MA0005 Algebra 2, 3. seminář
12. 10. 2021
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 1/16
Náplň cvičení
□ Analytická geometrie v prostoru I
■ Přímka v prostoru
■ Vzájemná poloha přímek v prostoru
■ Rovina - parametrické rovnice
■ Rovina - obecná rovnice
Literatura
■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 2/16
Přímka v prostoru
Příklad 15.1.2: Napište parametrické rovnice přímky p, která je dána body A[l; — 1; 3], 6[2; 3; 0]. Potom přímku p nakreslete v soustavě souřadnic, vyznačte viditelnost. Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka p protíná souřadnicové roviny. Ověřte, zda výpočet souhlasí s obrázkem.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 3/16
Přímka v prostoru
Příklad 15.1.2: Napište parametrické rovnice přímky p, která je dána body A[l; — 1; 3], 6[2; 3; 0]. Potom přímku p nakreslete v soustavě souřadnic, vyznačte viditelnost. Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka p protíná souřadnicové roviny. Ověřte, zda výpočet souhlasí s obrázkem.
Příklad 15.1.3: Je dána přímka p = {[1 - 2/c; 2 + 3/c; 1 + /c], k G R}.
a) Rozhodněte, zda body C[5; 8; 3], D[3; —1; 0] leží na přímce p.
b) Určete y,zGR tak, aby bod E[9;y;z] ležel na přímce p.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 3/16
Přímka v prostoru
Příklad 15.1.2: Napište parametrické rovnice přímky p, která je dána body A[l; — 1; 3], 6[2; 3; 0]. Potom přímku p nakreslete v soustavě souřadnic, vyznačte viditelnost. Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka p protíná souřadnicové roviny. Ověřte, zda výpočet souhlasí s obrázkem.
Příklad 15.1.3: Je dána přímka p = {[1 - 2/c; 2 + 3/c; 1 + /c], k G R}.
a) Rozhodněte, zda body C[5; 8; 3], D[3; —1; 0] leží na přímce p.
b) Určete y,zGR tak, aby bod E[9;y;z] ležel na přímce p.
Výsledky:
2. p : x = 1 + t, y = -1 + 4t,z = 3 - 3t, t G IR, Pxy[2;3;0],Pxz[f;0;|],Pyz[0;-5;6].
3. a) C £ p, D G p; b) E[9; -10; -3].
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 3/16
Přímka v prostoru
Příklad 15.1.4: Jsou dány body A[2; 3; -1], B[4; 3; -2].
a) Rozhodněte, zda body K[0;4;2], L[2y/Ž\ 3; -y/3] leží na přímce AB.
b) Určete r,sGK tak, aby bod M[r; 2r; s] ležel na přímce /4B.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 4/16
Přímka v prostoru
Příklad 15.1.4: Jsou dány body A[2; 3; -1], B[4; 3; -2].
a) Rozhodněte, zda body K[0;4;2], L[2VŠ; 3; -VŠ] leží na přímce AB.
b) Určete r,sGK tak, aby bod M[r; 2r; s] ležel na přímce AB.
Příklad 15.1.5: Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka p = {[2; 1 — t; 4t], t e IR} protíná souřadnicové roviny.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 4/16
Přímka v prostoru
Příklad 15.1.4: Jsou dány body A[2; 3; -1], B[4; 3; -2].
a) Rozhodněte, zda body K[0;4;2], L[2VŠ; 3; - VŠ] I eží na přímce AB.
b) Určete r,sGK tak, aby bod M[r; 2r; s] ležel na přímce AB.
Příklad 15.1.5: Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka p = {[2; 1 — ŕ; 4t], ŕ G IR} protíná souřadnicové roviny.
Příklad 15.1.6: Jsou dány body A[l\4; 6], 6[4; 1; -3].
a) Napište parametrické rovnice přímky AB.
b) Napište parametrické rovnice úsečky AB.
c) Napište parametrické rovnice polopřímky BA.
d) Napište parametrické rovnice přímky pi, která je pravoúhlým průmětem přímky AB do souřadnicové roviny určené osou x a osou y.
e) Přímku AB i přímku pi nakreslete.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 4/16
Přímka v prostoru
Příklad 15.1.4: Jsou dány body A[2; 3; -1], B[4; 3; -2].
a) Rozhodněte, zda body K[0;4;2], L[2y/Ž\ 3; -y/3] I eží na přímce AB.
b) Určete r,sGK tak, aby bod M[r; 2r; s] ležel na přímce /4B.
Příklad 15.1.5: Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka p = {[2; 1 — ŕ; 4t], t G IR} protíná souřadnicové roviny.
