MA0002 — řešení DÚ č. 2
Cvičení 2.1 Vypočtěte:
(a) 8!
(b) (t)
(c) (g) Řešení:
Dosazením získáváme (a) 40 320; (b) 111 930; (c) 677 040.
Cvičení 2.2 Ve třídě je 13 chlapců a 15 dívek. Kolika způsoby z nich lze vytvořit šestičlenné družstvo takové, aby v něm bylo alespoň tolik dívek, jako chlapců?
Řešení:
Má-li být v družstvu alespoň tolik dívek, kolik chlapců, máme čtyři možnosti skladby s ohledem na pohlaví - 3 dívky a 3 chlapci, 4 dívky a 2 chlapci, 5 dívek a 1 chlapec, nebo 6 dívek. Pro každou z těchto možností vypočítáme počet možných voleb, výsledné počty poté sečteme.
V prvním případě vybíráme trojici z 15 dívek a nezávisle na tomto výběru trojici ze 13 chlapců, možností výběru je (g5) • (g3). Stejným způsobem určíme počet možných družstev i pro zbylé případy a jednotlivé počty sečteme.
(?) • (?) + (?) • (?) + (?) • (?) + (?) = 280644 Družstvo lze vytvořit 280 644 způsoby.
Cvičení 2.3 Kolika způsoby lze na šachovnici rozestavit 8 věží tak, aby se navzájem neohrožovaly?
Řešení:
Dle pravidel šachů věž ohrožuje figurky stojící ve stejném sloupci nebo řádku. Vždy, když vybereme políčko pro jednu věž, „zakážeme" všechna políčka v tomtéž řádku i sloupci. Po umístění sedmé věže nám zůstane pouze jedno volné „nezakázané" políčko pro poslední věž. Každé další možné umístění 8 věží je některou permutací řádků (nebo sloupců) šachovnice, kterých existuje 8! = 40320.
VĚŽE můžeme umístit 40 320 způsoby.
Cvičení 2.4 Kolika způsoby lze 26 znakům přiřadit 26 různých zvuků? Uveďte odhad.
47
Řešení:
Zafixujme si pořadí zvuků a k nim hledejme různá pořadí znaků. Jejich počet je 26! = 4,03-1026.
Znaky lze ke zvukům přiřadit přibližně 4,03 • 1026 způsoby.
48
Cvičení 2.5 Kolika způsoby lze 26 znakům přiřadit 26 různých zvuků, víme-li, kterých 6 znaků patří samohláskám? Uveďte odhad.
(a) Víme konkrétně který znak patří které samohlásce.
(b) Víme, kterých 6 znaků patří samohláskám, nevíme však, který znak patří které samohlásce.
Řešení:
(a) Znaky patřící samohláskám jsou dané, zbývá nám pouze spočítat počet přiřazení znaků souhláskám. Zafixujme si pořadí 20 souhlásek a hledejme k nim různá pořadí znaků patřícím souhláskám.
20! = 2,43 • 1018
Znaky lze ke zvukům přiřadit přibližně 2,43 ■ 1018 způsoby.
(b) Zafixujme si pořadí 6 samohlásek a k nim hledejme různá pořadí znaků patřících samohláskám (různých pořadí je 6!). Stejně tak určeme nezávisle na pořadí samohlásek počet přiřazení zbylých 20 znaků a zvuků. 6!-20! = l,75-1021
Znaky lze ke zvukům přiřadit přibližně 1,75 ■ 1021 způsoby.
Cvičení 2.6 Kolika způsoby lze 26 znakům přiřadit 26 různých zvuků, známe-li znaky pro 4 z 6 samohlásek (víme, který znak patří které samohlásce) a pro 13 z 20 souhlásek (víme, který znak patří které souhlásce)?
Řešení:
Zbývá nám přiřadit znaky k 7 souhláskám a 2 samohláskám, dohromady k 9 zvukům, to uděláme podobně jako v předchozích cvičeních. 9! = 362 880
Znaky lze ke zvukům přiřadit 362 880 způsoby.
Cvičení 2.7 Sedm dívek tančí v kruhu. Kolika různými způsoby mohou být v kruhu seřazeny?
Řešení:
Nejdříve určíme počet různých pořadí dívek v řadě, těch je 7!. Rozdíl mezi řadou a kruhem je takový, že u kruhu nelze určit začátek - každou ze 7! řad máme tedy v počtu kruhů započítanou sedmkrát. Proto získáváme 7! : 7 = 720 různých pořadí v kruhu.
dívky mohou být seřazeny 720 způsoby.
