Kapitola 1 Integrál 1.1 Úvod V kurzu Matematická analýza 1 jsme se seznámili s pojmem derivace, naučili se derivovat některé elementární funkce a řekli si též některé aplikace derivací. Jednou z nich byla i aplikace fyzikální, a to v(t) = s'(t)—slovy okamžitá rychlost je první derivací dráhy podle času. Je-li nám známo jak se mění dráha pohybujícího se tělesa v závislosti na čase, snadno spočítáme, jakou rychlostí se hmotný bod v daném čase pohybuje. Co když však známe závislost okamžité rychlosti na čase a neznáme dráhu? Z fyziky víme, že u pohybu rovnoměrně zrychleného platí pro rychlost vztah v = at, kde a je zrychlení; pro tento typ pohybu se jedná o konstantu. Víme, že dráha pohybu rovnoměrně zrychleného je dána vztahem s = ^at2 + sq, kde So Je konstanta, jejíž fyzikální význam je dráha v čase t = 0. Snadno se přesvědčíme, že s'(t) = v(t) = at. Zamysleme se však nad problémem trochu z jiné stránky. Zopakujme si, co je zadáno, je to vlastně rovnice, neboť znaménko rovná se pominout nelze. Máme s'(t) = a.t, tato rovnice obsahuje zprava nezávisle proměnnou t, konstantu a a první derivaci závisle proměnné s(t). Poslední položka je klíčová, my funkce s(t) neznáme, hledáme ji. Takovým rovnicím, které obsahují derivaci/ce jisté neznámé funkce budeme nazývat rovnic Def. 1.1 Nechi F{x) a f {x) jsou funkce definované v otevřeném intervalu F Funkci F{x) nazýváme funkcí primitivní k funkci f{x), jestliže pro všechna x E I platí F'(x) = f(x). Z úvodních poznámek nám plyne rovněž naše první věta, kterou si jistě sami dokážete coby cvičení. Věta 1.1 Nechť F(x) je primitivní funkcí k funkci f{x). Pak i libovolná funkce G(x) = F(x) + c, kde c G IR je libovolná konstanta, je funkcí primitivní k funkci /(*)■ K této větě uvedu dvě poznámky. Graf primitivní funkce G(x) vznikne posunutím grafu funkce F(x) o c ve směru osy y. Mezi množinou všech primitivních funkcí k f (x) a množinou IR existuje bijekce. V předmětu Teorie množin se pak dozvíte, že tyto množiny mají stejnou mohutnost, ale to poněkud předbíhám. Je namístě situaci z předchozí věty nějak pojmenovat. 1 2 KAPITOLA 1. INTEGRÁL Def. 1.2 Množinu všech funkcí primitivních k funkci f (x) nazývame neurčitým integrálem funkce f (x) v intervalu I. Píšeme //(l)i = F(l) + f' xeI Funkci f (x) nazývame integrandem, symbol j integračním znakem. Celý proces budeme nazývat integrovaním (integrací) funkce f (x). Záhadný symbol dx tam zatím pište a nepřemýšlejte o něm. Jakmile se probojujeme k integrálu určitému, tak jeho význam ozřejmíme. Otázku, zda uvedený proces má smysl řeší následující věta. Věta 1.2 Ke každé funkci spojité na intervalu I existuje v tomto intervalu funkce primitivní. Pusťme se tedy chutě do hledání funkcí primitivních, tedy do integrování. Někteří národové čtou zprava doleva, vezmeme-li si z nich příklad a přečteme-li vzorce pro derivování tímto směrem, dostaneme sadu základních vzorců pro neurčitý integrál. 1.1. j O.dx = c 1.2. j dx = x + c 1.3. fxndx = ^ + c, ri^-l J n+l ' ' 1.4. ( -dx = ln \x\ + c J X I I 1 1.5. j exdx = ex + c 1.6. J ařdx = if^ + c, a < 0, a ^ 1 1.7. j sin xdx = — cos x + c 1.8. j cos xdx = sin x + c 1.9. f —\-dx = tgrr + c 1.10. ( .\ dx = — cotg x + c J sir x ° 1.11. f J-^dx = arcsin x + c J \/l — XÁ 1.12. J j^dx = arctgrr + c U všech vzorců předpokládáme, že platí pro všechna přípustná x. Sami cítíme, že podle uvedených vzorců bychom moc integrálů nevyřešili. Zkusíme tedy pátrat, zda bychom nemohli obrátit i jiné vzorce a věty z derivací. V případě lineární kombinace funkcí budeme úspěšní, neb ta se integruje na stejném principu jako se i derivuje, jak nám to říká následující věta. 1.1. ÚVOD 3 Věta 1.3 Nechť v intervalu I existují neurčité integrály funkcí f\(x\ f2(2), ■ ■ ■, fn{x) a nechi Ci, c2,..., cn jsou libovolné konstanty. Pak existuje i neurčitý integrál funkce f(x) = c1f1(x) + c2f2(x) H-----h cnfn(x) a platí (cifi(x) + c2f2(x) H-----h cnfn(x))dx = ci / f1(x)dx+c2 / f2(x)dx-\-----hcn / fn( Některé integrály můžeme jednoduchou úpravou převést na tzv. integrály tabulkové, jak se o tom přesvědčíme v následujícím příkladu. Příklad 1.1 2 1 sin2 x ľ 1 — cos2 x i i ± 1 tg xdx = /--—dx = /---dx = /----1 \ dx cos2 x I cos2 x I \ cos2 x Nyní s využitím vzorce 1. 9. a vety 1. 3. máme 1 J dx = f--—dx — I \dx = tgx — x + c cos2 x ) J cos2 x Bohužel výše uvedená je věta je naším posledním úspěchem v tomto směru. Na rozdíl od derivací neexistují vzorce pro integraci součinu a podílu. Malou útěchou nám budiž skutečnost, že ze vzorce pro derivaci součinu lze odvodit vzorec pro tzv. integraciper partes, po česku po částech. Toto pro snadnost ponecháváme jako domácí cvičení a budeme pokračovat patřičnou větou. Věta 1.4 Nechť funkce u(x) a v(x) jsou spojité v intervalu (a,b) (může být i a = — 00 či b = 00) a nechť mají v tomto intervalu spojité derivace. Pak zde platí u(x)v'(x)dx = u{x)v{x) — j v!\x)v{x)dx či stručnéji uv'dx = uv — I u'vdx Použití této metody si ukážeme na několika příkladech. Příklad 1.2 Vypočtete integrál j xexdx. Jelikož máme integrovat součin funkcí, můžeme to zkusit metodou per partes. Nadějné je i to, že oba součinitele umíme derivovat a integrovat. Jelikož se ex nemění ani při integraci ani při derivaci, zaměříme svou pozornost na druhého činitele. Zatímco j xdx = ^- + c, tak derivace x' = 1. Volba je tedy jasná— u = x, u' = 1, v' = ex, v = ex. Podle vzorce je ľ xexdx = xex — / exdx = xex — ex + c. Metodu per partes lze použít i opakovaně, musíme však vidět světlo na konci tunelu, nikov však od protijedoucího vlaku. 4 KAPITOLA 1. INTEGRÁL Příklad 1.3 Vypočtěte integrál Jx2 sinxdx. Volíme u = x2, u' = 2x, v' = sinx, v = — cos x. Podle vzorce je x2 sinxdx = — x2 cosx + 2 / xcosxdx Na integrál j xcosxdx použijeme opět metodu per partes s volbou u = x, u' = 1, v' = cosx, v = sinx a obdržíme :r cos rrcřrr = :r sin :r — / sin xdx = x sinx + cosx. Je tedy /,^inrf, = -^cos, + 2(,Sin, + coS,) + e Další způsob použití metody per partes ukazuje následující příklad. Příklad 1.4 Vypočtěte integrál jinxdx. Zpočátku nás asi zarazí, že zde není žádný součin. To nás však nesmí odradit, podle Palackého věty si ho prostě vytvoříme—1.x. Pak už je volba jednoznačná, a to u = \nx, u' = ^, v' = 1 a v = x. Aplikací metody per partes máme f 1 ln xdx = x ln x — / — .x = x \nx — x + c. J x Obdobným způsobem můžeme integrovat i funkce cyklometrické, jejichž integrály jste v přehledu základních vzorců jistě postrádali. Závěrem ještě jeden způsob, jak lze využit tuto metodu. Příklad 1.5 Vypočtěte integrál j ex sinxdx. Zde součin máme, obě funkce lze snadno derivovat i integrovat, tady je těžké si vybrat. Po delším přemýšlení zvolíme následující možnost: u = sinx, u' = cosx, v' = v = ex. Aplikujeme patřičný vzorec a máme ex sin xdx = ex sin x — ex cos xdx. Z výsledku jsme trochu rozpačití, máme však pevnou vůli a z nastoupené cesty nesejdeme. Volba bude u = cosx, v! = — sinx a v' = v = ex. Výsledkem pak bude Ocitli jsme se ve stejné situaci, v jaké byl jistý Australan, který na dotaz svého kamaráda, proč má na hlavě bouli, odpověděl: Ale koupil jsem si nový bumerang a ten starý jsem odhodil. Nám tato rána do hlavy ale nevadí, naopak se nám v ní rozsvítí, protože si všimneme, že po odstranění závorek mají integrály opačná znaménka. Výše uvedený vztah můžeme tedy chápat tak, že se jedná o rovnici, v níž je neznámou zadaný integrál, či chcete-li zavedeme substituci j ex sinxdx = t. Po vyřešení rovnice zjistíme, že je e^ísinrr — cosx) e sin xdx =--h c. 1.1. ÚVOD 5 Podobně neexistuje univerzální vzorec pro integraci funkce složené, na základě věty o derivaci složené funkce však můžeme odvodit větu o substitucí v integrálu. Věta 1.5 Nechť funkce F(t) je primitivní funkcí k funkci f(t) v intervalu (a, (3). Nechť funkce t = f{x) má derivaci tp'(x) v intervalu (a,b) (intervaly mohou být i nekonečné). Pro každé x G (a,b) nechť je číslo f{x) G («,/?)• Pak v intervalu (a,b) je funkce F(ip(x)) primitivní funkcí k funkci f(ip(x)), tedy platí f {(p{x))(p' {x)dx = F{ip{x)) + c či obvykleji J f( 0, x G (—a, a). Zde použijeme substituci x = asinŕ, t G (— f, f); dx = acostdt. Dosadíme do integrandu a upravíme. J Vttd* = / = a- J VlsinHcostdt = e* /cos* tät 8 KAPITOLA 1. INTEGRÁL K výpočtu tohoto interálu můžeme použít více způsobů, nejlepší a nejkratší cesta k výsledku vede přes vzorec pro poloviční úhel. a2 J cos2 rdí = y J (1 + cos 2t)dt = y (t + ^ sin 2t^j + c Abychom ukázalí, že se nám dostalo slušného vychování, vzpomeneme si na vzorec pro dvojnásobný úhel a tzv. goniometricou jedničku. Výsledek upravíme na tvar a2 ( 1 \ a2 -2 t -\— sin 2t 1 = — (t + sin t cos t) = — (ŕ + sin t ■ V1 — sin21) 2 y 2 y 2 2 Ze substituční rovnice x = a sin ŕ máme t = arcsin |; po dosazení a drobné úpravě, kterou jistě odhalíte sami máme ,2 /\/a2 — x2 = — arcsin —|—\/i 2 a 2 cr — ar + c 1.2 Integrace racionální lomené funkce Velice často jsme postaveni před úkol integrovat racionální lomenou funkci, proto se této problematice budeme věnovat podrobněji. Nejprve si vezměte vaše poznámky z algebry a zopakujte si vše, co víte o polynomu a racionální lomené funkci. Definice a věty budu zmiňovat, jen někdy je však budu uvádět v jejich klasické podobě. Začnu připomínkou skutečnosti, že každá neryze lomená racionální funkce může být vyjádřena jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Jelikož integrace polynomu je brnkačka, budeme se věnovat pouze integraci ryze lomené racionální funkce. Již staří Egypťané používali tzv. kmenové zlomky, tedy zlomky typu -. ostatní zlomky vyjadřovali právě pomocí těchto kmenových, tedy například ^ = 2| + l|. U ryze lomené racionální funkce platí něco obdobného. Zopakujte si pojem kořen polynomu a vězte, že každý polynom lze rozložit na součin polynomů stupně nejvýš dva. Pak lze formulovat následující větu. Věta 1.7 Necht! je dána ryze lomená racionální lomená funkce a necht! platí Q(x) = a(x - ...