MA0005 Algebra 2, 4. seminář
19. 10. 2021
Lukáš Másilko
4. cvičení
19. 10. 2021
Náplň cvičení
□ Analytická geometrie v prostoru II
■ Rovina v prostoru
■ Vzájemná poloha přímky a roviny
■ Vzájemná poloha dvou rovin
■ Vzájemná poloha tří rovin
Literatura
■ Petáková, J.: Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prométheus, 1998. ISBN 978-80-7196-099-7.
Lukáš Másilko
4. cvičení
19. 10. 2021       2 /9
Rovina v prostoru
Způsoby zadaní roviny g
Lukáš Másilko
4. cvičení
19. 10. 2021 3/9
Rovina v prostoru
Způsoby zadaní roviny g
pomoci obecné rovnice: ax + by + cz + d = 0, kde n — (a, b, c) je normálový vektor roviny g kolmý na všechny směrové vektory ležící v zadané rovině.
Lukáš Másilko
4. cvičení
19. 10. 2021 3/9
Rovina v prostoru
H pomocí obecné rovnice: ax + by + cz + d = 0, kde n — (a, b, c) je normálový vektor roviny g kolmý na všechny směrové vektory ležící v zadané rovině.
H pomoci parametrických rovnic, k čemuž potřebujeme bod
/4[ai,a2,33] G g a dva lineárně nezávislé směrové vektory roviny
u =      u2, u3) a \7 = (vi, v2, vs):
x
B\ + t • U\ + S • Vi
y
z
a3 + ŕ • u3 + s • v3
kde t, s e M.
Lukáš Másilko
4. cvičení
19. 10. 2021       3 /9
Rovina v prostoru
Způsoby zadaní roviny g
pomoci obecné rovnice: ax + by + cz + d = 0, kde n — (a, b, c) je normálový vektor roviny g kolmý na všechny směrové vektory ležící v zadané rovině.
pomocí parametrických rovnic, k čemuž potřebujeme bod /4[ai,a2,33] G g a dva lineárně nezávislé směrové vektory roviny
u =      u2, u3) a v = (vi, v2l v3):
x = ai + t • u\ + s • v\,
y = a2 + t • u2 + s • v2,
z = a3 + t • u3 + s • v3,
kde t, s e M.
Poznámka: souřadnicové roviny mají tyto rovnice:
gxy : z = 0, gyz : x = 0, gxz : y = 0. < Q ► <a ► < i ► < i ►
Lukáš Másilko
4. cvičení
19. 10. 2021 3/9
Vzájemná poloha přímky a roviny
Příklad 15.4.32: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p a roviny g.
a) p = {[2 + t; 3 + 2í; 1 - í], t G M}, g : x - 2y + z - 5 = 0
b) p = {[1 - 2/c; 5 - /c; -3 + 5/c], /c G R}, g : 3x - y + z - 11 = 0
c) p = {[2s; 4 + s; -1], s G R}, g : x - 2y - 3z + 5 = 0
Lukáš Másilko
4. cvičení
19. 10. 2021
Vzájemná poloha přímky a roviny
Příklad 15.4.32: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p a roviny g.
a) p = {[2 + t; 3 + 2í; 1 - í], t G M}, g : x - 2y + z - 5 = 0
b) p = {[1 - 2/c; 5 - /c; -3 + 5/c], /c G R}, g : 3x - y + z - 11 = 0
c) p = {[2s; 4 + s; -1], s G R}, g : x - 2y - 3z + 5 = 0
Příklad 15.4.33: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky /46, A[—2; 0; —1], B[2; 1; 4] a roviny g, která je dána body K[0;0;3],L[-2;-l;l],M[0;l;4].
Lukáš Másilko
4. cvičení
19. 10. 2021
Vzájemná poloha přímky a roviny
Příklad 15.4.32: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p a roviny g.
a) p = {[2 + ť,3 + 2ť,l - t],t eR], q : x - 2y + z - 5 = 0
b) p = {[1 - 2/c; 5 - k\ -3 + 5/c], /c G M}, g : 3x - y + z - 11 = 0
c) p = {[2s; 4 + s;-l],seK}, g : x - 2y - 3z + 5 = 0
Příklad 15.4.33: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky AB,      2; 0; —1], 6[2; 1; 4] a roviny g, která je dána body K[0;0;3],L[-2;-l;l],M[0;l;4].
Příklad 15.4.34: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky q a roviny a.
q = {[2 + ŕ;3ŕ; 1-t], ŕG»},a = {[1 + s + 2r; 3s + 3r; 1 — s — 3r], s,r G M}
Výsledky: na dalším slajdu.
Lukáš Másilko	4. cvičení	19. 10. 2021 A	i/9
Výsledky príkladu
32.
a) přímka je různoběžná s rovinou, P[0;
c) p || q a p n q = 0,
d) přímka leží v rovině.
