Cvičení 10 - Úloha 10.6
Úloha 10.6. Pro lineární zobrazení tp : IR3 —> IR4 je
Ker^ = ((2; 2; 1)T, (1; 0; 1)T),    Im^ = ((1; 0; 1; 1)T). Sestrojte matici zobrazení ip.
Řešení
Ze zadání můžeme odvodit typ matice A lineárního zobrazení: 4x3. Vektor generující obor hodnot může být zároveň prvním sloupcem matice. Dostáváme tedy
/ 1    0-12    0-13 \
0 <322 a23
1 0,32 ÍI33
\ 1   a42   a43 )
Zbývající prvky matice dopočítáme díky vektorům Kerifj. Pro ně totiž platí A ■ (2; 2; 1)T = (0; 0; 0; 0)T a A ■ (1; 0; 1)T = (0; 0; 0; 0)T. Z toho vycházejí čtyři systémy dvou rovnic o dvou neznámých:
A
1 • 2 + a12 ■ 2 + a13 ■ 1 = 0
1 • 1 + a12 • 0 + a13 ■ 1 = 0
0 • 2 + a22 • 2 + a23 ■ 1 = 0
0 • 1 + a22 ■ 0 + a23 • 1 = 0
l-2 + a32-2 + 033-1 = 0
1 • 1 + a32 • 0 + a33 ■ 1 = 0
1 • 2 1 • 1
042 • 2
a42 • 0
043
a43
0 0
Vyřešením těchto systémů, z nichž první, třetí a čtvrtý jsou v podstatě stejné, dostáváme kýženou matici A:
( 1
0
1 \
0 o