(x- am)km(x2 + pxx + qx)h ... (x2 + pnx + qn)ln, přitom cti je kořen polynomu Q(x) násobnosti ki a kvadratické polynomy odpovídají komplexně sdruženým kořenům násobnosti li. Pak existují jednoznačně určená reálná čísla označená velkými písmeny tak, že platí P{x) A1 A2 A ki Q(x) X — Cí\ (x — Cil)2 (x — Cíl)kl Kix + Li K2x + L2 Khx + Lh x2 + pix + qi (x2 + pix + qi)2 (x2 + p\X + qi)11 MlX + iVi M2x + N2 Mlnx + Nlr x2 + pnx + qn (x2 + pnx + qn)2 (x2 + pnx + qn)1 1.2. INTEGRACE RACIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKCE 9 Uznávám, že ta věta je strašná a dokáže odpudit většinu lidí od studia matematiky. Leč neházejte flintu do žita, mohl by ji tam někdo najít a vy byste měli problémy. Na následujících příkladech uvidíte, že je to věta velmi jednoduchá a porozumí jí každý z vás. Než se pustíme do vlastního rozkladu, uvedu ještě dvě věty. Věta 1.8 Nechť P(x) a Q(x) jsou mnohočleny stupně n a nechť se shodují pro n + 1 hodnot proměnné x. Pak jsou tyto mnohočleny totožné. Věta 1.9 Nechť P{x) a Q{x) jsou mnohočleny stupně n a nechť se shodují všechny koeficienty u týchž mocnin Pak jsou tyto mnohočleny totožné. Nyní se s optimismem pustíme do řešení příkladů. Budeme hned řešit integrál. Příklad 1.15 Vypočtěte integrál J ^.3-11^+34^-24^x■ ^e ^° ^egra/ ryze lomené racionální funkce, nejdříve rozložíme jmenovatel na součin polynomů stupně nejvýš dva. Po jistém úsilí, například pomocí Homérova schématu zjistíme, že polynom má tři reálné kořeny x = l,x = 4ax = 6. Věřím, že jste začali hledat kořeny jen mezi děliteli čísla 24- Patřičný rozklad bude 5x2 -39^ + 64 A B C x3 — llx2 + 3Ax — 24 x — 1 x — 4 x — 6 Zatím neurčité koeficienty A, B a C určíme následujícím způsobem. Rovnici vynásobíme společným jmenovatelem a obdržíme 5x2 - 39x + 64 = A(x - 4)(x - 6) + B(x - l)(x - 6) + C(x - l)(x - 4) Vzpomeneme si na větu 1. 8. a přinutíme polynomy na levé a na pravé se rovnnaly dosazením tří různých hodnot x . Samozřejmě můžeme dosadit libovolné hodnoty, ale podíváme-li se na pravou stranu, mělo by nás trknout, že bude velmi výhodné dosadit právě kořeny. x = 1 =>. 30 = 15A =>■ A = 2 x = 4 =>■ -12 = -6B =>■ B = 2 a konečně x = 6 =>■ 10 = 10C =>• C = 1 Je tedy / —0-7,- )dx= / -+-+- )dx = \n\(x- l)2(x - A)2(x - 6 +c J \x3 - llx2 + 34x - 24 J J \x- 1 x-A x-6 J IV J K 1 y n Pokud koukáte na výsledek poněkud nedůvěřivě, zopakujte si pravidla pro logaritmování. Příklad 1.16 Vypočtěte integrál J Jx-i)2\x-7) dx■ Zde jsou kořeny již naznačeny, příslušný rozklad bude -x2 + 27x - 32 _ A B C (x — l)2{x — 7 {x — l)2 x — 1 x — 7 10 KAPITOLA 1. INTEGRÁL Volba x = 1 dává —6 = — QA A = 1, volba x = 7 dává 136 = 36C =>- C = 3. Jelikož nám kořeny došly, zvolíme ještě x = 0 a s využitím již spočítaných koeficientu máme —32 = — 7 + 7B + 3; tedy B = —A. Je tedy -x2 + 27x - 32 , ľ f 1 4 „ . , -gľc = /--—---1--- dx (x — l)2(x — 7) J \(x — l)2 x— 1 x —7 -1 , (x-7)3 In i-b + c x — 1 (x — 1) S případem, kdy polynom má pouze reálne kořeny jsme se již popasovali, hodíme nyní čučku na případ, kdy ve jmenovateli je nerozložitelný (ireducibilní) polynom stupně dva. Budeme se pro začátek zabývat jen patřičným parciálním zlomkem. Příklad 1.17 Vypočtěte integrál j x2+§x\1Qdx. Diskriminant je roven číslu-4, trojčlen nelze dál rozložit. Máme však štěstí, v čitateli je skoro derivace jmenovatele, jen je ten výraz poněkud malý. Tak si ho zvětšíme známým trikem, když ho vynásobíme jedničkou tvaru 2 • |. Máme tedy /x _|_ g 1 ľ 2x + 6 1 —-dx = - —-dx = - ln (x2 + 6x + 10)+c = ln \Jx2 + 6x + 10+c x2 + 6x + 10 2 J x2 + 6x+10 2 y ! Jistě víte, proč místo absolutní hodnoty tam vyskočily jen závorky a kde se nakonec vzala ta odmocnina. Příklad 1.18 Vypočtěte integrál j x2]^l(.dx. Tady nám zase vadí ta šestnáctka, kdyby tam byla jednička, tak je to jasný arkustangens. Tož si ji tam podle Palackého věty vytvořme. 1 1 ľ 1 , 1 f Atdt 1 1 x dx = — / —-dx = — / —- = - arctgŕ + c = - arctg —h c x2 + 16 16 J 21 + 1 16 J t2 + 1 4 & 4 & 4 Příklad 1.19 Vypočtěte integrál J x2+^+5dx. Spojíme-li poznatky z předchozích dvou integrálů, můžeme psát x + 6 , 1 [ 2i+12 , 1 f 2x + 4 , f 4 dx = — —-dx = - —-dx + / —--dx x2 + Ax + 5 2 J x2 + Ax + 5 2 J x2 + Ax + 5 7 x2 + 4x + 5 Jednotlivé sčítance budeme integrovat zvlášť. 1 f 2x + A ,2 h = -----dx = \n{x + 4x + 5) + c 4 /" 4 -dx = /--—-dx = 4 arctg (x + 2) + c x2 + 4x + 5 7 (x + 2)2 + l &v ; Doufám, že jste si vzpomněli na úpravu zvanou doplnění na čtverec. Zadaný integrál je tedy :dx = ln [x + Ax + 5) + 4 arctg (rr + 2) + c x2 + 4x + 5 Na závěr ještě jeden příklad. 1.2. INTEGRACE RACIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKCE 11 Příklad 1.20 Vypočtěte integrál J (x+i^Jř+2x2+io)dx■ Nejprve rozložíme na parciálni zlomky 2x2 + 13a: - 25 A Bx + C (x + l)(x2 + 2x+ 10) ~~ x+1 + x2 + 2x + 10 Známou úpravou obdržíme 2x2 + 13a: - 25 = A(a:2 + 2a: + 10) + (5a; + C)(a: + 1) a po roznásobeni 2x2 + 13a: - 25 = Ax2 + 2Ax + 1(L4 + Bx2 + Bx + Cx + C Koeficienty spočítáme porovnáním součinitelů u odpovídajících si mocnin, čímž obdržíme soustavu tří rovnic o tří neznámých. 2 = 2A +C 13 = 2A +B +C -25 = 10A +C Řešením jsou čísla A = —A, B = 6, C = 15. Využitím výše uvedených poznatků máme f 2x2 + 13a; - 25 , ľ -Adx ľ 2x + 2 ľ dx I ~,-zr-^,-zdx = /--h3 / —-dx + 9 /--—- = J (x + l)(x2 + 2x + 10) J x + 1 J x2 + 2a; + 10 J (x+1)2+ 9 x + 1 = -4 ln \x + 11 + 3 ln (x2 + 2x + 10) + 3 arctg--h c 3 Takto jsouce vybaveni, můžeme konečně přistoupit k výpočtu integrálu, bude hodně záležet na tom, kolik úloh spočítáte. Mám pro vás ještě dvě zprávy, jedna z nich je dobrá a druhá špatná, já je uvedu v opačném pořadí než jak je obvyklé u vtipů. Špatnou zprávou je to, že přes všechnu uvedenou teorii se nám nepodaří vždy najít analytické vyjádření neurčitého integrálu. Například j ^^dx =?. To je rozdíl oproti derivování, kdy umíme zderivovat každou elementární funkci. Dobrou zprávou je skutečnost, že existuje mnoho knížek, kde jsou různé integrály tabe-lovány, ty pořádné správočníky obsahují stovky vzorců a tím se vyhneme často mnoha složitým výpočtům. Dřinu strojům, pardon tabulkám. Závěrem této kapitolky vám ještě řeknu, že zatímco derivace představuje jednosměrnou ulici, k integrálu můžeme dojít mnoha cestami, jde o to vybrat tu nejpohodlnější. KAPITOLA 1. INTEGRÁL Kapitola 2 Určitý integrál a jeho užití 2.1 Definice a metody výpočtu Nyní se pustíme do integrálu určitého, nemohu jinak, než začít problémem z fyziky. Naším úkolem je vypočítat práci, kterou vykoná plyn při ději izotermickém, změní-li se jeho objem z hodnoty V\ = lm3 na hodnotu V2 = 2m3. My sice máme k dispozici poměrně jednoduchý vzorec W = pAV, leč tento platí jen pro děj izobarický, kdy je tlak konstantní, kdežto při ději izotermickém se tlak mění v závislosti na objemu podle Boyle-Mariotova zákona pV = konst.. My pro jednoduchost položíme tuto konstantu rovnu jedné, prostě si vybereme tu teplotu, při níž to tak je. Je tedy p = y. Tato funkce je na intervalu [1; 2] spojitá, dokonce je zde klesající. Jelikož je to problém technický, nepotřebujeme výsledek přesný na miliony desetinných míst. Proto budeme uvažovat takto: Jelikož tlak během celého děje klesá, nemáme k dispozici žádný vzorec. Rozdělme tedy děj na několik fází, kdy se tlak sice změní, ale ne zase tak moc, abychom ho s přimhouřením obou očí nemohli považovat za konstantní. Pak můžeme použít vzorec pro děj izobarický a celkovou práci určíme tak, že sečteme jednotlivé dílčí výsledky. Řekněme, že budeme objem brát po 0,2, dostaneme následující hodnoty. V 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 p 1,00 0,83 0,71 0,63 0,56 0,50 Pesimista si řekne, že vezme nejmenší hodnotu z každého intervalu a vyjde mu W = (0, 83 + 0, 71 + 0, 63 + 0, 56 + 0, 5).0, 2=0,65. To optimista ví, že parní stroj je úžasné síly zdroj a vezme si naopak ty hodnoty největší, čímž získá W = (1 + 0, 83+0, 71+0, 63+0, 56).0, 2=0, 75. Je jasné, že pesimista to podcenil a že skutečně vykonaná práce bude větší, zatímco u optimisty je tomu naopak. Řekněme, že půjdeme zlatou střední cestou a prohlásíme, že plyn vykonal práci W = 0, 70 J. Také víme, že kdybych nebyl líný a rozdělil interval na více dílků, byl by výsledek přesnější. Také jsem mohl zvolit jiný způsob dělení a to takto. Zpočátku klesá tlak poměrně rychle, intervaly budou kratší. Ke konci pak mohu volit úseky delší, neboť tlak již tak prudce neklesá. K tomuto příkladu se ještě vrátíme. Zkusme ještě jeden příklad, a to výpočet obsahu obrazce omezeného křivkami y = 0, x = 0, x = 1, y = x2. Uděláme-li si obrázek, jedná se o lichoběžník, jehož jedna strana se nám poněkud pokřivila. Zopakujeme-li postup z předchozího příkladu, tak zjistíme, že dělíme-li po 0,2, obdrží pesimista hodnotu s = 0, 24 a 13 14 KAPITOLA 2. URČITÝ INTEGRÁL A JEHO UŽITÍ optimista S = 0,44. Tentokrát nebudeme líní a dělení zjemníme na polovinu, tedy délka úsečky na ose x bude 0,1. Pesimista získá hodnotu s = 0,285, optimista pak S = 0, 385. Již od dob Archimedových víme, že správná hodnota je |. K této hodnotě se oba přibližují, jeden odspodu a druhý od vrchu. Z hlediska konstrukce je zřejmé, že ji ani jeden z nich nemůže překročit. Nyní již můžeme definovat určitý integrál. Def. 2.1 Nechť je v intervalu [a,b] dána spojitá funkce f(x). Zvolme v tomto intervalu