-1;3],
33. přímka je různoběžná s rovinou, P[4; |; ^]
34. q   aAqncr = 0
Lukáš Másilko
4. cvičení
19. 10. 2021       5 /9
Vzájemná poloha dvou rovin
Příklad 15.5.37: Vyšetřete vzájemnou polohu rovin g a a. Ve všech případech též znázorněte roviny g,a v soustavě souřadnic. Jsou-li roviny různoběžné, napište parametrické rovnice jejich průsečnice a průsečnici zakreslete v obrázku.
a)	q	: 2x + 4y + z - 8 =	0,   a : 2y + z -	6 = 0
b)	q	:x + y-z-2 = 0,	cr : 2x — y + z	-4 = 0
c)	q	:x + y-4 = 0, a	: y + 2z - 6 = 0	
d)	q	: 2x + y - 3z + 6 =	0,   cr : 4x + 2y -	- 6z + 12 = 0
e)	q	: 2x + y - 2z + 6 =	0,   cr : 4x + 2y -	- 4z + 6 = 0
f)	q	: x — 4 = 0,   cr : y -	-2 = 0	
<□► ^rS^ -š    •OQ,O
Lukáš Másilko 4. cvičení 19. 10. 2021       6 /9
Vzájemná poloha dvou rovin
Příklad 15.5.37: Vyšetřete vzájemnou polohu rovin g a a. Ve všech případech též znázorněte roviny g,cr v soustavě souřadnic. Jsou-li roviny různoběžné, napište parametrické rovnice jejich průsečnice a průsečnici zakreslete v obrázku.
a b c d e f
q q q q q q
2x + 4y + z- 8 = 0,   a : 2y + z - 6 = 0 x + y- z- 2 = 0,   cr:2x-y + z- 4 = 0 x + y-4 = 0,   <r:y + 2z-6 = 0 2x + y - 3z + 6 = 0,   a : 4x + 2y - 6z + 12 2x + y - 2z + 6 = 0,   a : 4x + 2y - 4z + 6 = x - 4 = 0,   <r:y-2 = 0
= 0 = 0
Příklad 15.5.38 Vyšetřete vzájemnou polohu rovin g a a
q = {[3 + t - k; 5 + t; -í + 2/c], t, /c e r}
a = {[3 + s - 4p; 6 + 2s - 3p; 1 + 5p], s, p G M}
Výsledky: na dalším slajdu
Lukáš Másilko
4. cvičení
19. 10. 2021       6 /9
Výsledky príkladu
37.
a) různoběžné roviny, p = {[ŕ; 1 — ŕ; 4 + 2t], t G M},
b) různoběžné roviny, p = {[2; ŕ; t], ŕ G M},
c) různoběžné roviny, p = {[—2 + 2ŕ; 6 — 2ŕ; t], ŕ G M},
d) £ = a,
e) různé rovnoběžné roviny,
f) různoběžné roviny, p = {[4; 2; t], ŕ G M}.
38. Roviny jsou totožné.
Lukáš Másilko
4. cvičení
□ iS1
19. 10. 2021       7 /9
Vzájemná poloha tri rovin
Vzájemná poloha tří rovin
□ všechny tři roviny jsou rovnoběžné a nemají průsečík, ani průsečnici
Q dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí je protíná ve dvou rovnoběžných průsečnicích
Q všechny jsou různoběžné a protínají se v jedné průsečnici (svazek rovin)
□ všechny jsou různoběžné a po dvou se protínají v průsečnici (tyto tři průsečnice jsou rovnoběžné)
H všechny jsou různoběžné a protínají se v jednom bodě (trs rovin) Ilustrace všech pěti případů jsou dostupné na této stránce.
Lukáš Másilko
4. cvičení
19. 10. 2021       8 /9
Vzájemná poloha tri rovin
Příklad 15.6.40: Vyšetřete vzájemnou polohu tří rovin.
a) qi : 2x — y + z — 5 = 0,   o\ : x + y + 3z — 6 = 0, n : 3x + 2y - 4z + 7 = 0
b) £2 : x + y + z — 3 = 0,   a2 : 3x — 2y + z — 8 = 0, r2 : 4x - y + 2z + 1 = 0
c) q3 ■ x - Y + 2z - 1 = 0,   (73 : x + 2y - z + 2 = 0, T3 : x — 2y + 3z — 2 = 0
d) £4:x + y — z — 1 = 0,   a4:x + y + z + 2 = 0, r4 : 2x + 2y - 2z + 1 = 0
Lukáš Másilko
4. cvičení
□ iS1
19. 10. 2021       9 /9
Vzájemná poloha tri rovin
Příklad 15.6.40: Vyšetřete vzájemnou polohu tří rovin.
a) qi : 2x — y + z — 5 = 0,   o\ : x + y + 3z — 6 = 0, n : 3x + 2y - 4z + 7 = 0
b) £2 : x + y + z — 3 = 0,   02 '■ 3x — 2y + z — 8 = 0, r2 : 4x - y + 2z + 1 = 0
c) q3 ■ x - Y + 2z - 1 = 0,   0-3 : x + 2y - z + 2 = 0, T3 : x — 2y + 3z — 2 = 0
d) £4:x + y — z — 1 = 0,   0-4 : x + y + z + 2 = 0, r4 : 2x + 2y - 2z + 1 = 0
Výsledky:
a) tři různoběžné roviny, společný bod P[l; —1;2],
b) tři různoběžné roviny, žádný společný bod,
c) tři různoběžné roviny, společná přímka p = {[ŕ; —1 — ŕ; —t], ŕ G M},
d) dvě rovnoběžné roviny, třetí je s nimi různoběžná.
Lukáš Másilko
4. cvičení
19. 10. 2021       9 /9