pravdivý výrok)
3 | 1 (nepravdivý výrok)
1.3.1 Složené výrokové formy
Z výrokových forem p(x), q(x), které mají stejný definiční obor D, je možno prostřednictvím
logických spojek (obdobně jako u výroků) vytvářet složené výrokové formy.
Základní složené výrokové formy jsou uvedeny v tabulce 1.3.
Příklad 1.15 Zapište
a) konjunkci výrokových forem x ≤ 5, x > 2 s definičním oborem R,
b) disjunkci výrokových forem x ≤ 1, x > 2 s definičním oborem R,
c) implikaci výrokových forem 6 | x, 2 | x s definičním oborem N.
Řešení:
a) x ≤ 5 ∧ x > 2, kde x ∈ R,
b) x ≤ 1 ∨ x > 2, kde x ∈ R,
c) 6 | x ⇒ 2 | x, kde x ∈ N.
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 18
Příklad 1.16 Pokud to lze, utvořte tři pravdivé a tři nepravdivé výroky dosazením za
proměnné x, y, z do zadané výrokové formy:
a) 3 − x = 10, kde x ∈ Z,
b) 2x + 3 < 7, kde x ∈ N,
c) y = x − 5 ∨ y = x + 5, kde x, y ∈ Z,
d) x | y ⇒ y | z, kde x, y, z ∈ Z,
e) (x < y ∧ y < z) ⇒ x < z, kde x, y, z ∈ Z.
Poznámka 1.7 Negováním výrokové formy v(x) rozumíme vytvoření její negace ¬v(x).
Pravidla pro negace složených výrokových forem jsou uvedena v tabulce 1.4. Porovnejte
tato pravidla s pravidly pro negování složených výroků, viz vztahy 1.7 - 1.11 z odstavce
1.1.2.
Příklad 1.17 Jsou dány výrokové formy
v1(x): x > 5, kde x ∈ N,
v2(x): 7 | x, kde x ∈ N.
Zformulujte složené výrokové formy dle zadání a vyslovte jejich negace.
a) v1(x) ∧ v2(x), b) v1(x) ∨ v2(x),
c) v1(x) ⇒ v2(x), d) v1(x) ⇔ v2(x).
Řešení:
a) v1(x) ∧ v2(x): x > 5 ∧ 7 | x, b) v1(x) ∨ v2(x): x > 5 ∨ 7 | x,
c) v1(x) ⇒ v2(x): x > 5 ⇒ 7 | x, d) v1(x) ⇔ v2(x): x > 5 ⇔ 7 | x.
V dalším kroku určíme negace výrokových forem v1(x), v2(x):
¬v1(x): x ≤ 5, kde x ∈ N,
¬v2(x): 7 | x, kde x ∈ N.
Negace složených výrokových forem určíme dle tabulky 1.4, přičemž
a) ¬v1(x) ∨ ¬v2(x): x ≤ 5 ∨ 7 | x, b) ¬v1(x) ∧ ¬v2(x): x ≤ 5 ∧ 7 | x,
c) v1(x) ∧ ¬v2(x): x > 5 ∧ 7 | x, d) v1(x) ∨ v2(x): x > 5 ∨ 7 | x.
1.3.2 Kvantifikátory, kvantifikované výroky
V předchozím textu jsme se zabývali výrokovými formami. Víme, že samotná výroková
forma nemá pravdivostní hodnotu. Pokud však dosazujeme do výrokové formy za proměnnou
x (případně za proměnné x1, x2, , ..., xn) prvky z jejího definičního oboru, dostáváme
výrok.
Výroky lze však získat z výrokové formy i jiným způsobem, který si vysvětlíme na příkladu
1.18.
19
Tabulka 1.4: Negace složených výrokových forem
Negace složené výrokové formy Logicky ekvivalentní výroková forma
¬(p(x) ∧ q(x)) ¬p(x) ∨ ¬q(x)
¬(p(x) ∨ q(x)) ¬p(x) ∧ ¬q(x)
¬(p(x) ∨ q(x)) p(x) ⇔ q(x)
¬(p(x) ⇒ q(x)) p(x) ∧ ¬q(x)
¬(p(x) ⇔ q(x)) p(x) ∨ q(x)
Příklad 1.18 a) Uvažujme výrokovou formu
v1(x) : x2
≥ 0, kde x ∈ R.
Definičním oborem výrokové formy v1(x) je množina všech reálných čísel R. Pokud
ve výrokové formě v1(x) dosadíme za x libovolné reálné číslo, dostaneme vždy
pravdivý výrok, který můžeme zformulovat několika způsoby:
• Pro každé reálné číslo x platí v1(x).