n — 1 bodů xi, x2, . . ., xn_i, které vyhovují nerovnostem a = x0 < X\ < x2 < . . . < xn_i < xn = b Interval [xk_i,Xk] nazveme k—tým podintervalem, jeho délka je Axk = x^ — Xk-i-Nechi fmink{x), respektive fmaxk{x) je minimální, resp. maximální hodnota funkce v daném intervalu. Dolní součet příslušný tomuto dělení je n S ^ ^ f míru. ("^) k ■ k=l Množina dolních součtů je ohraničená shora, má tedy suprémum, které nazveme dolní integrál funkce f{x). Analogicky definujeme horní součet n s = ^ fmaXk(x)Áxie. k=l Množina všech horních součtů je omezená zdola, má tedy infimum, které nazveme horní integrál. Jsou-li tyto hodnoty stejné, nazveme Riemannovým integrálem funkce f{x) a píšeme ja f(x)dx. Zamysleme se nad tím, co by se stalo, kdybychom vypreparovali jednu funkční hodnotu f(xi). Matematický čuch nám napovídá, že by hodnota integrálu byla stejná, jeho definici bychom museli pozměnit. Zmírníme požadavek na funkci, bude nám stačit když bude na intervalu [a, b] ohraničená. Rovněž nemůžeme uvažovat v jednotlivých podintervalech maxima či minima funkce, ale vzhledem k ohraničenosti mají funkční hodnoty v každém podintervalu infimum a suprémum. Upravíme-li v tomto smyslu výše uvedenou definici, pak dostaneme opět Riemannův integrál. Tento postup jsem zvolil proto, že v otázce ke státnicím budete mít Riemannův integrál zmíněn. Uvědomte si ještě, že Riemannův integrál z ohraničené funkce nemusí existovat. Například D(x)dx neexistuje, protože horní integrál je roven jedné, kdežto dolní je roven nule. D(x) je v mém pojetí označení Dirichletovy funkce, která je definována pro všechna reálná čísla a má hodnotu D(x) = 1, x racionální a D(x) = 0 pro x iracionální. My však budeme pracovat většinou s funkcemi spojitými. Pokud se omezíme výhradně na ně, můžeme definici integrálu zjednodušit následujícím způsobem. Vraťme se k rozdělení intervalu [a, b] tak, jak je uvedeno v definici (2.1). Def. 2.2 Norma dělení d intervalu [a,b] je dána vztahem v(d) = maxAxf,. 2.1. DEFINICE A METODY VÝPOČTU 15 Def. 2.3 Integrálním součtem rozumíme výraz n k=l kde je libovolné číslo z intervalu Axk. Jinak řečeno místo součtu dolního a horního máme jeden součet integrální. Další důležitý pojem je limita integrálních součtů. Def. 2.4 Číslo I nazveme limitou integrálních součtů Sn, jestliže ke každému e > 0 existuje takové ô > 0, že nerovnost \Sn - I\ < e je splněna pro každé dělení d daného intervalu, pro které platí v(d) < ô, a to nezávisle na volbě bodů Píšeme n k=l Zdůrazňuji, že tato limita je reálné číslo závislé na funkci a intervalu, nikoliv však na dělení intervalu či volbě bodů Konečně následuje pointa celého procesu. Věta 2.1 Nechí f(x) je spojitá v intervalu [a,b]. Pak limita integrálních součtů existuje a platí n „5 1 = iimny2f(Šk)Axk = / f(x)dx. k=l Ja Této větě se říká základní věta integrálního počtu. V dnešní době výkonných počítačů lze určitý integrál snadno spočítat například tak, že budeme zjemňovat dělení intervalu tak dlouho až se horní a dolní součet nebudou v rámci požadované přesnosti lišit. Integruje se vesele více než tři sta let a naši pradědové neměli co se týče výpočetní techniky takové možnosti jako my. Jak si tedy počínali? To naznačí následující definice. Def. 2.5 Nechí funkce f{x) je spojitá v intervalu I a necht F {x) je libovolná funkce k ní primitivní. Pak je b f(x)dx = F(b) - F(á) Takto definovaný určitý integrál se nazývá Newtonův. Nyní máme integrály dva, matematici v rozmachu tvůrčí činnosti definovali integrály další (Lebesque, Stielts,...). Jestli si myslíte, že tím vnesli do matematiky pěkný nepořádek, tak jste na velkém omylu, neboť platí věta: Věta 2.2 Nechť k funkci f{x) existuje více určitých integrálů, pak jsou si rovny. 16 KAPITOLA 2. URČITÝ INTEGRÁL A JEHO UŽITÍ Tedy žádný zmatek, naopak výhoda, že výpočet nějakého integrálu můžeme nahradit výpočtem jiného, kdy je postup snazší. Vraťme se k úvodním příkladům. Práce plynu je počítána podle vzorce ľ2 dV r l9 / — = [lnV]2 = ln2 - lni = ln 2=0, 69 Ji v V tomto případě jsme se skoro trefili, a to je dělení po 0,2 hodně hrubé. Podobně je \x ii _ }_ [3Jo" 3' Archimédes měl pravdu a my jsme se tím to postupem taky moc nezmýlili, vždyť kdybychom vzali průměrnou hodnotu, tak bychom měli 0,335. Nyní si ukážeme výpočet určitého integrálu, jsme-li nuceni při hledání primitivní funkce použít metodu per partes. Postup je jednoduchý: > pb u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]ba — / u'(x)v(x)dx X (Í/X - I _ |q No a jeden příklad. Příklad 2.1 xsinxdx = [—xcosx]^ + / cosxdx = n o Jo S metodou substituční je to poněkud složitější, ale zvládneme to. Věta 2.3 Nechť je v uzavřeném intervalu I s krajními body a, b integrand tvaru f[g(x)]g'(x), kde funkce t = g{x) a její derivace g'{x) jsou spojité funkce via zároveň f(t) je spojitá funkce pro všechna t = g (x), kde x E I. Pak platí b rg(b) f[g(x)]g\x)dx = / f(t)dt. Jg(a) - ľ— fi Příklad 2.2 Vypočtěte integrál JQ2 sin xcosxdx. Samozřejmě že bychom se mohli po substituci navrátit k původním proměnným, ale byla by to zbytečná oklika. Nej-vodnější substitucí se jeví t = sin x, dt = cosxdx. Pretransformujeme meze x = 0=^ŕ = 0;:r=f=^ŕ=l. Potom je sin6 x cos xdx = / ŕdt o Jo n1 1 Věta 2.4 Nechť funkce f{x) je spojitá v uzavřeném intervalu I\ s krajními body a, b, funkce 0, přičemž rovnost platí pouze v případě, je-li funkce na tomto intervalu rovna nule. Věta 2.9 Nechť f{x) a g(x) jsou spojité na intervalu [a;b] a nechť pro všechny body tohoto intervalu platí f (x) < g{x). Pak je b pb f{x)dx < / g{x)dx. J a Věta 2.10 Nechť funkce f{x) je spojitá na intervalu [a; b] a nechť pro všechny body tohoto intervalu platí m <3 f{x) < M. Pak platí m(b - a) < í f(x)dx < M(b - a) J a Tato věta se nazývá první věta o střední hodnotě a používí se k odhadu hodnoty určitého integrálu v případě, že se nám nedaří najít primitivní funkci. Ukážeme si to na příkladě. 2.2. VLASTNOSTI URČITÉHO INTEGRÁLU 19 Příklad 2.5 Odhadněte hodnotu integrálu - ďr o 10 + x3 - O, 5 cos10 x + V7x4 + 9 Funkci ve jmenovateli si označíme 0 v intervalu [a; b] je ja f(x)dx roven obshu křivočarého rovnoběžníka ohraničeného osou x, funkcí f (x) a přímkami o rovnicích x = a a x = b. Výpočet si ukážeme na příkladech. Je-li obrazec ohraničen křivkami f {x) a g (x), přičemž pro všechna x G [a; b] je f (x) > g (x), spočítáme jeho obsah podle vzorce P [f (x) - g (x)] dx. V tomto případě není nutné, aby funkční hodnoty obou funkcí byly nezáporné, vzpomeňte si na Cavalieriho princip. l+x2 Příklad 2.7 Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného grafy funkcí f (x) g{x) = x2. Grafy obou funkcí mají dva společné body A[—l; 1] a B[l; 1]. Obsah tohoto obrazce je P x' 30 J d30 x* 30 J d30 2 arctgrr--x & 3 7T- Příklad 2.8 Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = 2x—x2 a y = —x. Grafem první funkce je parabola, která má vrchol V[l; 1] a je čumákem nahoru. Grafem druhé funkce je osa druhého a čtvrtého kvadrantu. Musíme spočítat x—ové souřadnice průsečíků těchto dvou křivek, budeme tedy řešit rovnici 2x — x2 = —x. Tato rovnice má dvě řešení, totiž x\ = 0 a x2 = 3, což jsou současně meze integrálu. P [2x — x2 — (—x)]dx -x x y 9 2' Objem tělesa, které vznikne rotací nezáporné funkce f{x) v intervalu [a; b] se spočítá podle vzorce V = ir f2(x)dx. Těleso jednoduše rozřežeme kráječem na salám na tenké plátky, které můžeme považovat za válec, jehož objem je -Kf2(xo)dx. Potom jednotlivé plátky zase složíme dohromady, to je ten integrál. Jako příklad si odvodíme vzorec pro objem rotačního kužele. Příklad 2.9 Odvoďte vzorec pro objem rotačního kužele. Toto těleso vznikne rotací přímky y = Lx kolem osy x. Je tedy V 7T v 2 r 30 d/30 7T- 2 S r x -7ir2v A ještě jeden. 2.3. UŽITÍ URČITÉHO INTEGRÁLU 21 Příklad 2.10 Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochami, které vzniknou rotací parabol y = 1 — x2, y = x2 + 2 a přímek x = — 1 a x = 1 kolem osy x. Obrázky neumím, ale je zřejmé, že v daném intervalu je parabola číslo dva vždy nad parabolou číslo jedna, můžeme použít stejný trik jako při výpočtu obsahu křivočarého lichoběžníka. V = 7T j [(x2 + 2)2 - (1 - x2)2]dx = 2tt J (6x2 + 3)dx = 2tt [2x3 + 3x] J = IOtt. Pro výpočet délky křivky je důležitá následující věta. Věta 2.15 Nechť křivka je dána parametricky rovnicemi x = tp(t), y = ip(t), t G [«;/?]• Mají-li tyto funkce v tomto intervalu spojité derivace (v krajních bodech zprava či zleva), pak je tato křivka schopna rektifikace. Slova rektifikace se nelekejte, matematici tím jen vyjadřují skutečnost, že má konečnou délku. Tuto délku spočítáme na základě následujících vět. Věta 2.16 Jsou-li funkce tp'(t) a ip'(t) spojité v intervalu [a; (3], pak délka l křivky dané parametricky x = tp(t), y = ip(t), t G [a; (3] je dána vzorcem i= / ^cpf2(t) + 4>f2(t)dt Jestliže si uvědomíme, že i funkce y = f (x) představuje vlastně parametrické rovnice, kde x = t a y = f (t), lze snadno formulovat následující větu. Věta 2.17 Délka oblouku grafu funkce y = f (x), x G [a; b] je dána vzorcem ŕ l = / y/l + fv(x)dx. Příklad 2.11 Zkusme si nejprve odvodit vzorec pro délku kružnice. Zde nám přijdou vhod její parametrické rovnice, které jsou x = r cos t, y = rsint, t G [0;27r]. Derivace jsou x' = —rsint a y' = r cos t. Obvod (délka) kružnice je tedy /»2-7t _ í>2lľ l = / \/r2 sin21 + r2 cos2 tdt = r dt = 2nr. Jo Jo A příklad na druhý vzorec. Příklad 2.12 Vypočtěte délku grafu funkce y = lncosrr, x G [0; |]. 