Příklad 15.1.6: Jsou dány body A[l\4; 6], 6[4; 1; -3].
a) Napište parametrické rovnice přímky AB.
b) Napište parametrické rovnice úsečky AB.
c) Napište parametrické rovnice polopřímky BA.
d) Napište parametrické rovnice přímky pi, která je pravoúhlým průmětem přímky AB do souřadnicové roviny určené osou x a osou y.
e) Přímku AB i přímku pi nakreslete. Výsledky: viz následující slajd.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 4/16
Výsledky předchozích príkladu
4. a) K      AB, L      AB, b) M[|; 3; -§].
5. Pxz[2; 0; 4], Pxy[2; 1; 0], Pyz neexistuje.
6. x = 1 + ŕ, y = 4 - ŕ, z = 6 - 3t, a) í e E, b) ŕ G (0,3} c) t e (-oo,3), d) x = l + k,y = 4- k,z = 0, k e E.
Lukáš Másilko
3. cvičení
□ iS1
12. 10. 2021 5/16
Přímka v prostoru
Příklad 15.1.7: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem M[0;4;5] a je rovnoběžná s přímkou p = {[2 + ŕ; 1 - ŕ; 3 + 5t], t G M}.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 6/16
Přímka v prostoru
Příklad 15.1.7: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem M[0;4;5] a je rovnoběžná s přímkou p = {[2 + ŕ; 1 - ŕ; 3 + 5t], t G M}.
Príklad 15.1.8: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem K[2; 4; 1] a je rovnoběžná s osou z.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 6/16
Přímka v prostoru
Příklad 15.1.7: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem M[0;4;5] a je rovnoběžná s přímkou p = {[2 + ŕ; 1 - ŕ; 3 + 5t], t G M}.
Příklad 15.1.8: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem K[2; 4; 1] a je rovnoběžná s osou z.
Příklad 15.1.9: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem A/[l;— 2; 3] rovnoběžně se souřadnicovou rovinou určenou osami y a z a je různoběžná s osou x.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 6/16
Přímka v prostoru
Příklad 15.1.7: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem M[0;4;5] a je rovnoběžná s přímkou p = {[2 + ŕ; 1 - ŕ; 3 + 5t], t G M}.
Príklad 15.1.8: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem K[2; 4; 1] a je rovnoběžná s osou z.
Příklad 15.1.9: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem A/[l;— 2; 3] rovnoběžně se souřadnicovou rovinou určenou osami y a z a je různoběžná s osou x.
Příklad 15.1.10: Napište parametrické rovnice osy x.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 6/16
Přímka v prostoru
Příklad 15.1.7: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem M[0;4;5] a je rovnoběžná s přímkou p = {[2 + ŕ; 1 - ŕ; 3 + 5t], t G M}.
Příklad 15.1.8: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem K[2; 4; 1] a je rovnoběžná s osou z.
Příklad 15.1.9: Napište parametrické rovnice přímky q, která prochází bodem A/[l;— 2; 3] rovnoběžně se souřadnicovou rovinou určenou osami y a z a je různoběžná s osou x.
Příklad 15.1.10: Napište parametrické rovnice osy x. Výsledky:
7. x = k, y = 4 - /c, z = 5 + 5/c, /c G R.
8. x = 2, y = 4, z = 1 + k, k G R.
9. x = l,y = -2 - 2t,z = 3 + 3t, ŕ G R.
10. x = /c, y = 0,z = 0, /c G R.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 6/16
Vzájemná poloha přímek v prostoru
Vzájemná poloha přímek p, q v prostoru
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 7/16
Vzájemná poloha přímek v prostoru
Vzájemná poloha přímek p, q v prostoru
H p, q splývají v jednu přímku, tj. p = q.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 7/16
Vzájemná poloha přímek v prostoru
Vzájemná poloha přímek p, q v prostoru		
H p, q splývají v jednu přímku, tj. p — q.		