• Pro všechna reálná čísla x platí v1(x).
• Pro libovolné reálné číslo x platí v1(x).
Symbolický zápis všech těchto výroků je:
∀x ∈ R : x2
≤ 0. (1.17)
Symbol ∀ v zápise 1.17 nazýváme obecný kvantifikátor.
Uvažujeme-li výrokovou formu v1(x) a množinu D její definiční obor, pak výrok
∀x ∈ D : v1(x)
nazýváme obecný výrok. Výrok 1.17 je příkladem obecného výroku.
b) Uvažujme výrokovou formu
v2(x) : x2
+ 1 = (x + 1)2
, kde x ∈ R.
Definičním oborem výrokové formy v2(x) je množina všech reálných čísel R.
Rovnost x2
+ 1 = (x + 1)2
zřejmě neplatí pro všechna reálná čísla x. Jestliže do
výrokové formy v2(x) dosadíme za proměnnou x například číslo 1, dostaneme
nepravdivý výrok. Ale zřejmě existuje reálné číslo, které po dosazení za x vytvoří z
výrokové formy v2(x) výrok pravdivý. Stačí položit x = 0. Tuto skutečnost můžeme
opět zformulovat několika způsoby:
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 20
Tabulka 1.5: Základní kvantifikátory
Základní kvantifikátor Označení Jazykový význam
Obecný kvantifikátor ∀ pro každé, pro všechny
Existenční kvantifikátor ∃ existuje (alespoň jeden)
Kvantifikátor jednoznačné existence ∃! existuje právě jeden, pro právě jedno
• Existuje reálné číslo x, pro které platí v2(x).
• Existuje alespoň jedno reálné číslo x, pro které platí v2(x).
• Alespoň pro jedno reálné číslo x platí v2(x).
Symbolický zápis všech těchto výroků je:
∃x ∈ R : x2
+ 1 = (x + 1)2
. (1.18)
Symbol ∃ v zápise 1.18 nazýváme existenční kvantifikátor.
Uvažujeme-li výrokovou formu v2(x) a množinu D její definiční obor, pak výrok
∃x ∈ D : v2(x)
nazýváme existenční výrok. Výrok 1.18 je příkladem existenčního výroku.
Obecný a existenční výrok, který jsme získali v příkladu 1.18, jsou tzv. kvantifikované
výroky (obsahují ve své formulaci kvantifikátory). Každý kvantifikovaný výrok
získáme tzv. kvantifikací nějaké výrokové formy tak, že předřadíme kvantifikátor její
proměnné x (případně kvantifikátory všem jejím proměnným x1, x2, , ..., xn). Jednoduché
kvantifikované výroky, s nimiž budeme v dalším textu pracovat, získáme kvantifikací
jednoduché výrokové formy jedné proměnné jedním kvantifikátorem.
Nejčastěji užívané kvantifikátory čteme prostřednictvím těchto jazykových výrazů:
každý, alespoň jeden, žádný, právě jeden, nejvýše jeden, všichni, apod. Základní kvantifikátory
jsou uvedeny v tabulce 1.5.
Základní kvantifikované výroky, které vzniknou kvantifikací jednoduché výrokové
formy v(x) proměnné x ∈ D právě jedním ze základních kvantifikátorů, uvádí tabulka
1.6.
Příklad 1.19 Zapište symbolicky (užitím kvantifikátorů) následující obecné, resp.
existenční výroky a rozhodněte, zda jsou pravdivé, či nepravdivé:
a) Pro každé reálné číslo x platí x2
− 4x + 7 > 0.
b) Existuje reálné číslo x, pro které platí |x| = 0.
c) Existuje reálné číslo x, pro které platí x2
= −2.
21
Tabulka 1.6: Základní kvantifikované výroky
Název kvantifikovaného výroku Symbolický zápis Slovní vyjádření
Obecný výrok ∀x ∈ D : v(x) Pro každé x ∈ D platí v(x).
Existenční výrok ∃x ∈ D : v(x) Existuje alespoň jedno x ∈ D, pro které platí v(x).
Výrok o jednoznačné existenci ∃!x ∈ D : v(x) Existuje právě jedno x ∈ D, pro které platí v(x).