7ľ 7T ľ3 /- ľ 3 1 ľ (x 7T\ l = v 1 + tg2 xdx = / -dx = ln tg ( —|— ) J o ,/0 cosrr L V 2 4/ =1,317. o Jednu fyzikální aplikaci jsme si uvedli v motivačním příkladu, podobně řešíme i další problémy, jako příklad mohu uvést výpočet polohy těžiště a statických momentů. Toto je však poměrně složité a jelikož jste většinou nefyzici, tak to ke kolokviu konkrétně vyžadovat nebudu. Závěrem vám odvodím vzorec pro potenciální energii pružiny. 22 KAPITOLA 2. URČITÝ INTEGRÁL A JEHO UŽITÍ Příklad 2.13 Je-li deformace pružná, je působící síla přímo úměrná výchylce, platí F = Kx, K je tuhost pružiny (Hookeův zákon). Koncový bod pružiny umístíme do počátku a pružinu potáhneme o d vpravo. Vypočítáme-li vynaloženou práci, máme i potenciální energii pružiny. W Fdx Kxdx Kx2 -Kx1 Jak již bylo řečeno, v mnoha případech se nám nepodaří nalézt primitivní funkci, ačkoliv určitý integrál zcela jistě existuje. Jak bylo ukázáno, umíme aspoň odhadnout jeho hodnotu, ne vždy se s tím však můžeme spokojit. Z definice můžeme integrál spočítat alespoň přibližně, my si ukážeme tři metody. Metoda obdélníková spočívá v tom, že interval [a; b] rozdělíme na n stejných dílků, jejichž délka je Ax = ^—^,to bude jedna strana obdélníka. Druhou bude funkční hodnota v bodě Xi. Vypočítáme obsah každého z obdélníků a výsledky sečteme. Obdržíme b — a f(x)dx «-[f(x0) + /(ari) + • • • + /Orn_i)] n Za předpokladu, že funkce má v tomto intervalu spojitou derivaci, umíme odhadnout i chybu Rn. Di (b — a)2 Rn < -, -Di = maxai- 1 jeho výpočtu limitu, je vše v pořádku, integrál konverguje k |. Výpočet limity je často velmi složitý, někdy nám však stačí znát, zda nevlastní integrál konverguje a pak ho se pokusíme vypočítat alespoň přibližně. Vět o konvergenci je více, my si uvedeme jen některé. Věta 2.19 Nechť funkce f{x) a g{x) jsou spojité v intervalu I a nechť zde platí 0 < f(x) < g{x). Konverguje-li integrál funkce jjg(x)dx, konverguje i jIf{x)dx. Diverguje-li jIf{x)dx, pak diverguje i jIg{x)dx. Interval I zahrnuje všechny výše uvedené případy. Příklad 2.16 Integrál JQ4 ^Jídx je konvergentní. V intervalu [0;4) zřejmě platí cos2 x 1 0 < , < V4 - x V4 - x Obě funkce jsou v tomto intervalu spojité. Dále je í4 1 / dx = [-2V4 -x]= lim 2(V4 - 4-2) = 0 + 4 = 4. Jo \/4-x 1 J0 *->4 Integrál větší funkce konverguje, konverguje tedy i zadaný integrál. Příklad 2.17 Integrál ^dx diverguje. V intervalu (0; 1] zřejmě platí 1 3" 0 < - < — a obě funkce jsou zde spojité. ľ 1 / — dx = ílnrrL = 0 — lim In x = +oo J0 x 10 x^O 'o Zadaný integrál musí tedy divergovat také. Věta 2.20 Nechť funkce f{x), g{x) a h{x) jsou spojité v intervalu I a nechť pro všechna x E I platí f (x) < g (x) < h(x). Konvergují-li integrály fľf(x)dx a jjh{x)dx, konverguje i jjg(x)dx. Interval I zahrnuje všechny možné případy. Závěrem několik slov o integrálu jako funkci horní meze. Zafixujeme-li v integrálu j f{x)dx dolní mez a horní mez budeme měnit, dostaneme pro každou hodnotu b jiné číslo. Každé hodnotě bi je přiřazeno číslo Jj. je tedy definována funkce fX U (x) = / f{t)dt = F (x) - F (a). J a Základní vlastnost tohot integrálu udává následující věta. 26 KAPITOLA 2. URČITÝ INTEGRÁL A JEHO UŽITÍ Věta 2.21 Je-li funkce f(t)dt spojitá v intervalu I, pak derivace určitého integrálu U (x) = f f(t)dt podle proměnné horní meze se v každém bodě x E I rovná hodnotě integrované funkce v tomto bodě, tedy je U'(x) = f (x). Je-li interval I někde uzavřen, jedná se o derivaci zprava či zleva. Kapitola 3 Nekonečné řady 3.1 Základní pojmy, konvergence Jako druhé téma nám schválený studijní program nařizuje probrat nekonečné řady. Nejdříve se s vámi podělím o zkušenost ze státních zkoušek. Jednou z otázek je právě toto téma, přesněji jsou to posloupnosti a řady. Mnohdy stává, že student začíná svou odpověď slovy "posloupnost je řada čísel". Určitě cítíte, že tady něco nehraje. Samozřejmě, jedním způsobem zápisu posloupnosti je skutečně řada čísel, ale z předmětu MA 1 víme, že posloupnost je funkce definovaná na množině přirozených čísel. Tady něco nehraje. Matematika obvykle nepoužívá pro jeden jev dva názvy, navíc pojem funkce je defináván přesně. Pod pojmem řada budeme rozumět něco jiného, i když tušíme, že jistá souvislost s posloupnostmi tady bude. Nakreslete si čtverec o straně délky jedna. Najděte středy dvou protějších stran a spojte je. Čtverec jsme rozdělili na dva obdélníky, každý z nich má obsah |. Jeden z obdélníků vybarvěte vaší oblíbenou barvou. Najděte středy delších stran nevybarveného obdélníka a spojte je. Dostanete dva čtverce, každý má obsah |. Jeden vybarvěte a řekněte, jaký je obsah vybarvené části. Reknete-li že je to \ + \ = |, tak vás chválím, je to správně. Nevybarvený čtverec rozdělte stejným způsobem jako čtverec původní a jeden opět vybarvěte. Obsah vybarvené části vzrostl na |. Tak pokračujte dál, neboť tomu, kdo první původní čtverec celý vybarví splním čtyři libovolná přání. Zlatou rybku musíte nejdříve chytit a stejně vám splní pouze přání tři. (Nejen) šachisté vědí, odkud tato hra, která je nazývána královskou, svůj původ vzala. Jistý maharadža se nudil a vypsal tedy soutěž na novou hru, která by ho uspokojila. Vítězná hra, později šachy zvaná, maharadžu tak nadchla, že umožnil vynálezci určit si odměnu podle svého gusta. Ten si přál, aby na pole al bylo plozeno jedno zrníčko rýže, na a2 dvě zrníčka, na a3 čtyři atd. Polí je 64, tedy žádný problém. Dnes už víme, že odměna vyplacena nebyla, ne proto, že by z maharadžovy strany chyběla dobrá vůle, ale proto, že tolik rýže prostě nebylo. Než to vybarvíte, tak vám prozradím, co se v matematice rozumí pod pojmem (nekonečná) řada čísel. Def. 3.1 Nechi je dána posloupnost reálných čísel {an}^°. Nekonečnou číselnou 27 28 KAPITOLA 3. NEKONEČNÉ ŘADY řadou se rozumí součet všech členů této posloupností. Zapisujeme 00 an = di + a2 + ... + an +---- 1 Čísla a,i nazýváme členy řady. Jelikož se zatím nikdo nepřihlásil o splnění čtyř přání, zkusme se na problém podívat podrobněji. Sečíst nekonečně mnoho členů jest samozřejmě kravinium, to vskutku nelze. Co však nedělá problém, alespoň v principu, je sečíst několik prvních členů řady. Označme tedy s± = a±, s2 = a\ + a2, s3 = a\ + a2 + 03 atd., a hle— narodila se nám posloupnost. Def. 3.2 Číslo Si = a\ + a2 + ... + a« nazveme i— tý částečný součet řady an. Posloupnost {sn}fD nazveme posloupnost částečných součtů (dané řady). Z prvního kurzu analýzy víme, že každá posloupnost buď limitu má, ať vlastní nebo nevlastní, nebo limitu nemá. Je tedy na místě následující definice: Def. 3.3 Nechť je limsn = S. Pak říkáme, že příslušná řada konverguje a má součet S. Je-li liman = ±00 říkáme, že příslušná řada diverguje. V případě neexistence limity se někdy říká, že příslušná řada osciluje. Takto jsouce vyzbrojeni můžeme vyřešit úvodní problémy. Pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti {aign_1} platí vzorec qn - 1 sn — ai-~r- q - 1 Klíčová je limgn, ta je vlastní a rovna 0 pouze pro \q\ < 1. Jinak je buď nevlastní nebo neexistuje. Můžeme tedy formulovat následující tvrzení: Věta 3.1 Geometrická řada ^2^° a\qn~x konverguje pro \q\ < 1 a její součet je V případě vybarvování ]e a± = a. q = S = 1. Jelikož se jedná o limitní proces, tak jedničky nedosáhneme, já jsem postupoval uvážlivě. Ve druhém případě se jedná o řadu divergentní, posloupnost částečných součtů roste pekelným tempem, holt maharadže se měl ve škole lépe učit. Kdyby každá řada byla geometrická, tak bychom měli vyděláno, bohužel tomu tak není. Následující věta nám umožní vyřadit alespoň některé řady, které se ucházejí o čest býti konvergentní. Z úsporných důvodů budu u sumy vynechávat meze když nebude hrozit nějaké nedorozumění. Věta 3.2 Nechť řada J^an konverguje. Pak je liman = 0. 3.1. ZÁKLADNÍ POJMY, KONVERGENCE 29 Příklad 3.1 Rozhodněte o konvergenci harmonické řady X^n' Je^kož lim ^ = 0; mohla by řada konvergovat. Jenže již ve středověku přišli matematici s použitím Ďábelské finty na to, že tato řada diverguje. Předpokládejme, že harmonická řada konverguje a má součet S. Cleny sdružíme po 2n takto: Vytvoříme novou řadu tak, že všechny zlomky v závorkách nahradíme tím posledním. 1 (\ 1\ (\ 1 1 1\ Eí>» = 1 + 5 + (j + 3j + (j + s + 8 + 8j+'" Tato řada musí také konvergovat a její součet musí být nejvýš roven číslu S, neboť platí bn < - pro všechna n G N. Jenže součet všech sčítanců v každé závorce je roven |; řada tedy diverguje. Přesněji řečeno posloupnost částečných součtuje shora neomezená a rostoucí, její limita je tedy nevlastní a rovna +oo. Musí tedy divergovat i řada harmonická. Kdo trpí závratěmi nechť tento odstavec nečte. Vezměte si tyč délky 1 m. K ní připojte tyč délky | m, pak tyč délky | atd. Tímto postupem si vytvoříte tak dlouhou tyč, že po ní můžete vyšplhat na libovolné místo ve vesmíru. Skafandr si však nekupujte, kdesi jsem četl, že zatím spočítaný největší částečný součet harmonické řady nám toto neumožňuje. Paradoxem je, že řady typu ^ pro p > 1 konvergují. Uvedený příklad nám říká, že věta 3. 