Q p, q jsou rovnoběžné, ale ne stejné, tj. p	qNp^q	
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 7/16
Vzájemná poloha přímek v prostoru
Vzájemná poloha přímek p, q v prostoru
p, q splývají v jednu přímku, tj. p — q.
p, q jsou rovnoběžné, ale ne stejné, tj. p || q A p 7^ q
p, q jsou různoběžné, tedy mají společný průnik, v němž se protínají
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 7/16
Vzájemná poloha přímek v prostoru
Vzájemná poloha přímek p, q v prostoru
p, q splývají v jednu přímku, tj. p — q. p, q jsou rovnoběžné, ale ne stejné, tj. p || q A p 7^ q p, q jsou různoběžné, tedy mají společný průnik, v němž se protínají p, q jsou mimoběžné: nemají průnik, nejsou rovnoběžné
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 7/16
Vzájemná poloha přímek v prostoru
Vzájemná poloha přímek p, q v prostoru
p, q splývají v jednu přímku, tj. p — q.
p, q jsou rovnoběžné, ale ne stejné, tj. p || q A p 7^ q
p,qjsou různoběžné, tedy mají společný průnik, v němž se protínají
p, q jsou mimoběžné: nemají průnik, nejsou rovnoběžné
Poznámka k předchozímu
Jsou-li přímky zadány parametrickými rovnicemi,
p : X = A + t • u, q \ X = B + s - v, pak řešením systému rovnic
S\A+t-u = B + s- v zjistíme vzájemnou polohu přímek:
O S má nekonečno mnoho řešení a u je násobkem v: p, q splývají
B S nemá řešení a Ú je násobkem v: p, q jsou rovnoběžné různé
H 5 má jedno řešení a Ú není násobkem i7: p, q jsou různoběžné
□ S nemá řešení a Ú není násobkem v: p, q jsou mimoběžné
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 7/16
Vzájemná poloha přímek v prostoru
Příklad 15.2.11: Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku.
p = {[-6 + ř;7-ř;2ř], tGl} q = {[-5 - k; 3 - 2/c; 5 + k], k e R}
p = {[1 + ŕ; 2 - 2ŕ; ŕ], t G R} q = {[4 - 2/c; 1 + 4/c; 3 - 2/c], /c € M}
p = {[2 - 3í; 1 + í; 4 - í], f G M} g = {[-4 + 3/c; 3 - k; 2 + k], k e R}
p = {[2t;3- í; 4- í], t e R} q = {[2- 2/c; -1 + k; 6 + 2/c], /c e M}
p = {[2; 4- ŕ;l + 2ŕ], ŕGl} g = {[1 - /c; 2 + 3/c; -1 - 2/c], /c G M}
f) p = {[2;1 + ŕ; 3], ŕ G M} g = {[/c;4;l + /c], /c G E}
Výsledky: na dalším snímku.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 8/16
Vzájemná poloha přímek v prostoru
Příklad 15.2.12: Nakreslete přímky p, q, odhadněte jejich vzájemnou polohu a potom svůj odhad ověřte výpočtem.
a) p = {[1; 0; t], teR}5 q = {[0; 2 + 2/c; -3/c], /c G IR}
b) p = {[3; 3;4- ř],řG IR}, q = {[1; 1; 2/c], /c G IR}
Výsledky:
11a) p, q různoběžky, P[—4; 5; 4],
11b) p, q různé rovnoběžky,
11c) p = q,
lid) p, q mimoběžky,
lle) p, q mimoběžky,
llf) p, q různoběžky, P[2; 4; 3].
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 9/16
Vzájemná poloha přímek v prostoru
Příklad 15.2.12: Nakreslete přímky p, q, odhadněte jejich vzájemnou polohu a potom svůj odhad ověřte výpočtem.
a) p = {[1; 0; t], teR}5 q = {[0; 2 + 2/c; -3/c], /c G IR}
b) p = {[3; 3;4- ř],řG IR}, q = {[1; 1; 2/c], /c G IR}
Výsledky:
11a) p, q různoběžky, P[—4; 5; 4],
11b) p, q různé rovnoběžky,
11c) p = q,
lid) p, q mimoběžky,
lle) p, q mimoběžky,
llf) p, q různoběžky, P[2; 4; 3].
12a) p, q mimoběžky, b) p, q různé rovnoběžky.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 9/16
Rovina
Dvě možná zadání roviny v prostoru
parametrickými rovnicemi X — A + t • u'+ s • v, kde Ú není násobkem v.
obecnou rovnici ax + by + cz + d = 0, přičemž n — (a, b, c) je normálový vektor.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 10/16
Vektorový součin
Vektorový součin
Uvažujme prostor IR3. Vektorový součin Ú x v dvou vektorů    v, jejichž žádné umístění neleží na jedné přímce, je vektor w kolmý k oběma vektorům    i7, který s nimi tvoří pravotočivou bázi.
