C i'l b     ( s Ta'ls  s r b j as & )
•    // -e c o      L/ D č L /h T to t c_ &     n * <^ -e- h. o
p    o c 6r S   ( s r a'ĺ e s r e j a/ r )
ľ (P 7, I Ľ  s" o L/et t S 1/ ^ hlo í^ct "6
j5 p                 ja   |" £      ^       J> 1 Ĺ ~&
KC/^t5V      T C E 0 ŕl £ TP- ť F ... )
ILO-I L o 1 G /S \
J jako U
* to  (, rn n ,     l ( ť~ t e. j' ř
vr v t A
* pŕ-cc^s-e.-^^-^ ^ -€.i^\ ř ........................... ^ & uv\ c*-
* U Z-   I   t  í ......................................................... C 1/1  C £.
lí|ťo//C E A//
s-
•      5 Ä. i4i O S t  •   ^ í^*t   C 2— oi \y ca^   -h     o* \s ^
S Ho OY   k   P-o z D ('of
	AM/^i/cy   s e n £ s r-	
	_e o              r c	t o -i, z,
	.              r       f                  ^   r ~* r 0 f> (K [<- O ť <{   Hl   ,    f-o 1 S 1	•£ o t -c"Z
	f   - o	
P ft e ď p o -	Z- U' (" ^ o.  £✓ • £	■t o t c' -ť -/-
f V     o *> y		
Tr t> i'c C C o ti y	5 e s t Irs j í <- ygS _  u o t j (c & i/ e' iS f- ^ y       <J ^ -   ŕ t x.   * q.  s (c-n -é   c (a e.       Vtn "V	x
S Ho OY   £   P-o z D ('of
		
1 a'*. la b as i' po j sn y		ise k -é o y*
1*1 la b as / V IT a H ý	l'n c i M € h i h o > -é      s f> *j'ciros f j ŕ 0 (/ iq o b-e -u v) e> ft j         p o [r'e^oi ft.^	1 ľ <n t qftn ť ('m & J 2.«''u ŕ & j (    « / •£ f )  Iľfrecir-nas'i         ^> a *t ■
1 *4la b as / {J l o M Y	S t <3 -t\rt>J t £-t ( k ť   \s *l ť ŕ f f> lr to /) ( /č         p     i       e ^ j   ť ° Ľ •	K S 0 Li f -t G. Ľíj      f i' l^L   •    ť o í,- t>n t C f3 o ci •
ř. 13
r t/
Pí. 19
)
Dokaž, že přímky p = <-» AB a p = <-> CO, kde A[1,2, OJ, 6(4,3, -2], C[2,0,1], D[5,3, -2], jsou mimoběžné, a urči jejich odchylku </>.
AB(3,1,-2); CD(3,3,-3)fv(t1,-1)
<3>: 2-2-4*-tpnq=0Ap|q=» přímky p a p jsou mimoběžné.
COS(p
|3-1 + 1-1 + (-2)(-1)|
V42
*B\-\*\   yjť + ť + i-tf .^/ť + ť + l-f   VÍ4-V3 7 <p = 22°12'
Určíme směrové vektory přímek p. q a ověříme, že pjf q. (Vektory ÄB a CD n stejnou první souřadnici; kdyby platilo ÄB\\ ČD, muselo by být ÄB = ČD.)
Napíšeme parametrické rovnice přímek p a <
Připustíme, že přímky p, p mají společný I
Sečtením rovnic © a ® vychází ŕ = 2 z rovnice ©pak r =4.
Hodnoty f = 2 a r = 4 nevyhovují rovnici &
Odchylku přímek p, p určíme pomocí jejich směrových vektorů AB a v.
Vypočítej obsah trojúhelníku ABC, kde A[-3, -4, 1], B[3, -1, -2), C(2, -2,11
S=lzv; 2
kdez=|AB|, v=|C,<->AB| AB=B-A=(6, 3,-3)
Pí. 16
Napiš obecnou rovnici roviny a, v níž leží body £[3,1,1], F[\ 2, -1] a která je rovnoběžná s přímkou QR, kde Q[-\ 4, -2] a R[2, -2,3].
<-»Qfl|a<=>v=Qflfa ú=ĚF =£-£=(-21,-2) v=Qfl = fl-Q=(3, -6,5)
n(a,b,c) ... normálový vektor a; ň lů; ň 1 v
ňó=0=* -2a + b-2c = 0 |3 ri-v=0=> 3a-6Ď + 5c = 0 |-2
-9fc+4c=0, 6=4=»c=9
II
2a = o-2c=4-18=-14=>a=-7 a:  -7x + 4y + 9z + d=0; d=? £ea:  -7-3+4 1 + 9-1+ d =0=>-«+ d =0=>d=8 a:   -7x + 4y + 9z + 8=0 |(-1) n: 7x-4y-9z-8=0
\AB\=yl6' + 3' + (-3f j = V54j=3-V6j | C, <-» AB | = | CC„ |, kde C0 je pravoúhlý průmět bodu C na <-» AB ň.|«=» ".(2,1,-1)
a:  2x + y-z + d = 0; d = ? Cea:   2-2 + (-2)-1 + d=0=>d=-1 a:   2x + y-z-1 = 0
Íx = -3 + 2ř y = -4 + f ,ř€R z = 1-f
C^an^AB: 2 (-3 + 2f) +(-4 + f)-(1 -()-1 = 0
6f-12=0 => ř =2 C0 [-3 + 2- 2 -4 + 2 1 -2]=* C„ [1, -2 -1]
|CC0|=V(2-1)2 + (-2 + 2)* + (1 + 1)2 j=VlJ + 02 + 22 j=VŠj 2        2 2
Rovin
bod f avektoryu'=£Fav'=Qfl.
Určíme vektory u a v a přesvědčíme se, že u|v.
Najdeme normálový vektor ri roviny a, který je kol-mý k vektorům u a v, tzn. ň ú = 0 a ň ■ v = 0.
Dostaneme soustavu 2 rovnic
o 3 neznámých. Najdeme její libovolné
nenulové řešení. Zvolíme např. b =4.
Souřadnice normálového vektoru ň jsou koeficienty a, b, c v obecné rovnici ax + by + cz + d = 0 roviny a. Koeficient d určíme z podmínky £ e a
Rovnici roviny zapisujeme zpravidla tak, že koeficient a není záporný.
Obsah AABC určíme např. pomocí délky strany AB a výšky v z vrcholu C.
Vypočítáme délku strany AB.
Bod C0 určíme jako průsečík roviny a, kolmé k přímce AB jdoucí bodem C, a přímky AB.
Na|deme obecnou rovnici roviny a. Napíšeme parametrické rovnice přímky AB. Určíme průsečík roviny a a přímky AB.
Určíme vzdálenost bodů C a C..
P hlt H LEJ) I *srHLE~P
J- '    ' '
P o C /   t 4  a/ (
f Ír o ^< bi \ {/^
f o CÁ o b M
5 In o cit ^ cl
\
o.
-=«
"V
	