2. představuje nutnou, nikoliv postačující podmínku konvergence. Matematikové sice odvodili i nutnou a postačující podmínku, ta je však pro praxi bezcenná, jak hned uvidíte. Věta 3.3 (Bolzano-Cauchy). Rada ^2an je konvergentní právě tehdy, když pro libovolné e > 0 existuje no G N takové, že pro všechna n,p G N, která splňují podmínku uq < n < p platí \a>n+l + + ' ' ' + Op| < e. Při důkazu divergence harmonické řady jsme jednotlivé členy sdružili do závorek. Pro konečný počet sčítanců platí asociativní zákon, je tomu tak i pro nekonečný počet sčítanců? Ozávorkujeme členy řady J^an podobným způsobem, přičemž zachováme pořadí sčítanců, jednotlivé závorky označíme b^, čímž vznikne nová řada ^2bk- Platí následující věta: Věta 3.4 Nechť řada J^an konverguje a její součet je S. Pak konverguje i řada ^2bk a její součet je rovněž S. Tato věta je opět implikací, neplatí obráceně jak se o tom hned přesvědčíme. ^(_1)" = _1 + (1_ 1)+ (_! + !) + ... = -1. E = (-1 + 1) + ("I + 1) + ("I + 1) + • • • = 0. Jedna paní povídala, že za součet řady byl vzat aritmetický průměr obou výsledků. Pokud tomu tak skutečně bylo, tak to dlouho nevydrželo. My dnes víme, že tato řada osciluje. Závěrem uvedeme některé věty týkající se konvergence řad. 30 KAPITOLA 3. NEKONEČNÉ ŘADY Věta 3.5 Nechť řada ^2an konverguje a její součet je S. Pak konverguje i řada ^2 kan a její součet je k S, kde A; G IR. Věta 3.6 Nechť ^2an = A a ^2bn = B jsou konvergentní řady. Pak konverguje i řada ^2 (an + bn) a její součet je A + B. Konvergentní řady je tedy možné sčítat člen po členu a nová řada (ai + &i) + (a2 + h) H-----h (an + bn) H---- je konvergentní má součet A + B. Příklad 3.2 Uvažujme řadu (J + 2> + Q +1) + (i +1) + ■ ■'+ (2^ + šItt) + ■ ■ Rady 1 11 2n-i 2 4 a 1 2 2 £ —2 + 5 + 5 + "' jsou konvergentní, neboť jsou to řady geometrické s kvocientem | respektive |. První má součet 2, druhá 3, zadaná řada tedy také konverguje a její součet je 5. Vynecháme-li v řadě a«? prvních k členů, dostaneme novou řadu Y^=k+i ar kterou nazýváme zbytkem řady po k— tém členu. Platí věta: Věta 3.7 Rada J^an a její zbytek po k—tém členu současně konvergují nebo divergují. Jinak řečeno vyškrtnutí konečného počtu členů řady nemá vliv na její konvergenci či divergenci, u konvergentních řad se však samozřejmě změní součet. 3.2 Rady s kladnými členy Stanovení součtu řady bývá velmi obtížné, nejedná-li se o řadu geometrickou. Z tohoto důvodu se obvykle omezujeme na určení konvergence či divergence dané řady a pokud konverguje, můžeme se pokusit tento součet odhadnout. Jelikož se v tomto odstavci budeme věnovat řadám s kladnými členy, je zřejmé, že posloupost částečných součtů je rostoucí. Musíme zapátrat v paměti a vylovit poznatek o limitě rostoucích posloupostí. Pokud se nám to podaří, můžeme formulovat následující větu. Věta 3.8 Rada s kladnými členy je konvergentní právě tehdy, když je posloupnost částečných součtů shora ohraničená. 3.2. ŘADY S KLADNÝMI ČLENY 31 Tato věta není pro praktické použití příliš vhodná, není totiž vždy snadné určit, zda posloupnost částečných součtů je ohraničená. Zkusíme tedy najít další možnosti. Napadne-li někoho z vás, že řada představuje vlastně vyzobané rozinky z nevlastního integrálu, pak má pravdu. Narodilo se nám první, tzv. integrální kritérium. Věta 3.9 Nechť ^an je řada s kladnými nerostoucími členy a nechť f(x) je spojitá, kladná a nerostoucí funkce v intervalu [1; oo) taková, že an = f(n) pro všechna n G N. Pak tato řada konverguje či diverguje zároveň s integrálem f(x)dx. Příklad 3.3 Dokažte, že řada ^ ^ Je Vro ol > \ konvergentní. Zde nám přijde integrální kritérium velice vhod. Je totiž (1 — ct)x a-l lim —---- x^oo — a)xa 1 a o-(- a a Zajímavá věc. Zatímco řada harmonická diverguje, stačí n ve jmenovateli umocnit číslem nepatrně větším než jedna a řada nám začne konvergovat. Poznámka 3.1 Dokážeme-li spočítat hodnotu nevlastního integrálu, neznamená to samozřejmě, že jsme tím určili součet řady. Je například dx (11! lni lim ln i 2 ln 2 Součet této geometrické řady je ale roven 1. Musíme mít na paměti, že určitý integrál nám určuje obsah patřičného křivočarého lichoběžníka, kdežto součet řady určuje celkovou délku těch šprinclíků. Poznámka 3.2 Toto kritérium nám umožní odhadnout chybu, nahradíme-li součet s řady součtem Si prvních i členů řady. Platí f{x)dx < s — Si < l f{x)dx + ai+1 í+i Příklad 3.4 Odhadněte chybu, nahradíme-li součet řady ^2 ^ součtem prvních pěti členů. Nejdříve provedeme pomocné výápočty. Po několika pokusech se mi podařilo zjistit, že s5 = S integrálem to bylo snazší. 3600 ■ 00 -dx ar lim x—> 1 X <4> 1 6' Je tedy < s — s5 < 1 6 ~ ~ ~ 6 '" 36' Po provedení výpočtů máme 1,63 < s < 1,66. Jelikož matematikové jinými prostředky ukázali, že součet této řady je s = ^ =1,64, jedná se o podivuhodně přesný odhad. Poznámka 3.3 Toto kritérium platí i pro jinou spodní mez než je jednička, tedy ve větě 3. 9. můžeme jedničku nahradit libovolným přirozeným číslem. 32 KAPITOLA 3. NEKONEČNÉ ŘADY Poznámka 3.4 Ve větě 3. 9. nemusíme být tak přísní, stačí, aby an = f {n) platí pro skoro všechna n. (Pro ortodoxní matematiky s výjimkou konečného počtu n.) Když jsme dokazovali divergenci harmonické řady, pak jsme vlastně intuitivně použili tzv. srovnávací kritéruim. Nejdřív však jednu definici. Def. 3.4 Řekneme, že řada ^2bn je majorantou řady ^2an, platí-li pro všechna n G N bn > \an\. Srovnávací kritérium přichází vzápětí. Věta 3.10 Nechť k řadě ^2an s kladnými členy existuje konvergentní majoranta ^2bn. Pak řada ^2an konverguje. Je-li naopak řada ^2an divergentní, pak je divergentní i její libovolná majoranta. Příklad 3.5 Rada ^2 n^+i) Je konvergentní. Pro všechna n G N platí 1 1 n(n + 1) n2 Když si uvědomíme, že , 1 ^ =---\-r, tak vidíme, že součet této řady je roven 1. Nyní uvedeme ještě dvě kritéria. Věta 3.11 dAlembertovo podílové kritérium. Nechť ^2 CLn Je řada s kladnými členy a nechť existuje limita = A. Je-li A > 1, pak řada diverguje, je-li A < 1, pak řada konverguje. Je-li A = 1, nelze o konvergenci řady rozhodnout. Toto kritérium lze použít tam, kde se nám snadno podaří vypočítat limitu podílu dvou po sobě jdoucích členů, dokonce ani případ A = 1 není úplně beznadějný. Je-li totiž > 1 pro všechna n G N, pak řada diverguje. Případ opačný, tedy < 1 však neukazuje na konvergenci. Harmonická řada evidentně diver-guje, přitom je -—^ = ^-j- < 1. Uvedené úvahy lze uplatnit i na případ, kdy uvedené podmínky platí pro skoro všechna n (pro ortodoxní matematiky s výjimkou konečného počtu členů). Z předchozího totiž víme, že vynechání konečného počtu členů konvergenci neovlivní. Použití tohoto kritéria si ukážeme na příkladech. Příklad 3.6 Rozhodněte o konvergenci řady X^f^T- Počítáme následující limitu. lim n+1 = lim ^nt^' = lim-= 0. Tato řada konverguje. Příklad 3.7 Rozhodněte o konvergenci řady X^^T- zase jdeme na limitu. (n+l)"+1 . lim ^±1 = lim -^L- = lim (" + 1)(w + ^ = lim (1 + 1 1 = e. nn{n + 1) \ n Tato řada diverguje. 3.3. ŘADY ALTERNUJÍCÍ 33 Příklad 3.8 Rozhodněte o konvergenci řady X^^- Zde ovšem je ,. an+l ^/ň+I * lim-= lim — = 1. Podle podílového kritéria nelze rozhodnout. Teď si oprávněně ťukáte na čelo. Je přece > ^ pro všechna n G N a tato řada diverguje. Jo, i na volbu kritéria musí mít člověk štěstí. Věta 3.12 Cauchyho odmocninové kritérium. Nechť je dána řada s kladnými členy ^2an a nechť lim ^fä~^ = A. Je-li A > 1, pak řada diverguje. Je-li A < 1, pak řada konverguje. Pro A = 1 nelze o konvergenci či divergenci rozhodnout. Příklad 3.9 Rozhodněte o konvergenci řady ^ (f^+f)"- r r~ v 2n + 5 2 i lim x/an = lim- = - < 1. v 3n + 2 3 Tato řada konverguje. 3.3 Rady alternující Uvedené úvahy lze aplikovat i na řady s nezápornými členy, stačí ty nulové prostě vynechat. Obsahuje-li řada pouze členy záporné, tak vytkneme (-1) a máme opět prázdný čajník v kredenci. Co však s řadami, u nichž se znaménka střídají? Nejprve je pokřtíme. Def. 3.5 Radu ^ (—l)n~1an kde an > 0 nazýváme alternující. Jak poznáme, zda tato řada konverguje? Snadno, máme k dispozici jednoduché kritérium, či chcete-li postačující podmínku konvergence. Věta 3.13 Leibnizovo kritérium. Nechť an+1 < an pro všechna n E N a nechť liman = 0. Pak řada ^ (—l)n~1an kde an > 0 konverguje. Příklad 3.10 Alternující řada harmonická je konverqentní. Je - > a lim - = J J D n n+1 n 0. Příklad 3.11 Řada ^ (—l)n^^ diverguje, neboť lim = 2. Již zmíněný příklad s harmonickou řadou nás dovede k následující definici. Def. 3.6 Rada ^an se nazývá absolutně konvergentní, jestliže konverguje řada ^2\an\. Je-li řada ^ \an\ divergentní, ale řada J^an konverguje, pak mluvíme a neabsolutní (relativní) konvergenci. Vztah mezi relativní a absolutní konvergencí nám udává následující věta. 34 KAPITOLA 3. NEKONEČNÉ ŘADY Věta 3.14 Každá absolutně konvergující řada je konvergentní. Tato věta je celkem zřejmá, řada absolutně konvergentní konverguje i relativně, naopak tomu být nemusí. O absolutní konvergenci rozhodneme podle kritérií užívaných na řady s kladnými členy. Absolutně konvergentní řady je také možno sečíst člen po členu, viz následující věta. Věta 3.15 Nechť řady J^an a^!)