Řešení:
a) ∀x ∈ R : x2
− 4x + 7 > 0. (pravdivý výrok)
b) ∃x ∈ R : |x| = 0. (pravdivý výrok)
c) ∃x ∈ R : x2
= −2. (nepravdivý výrok)
Příklad 1.20 Přečtěte a zapište slovy symbolický zápis obecných a existenčních výroků
a rozhodněte o jejich pravdivosti:
a) ∀x ∈ N : x > 7.
b) ∀x ∈ R : |x| > 0.
c) ∃x ∈ Z : x2
< 1.
d) ∃x ∈ A : x < −1, kde A = {7, 8, −3}.
Řešení:
a) Pro každé přirozené číslo x platí, že x je větší než 7. (nepravdivý výrok)
b) Pro každé reálné číslo x platí, že absolutní hodnota z x je větší než 0.
(nepravdivý výrok)
c) Existuje celé číslo x, jehož druhá mocnina je menší než 1. (pravdivý výrok)
d) Existuje číslo x z množiny A takové, že x je menší než -1. (pravdivý výrok)
Příklad 1.21 Rozhodněte o pravdivosti, resp. nepravdivosti kvantifikovaného výroku:
a) ∀x ∈ N : |x| = x, b) ∃x ∈ N : x /∈ R, c) ∃x ∈ Q : x /∈ N,
d) ∃y ∈ N : y /∈ Z, e) ∃x ∈ Z : x ≤ 0, f) ∀y ∈ N : 2 | y.
Řešení: Výroky a), c), e) jsou pravdivé. Výroky b), d), f) jsou nepravdivé.
V dalším textu se budeme zabývat pravidly pro negace jednoduchých kvantifikovaných
výroků s jedním kvantifikátorem, která jsou shrnuta v tabulce 1.7. Tato pravidla lze slovy
popsat následujícím způsobem:
1) V negovaném kvantifikovaném výroku zaměníme každý kvantifikátor ∀ obecného
výroku existenčním kvantifikátorem ∃ a naopak každý kvantifikátor ∃ existenčního
výroku obecným kvantifikátorem ∀.
2) Výrokovou formu v negovaném kvantifikovaném výroku nahradíme její negací.
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 22
Tabulka 1.7: Obecný a existenční kvantifikovaný výrok a jeho negace
Kvantifikovaný výrok Jeho negace
Obecný výrok ∀x ∈ D : v(x) Existenční výrok ∃x ∈ D : ¬v(x)
Existenční výrok ∃x ∈ D : v(x) Obecný výrok ∀x ∈ D : v(x)
Příklad 1.22 Zformulujte negace jednoduchých kvantifikovaných výroků dle tabulky 1.7:
a) Každé přirozené číslo je sudé.
b) Přišel alespoň jeden člověk.
c) Všichni moji spolužáci odmaturovali.
d) Žádná dívka z naší třídy nezpívá.
e) Nikdo nepřijel vlakem.
f) Někdo je za dveřmi.
Řešení:
a) Alespoň jedno přirozené číslo není sudé.
b) Žádný člověk nepřišel.
c) Alespoň jeden z mých spolužáků neodmaturoval.
d) Alespoň jedna dívka z naší třídy zpívá.
e) Někdo přijel vlakem.
f) Nikdo za dveřmi není.
Příklad 1.23 Zformulujte negace jednoduchých kvantifikovaných výroků z příkladu 1.19,
zapište je symbolicky a rozhodněte o jejich pravdivosti.
Řešení:
a) Existuje alespoň jedno reálné číslo x, pro které neplatí x2
− 4x + 7 > 0.
symbolický zápis: ∃x ∈ R : x2
− 4x + 7 ≤ 0 (nepravdivý výrok)
b) Pro všechna reálná čísla x neplatí |x| = 0.
symbolický zápis: ∀x ∈ R : |x| = 0 (nepravdivý výrok)
c) Pro všechna reálná čísla x neplatí x2
= −2.
symbolický zápis: ∀x ∈ R : x2
= −2 (pravdivý výrok)
Příklad 1.24 Zformulujte negace jednoduchých kvantifikovaných výroků z příkladu
1.21. Porovnejte pravdivostní hodnoty těchto negací s pravdivostními hodnotami
původních výroků.
Řešení:
a) ∃x ∈ N : |x| = x, b) ∀x ∈ N : x ∈ R, c) ∀x ∈ Q : x ∈ N,
d) ∀y ∈ N : y ∈ Z, e) ∀x ∈ Z : x > 0, f) ∃y ∈ N : 2 | y.
Výroky b), d), f) jsou pravdivé. Výroky a), c), e) jsou nepravdivé.
