MA0005 Algebra 2, 11. seminář 14. 12. 2021 Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 1/18 Náplň cvičení H Matice přechodu ■ Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi ■ Změna matice lineárního zobrazení při změně báze ■ Změna matice lineární transformace při změně báze B Vlastní čísla a vlastní vektory Literatura a zdroje ■ Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání. Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4. ■ lsibalo.com: Matematika - Lineární algebra. Dostupné z: https://isibalo.com/matematika/linearni-algebra. ■ Fiala, J. a kol. Sbírka úloh z matematiky. Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy, 2008. Dostupné z: https://kam.mff.cuni.cz/~sbirka. Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 2/18 Matice přechodu - motivace Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze 01 = (éí, 62, ... ě^), P = (fi, h,... fn) Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 3/18 Matice přechodu - motivace Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze 01 = (éí, 62, ... ě^), P = (fi, h,... fn) Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., un) zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze /3, hledáme lineární kombinaci Ja pomocí vektorů báze /3, Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 3/18 Matice přechodu - motivace Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze 01 = (éí, 62, ... ě^), P = (fi, h,... fn) Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., un) zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze /3, hledáme lineární kombinaci Ja pomocí vektorů báze /3, tedy hledáme xi,X2,..., x„ e ffi. tak, aby ([71, [72, • • • , Un) = fi • Xi + f2 ' *2 H-----h /n • Xn, Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 3/18 Matice přechodu - motivace Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze 01 = (éí, 62, ... ě^), P = (fi, h,... fn) Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., un) zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze /3, hledáme lineární kombinaci Ja pomocí vektorů báze /3, tedy hledáme xi,X2,..., x„ e ffi. tak, aby ([71, [72, • • • , Un) = fi • Xi + f2 ' *2 H-----h /n • Xn, což vede na řešení systému Ú — /3 • x, tedy řešení soustavy [7 = / fll ^12 • • • ^ln £l ^22 • • • hn m m • • • ■ \ fnl fn2 • • • fnn Un J Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 3/18 Matice přechodu - motivace Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvě různé báze 01 = (éí, 62, ... ě^), P = (fi, h,... fn) Chceme-li vektor ua = (l/i, l/2, ..., un) zadaný v souřadnicích báze a převést do souřadnic báze /3, hledáme lineární kombinaci Ja pomocí vektorů báze /3, tedy hledáme xi,X2,..., x„ e ffi. tak, aby ([71, [72, • • • , Un) = fi • Xi + f2 ' *2 H-----h /n • Xn, což vede na řešení systému Ú — /3 • x, tedy řešení soustavy [7 = / fll ^12 • • • ^ln £l ^22 • • • hn m m • • • ■ \ fnl fn2 • • • fnn Un J Budeme takovou soustavu řešit pro každý vektor zvlášť? < , > < t „ Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 3/18 Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi Libovolný vektor ě/ báze a lze vyjádřit v bázi /3 takto: n Č/ = fl • Pii + £ • P2/H-----1" £7 • Pni = ^ " P/c/' /c=l kde (pi/, p2/,..., Pni) je vektor ě/ vyjádřený v bázi /3, Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 4/18 Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi Libovolný vektor ě/ báze a lze vyjádřit v bázi /3 takto: n Č/ = fl • Pii + £ • P2/H-----1" • Pni = ^ " P/c/' /c=l kde (pi/, p2/,..., Pni) je vektor ě/ vyjádřený v bázi /3, Matice přechodu Maticí přechodu Ppj(X od báze /3 k bázi o rozumíme matici, pro níž platí a = P-Pp„ a Lukáš Másilko 11. cvičení < rS1 ► < -ž ► < ► š ^)Q,0 14. 12. 