„ jsou absolutně konvergentní. Pak je absolutně konvergentní i řada ^2 (an + bn). Nyní vám představím další záhadu. Alternující harmonická řada je konvergentní a její součet je s. Vydělíme-li každý člen této řady dvojkou, dostaneme řadu se součtem |. Nyní provedu malé kouzlo a řady napíšu takto: 1\ 1 1 1 1 1 1 ~2y+3~4 + 5~6 + 7~8+"' s 1 1 1 1 _ = _ + 0-i + 0 + - + o-- + ... Přidáním nul jsem celkový součet ovlivnit nemohl, to je zřejmé. Nyní tyto dvě řady sečtu, čímž obdržím 3 11111 -s = 1 H-----1---1-----1---- 2 3 2 5 7 4 Podíváme-li se pozorně, zjistíme, že tato řada je původní alternující řada, jen jsme zaměnili pořadí jednotlivých členů. Def. 3.7 Obsahuje-li řada ^2bn tytéž členy jako řada J^an jen v jiném pořadí, řekneme, že řada ^2bn vznikla přerovnáním řady ^an. Sčítám-li konečný počet čísel, mohu je přerovnávat podle libosti, součet se nezmění, platí komutativní zákon. Výše uvedený postup nám ukazuje, že u řad tomu tak není. Neunáhlil jsem se však? Odpověď zní ano, vezmeme-li do hry řady absolutně konvergentní. Věta 3.16 Libovolným přerovnáním absolutně konvergentní řady dostaneme absolutně konvergentní řadu se stejným součtem. Ono to platí i obráceně, přerovnáváme-li řadu všemi možnými způsoby a její součet se nemění, pak tato řada konverguje absolutně. Zato u relativně konvergující řady mohu šikovným přerovnáním dostat konvergentní řadu s předem daným součtem a chci-li tak i řadu divergentní. Závěrem ještě pro pořádek si řady vynásobíme. Def. 3.8 Součinem řad ^2an a^2bn rozumíme řadu ^2cn, kde Je tedy ^2 cn = aih + (oi&2 + a2h) + (ai63 + a2b2 + a3&i) H---- Věta 3.17 Nechť ^2an = A a ^2bn = B jsou absolutně konvergující řady. Pak je absolutně konvergující řadou i jejich součin a jeho součet je AB. Odstraníme-li v součinu závorky, dostaneme opět absolutně konvergující řadu se součtem AB. 3.4. FUNKČNÍ ŘADY 35 3.4 Funkční řady Nebudeme přízemní a zkusíme se zamyslet nad tím, zda číslo je jediný objekt, na který můžeme zobrazovat množinu N. Další takový objekt, který byy vás měl ihned napadnout, jsou funkce. Def. 3.9 Nechi ke každému n E N je na intervalu I přiřazena funkce fn(x). Pak říkáme, že na množině N je definována posloupnost funkcí. Máme-li definovánu posloupnost funkcí, můžeme napodobit postup při definici číselných řad. Def. 3.10 Nechi na intervalu I je definována posloupnost funkcí. Funkční řadou nazýváme symbol oo = Mx) + fo(x) + • • • + /«w + • • • n=l Def. 3.11 i-tým částečným součtem funkční řady rozumíme funkci Si(x) = fi(x) + f2(x)-\-----h ft(x) Posloupnost částečných součtuje tvořena funkcemi Si(x) Když se nad tím zamyslíme, tak zjistíme, že přiřazujeme vlastně dvakrát. Nejprve si zvolíme x a k němu přiřadíme patřičnou funkční hodnotu. Tuto funkční hodnotu pak přiřazujeme přirozeným číslům. Zafixujeme-li x, pak dostaneme řadu číselnou. Ta může, ale nemusí konvergovat. Je na místě uvést další definici. Def. 3.12 Nechi je na intervalu I dána funkční řada Y2fn(x). Množinu M všech bodů Xi G /, pro něž řada konverguje, nazveme oborem konvergence dané řady. Studovat konvergentní funkční řady by bylo jistě zajímavé, jenže máme malou hodinovou dotaci. Uvedeme proto jen jeden důležitý pojem. Def. 3.13 Řekneme, že funkční řada je stejnoměrně konvergentní v intervalu I, jestliže je v tomto intervalu konvergentní se součtem s(x) a jestliže pro každé e > 0 existuje číslo n0 takové, že pro všechna i > n0 a všechna x E I je \sí(x) — s(x)\ < e. Geometrická interpretace tohoto pojmu je následující. Sestrojíme graf funkce s(x). Zvolíme si číslo e a sestrojíme grafy funkcí y = s (x) — e a y = s (x) + e, čímž obdržíme pás a šířce 2e. Jestliže řada konverguje stejnoměrně, pak nalezneme jisté číslo uq takové, že všechny částečné součty s indexem větším než uq leží v tomto pásu, a to bez ohledu na hodnotu proměnné x. Poznámka 3.5 Analogicky lze definovat stejnoměrnou konvergenci posloupnosti funkcí. Rozhodnout zda jistá řada konverguje stejnoměrně čili nic, bývá často obtížné, pan Weierstrass nám však vymyslel poměrně jednoduchou postačující podmínku. 36 KAPITOLA 3. NEKONEČNÉ ŘADY Věta 3.18 Nechť ^2 an je konvergentní řada s nezápornými členy. Nechť pro funkční řadu ^2 fn{x) platí pro všechna n G N a pro všechna x E I \fn(x)\ < an. Pak řada ^2 fn{x) konverguje v I absolutné a stejnoměrné. Proč je pojem stejnoměrné konvergence důležitý, pochopíme, prostudujeme-li si následující tři věty. Věta 3.19 Nechť řada ^2 fn(x) Je v intervalu I stejnoměrně konvergentní a nechť funkce fn(x) jsou v tomto intervalu spojité. Pak součet řady s(x) je spojitá funkce v intervalu I. Věta 3.20 Nechť řada ^2 fn(x) je tvořena funkcemi spojitými v intervalu [a;b] a nechť v tomto intervalu konverguje stejnoměrně a má součet s(x). Pak platí Věta 3.21 Nechť řada ^2 fn(x) Je tvořena funkcemi spojitými v intervalu [a;b] a nechť v tomto intervalu konverguje stejnoměrně a má součet s(x). Nechť dále platí, že všechny derivace fn(x) jsou spojité funkce. Pak má funkce s(x) v tomto intervalu spojitou derivaci a platí Věty 3. 20, resp. 3. 21 interpretujeme stručně tak, že říkáme, že stejnoměrně konvergentní řady lze derivovat a integrovat člen po členu. Z funkčních řad mají nej důležitější aplikace řady mocninné a řady Fourrierovy. Závěr této kapitoly bude věnován právě jim. 3.5 Mocninné řady Nebudeme nic zdržovat a uvedeme rovnou definici. Def. 3.14 Mocninnou řadou nazýváme řadu an(x ~ xo)n> an £ ^- číslo x0 nazýváme střed řady. Poznámka 3.6 Jelikož lze každou mocninnou řadu převést substitucí z = x — xq převést na řadu se středem v bodě xq = 0, budeme se v dalším bavit především o těchto řadách. Nyní se budeme zajímat o to, kdy mocninná řada konverguje. I Zilvar z chudobince ví, že každá mocninná řada konverguje ve svém středu. Jelikož vzhledem k předchozí poznámce víme, že se zabýváme mocninnými řadami se středem v bodě nula, tak lze prohlásit, že každá mocninná řada ^2anxn konverguje pro x = 0. Kdyby však všechny řady konvergovaly pouze v tomto bodě, tak bychom se o nich asi nebavili. Pan Abel však přišel na to, že ke konvergenci dochází i pro jiná x. Věta 3.22 (Abel). Nechť mocninná řada ^2anxn konverguje pro xq ý 0- Pak konverguje absolutně pro \/x G (— \x0\; \x0\). 'x H-----h / fn(x)dx H---- J a s'(x) = f[(x)dx + f'2{x) + ■■■ + f'n{x) + ■■■ 3.5. MOCNINNÉ ŘADY 37 Důsledek 3.1 Díverguje-lí mocninná řada ^2anxn pro jisté xq, diverguje i pro všechna \x\ > xq. Z Ábelovy věty vyplývá i následující tvrzení. Věta 3.23 Pro každou mocninnou řadu ^2anxn lze nalézt číslo R, přičemž 0 < R < +oo takové, že pro všechna x, kde \x\ < R řada konverguje absolutně a pro všechna \x\ > R řada diverguje. Def. 3.15 Číslo R z předchozí věty se nazývá poloměr konvergence. Pro stanovení konvergence mocninné řady je tedy klíčové nalézt poloměr konvergence. V bodech x = ±R musíme o konvergenci rozhodnout samostatně. Jak bychom mohli najít poloměr konvergence si ukážeme v následujícím příkladu. Příklad 3.12 Určete poloměr konvergence řady ^ (n+i)8" ■ Kdyby to byla řada s kladnými členy a navíc konstantními, tak bychom to uměli. Zkusili bychom třeba podílové kritérium, tedy spočítali bychom limitu lim n+l n + l 1. . x\ lim —-- = —\x\ 1 8(n + 2) 81 1 (n+2)8" (n+l)8 Nu, kladné členy máme a víme, že pro konvergenci je nutné, aby limita byla menší než jedna, což je splněno pro \/x G (—8; 8). Poloměr konvergence je tedy R = 8. Případ x = ±8 řešíme extra, ale v obou případech se bude jednat o řadu harmonickou, přičemž pro x = —8 je tato řada alternující a tudíž konverguje. Obor konvergence je interval [—8; 8), přičemž v bodě x = —8 tato řada konverguje jen relativně. Poznámka 3.7 Ne každému musí být podílové kritérium sympatické. Zkusme, zda by tento příklad nešel vyřešit kritériem odmocninovým. / xn \x\ 1 lim ľ ---— =-, = — \x\ V (n + l)8n 8 lim ifíTTl 81 Nu, jsme tam, kde jsme již byli, úvahy opakovat nebudeme, výsledek je stejný. Tento příklad nás opravňuje k formulaci následující věty. Věta 3.24 Jsou-li koeficienty řady ^2anxn takové, že existuje an+l lim nebo lim \/|an| = q, pak tato řada má poloměr konvergence R = K Je-li q = O, je R = +oo. Je-li naopak q = +oo, je R = 0. Následují důležité věty, týkající se konvergence mocninných řad. 38 KAPITOLA 3. NEKONEČNÉ ŘADY Věta 3.25 Rada ^2anxn s poloměrem konvergence R ^ O je stejnoměrně konvergentní v každém uzavřeném intervalu [a; b] C (—R; R). Věta 3.26 Nechť součet řady ^2anxn s poloměrem konvergence R > O je s(x). Pak funkce s(x) je spojitá funkce v intervalu (—R; R). Věta 3.27 Nechť J>n:rn = s(x) v (-R;R). Pak platí • pb pb pb pb s{x)dx = / a0dx + / aľxľdx + / a2x2dx + • • • + / anxndx + • • • J a J a J a J a v libovolném intervalu [a;b] C (—R;R). Poznámka 3.8 Dá se dokázat, že tato věta platí i pro a = —R či b = R, pokud řada v těchto bodech konverguje. Jak lze použít tuto větu si ukážeme na příkladě. Příklad 3.13 Nechť je dána řada i-ť2+ r-ř+ --- + (-\)nřn+ Spočtěme poloměr konvergence této řady. lim \/\an\ = lim 1 = 1 Poloměr konvergence je R = 1. Pozorný čtenář vidí, jak těžce jsem se uťal, neboť tato limita neexistuje, jelikož liché koeficienty řady jsou rovny nule. Já jsem vlastně spočítal poloměr konvergence řady ^ (—l)nzn, která vznikla ze zadané řady substitucí z = i2. Tyto řady však mají stejný poloměr konvergence. Vyfutrujeme-li konvergující mocninnou řadu nulami, nemá to na konvergenci řady vliv. Toto zjednodušení možná ještě někdy použijú. Vraťme se však k našemu příkladu. Kromě hledání chyb na mých výpočtech jste si také mohli všimnout, že se jedná o řadu geometrickou s kvocientem —i2. V intervalu (—1; 1) platí s(t) 1 + t2 Integrujeme-li zadanou řadu člen po členu, máme i px px px px --dt= / ldt+ t2dt+ / t4dt + ■■■ + (-l)n / t2ndt--- o 1 + ^ Jo Jo Jo Jo a po integraci a dosazení mezí možná s překvapením zjistíme, že ,yt 3 ,y, 5 /Y^žiTh | 1 arctgrr = x---1---••• + (—1) 3 5 v ' 2n + 1 Bacha na pana Vlacha. Zatímco funkce arkustangens je definována v M, uvedené úvahy platí je v mezích od nuly do \x\ < 1. Na tento příklad si ještě vzpomeneme. Mocninnou řadu lze také derivovat člen po členu. 