Cvičení 2.8 Kolik různých náhrdelníků je možno sestavit ze 7 různých korálků?
Řešení:
Úloha je velmi podobná předchozí úloze, jediným rozdílem je, že náhrdelník můžeme i přetočit (to u dívek nebylo možné, tančily by hlavou dolů). Dva různé náhrdelníky lišící se pouze o přetočení považujeme za jeden, proto různých náhrdelníků bude poloviční počet kruhů dívek z předchozího příkladu. fy =360
lze sestavit 360 různých náhrdelníků.
49
Cvičení 2.9 Porovnejte: 152! + 151! a 150! + 153! Řešení:
152! + 151!        150! + 153! 150!(152 • 151 + 151)        150!(1 + 153 • 152 • 151) 150! -23104  <   150! -3 511657
Cvičení 2.10 Seřaďte dle velikosti následující kombinační čísla:
(*) (\572)
(V (ir)
(c) ffl Řešení:
(a) fi?)
(b) fi?) = (\572)+©
(C)  (135) = (l52-135) = ( 17 )
/152\ _ /152\ ^ fl53^ KYJ ) ~ U35J ^ U7 )
Cvičení 2.11 Vypočtěte: (435) Řešení:
(435) = 3T§! = = 15 • 22 • 43 = 14190
Cvičení 2.12 Vypočtěte: (JJ)
Řešení:
(es) = bsSi = Z2^T5 = 3 • 71 • 70 • 69 = 1028 790 Cvičení 2.13 Sečtěte: g) + g) + g) + g) + g) Řešení:
(3) + (3) + (3) + (3) + (D = 3TŠ! + 3TIÍ + 3T2l + 3T3T + ŠTi! = = T + f + ¥ + W + W = 1+ 4+10 + 20 + 35 = 70
Cvičení 2.14 Sečtěte: g) + g) + g) + g) + g) Řešení:
(5) + (5) + (5) + (5) + (5) = 5RJ! + WD. + 5T2T + 5T3T + 5FÍ! = = T + f + ¥ + W + = 1 + 6 + 21 + 56 + 126 = 210
50
Cvičení 2.15 Vyjádřete jedním kombinačním číslem a vyčíslete:
(*) O + 0 o>) (?) + (?)
(c) (?) + (?) Řešení:
(a) ffl + ffl = (?) + ffl = (?) = 210 00 (?) + (?) = (?) + (?) = (?) = 220 (c) (?) + (?) = (?) = ! 716 Cvičení 2.16 Vypočtěte: S\, (42), (g)
Řešení: 8! = 40320
(42) = ^ = 42-441342039 = 7-41 • 10 • 39 = 111930 (65) = ^ = 65-%f62 = 65 • 8 • 21 • 62 = 677040
Cvičení 2.17 Zjednodušte: ^ - %++3^ -Řešení:
= n2 + 3n + 2 - (n + 2) - (n2 + n) = n Cvičení 2.18 Dokažte: nl + (n- l)!n2 = (n + 1)! Řešení:
Upravujme postupně levou stranu
n! + (n - l)!n2 = n! + n!n = n!(l + n) = (n + 1)!
Cvičení 2.19 Sečtěte: ^ - + ^
Řešení:
^-2{^í + (At = (" + 2)(" + 1)-2(" + 1)" + ^-1) = = n2 + 3n + 2 - 2n2 - 2n + n2 - n = 2
Cvičení 2.20 Najděte všechna n € N, pro něž ptóí":
O (:::)-
51
Řešení:
(n-l)!   +   (n-2)! _A
(n-3)!-2! (n-4)!-2! (n-l)(n-2) (n-2)(n-3)
2 2 (n-l)(n-2) + (n-2)(n-3) =8
re2 - 3n + 2 + n2 - 5n + 6 =8 2n2 - 8n =0 2n(n - 4) =0
V kombinačním čísle se nesmí vyskytovat záporná čísla, proto nemá rovnice pro n = 0 smysl a jediným řešením je n = 4.
Cvičení 2.21 Zjednodušte: - -
Řešení:
^lj|-S-Ní = (P+l)P-(P + 5)-(P-5)(p-6) = = p2+p-p-5-p2 + llp-30 = lip-35
52