23
Tabulka 1.8: Negace složených kvantifikovaných výroků
Složený obecný výrok Jeho negace Složený existenční výrok Jeho negace
∀x ∈ D : p(x) ∧ q(x) ∃x ∈ D : ¬p(x) ∨ ¬q(x) ∃x ∈ D : p(x) ∧ q(x) ∀x ∈ D : ¬p(x) ∨ ¬q(x)
∀x ∈ D : p(x) ∨ q(x) ∃x ∈ D : ¬p(x) ∧ ¬q(x) ∃x ∈ D : p(x) ∨ q(x) ∀x ∈ D : ¬p(x) ∧ ¬q(x)
∀x ∈ D : p(x) ∨ q(x) ∃x ∈ D : p(x) ⇔ q(x) ∃x ∈ D : p(x) ∨ q(x) ∀x ∈ D : p(x) ⇔ q(x)
∀x ∈ D : p(x) ⇒ q(x) ∃x ∈ D : p(x) ∧ ¬q(x) ∃x ∈ D : p(x) ⇒ q(x) ∀x ∈ D : p(x) ∧ ¬q(x)
∀x ∈ D : p(x) ⇔ q(x) ∃x ∈ D : p(x) ∨ q(x) ∃x ∈ D : p(x) ⇔ q(x) ∀x ∈ D : p(x) ∨ q(x)
Kvantifikované výroky se složenou výrokovou formou se negují kombinací pravidel
pro negování jednoduchých kvantifikovaných výroků s pravidly pro negování složených
výrokových forem viz tabulka 1.8.
Příklad 1.25 S využitím tabulky 1.8 negujte složené kvantifikované výroky, zapište je
symbolicky a zjistěte, zda jsou pravdivé či nepravdivé.
a) ∃x ∈ R : x2
> 9 ∧ x < −5.
b) ∃x ∈ N : x = 4 ∨ x | 8.
c) ∀x ∈ R : x2
= −2 ∨ |x| > 0.
d) ∀x ∈ N : x | 2 ∧ x | 3.
Řešení:
a) ∀x ∈ R : x2
≤ 9 ∨ x ≥ −5. (nepravdivý výrok)
b) ∀x ∈ N : x = 4 ∧ x | 8. (nepravdivý výrok)
c) ∃x ∈ R : x2
= −2 ∧ |x| ≤ 0. (pravdivý výrok)
d) ∃x ∈ N : x | 2 ∨ x | 3. (pravdivý výrok)
1.3.3 Úlohy k procvičení
1. Určete, které ze zadaných sdělení jsou, resp. nejsou výroky případně hypotézy. V
případě výroků stanovte jejich pravdivostní hodnotu.
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 24
a) Vstupte!
b) 4 + 7 < 2
c) Číslo 7 je prvočíslo.
d) Číslo 29 není prvočíslo.
e) Dnes je 23. srpna.
f) 3 + x = 7
g) Venku svítí sluníčko.
h) V zimě pojedeme na hory.
i) Bůh existuje.
j) Matematická olympiáda.
k) Pro každé reální číslo x platí x2
> 0.
l) Existuje alespoň jedno reální číslo x, pro které neplatí x2
> 0.
m) a + b − 3
2. Vezměte libovolný psaný text z časopisu nebo novin a vyberte z něj věty, které
a) jsou výroky, b) nejsou výroky.
3. Žáci prvního stupně základní školy pronáší při vyučování v matematice různé výroky.
Nahlédněte do příslušných učebních textů a tvořte a zapište výroky, k jejichž vyslovení
je žák veden. Uveďte pravdivé výroky, které žák vyslovuje, když odpovídá
správně. Uveďte i nepravdivé výroky, které žák vyslovuje, když odpovídá chybně.
4. Je dána dvojice výroků p, q, z nichž jeden je pravdivý a druhý nepravdivý:
p: 22
= 4 (nepravdivý výrok), q: 8 < 9 (pravdivý výrok).
Utvořte složené výroky ¬p, ¬q, p ∧ q, p ∨ q, p ∨ q, p ⇒ q, p ⇔ q a rozhodněte
s využitím tabulky pravdivostních hodnot 1.2, které z nich jsou pravdivé a
které nepravdivé.
5. Zapište symbolicky zadané výroky. Stručně zformulujte jejich negace a zapište je
symbolicky.
a) Mrzne, ale nefouká.
b) Nemrzne ani nefouká.
c) Jetliže fouká, nemrzne.
d) Nemrzne nebo fouká.
e) Fouká jen tehdy, když nemrzne.
f) Buď nefouká, nebo mrzne.
