MA0002 — 6. domácí úkol
Cvičení 6.1 Najděte prvočíselný rozklad čísla:
(a) 210
(b) 143
(c) 247
(d) 1 001
(e) 3 575
(f) 3 705
(g) 3 925
(h) 10 127
Cvičení 6.2 Najděte největší společný dělitel a nejmenší společný násobek
čísel:
(a) 240 a 264
(b) 51 a 81
(c) 391 a 10 127
(d) 437 a 247
Cvičení 6.3 Určete součet všech kladných dělitelů čísla s výjimkou čísla sa-
motného:
(a) 10
(b) 14
(c) 15
(d) 24
(e) 18
(f) 21
(g) 6
Cvičení 6.4 Určete rozklad čísla na prvočinitele a počet všech jeho kladných
dělitelů:
(a) 236
(b) 3 159
(c) 1 296
(d) 5 400
(e) 10 125
(f) 5!
(g) 10!
(h) 12!
Cvičení 6.5 Najděte alespoň pět přirozených čísel, která mají lichý počet
přirozených dělitelů.
Cvičení 6.6 Najděte alespoň pět přirozených čísel, která mají sudý počet
přirozených dělitelů.
86
Cvičení 6.7 Pro každá dvě přirozená čísla platí, že součin největšího společného
dělitele a nejmenšího společného násobku je roven součinu těchto dvou
čísel.
(a) Vysvětlete vlastními slovy, že uvedené tvrzení platí.
(b) Ukažte na konkrétním příkladě, že předchozí tvrzení nelze obecně rozšířit
na trojici čísel.
Cvičení 6.8 (*) Najděte všechna přirozená čísla x, y, pro která platí:
nsn(x; y) = NSD(x, y) + 5
[Návod: Uvědomte si, jaký vztah platí mezi nejmenším společným násobkem
a největším společným dělitelem. Jak je to s dělitelností 5 v tomto případě?]
Cvičení 6.9 Dokažte, že pro každá dvě přirozená čísla a, b platí:
(a) NSD(a; b) = 1 ⇒ NSD(ab; a2 + b2) = 1
(b) NSD(a; b) = 1 ⇒ NSD(a + b; a2 + b2) ≤ 2
[Dosaďte za a, b nějaký prvočíselný rozklad. Odtud odvoďte obecné řešení.]
Cvičení 6.10 (*) Dokažte, že jestliže zvolíme libovolných 7 různých prvočísel,
bude součin jejich kladných rozdílů dělitelný číslem 163 840.
[Rozložte 163 840 na prvočinitele a využijte toho, že 2 je jediné sudé
prvočíslo, a také zápisu (prvo)čísel podle zbytku, který dávají po dělení 5.]
Cvičení 6.11 Dokažte, že není-li číslo dělitelné třemi, jeho druhá mocnina
dávaá podělení třemi zbytek 1.
Cvičení 6.12 Dokažte, že čje-li číslo dělitelné 121, pak je dělitelné 11.
Cvičení 6.13 Dokažte, že číslo je dělitelné 105 právě tehdy, když je dělitelné
3, 5 i 7
Cvičení 6.14 Dokažte, že mocnina sudého čísla je vždy dělitelná čtyřmi.
Cvičení 6.15 Uveďte příklad čísla, které není dělitelné 7, avšak jeho druhá
mocnina ano.
Cvičení 6.16 Uveďte příklad čísla, které je dělitelné 13, avšak jeho druhá
mocnina ne.
87