/—r t	
	
>0o
Os?. Gs
body
vietor
« ŕV7 O
o ct r
•=   r o      í i   r -e. h e.
Ä
4 O \s Č
Aas**/"
v í L -kovy ...... c ( s \q
a f	—>-
	
r-1 c 2S fe-t   ío h i- .	
	
o	
	
y Ii ö        o í> {:
h'i'c (c
í? 6 fri o í ~é
2
-ŕ -c í- i  5 f-o
^7
U k A'i |c A
■» Grafický náhled 3D
Dr - (-8.95, -1.46, 9.52)
br = (-3.91, -4.03, 4.87)
Ar = (-6.38, -6.5, 2.47)
» Algebraické okno
1" /r'
• kD = 0
Mnohoúhelník
• podstava = 21.04
• rez = 34.25 .................
rez' = 34.25
Polopřímka
.0 AB^ X = (-8.92, -9.05, 0) + X (5.02, 5.02, 0) AB2: -2.47X + 2.54y = 22.03 ABr: X = (-8.92, -9.05, 0) + X (2.54, 2.54, 2.47) AD„: X = (-5.48, -8.27, 0) + X (-0.9, 1.77, 2.47) ADX: X = (-5.48, -8.27, 0) + X (-0.9, 1.77, 0) AD2: -2.47x - 0.9y = 13.53
ADr: X = (-5.48, -8.27, 0) + X (-0.9, 1.77, 2.47) BD0: X = (1.37, -6.72, 0) + X (-5.28, 2.69, 4.87) BDjí X = (1.37, -6.72, 0) + X (-5.28, 2.69, 0) BD2: X = (1.37, 0) + X (-5.28, 4.87) BDr: X = (1.37, -6.72, 0) + X (-5.28, 2.69, 4.87) Pětiúhelník
• nadstava' = 21.04
• podstava' = 21.04 Přímka
.«  st opa x: X = (1.51, -6.69, 0) + X (23.58, 5.33, 0) stopa,: X = (2.31, 0, 8.16) + X (18.81, 0, -5.33)
-2.78X -9.82y = -86.56
stpa~
Rovina
• nx: z
n2: y = 0
ka: 23.58X + 5.33y = -185.1 kb: 23.58X + 5.33y - -113.61 kd: 23.58X + 5.33y = -218.82
• p: -5.33x + 23.58y - 18.81Z = -165.87 p': -5.33x + 23.58y - 18.81Z = -165.87
Trojúhelník
mnohoúhelníkl = 11.79 trojúhelník = 15.32 trojúhelník' = 15.32 trojúhelník = 9.41
Úhel
alef = 127.89"
• bet = 0°
max = 127.89°
Úsečka
C/J?
A S P
u
9.52
d2 "
U„ = 9.52
odo
"od1
a - 3.5 a'„= 7.32
12.06 7.4