6. Zapište symbolicky následující výroky:
a) Koupím limonádu, zmrzlinu a jahody.
b) Když koupím limonádu, nekoupím zmrzlinu ani jahody.
c) Koupím limonádu nebo jahody jen tehdy, když nekoupím zmrzlinu.
25
7. Rozhodněte o pravdivosti následujících výroků:
a) Jestliže 8 − 2 = 5, potom 8 > 10.
b) Jestliže 8 − 2 = 5, potom 5 + 6 = 11.
c) Jestliže 8 − 2 = 6, potom 5 · 6 = 15.
d) Jestliže číslo 756 je dělitelné číslem 12, pak číslo 2331 je dělitelné číslem 33.
e) Číslo 1764 je dělitelné číslem 18 právě tehdy, když číslo 105 je dělitelné číslem 7.
f) 8 > 10 ⇔ −5 < −10
g) 8 + 5 = 13 ⇔ 5 · 6 = 11
8. Nechť p, q, r, s jsou čtyři výroky, z nichž výroky p, q jsou pravdivé a výroky r, s
jsou nepravdivé. Rozhodněte o pravdivostní hodnotě následujících složených výroků:
a) p ∨ r, b) p ⇒ r, c) r ⇒ p, d) s ⇔ q,
e) s ⇒ q, f) ¬q, g) ¬p, h) (p ∨ r) ⇒ q,
i) ¬p ∨ ¬q, j) (p ∨ q) ∧ r, k) s ⇒ (p ∧ q), l) (r ∨ s) ⇒ (¬p ∧ ¬q).
9. Proveďte pravdivostní vyhodnocení následujících výrokových formulí a rozhodněte o
typu výrokové formule, kde p, q, r, s, t, u jsou výrokové proměnné:
a) ¬(p ∨ ¬p),
b) ¬(p ∧ ¬p),
c) (p ⇒ q) ⇒ [(q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)],
d) [s ⇒ (t ∧ u)] ⇔ [(s ⇒ t) ∧ (s ⇒ u)],
e) ¬(p ∨ q) ∧ (¬p ⇒ q)
10. Ověřte, že jsou logicky ekvivalentní tyto dvojice výrokových formulí:
a) (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) a p ∨ q,
b) ¬p ∨ q a p ⇒ q,
c) (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) a p ⇔ q.
11. Určete, kolik řádků má tabulka pravdivostních hodnot pro výrokovou formuli, v níž
se vyskytuje n výrokových proměnných, kde:
a) n = 1, b) n = 2, c) n = 3, d) n = 4.
12. Odpovědi pěti osob A, B, C, D, E pozvaných na slavnostní hostinu lze vyjádřit v
jazyce logiky takto:
a) Přijde A a přijde B.
b) Přijde B nebo přijde C.
c) Jestliže přijde C, přijde D.
d) E přijde právě tehdy, když přijde C.
Rozhodněte, který z výroků je pravdivý, když se z pěti pozvaných osob
žádná nedostavila na hostinu.
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 26
13. Zapište symbolicky výrok: ”Pojedu do Londýna autobusem nebo letadlem a jestliže
v Londýně zůstanu celý víkend, ubytuji se v hotelu.”
14. V okamžiku, kdy na chodbě dohlížející učitel uslyšel řinčení skla, byli ve třídě žáci
A, B, C. Při vyšetřování se zjistilo, že u okna byl nejvýše jeden z žáků A, B. Žák C
byl u okna právě, když tam nebyl žák A. Když B nebyl u okna, nebyl tam ani A.
Lze určit pachatele v případě, že byl jen jeden?
15. Jsou dány následující výroky:
p: Nejsem lyžař nebo nejsem triatlonista.
q: Jestliže nejsem lyžař, jsem triatlonista.
Z následujících možností vyberte výrok, který je ekvivaletní s výrokem p a
výrok, který je ekvivalentní s výrokem q:
v1: Jestliže jsem lyžař, pak nejsem triatlonista.
v2: Jestliže nejsem triatlonista, pak nejsem lyžař.
v3: Jsem triatlonista nebo jsem lyžař.
16. Je dán výrok
r: Jestliže mám auto, jedu k babičce.
Ze zadaných výroků vyberte takový, jenž má stejnou pravdivostní hodnotu jako
výrok r:
a) Jedu k babičce nebo nemám auto.
b) Jestliže nemám auto, nejedu k babičce.
c) Jestliže jedu k babičce, pak mám auto.
d) Jestliže nejedu k babičce, pak nemám auto.
e) Nemám auto nebo jedu k babičce.