3.5. MOCNINNÉ RADY 39 Věta 3.28 Nechť pro x G (—R] R) je ^2anxn = s (x). Pak je s'(x) = a>i + 2a2x + 3a3x2 + • • • Užití této věty si ukážeme na příkladě. Příklad 3.14 Určete součet řady ™2n—1 EX 2n- 1 Použijeme-li již osvědčený trik s limitou, zjistíme, že R = 1. V intervalu (—1; 1) má řada součet a konverguje zde stejnoměrně. Je tedy s(x) = x + — + — H---- Derivujeme tuto řadu člen po členu, máme s'(x) = 1 + x2 + x4 H---- Ač je to k nevíře, narazili jsme opět na řadu geometrickou, je tedy 1 s'(x) 1 — x2 Tuto rovnici zintegrujeme, čímž obdržíme 1 1 + x s(x) = — In- K J 2 1 -x Doufám, že jste si vzpomněli na parciální zlomky. Přísně vzato jsme počítali určitý integrál od nuly po x, tak jako v předchozím příkladě. Přidám ještě jednu větu. Věta 3.29 Nechť v intervalu (—R;R) je s(x) = ^2anxn. Pak funkce s(x) má v tomto intervalu derivace všech řádů. Často je také důležité zjistit jak se chová řada či lépe řečeno její součet pro x —> R či x —> —R. Odpověď nám dává následující věta. Věta 3.30 Nechť mocninná řada s(x) = ^^anxn, x G {—R] R) je konvergentní pro x = R (x = —R) a má zde součet A (B). Pak platí lim = A, lim = B 40 KAPITOLA 3. NEKONEČNÉ ŘADY Příklad 3.15 Určete součet harmonické alternující řady. Vyjdeme z řady mocninné 2 S 4 /■>> y y tXj tXj tXj / \T\i_1 * x--+---+ ••• + (—1) — + • • • = s(x), 23 4 ^v; n^ k j, která má poloměr konvergence R = 1, neboť lim i n+l Snadno se vidí, že volbou x = 1 získáme kýženou alternující řadu 1 - - + - - - H----(_!)—il h----. 2 3 4 v ; n Derivujme původní řadu člen po členu, dostaneme s'(x) = l-x + x2-x3 + --- + (-l)"-1^-1 + • • • To je opět geometrická řada, jejíž součet je s'(x) = máme 1 x -dx = ln (1 + x) + c. Volbou x = 0 zjistíme, že součet řady je nula a tedy i c = 0. Součet alternující harmonické řady je lim ln (1 + x) = ln 2. V příkladu 3. 13. jsme vyjádřili elementární funkci jako součet mocninné řady, podobně tomu bylo i v některých dalších příkladech. Vzpomeneme-li si na Taylorův či Maclaurinův polynom, můžeme si toto rozšířit. Tam jsme končili vždy jistým n. Pokud však končit nebudeme, obdržíme místo polynomu řadu. Rozvoje funkcí lze nalézt v literatuře, já připomenu jen tři. 1! 2! ni sinrr = x - — + —-----h (-1) 3! 5! v ' (2n-l)! cosx = i—r + _r-----K-1) 2! 4! v y (2n)! Konvergence je vždy v IR. Svědomí mi nedá, abych neuvedl ještě jeden rozvoj. Vraťte se do let svých středoškolských studií a vzpomeňte si na binomickou větu. Nedaří se? Nevadí, rád vám to připomenu. Ty výrazy v závorkách jsou binomické koeficienty, které jsou definovány následovně. n\ n(n — 1) • • • (n — k + 1) ín k)= k\ U 3.6. FOURIEROVY ŘADY 41 Pamatuje se to dobře, v čitateli je součin k výrazů, první je n a každý další je o jedničku menší, ve jmenovateli je k\. Jelikož v čitateli nemůže být nula činitelů, tak jsme museli (™) dodefinovat. Kdo mně oponuje, že jsou to kombinační čísla, má samozřejmě pravdu, když si tu mocninu dvojčlenu uděláte podrobně, tak zjistíte proč. V každém případě jsou čísla n a, k celá nezáporná a binomických koeficientů je konečné množství. Musí však být n přirozené číslo? Vždyť ten zlomek můžeme spočítat i pro n libovolné. Potom lze formulovat následující větu. Věta 3.31 Pro každé n G IR a každé x E (—1; 1) platí (i + x)» = i + (5x + g)x» + ...(g«' + .... Def. 3.16 Radu definovanou v předchozí větě nazveme řadou binomickou. Poznámka 3.9 Pro n přirozené se jedná o binomickou větu (počet členů je konečný). Pro n = 0 má řada dokonce jen jeden člen a ten je roven jedné. V ostatních případech je počet členů nekonečný. Příklad 3.16 Rozviňte funkci y = v Maclaurinovu řadu. Je zřejmé, že definiční obor této funkce je interval (—1; 1). Kvůli zjednodušení zavedeme substituci —x2 = t a budeme rozvíjet funkci -jf^. = (1 + t)~ž. Platí . .í^l 1.3 9 1.3.5 o (1 + t)-2 = 1 - -t + —-i2--—ť H---- 2 22.2! 23.3! Na závěr se vrátíme ještě k výpočtu integrálů, zejména určitých. Když se podařilo najít funkci primitivní, to bylo radosti na Starém Bělidle. Pokud jsme v hledání úspěšní nebyli a přitom jsme věděli, že daný integrál existuje, museli jsme si nějak pomoci. Maclaurinovy rozvoje nám dávají další možnost, jak tento integrál spočítat. Příklad 3.17 e dx = / dx + / —x dx + / — — ••• = 1---1-- 'o Jo 2! 3 10 3.6 Fourierovy řady Další poměrně jednoduché funkce jsou funkce goniometrické. Naskytá se otázka, zda by nebylo možné vyjádřit nějakou funkci pomocí řady, která by obsahovala funkce cosnx a sinnx. Nebudeme pesimisty a budeme předpokládat, že to nějak půjde. Jedno je však jisté—tyto funkce jsou periodické, dá se tedy očekávat, že i jejich součet bude funkcí periodickou. Dá se snadno dokázat, že libovolnou funkci proměnné x a s periodou T lze pomocí substituce x = í^u převést na funkci proměnné u s periodou 2tt. Budeme tedy uvažovat funkce pouze s touto periodou. Platí následující věta. 42 KAPITOLA 3. NEKONEČNÉ ŘADY Věta 3.32 Nechť f (x) je libovolná funkce integrovatelná na intervalu [—7r; tt]. Fou-rierova řada této funkce má tvar oo — + (an cos nx + bn sin nx) n=l kde a0, an a bn jsou Fourierovy koeficienty funkce f (x), které se vypočítají podle vzorců 1 r do = — f(x)dx * J i r an = — / f (x) cos nxdx i r bn = — f (x) sin nxdx J-k kde n e N Důsledek 3.2 Je-li f (x) funkce lichá, jsou koeficienty an i rovny nule. Je-li f (x) sudá, jsou nulové koeficienty bn. Fourierovu řadu jsme nádherně vyjádřili, leč to ještě neznamená, že tato řada musí konvergovat a že naše práce má smysl. Konvergenci takové řady řeší následující věta nazvaná po panu Dirichletovi. Věta 3.33 Nechť funkce f{x) je po částech spojitá a po částech monotónní na intervalu [—7r;7r]. Pak na tomto intervalu je Fourierova řada konvergentní a její součet je f(x0) v každém bodě x0, kde je spojitá ^[f(x0-) + f(x0+)] v každém bodě x0, kde je nespojitá ^[/(-T") + /(" + )] v krajních bodech intervalu. Kapitola 4 Funkce více proměnných V této kapitole se budeme věnovat funkcím více proměnných. Kdo se dobře učil v minulém semestru, bude mít úlohu značně usnadněnou, neboť řada věcí je stejných či alespoň hodně podobných. Některé věci jsou však znčně odlišné, tak si na to dávejte pozor čili bacha. Budu se snažit na to upozorňovat. Na druhé straně vám to zjednoduším tím, že se budeme skoro výhradně bavit o funkci dvou proměnných. 4.1 Limita a spojitost Def. 4.1 Reálná funkce dvou reálných proměnných je zobrazeni M —> R, kde M C IRxIR. Jinými slovy každé uspořádané dvojici [x; y] G M je přiřazeno právě jedno 2éR. Množina M se nazývá definiční obor, množina všech z, které jsou přiřazeny k nějaké uspořádané dvojici [x; y] se nazývá obor hodnot funkce. Píšeme z = f(x, y). Nebude-li hrozit nedorozumění, budeme mluvit stručně o funkci dvou proměnných. Příklad 4.1 Určete definiční obor funkce z = arcsiny + ln (4 — x2 — y2). Budeme vycházet ze znalosti funkcí jedné proměnné a vzpomeneme si na definiční obory funkcí arkussinus a přirozený logaritmus. Obě mají jistá omezení, která musí platit současně, je tedy -1 < y < 1 n 4 - x2 - y2 > 0. Zatímco první podmínce vyhoví pás mezi přímkami y = — 1 a y = 1, druhé podmínce vyhoví všechny body uvnitř kruhu se středem v počátku a poloměrem r = 2, v prvním případě včetně hranice. Definiční obor je samozřejmě průnik obou oblastí, leč obrázek zatím neumím. Def. 4.2 Grafem funkce dvou proměnných nazýváme množinu uspořádaných trojic [x,y,z], kde body [x,y] patří do definičního oboru funkce. Jinými slovy je to plocha o rovnici z = f(x,y). Vrstevnice je křivka o rovnici f(x,y) = c. Takovým nejběžnějším příkladem grafu funkce dvou proměnných je obyčejná plastická mapa. Proměnné představují zeměpisná šířka a délka, funkční hodnotu pak nadmořská výška. Patří sem i ona původně normální mapa, která se nacházela v kanceláři 91. pěšího pluku a kterou učinil plastickou až kocour chovaný písaři. Jen připomínám, že prvním, kdo se o této změně dotykem přesvědčil byl oberst Schrôder a že to mělo pro písaře nepříjemné následky. Pojem vrstevnice je převzat z 43 44 KAPITOLA 4. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH geografie a má stejný význam—zlepšit představu o grafu funkce v dvourozměrném modelu. Uvedeme několik příkladů. 4.1. Z analytické geomtrie víte, že grafem funkce z = ax + by + c je rovina v IR3. 4.2. Grafem funkce z = a/9 — x2 — y2 je horní polovina kulové plochy se středem v počátku a poloměrem r = 3 nad podstavnou rovinou os x a y. 4.3. Grafem funkce z = x2 + y2 je rotační paraboloid s vrcholem v počátku, jehož osou je osa z. Vrstevnice tvoří soustředné kružnice o rovnicích x2 + y2 = c. Nyní přistoupíme k definici pojmů limita a spojitost. Začneme definicí okolí. Def. 4.3 Vzdálenost dvou bodů A[xi;yi] a B[x2;y2] rozumíme číslo d = a/(x2 - xi)2 + (y2 - yi)2 Vzdálenost bodů ve vícerozměrném prostoru si jistě odvodíte sami. Def. 4.4 ô-okolím bodu P nazýváme množinu všech bodů, jejichž vzdálenost od bodu P je menší než ô. Vyjmeme-li z této množiny samotný bod P, mluvíme o ryzím okolí. Def. 4.5 Řekneme, že funkce z = f(x,y) má v bodě M[xo;yo] limitu rovnou číslu L, jestliže ke každému e > 0 existuje ô > 0 takové, že pro pro všechny body z ryzího ô okolí bodu M platí \f(x,y) -L\[0;0] x y pokusíme se tedy spočítat limity pro různé cesty. Začněme přímkami y = kx. x + y x + kx 1 + k lim - = lim--— = lim-- [:r;j/H[0;0] x — y x^o x — kx x^o 1 — k Limity pro různé směry jsou různé, limita neexistuje. Tato situace paradoxně nenastane, pokud bychom se přibližovali po parabolách y = kx2. x + y x + kx2 1 + kx lim -= lim--—- = lim--— = 1 [x;j/]^[0;0] x — y x^o x — kx x^o 1 — kx Příklad 4.3 Zjistěte, zda existuje lim —+9^- • Zkusme se nejdřív přibližovat [x;y]—*[0;0] Xy X y po přímkách y = kx. 2xy 2kx2 lim - = lim n [x;j/]^[0;0] xy + 2x — y x^o kx2 + 2x — kx ovšem s výjimkou k = 2, to je Ax lim x^o 2x + 2 - 2 Tato limita tedy neexistuje. K bodu Pq[xq; yo] se z bodu P[x; y] můžeme rovněž přibližovat po dvou kolmých přímkách x = p a y = q, kde p a g jsou konstanty, a to dvojím způsobem. Pak lze limitu funkce vypočítat postupným limitním přechodem funkce jedné proměnné, jak uvádí následující věta. 46 KAPITOLA 4. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Věta 4.2 Označme lim y^yo lim f(x,y) Li lim X—>XQ lim f(x,y) y^yo Lo. Existuje-li limita lim f(x, y) = L, [x;y]->[x0;yo] pak platí L = Li = L2 Uvědomte si, že tato věta je implikací a představuje pouze podmínku nutnou, což značí, že bude sloužit k důkazu neexistence limity. Příklad 4.4 Rozhodněte, zda existuje limita ,. x-2y lim [*;*/]-> [0;0] 3x + y Určime postupné limity. lim lim x — 2y -2y y^O \_x^o 3x + y i- ľi- x~2y hm hm- x^O [y^o 3x + y lim y^O y lim — x^o 3y 1 3' Tato limita neexistuje. Podobně jako pro funkci jedné proměnné platí následující věta. Věta 4.3 Nechť pro všechny body x G O s výjimkou bodu M[xo;yo] platí f(x,y) g(x,y) a nechť je lim f(x,y) = L. Pak je i lim g(x,y) = L. [x;y]->[x0;yo] [x;y]->[x0;yo] Příklad 4.5 lim x — y lim (x — y){x2 + xy + y2) [x;y]"[Í;-l] X4 - í/4 [x;y]"[Í;-l] (x - y) (x + y) (x2 + y2) Tato funkce je v okolí bodu [1; — 1] shodná s funkcí x2 + xy + y2 z = - (x + y) (x2 + y2) Její limita je v tomto bodě rovna funkční hodnotě, tedy je x3 — y3 x2 + xy + y2 3 lim -= lim -= — [x;y]^[l;-l] xa - í/4 (x + y){x2 + y2 8 Při výpočtu limity můžeme použít i některé triky známé z funkce jedné proměnné, jeden příklad následuje. 4.2. PARCIÁLNÍ DERIVACE 47 Příklad 4.6 3(x2 + y2) lim [x;y]-+[0;0] ^x2 _|_ y2 + 4 _ 2 Vynásobíme-li funkci jedničkou ve tvaru a/x2 + í/2 + 4 + 2 v/x2 + y2 + 4 + 2 a upravíme-li, počítáme limitu lim 3(v/x2 + w2 + 4 + 2) = 12 [*»]->[0;0] Závěrem této části vám uvedu tři limity, které vám určitě něco připomenou. sin fix, y) lim M '.^ = 1 [x;j,]^[x0;í/o] /(z,?/) lim —-— = 1 lim 1 + —-- I = e [x;y\-+[x0;y0\ \ f{X,y) 4.2 Parciální derivace Už problémy s limitou nám naznačují, že to s derivacemi vůbec nebude snadné. Pokud bychom chtěli udělat nějakou analogii s funkcí jedné proměnné, bylo by to značně obtížné. Proto půjdeme jinou cestou. Grafem funkce dvou proměnných je plocha. Pokud však plochu řízneme nějakou rovinou, tak řezem je křivka, křivku umíme popsat funkcí jedné proměnné—čajník je v kredenci. My budeme řezat rovinami kolmými k osám x a y. Def. 4.7 Nechi existuje limita f(x,y0) - f(x0,y0) lim >x0 X — Xq Pak tuto limitu nazveme parciální derivací podle x v bodě [x0; y0], značíme či fxixoiVo)- Analogicky definujeme parciální derivaci podle y. Nechť existuje limita Hm f(x0,y) - f(x0,y0) y^y0 y-yo Pak tuto limitu nazveme parciální derivací podle y v bodě [xo;yo], značíme 9^v^ či fý(xo, yo). Má-li funkce parciální derivaci podle nějaké proměnné v každém bodě nějaké oblasti M, potom říkáme, že zde má parciální derivaci. Jinými slovy vznikne na této oblasti nová funkce, to je stejné jako u funkce jedné proměnné. 48 KAPITOLA 4. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Protože jsme parciální derivace definovali jako derivace funkce jedné proměnné, platí pro ně všechna pravidla tak jak je znáte z kurzu MA1, nebudu je tedy uvádět. Stejně tak nebudu řešit derivace vyšších řádů, tam ovšem jeden problém přece jen vyvstane. Záleží na pořadí proměnných podle kterých derivujeme nebo nezáleží, to je oč tu běží. Odpověďnám dává Schwarzova věta. Věta 4.4 Nechť jsou derivace f'x (x,y) a fyx(x,y) jsou v bodě M[rr0;ž/o] spojité. Pak jsou si rovny. Obdobnou větu bychom mohli zformulovat i pro smíšené parciální derivace vyšších řádů. Jak vidíme, u spojitých funkcí je to s parciálními derivacemi jako s mušketýry, je jich o jednu víc než je jejich řád. Stejně jako tři mušketýři byli čtyři, tak i třetí parciální derivace jsou čtyři: fxxx, fxxy, f'xyy a fý'ýy. Tak je tomu u parciálních derivací jakéhokoliv řádu. Příklad 4.7 Je-li z = u(x) + v(y), je z'x = u'(x), zý = v'(y), zxx = u"(x), z'ý = v"(y) a zxy = zyx = 0. Tak je-li z = 3x2 — 5y3 + 1, máme z'x = 6x a z' = — 15y2. Pro druhé derivace vychází zxx = 6, z" = —30y a z" = z" = 0. Příklad 4.8 Je-li z = u{x)v{y), je z'x = u'(x)v(y), z' = u(x)v'(y), zxx = u"(x)v(x), z'ý = u(x)v"(y) a zxy = zyx = u'(x)v'(y). Tak je-li z = 5x2y4, máme z'x = 10xy4 a z'y = 20x2y3. Pro druhé derivace vychází zxx = 10y4, zyy = 60x2y2 a zxy = zyx = AOxy3. Příklad 4 9 Je-h r - Míl je z' - ^M. z> - _A*W(y) n _ W'{x) „ _ „ _ r i iridii jt, u z — je zx — v^ , zy — , zxx — ^ , zyx — zyx — —u ^2(y^ a z'ýy = —u{x)v ^V^l^xjv ^ ■ Konkrétní příklad dáme tento: z = Potom ie z' — — z' — — z" — f) z" — — a z" — — ruuuiu je W > xxx x3' xxy x2 ' xyy ^yyy u' ± ub "'"'^ diferenciál druhého řádu je d2z = z"xx{dx)2 + 2zxydxdy + z'ýy(dy)2 =--^(dx)2 H—dxdy(dy)2 Totální diferenciál třetího řádu je pak 2y 3 d3z = 2///xxx(dx)3+34/^(^)2^+34/TO^(^)2+4ra(dž/)3 = ~^(dxf~^dx)2dy 4.3. TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL 51 4.3.1 Extrémy funkce dvou proměnných Def. 4.11 Řekneme, že funkce f(x,y) má v bodě M[x0; y0] lokálni maximum (minimum), existuje-li okolí O bodu M takové, že pro všechna x E O platí f(xo, y$) > f(x,y) (f(xQ,yo) < f(x,y). V případě ostrých nerovností mluvíme o ostrém lokálním maximu (minimu). Postup při stanovení extrémů je obdobný jako u funkce jedné proměnné. Věta 4.10 Nechť funkce f(x, y) má v bodě M[xq; yo] lokální extrém a nechť existují v bodě M parciální derivace prvního řádu. Pak je fx(xQ,y0) = fý(xQ,y0) = 0. Poznámka 4.4 Tak jako u funkce jedné proměnné budeme bod M nazývat bodem stacionárním. Stacionární (podezřelé z extrému) body budeme vyšetřovat pomocí následující věty. Věta 4.11 Nechť M je stacionární bod a nechť v jeho okolí existují spojité parciální derivace prvního a druhého řádu. Vypočtěme výraz D = fxx(X0,y0)fyy(X0,y0) ~ (fxy(x0,y0))2 Je-li D > 0, pak pro fxx > 0 je v bodě M lokální minimum a pro fxx(xo, yo) < 0 je v bodě M lokální minimum. Je-li D < 0, pak v bodě M extrém není, je-li D = 0, nemůžeme o extrému rozhodnout (extrém tady být může, ale nemusí). Poznámka 4.5 Označení D jsme nezvolili náhodou, D je de facto determinant druhého řádu, přičemž v hlavní diagonále jsou derivace podle xx ayy a ve vedlejší diagonále jsou derivace smíšené (ty jsou si samozřejmě rovny). Nyní ukážeme několik příkladů. Příklad 4.14 Nalezněte lokální extrémy funkce z = x3 + xy2 + 6x2 + y2. Nejprve spočítáme parciální derivace prvního řádu. f'x = 3x2 + y2 + 12x, f'y = 2xy + 2y . Položíme-li tyto derivace rovny nule, získáme čtyři stacionární body Si[—1;3], S2[—1; —3], S3[0;0] a S^—4;0]. Spočteme tedy parciální derivace druhého řádu f xx = ^x 12, fxy = 2y, fyy = 2x + 2. Budeme postupně dosazovat jednotlivé stacionární body a počítat číslo D. V prvních dvou případech je D(Si) = —36, D(S2) = —36, extrém nenastává. D(Ss) = 24 a protože je f^x(0, 0) = 12, je v počátku minimum. Naproti tomu je D(S4) = 24, ale tentokrát je fxx(—A,0) = —12, v bodě S4 je tedy maximum. 52 KAPITOLA 4. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Příklad 4.15 Určete lokálni extrémy funkce z = x2 + Axy + 6y2 — 2x + 8y — 5. Začneme prvními parciálními derivacemi. z'x = 2x + Ay-2 z'y=Ax+12y + 8 Opět položíme obě derivace rovny nule, po vyřešení soustavy dvou lineárních rovnic získáme jediný stacionární bod S[7; —3]. Druhé parciální derivace jsou zxx = 2, zxy = 4 a z'ý = 12. Všechny jsou konstantní, není kam dosazovat a determinant má univerzální hodnotu D = 8 > 0. Jelikož je zxx = 2 > 0, je v bodě S lokální minimum. Jen pro zajímavost, jeho hodnota je z(7, —3) = —24. Příklad 4.16 Určete lokální extrémy funkce z = —3x4 — 5y4. Spočteme první derivace z'x = —12x3, z'y = —20y3. Jediným stacionárním bodem je počátek. Jdeme na druhé derivace. zxx = — 36x2, z'ýy = —60y2, zxy = 0. Zřejmě je D = 0, o extrému nemůžeme tímto způsobem rozhodnout. My si ale všimneme, že funkční hodnoty jsou mimo počátek záporné, je zřejmé, že v počátku bude maximum. Tak jako u funkce jedné proměnné můžeme určovat i extrémy absolutní, a to v případě, že je funkce definovaná na uzavřené oblasti. Ty pak mohou nastat buď v bodech lokálních extrémů nebo na hranici oblasti. Ukážeme si to na příkladu, nejdříve trochu teorie. Def. 4.12 Řekneme, že funkce f(x,y) má v bodě [x^y^] absolutní maximum (minimum), jestliže pro všechny body [x;y] G M platí f (x, y) < f(xQ,y0) (f (x,y) > f(x0,y0)- Def. 4.13 Bod [xo;yo] nazveme vnitřním bodem množiny M, existuje-li okolí O tohoto bodu takové, že O g M. Množina, která obsahuje pouze vnitřní body, se nazývá otevřená. Bod [xQ;y0] nazveme vnějším bodem množiny M, jestliže každé jeho obsahuje jak body množiny M, tak i body, které do ní nepatří. Množinu všech hraničních bodů nazýváme hranicí. Množina, která obsahuje všechny své hraniční body, se nazývá uzavřená. Def. 4.14 Množina M se nazývá omezená, existuje-li kruh K se středem v počátku tak, že M C K. Věta 4.12 Nechť f (x, y) je spojitá funkce definovaná na omezené uzavřené množině. Pak zde nabývá své nejmenší a největší hodnoty. Příklad 4.17 Stanovte absolutní extrémy funkce z = \/2x — x2 — Ay2. Po doplnění na čtverec zjistíme, že definičním oborem jsou vnitřní a hraniční body elipsy {x — l)2 + Ay2 < 1. Stacionární body určíme řešením soustavy rovnic ' - 2~2X _ g / _ -% _ q x ~ 2^2x - x2 - Ay2 ~ y ~ 2^2x - x2 - Ay2 ~ Existuje jediný stacionární bod S'fljO]. Je /(1,0) = 1. Stanovení extrémů na hranici je obecně velmi obtížné, vezmeme-li rozum do hrsti, tak vidím,e že funkce je na hranici rovna nule a jinak je kladná. Absolutní maximum je tedy ve středu elipsy a minimun na její hranici. 4.4. PŘEHLED LÁTKY 4.4 Přehled látky 4.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál 4.2. Základní integrační metody 4.3. Integrace per partes 4.4. Substituční metoda 4.5. Integrace racionální lomené funkce 4.6. Určitý integrál (newtonův, Riemannův) 4.7. Vlastnosti určitého integrálu 4.8. Numerické metody výpočtu určitého integrálu 4.9. Užití určitého integrálu 4.10. Nevlastní integrál 4.11. Funkce dvou proměnných, definice, graf 4.12. Limita a spojitost funkce dvou proměnných 4.13. Parciální derivace 4.14. Totální diferenciál 4.15. Extrémy funkce dvou proměnných