Poznámka
a) Platí \ Ú x v\ — \Ú\ • \ v\ • sin a, kde a je úhel svíraný vektory v.
b) Pro souřadnice vektorového součinu w vektorů Ú — (u\\ U2\ U3) a v = (ví; v2; v3) platí:
w = u x v =
(	u2	U3		Ul	U3		Ul	u2
	v2	V3	1	Vl	V3	1		v2
c) Velikost vektorového součinu ŕ x i/je rovna obsahu rovnoběžníku určeného vektory v.
d) Normálový vektor roviny je kolmý na všechny vektory v ní ležfcí._
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 11/16
Rovina - parametrické rovnice
Příklad 15.3.16: Dokažte, že body A[2\ 1; 6], 6[0; -1; -6], C[-l; 2; 0] určují rovinu a napište její parametrické rovnice.
a) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých rovina ABC protíná osu x, osu y a osu z.
b) Danou rovinu znázorněte ve zvolené soustavě souřadnic.
c) Rozhodněte, zda body K[2; 4; 15], L[—3; 2; 6] leží v rovině ABC.
d) Vypočítejte z £ IR tak, aby bod M[—2; l;z] ležel v rovině ABC.
Příklad 15.3.17: Je dána rovina
g = {[1 + t + k; 2 + 3t - /c; 5t + /c], /c, ŕ G IR}.
a) Vypočítejte průsečíky roviny £> se souřadnicovými osami a rovinu £> nakreslete.
b) Napište rovnice přímek, ve kterých rovina g protíná souřadnicové roviny.
Výsledky: na dalším slajdu.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 12/16
Výsledky príkladu
16.
x = 2 - t + k, y = 1 - t - 3k, z = 6 - 6ŕ - 6/c, k, t EM.; a) Px[l;0;0],Py[0;l;0],Pz[0;0;-3],
c) K E ABC, L i ABC,
d) z = -6.
17.
a) Px[2;0;0],Py[0;4;0],Pz[0;0;-4];
b) Pxy = {[2 + t; -2t; 0], ř E M}, Pxz = {[2 + k; 0; 2/c], /c E M}, P   = {[0; 4 + m; m], m E R}.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 13/16
Rovina - obecná rovnice
Příklad 15.3.19: Dokážte, že dané tři body určují rovinu. V případě, že rovinu určují, napište její obecnou rovnici. Vypočítejte souřadnice průsečíků roviny s osami souřadnic a rovinu ve zvolené soustavě souřadnic znázorněte.
a) /4[1;1;1],B[5;1;-3],C[2;0;2]
b) /4[l;-3;-l],B[2;2;0],C[-4;5;5]
c) /4[l;2;-3],B[0;l;2],C[2;3;-8]
d) A[0; 0; 0], B[l; 2; -2], C[-3; -6; -5]
Příklad 15.3.20: Dokažte, že přímka p a bod A určují rovinu. Napište její obecnou rovnici.
a) p = {[3 - ř; -2 + ř; 4 + 2ř], t e R}, A[0; -1; 5]
b) p = {[2; 4; k], k e R}, 4[0;3;0]
c) p = {[1 + t; 2 - 2ŕ; 0], ŕ G E}, A[l; 0; 3] Výsledky: na dalším slajdu.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 14/16
Výsledky príkladu
19.
a) x + 2y + z-4 = 0,
b) 2x - y + 3z - 2 = O,
c) body A, B, C leží na přímce, rovinu neurčují,
d) 2x-y = 0.
20
a) x + 5y - 2z + 15 = 0,
b) x - 2y + 6 = 0,
c) 6x + 3y + 2z - 12 = 0.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 15/16
Rovina
- obecná rovnice
Příklady 15.3.21-23: Dokažte, že přímky p, q určují rovinu. Napište její obecnou rovnici.
21. p = {[§; 2 + t; 0], t G R}, q = {[3; l + k;2],ke R}
22. p = {[1 - í; 2 + í; 3 + 2í], í G M}, q = {[k; 1 - k; 1 - 2k], k e R}
23. p = {[2; ř;4-í],t€K}, q = {[1 + k;2 +k; k], k eR}
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 16/16
Rovina
- obecná rovnice
Příklady 15.3.21-23: Dokažte, že přímky p, q určují rovinu. Napište její obecnou rovnici.
21. p = {[§; 2 + t; 0], t G R}, q = {[3; l + k;2],ke R}
22. p = {[1 - í; 2 + í; 3 + 2í], í G M}, q = {[k; 1 - /c; 1 - 2k], k e R}
23. p = {[2; ř;4-í],t€K}, q = {[1 + k;2 +k; k], k eR}
Výsledky:
21. 4x - z - 10 = 0, 22. 2y - z - 1 = 0, 23. 2x - y - z = 0.
Lukáš Másilko
3. cvičení
12. 10. 2021 16/16