17. Vyberte každý obrazec na obrázku 1.1, který vyhovuje následujícím podmínkám:
Obr. 1.1:
27
a) Obrazec je kruh nebo je černý.
b) Obrazec je kruh a je černý.
c) Není pravdivé tvrzení, že obrazec je kruh a je černý.
d) Obrazec není kruh a není černý.
e) Není pravdivé tvrzení, že obrazec je kruh nebo je černý.
f) Obrazec je kruh a není černý.
g) Obrazec je kruh právě tehdy, když je černý.
18. Zapište symbolicky tyto výroky, rozhodněte o jejich pravdivosti a vytvořte jejich
negace:
a) p: Pro každé reálné číslo a platí (a + 1)2
= a2
+ 2a + 1.
b) q: Existuje reálné číslo b takové, že platí (b + 1)3
= b3
+ 1.
c) r: Pro každé reálné číslo x platí
√
x2 = |x|.
d) s: Existuje takové reálné číslo y, pro které platí y2
− 6y + 15 = 0.
e) t: Existuje takové reálné číslo z, pro které platí z2
+ 4 = 0.
19. Zapište symbolicky tyto výroky a rozhodněte o jejich pravdivosti:
p: Některá přirozená čísla jsou větší než 1030
.
q: Je možné určit racionální číslo větší než 1
102
a menší než 1
101
.
r: Je možné určit racionální číslo větší než 1
101
a menší než 1
102
.
s: Pro libovolné reálné číslo z je z2
− 10z + 100 > 0.
t: Nerovnici x2
− 20x + 120 < 0 nevyhovuje žádné reálné číslo.
20. Rozhodněte o pravdivosti obecného a existenčního výroku a utvořte jeho negaci.
Potom výrok a jeho negaci zapište pomocí kvantifikátorů:
a) p: Existuje alespoň jedno reálné číslo a, pro které platí a2
= 3.
b) q: Pro každé celé číslo b platí 3b + 1 > b.
c) r: Pro každý trojúhelník ABC platí, že součet kterýchkoli dvou vnitřních
úhlů je větší než úhel pravý.
21. Rozhodněte o pravdivosti, resp. nepravdivosti kvantifikovaného výroku:
a) ∀x ∈ R : x2
= −1, b) ∀z ∈ Z : |z| = z,
c) ∃x ∈ Q : x ∈ N, d) ∀x ∈ N : x ∈ Z,
e) ∀y ∈ Z : y > 0, f) ∃x ∈ N : 2 | x.
22. Zformulujte negace jednoduchých kvantifikovaných výroků z předchozího příkladu.
Porovnejte pravdivostní hodnoty těchto negací s pravdivostními hodnotami
původních výroků.
a) ∃x ∈ R : x2
= −1, b) ∃z ∈ Z : |z| = z,
c) ∀x ∈ Q : x /∈ N, d) ∃x ∈ N : x /∈ Z,
e) ∃y ∈ Z : y ≤ 0, f) ∀x ∈ N : 2 | x.
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 28
23. Ve věštírně seděli tři bohové, kteří odpovídali na otázky: Pravda (mluví vždy
pravdu), Lež (vždy lže) a Moudrost (někdy mluví pravdu a někdy lže). Do
věštírny přišel filozof, aby zjistil, jak sedí bohové vedle sebe (podle vzhledu
to nepoznal). Filozof se zeptal toho vlevo: ”Který vedle tebe sedí?” a dostal
odpověď ”Pravda”. Pak se zeptal toho prostředního: ”Kdo jsi?” a dostal odpověď
”Moudrost”. Nakonec se obrátil k pravému: ”Který sedí vedle tebe?” a odpověď
zněla: ”Lež”. Jak z těchto odpovědí filozof uhodl pořadí bohů?
Výsledky:
1. pravdivé výroky: c), l),
nepravdivé výroky: b), d), k),
výroky, jejichž pravdivostní hodnota je časově nebo místně podmíněna: e), g),
hypotézy: h), i),
jazykové výrazy, které nejsou výroky: a), f) (výroková forma), j), m).
4. ¬p: 22
= 4 (pravdivý výrok),
¬q: 8 ≥ 9 (nepravdivý výrok),
p ∧ q: (22
= 4) ∧ (8 < 9) (nepravdivý výrok),
p ∨ q: (22
= 4) ∨ (8 < 9) (pravdivý výrok),
p ∨ q: (22
= 4) ∨ (8 < 9) (pravdivý výrok),
p ⇒ q: (22
= 4) ⇒ (8 < 9) (pravdivý výrok),
p ⇔ q: (22
= 4) ⇔ (8 < 9) (nepravdivý výrok).