2021 4/18 Matice přechodu od jedné báze k druhé bázi Libovolný vektor ě/ báze a lze vyjádřit v bázi /3 takto: n Č/ = fl • Pii + £ • P2/H-----1" • Pni = XI r/c ' P/c/' /c=l kde (pi/, p2/,..., Pni) je vektor ě/ vyjádřený v bázi /3, Matice přechodu Maticí přechodu Ppj(X od báze /3 k bázi o rozumíme matici, pro níž platí a = ß-Pß; a Poznámka: ■ Vektory obou bází se ve vztahu (1) zapisují sloupcově. ■ Matice přechodu Pß^a je regulární. ■ Matice = Paß Je maticí přechodu od báze a k bázi ß a platí tento vztah: ß = a> Pa,ß (2) < rS1 ► < -ž ► < ► s ^)Q,0 Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 4/18 Matice přechodu - příklady Převádění souřadnic vektorů při změně báze: Pro vektory ua, Vß zadané v bázích a, resp. ß používáme tyto matice přechodu: ■ Uß = Pß,a ■ Ua ■ Va = Pa,ß • Vß Příklad 1 Jsou dány dvě různé báze a,/3 vektorového prostoru IR3. Najděte matice přechodu P/3,a, Pa,p a určete souřadnice vektoru Úa — (1,2,1) v bázi /3 a souřadnice vektoru vp = (—1,0,3) v bázi a. □ a = 1 :(i,o,i) (2,1,1) (0,0,2)), ß = ( :(o, i, i) (1,0,2) (2,0,2)). a = 1 X1.0.2) (2,1,1) (3,2,4)), ß = ( [(3,3,0) (2,2,4) (0,4,3)). H a = 1 :(i,2,o) Í2 1 1) (1,0,1)), ß = ( :(2>2,i) (1 2 1) (0,0,2)). Výsledky: na dalším slajdu Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 5/18 Výsledky Příkladu 1 i- P p,a = o 0 1 2 (l,2,l)a = (2,-2,|)j9,(-l,0,3)j9 = 1 3 5 iř 8 7 24 19 16i 16i 4 4 4 5 11 6' 4 ' (- 9 Po — II Z. 19 (1,2,1)« = ' ^a,j3 — = (" (1, 2,1)« = (4, -2, i)^, (-1, 0, 3)p = (5, -12,17) -1,- l)a 9 1 17 34 2 -1 3 4 7 2 15 4 2 4 21 2 ' 12 ' -1 2 2 0 -2 -4 , 1 3 6 Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 6/18 Změna matice lineárního zobrazení při změně báze -příklady Příklad 2 Lineární zobrazení (p : U —> V je zadáno maticí As ve standardních bázích U7 V. Pro zadané báze a prostoru U a j3 prostoru V určete matice / 2 1 1. (p :R2 ^ R3, As = í 0 1 V-i 1 a = ((1,2); (-2,1)), f3 = ((1,1,1); (1,1,0); (1, 2, 0)) (l 1 0\ 2. ^ : E3 ->• E4, /4S = /5 ,a = ((l,0,l);(l,l,l);(l,2,0)), 0 11 10 1 V i o o y = ((1,2,-1,0); (0,1,-1,-2); (-1,0,0,-2); (2,1,0,-3)). Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 7/18 Změna matice lineárního zobrazení při změně báze -příklady Příklad 2 Lineární zobrazení

V je zadáno maticí As ve standardních bázích (7, V. Pro zadané báze a prostoru U a /3 prostoru V určete matice ^S,a? A^S'Av*" 3. ^:IR3^IR2, 4S= ( J J J^la = ((lJlJl);(lJ0,4);(lJ4J0))l /5 = ((1,0); (4,1)). Výsledky: na dalším slajdu. Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 8/18 Výsledky Příkladu 2 1- AS,a = 2. As,a = A13,a = 3- ^S,a — /i 1 2 16 730 7 19 • A/3,S = 2 3\ 2 2 2 1 11/ 3 2 \ -5 -3 3 1 1 1 / ■ Af3,S = í • A/3,S = 7 V -3 1 A/3,a = 4 5 12 \ -11 -5 -19 3 2 16 3 2 2 / Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 9/18 Změna matice lineární transformace při změně báze -příklady Příklad 3 Lineární transformace cp : IR3 —>> IR3 je zadána maticí As ve standardní bázi prostoru IR3. Pro bázi a = ((l,l,l);(l,l,0);(l,2,0)) prostoru IR3 určete matice As,a, A*,s? A*, Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 10/18 Výsledky Příkladu 3 1- AS,a = A — 2- As9a = A — Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 11 /18 Výsledky Příkladu 3 Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 12/18 Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastním vektorem lineárního zobrazení cp : V —> V s maticí A rozumíme takový nenulový vektor u e V, pro který platí (f(u) — A - Ú — \ - Ú. Reálné číslo A z předchozího vztahu se nazývá vlastní číslo odpovídající vlastnímu vektoru Ú. Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 13/18 Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastním vektorem lineárního zobrazení cp : V —> V s maticí A rozumíme takový nenulový vektor u e V, pro který platí (f(u) — A - Ú — \ - Ú. Reálné číslo A z předchozího vztahu se nazývá vlastní číslo odpovídající vlastnímu vektoru Ú. Poznámka: ■ Vlastním vektorům se také říká "invariantní směry" či "invariantní vektory". ■ Je-li Ú vlastní vektor, pak i vektor a • Ú {a £ K) je vlastní. ■ Vlastní vektory odpovídající jedné vlastní hodnotě A tvoří vektorový pod prostor. Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 13/18 Vlastní čísla a vlastní vektory - postup nalezení Upravíme vztah z definice vlastního vektoru A - u — X - Ú A - Ú — X • E • u (E: jednotková matice) (A - X • E) • u = o Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 14/18 Vlastní čísla a vlastní vektory - postup nalezení Upravíme vztah z definice vlastního vektoru A - u — X - Ú A - Ú — X • E • u (E: jednotková matice) (A - X • E) • u = o Postup nalezení vlastních čísel a vektorů □ Najdeme determinant matice A — X • E, z něhož nám vyjde rovnice s neznámou A, kterou vyřešíme. B Do systému (A — X • E) • Ú — o dosadíme vypočítané hodnoty A a nalezneme vlastní vektory jako množinu řešení systému. Lukáš Másilko 11. cvičení 14. 12. 2021 14/18 Vlastní čísla a vlastní vektory - příklady Příklad 4 Lineární transformace