MA0002 — 5. domácí úkol
Cvičení 5.1 Na večírku se sešlo několik přátel. Každý si při přípitku připil
s každým a ozvalo se 28 cinknutí. Kolik přátel se sešlo na večírku?
Cvičení 5.2 Kolik různých čísel dělitelných třemi menších než 10000 lze
sestavit z číslic 0, 2, 3, 4, 6 takových, že se v nich číslice neopakují?
Cvičení 5.3 Vymyslete slovní úlohu tak, aby výsledek byl
(a) 12!
3!2!2!2!
(b) 12!
9!
Cvičení 5.4 Kolika způsoby můžeme mezi tři děti rozdělit 9 stejných jablek?
Kolika způsoby můžeme těchto 9 jablek rozdělit mezi tři děti spravedlivě?
Cvičení 5.5 Kolika způsoby lze mezi tři děti rozdělit 15 stejných jablek a 9
stejných hrušek? Kolika způsoby to lze provést spravedlivě?
Cvičení 5.6 Kolika způsoby můžeme mezi čtyři studenty rozdělit 7 různých
matematických sbírek?
Cvičení 5.7 Kolika způsoby může dát 5 chlapců 6 dívkám valentýnky, jestliže
se chlapci mezi sebou nedomlouvali a každý z nich dá valentýnku právě jedné
dívce?
Cvičení 5.8 Kolika způsoby lze ze třídy, v níž je 10 hochů a 20 dívek, vybrat
trojici tak, aby v ní byl alespoň jeden hoch?
Cvičení 5.9 Kolika způsoby můžeme obarvit pěti barvami dvanáct stejných
kuliček?
Cvičení 5.10 Vyřešte v oboru Z rovnice:
(a) 2(x−1)!
(x−2)! + (x−2)!
(x−4)! = 6x − 16
(b) (x+1)!
(x−1)! − (x+4)!
(x+3)! = 0
(c) 2(x−3)!
(x−5)! − (x−2)!
(x−4)! = 0
(d) 2(x+2)!
(x−1)! − (x+1)!
(x−2)! = 0
Cvičení 5.11 Kolika způsoby můžeme nalepit na dopis známky za 18 Kč,
máme-li k dispozici známky za 2, 4 a 10 Kč (v libovolném potřebném množství)?
Vypište všechny možnosti.
72
Cvičení 5.12 Na kolik oblastí rozdělí rovinu n přímek v obecné poloze (tzn.
žádné dvě nejsou rovnoběžné a žádné tři se neprotínají v témže bodě)?
[Návod: Promyslete si případy pro n = 1, n = 2 atd., odvoďte rekurentní
vztah a z něj určete počet oblastí v závislosti na počtu přímek.]
Cvičení 5.13 Dokažte (např. matematickou indukcí):
(a) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
(b) 2 + 4 + 6 + · · · + (2n) = n2 + n
(c) 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = n2 − 1
(d) 3 + 5 + 7 + · · · + (2n + 1) = n2 + 2n
(e) 1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) = 3n2 − n
Cvičení 5.14 Sečtěte:
(a) S = n + (n + 3) + (n + 6) + · · · + 4n
(b) S = (−31) + (−27) + (−23) + · · · + 29 + 33
(C) S = n + (n + 2) + (n + 4) + · · · + 3n
(d) S = (−8) + (−5) + (−2) + 1 + 4 + · · · + (3n + 1)
(e) S = (−5) + (−3) + (−1) + 1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 5) + (2n + 7)
Cvičení 5.15 Sečtěte (každou variantu rozložte na dvě aritmetické posloup-
nosti):
(a) S = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · + (−1)n+1n
(b) S = 1 − 2 + 4 − 4 + 7 − 6 + 10 − 8 · · · + (3n − 2) + (−1)2n+12n
Cvičení 5.16 Sečtěte:
(a) S = 2 + 22 + 23 + · · · + 2n
(b) S = 1 − 1
2 + 1
22 − 1
23 + · · · + (−1)n 1
2n
(c) S = 1 + 2 + 4 + · · · + 2n+3
(d) S = 1 + 3 + 9 + · · · + 3n+2
(e) S = 1 + 2 + 4 + · · · + 2n+3
(e) S = 1 + 4 + 16 + · · · + 4n−2
Cvičení 5.17 Sečtěte (každou variantu rozložte na aritmetickou a geometrickou
posloupnost):
(a) S = 2 + 5 + 11 + · · · + (3 · 2n−1 − 1)
(b) S = 1 + 5 + 17 + · · · + (2 · 3n−1 − 1)
73