5. Označme výroky
m: Mrzne. f: Fouká.
Zadané výroky zapsané symbolicky:
a) m ∧ ¬f b) ¬m ∧ ¬f c) f ⇒ ¬m
d) ¬m ∨ f e) f ⇔ ¬m f) ¬f ∨ m
Negace složených výroků zapsané symbolicky a jejich slovní formulace:
a) ¬m ∨ f: Nemrzne nebo fouká.
b) m ∨ f: Mrzne nebo fouká.
c) f ∧ m: Fouká a mrzne.
d) m ∧ ¬f: Mrzne a nefouká.
e) f ∨ ¬m: Buď fouká, nebo nemrzne.
f) ¬f ⇔ m: Nefouká jen tehdy, když mrzne.
6. Označme výroky:
l: Koupím limonádu. z: Koupím zmrzlinu. j: Koupím jahody.
Zadané výroky zapsané symbolicky:
a) m ∧ z ∧ j b) l ⇒ (¬z ∧ ¬j) c) (l ∨ j) ⇔ ¬z
7. Výroky a), b), e), f) jsou pravdivé; výroky c), d), g) jsou nepravdivé.
29
8. Složené výroky a), c), e), h), k), l) jsou pravdivé; složené výroky b), d), f), g), i), j)
jsou nepravdivé.
9. Tautologie jsou výrokové formule b), c), d) . Kontradikce jsou výrokové formule a), e).
10. a) Z tabulky pravdivostních hodnot je patrné, že výrokové formule (p∧¬q)∨(¬p∧q)
a p ∨ q jsou logicky ekvivalentní.
(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) p ∨ q
1 0 0 0 0 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1 1 0 1 1
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
b) Z tabulky pravdivostních hodnot je patrné, že výrokové formule ¬p∨q a p ⇒ q
jsou logicky ekvivalentní.
¬p ∨ q p ⇒ q
0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0
1 1 1 0 1 1
1 1 0 0 1 0
c) Z tabulky pravdivostních hodnot je patrné, že výrokové formule (p ⇒ q)∧(q ⇒
p) a p ⇔ q jsou logicky ekvivalentní.
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) p ⇔ q
1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0 0 1
0 1 0 1 1 1 1 0
11. a) 2 řádky, b) 4 řádky, c) 8 řádků, d) 16 řádků.
12. Pravdivé jsou výroky c), d).
13. Označme výroky:
a: Pojedu autobusem. l: Pojedu letadlem.
z: V Londýně zůstanu celý týden. h: Ubytuji se v hotelu.
Zadaný složený výrok zapíšeme symbolicky: (a ∨ l) ∧ (z ⇒ h).
14. Ověříme výrokovou formuli D : (¬A ∨ ¬B) ∧ (C ⇔ ¬A) ∧ (¬B ⇒ ¬A), viz tabulka:
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 30
A B C ¬A ¬B ¬A ∨ ¬B C ⇔ ¬A ¬B ⇒ ¬A D
1 1 1 0 0 0 0 1 0
1 1 0 0 0 0 1 1 0
1 0 1 0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 1 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 0 1 0
Z tabulky pravdivostních hodnot je zřejmé, že složený výrok D je pravdivý pouze v
případě, kdy okno rozbil žák C.
15. Označme výroky:
l: Jsem lyžař. t: Jsem triatlonista.
S tímto označením pak získáváme složené výroky
p: ¬l ∨ ¬t, q: ¬l ⇒ t,
v1: l ⇒ ¬t, v2: ¬t ⇒ ¬l, v3: t ∨ l.
jejichž pravdivostní hodnoty zapíšeme do tabulky:
l t ¬l ¬t p q v1 v2 v3
1 1 0 0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 1 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1 1 0
Z tabulky pravdivostních hodnot je zřejmé, že výroky p, v1 a q, v3 jsou ekvivalentní.
16. Označme výroky:
p: Mám auto.
q: Jedu k babičce.
r: Jestliže mám auto, jedu k babičce.
Pro toto označení jsou zadané složené výroky zapsané symbolicky následu-
jící:
a) q ∨ ¬p: Jedu k babičce nebo nemám auto.
b) ¬p ⇒ ¬q: Jestliže nemám auto, nejedu k babičce.
c) q ⇒ p: Jestliže jedu k babičce, pak mám auto.
d) ¬q ⇒ ¬p: Jestliže nejedu k babičce, pak nemám auto.
e) ¬p ∨ q: Nemám auto nebo jedu k babičce.
Výrok r je zapsán symbolicky p ⇒ q. Provedeme pravdivostní ohodnocení
zadaných složených výroků pomocí tabulky pravdivostních hodnot:
31
p q ¬p ¬q p ⇒ q q ∨ ¬p ¬p ⇒ ¬q q ⇒ p ¬q ⇒ ¬p ¬p ∨ q
1 1 0 0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
Z tabulky pravdivostních hodnot je zřejmé, že výroky a), d), e) jsou logicky ekvivalentní
se zadaným výrokem r.
17. a) 7 obrazců (všechny černé obrazce a dva kruhy, které nejsou černé).
b) 2 obrazce (dva černé kruhy).
c) 10 obrazců (všechny obrazce mimo dvou černých kruhů).
d) 5 obrazců.
e) 5 obrazců.
f) 2 obrazce (všechny kruhy, které nejsou černé).
g) 7 obrazců (dva černé kruhy a pět obrazců, co nejsou černé a nejsou kruhy).
18. a) p : ∀a ∈ R : (a + 1)2
= a2
+ 2a + 1. (pravdivý výrok)
¬p : ∃a ∈ R : (a + 1)2
= a2
+ 2a + 1. (nepravdivý výrok)
¬p : Existuje reálné číslo a, pro které neplatí (a + 1)2
= a2
+ 2a + 1.
b) q : ∃b ∈ R : (b + 1)3
= b3
+ 1. (pravdivý výrok; b = 0)
¬q : ∀b ∈ R : (b + 1)3
= b3
+ 1. (nepravdivý výrok)
¬q : Pro všechna reálná čísla b platí (b + 1)3
= b3
+ 1.
c) r : ∀x ∈ R :
√
x2 = |x|. (pravdivý výrok)
¬r : ∃x ∈ R :
√
x2 = |x|. (nepravdivý výrok)
¬r : Existuje reálné číslo x, pro které neplatí
√
x2 = |x|.
d) s : ∃y ∈ R : y2
− 6y + 15 = 0. (pravdivý výrok: y1 = 5, y2 = 3)
¬s : ∀y ∈ R : y2
− 6y + 15 = 0. (nepravdivý výrok)
¬s : Pro všechna reálná čísla y platí y2
− 6y + 15 = 0.
e) t : ∃z ∈ R : z2
+ 4 = 0. (nepravdivý výrok)
¬t : ∀z ∈ R : z2
+ 4 = 0. (pravdivý výrok)
¬t : Pro všechna reálná čísla z platí z2
− 6z + 15 = 0.
19. p: ∃n ∈ N : n > 30. (pravdivý výrok)
q: ∃x ∈ Q : x > 1
102
∧ x < 1
101
. (pravdivý výrok)
r: ∃x ∈ Q : x < 1
102
∧ x > 1
101
. (nepravdivý výrok)
s: ∀z ∈ R : z2
− 10z + 100 > 0. (pravdivý výrok)
t: ∀x ∈ R : x2
− 20x + 120 ≥ 0. (pravdivý výrok)
20. a) p : ∃a ∈ R : a2
= 3. (pravdivý výrok)
Základy elementární matematiky s didaktikou pro učitelství 1. stupně ZŠ 32
¬p : Pro všechna reálná čísla a platí, že a2
= 3.
¬p : ∀a ∈ R : a2
= 3. (nepravdivý výrok)
b) q : ∀b ∈ Z : 3b + 1 > b. (nepravdivý výrok)
¬q : Existuje celé číslo b, pro které platí 3b + 1 ≤ b.
¬q : ∃b ∈ Z : 3b + 1 ≤ b. (pravdivý výrok)
c) Označme T množinu všech trojúhelníků a R pravý úhel.
r : ∀ ABC ∈ T : (∠ABC + ∠BCA > R) ∧ (∠ABC + ∠CAB > R) ∧
(∠BCA + ∠CAB > R) (nepravdivý výrok)
¬r : Existuje trojúhelník ABC, pro který platí, že součet některých jeho dvou
vnitřích úhlů je menší nebo roven úhlu pravému.
¬r : ∃ ABC ∈ T : (∠ABC + ∠BCA ≤ R) ∨ (∠ABC + ∠CAB ≤ R) ∨
(∠BCA + ∠CAB ≤ R). (pravdivý výrok)
21. Výroky a), c), d), f) jsou pravdivé. Výroky b), e) jsou nepravdivé.
22. Výroky b), e) jsou pravdivé. Výroky a), c), d), f) jsou nepravdivé.
23. Zleva seděli bohové v tomto pořadí: Moudrost, Lež, Pravda.