GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ SHODNÁ
Irena Budínová
Geometrická zobrazení roviny na sebe:
o   shodná: přímo shodná (translace, rotace), nepřímo shodná (osová souměrnost)
o   neshodná: podobná (stejnolehlá - homotetie, ne stejnolehlá), nepodobná (např. kruhová inverze)
Shodnost geometrických útvarů
Shodnými útvary nazýváme takové útvary, které se při přemístění kryjí.
Shodnost je binární relace, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní, je to relace ekvivalence.
Shodnost úseček (podrobně viz seminář)
Shodné úsečky mají sobě rovné délky: AB = CD  => | AB | = | CD |
(Jedině u úseček platí i věta obrácená, u žádných dalších geometrických útvarů věta obrácená neplatí- mohou mít stejnou velikost, ale nemusí být shodné.)
Shodnost trojúhelníků A'
J
A ABC
A
A ABC
B
B'
C
-1 -
Shodné trojúhelníky mají shodné všechny tři odpovídající si strany a shodné všechny tři odpovídající si vnitřní úhly.
Odpovídající si strany mají stejnou délku a odpovídající si vnitřní úhly mají stejnou velikost. K posouzení, zda dva trojúhelníky jsou shodné, stačí tři prvky.
Věty o shodnosti trojúhelníků:
sss:   Shodují-li se trojúhelníky ve všech třech odpovídajících si stranách, jsou shodné
sus: Shodují-li se trojúhelníky ve dvou stranách a úhlu těmito stranami sevřeném, jsou shodné.
usu: Shodují-li se trojúhelníky v jedné straně a dvou úhlech k ní přilehlých, jsou shodné. (Nelze narýsovat pomocí základní konstrukce, pokud úhly nejsou ke straně přilehlé -narýsuji stranu AB, úhel a, úhel y a tuto přímku posunu do bodu B - trojúhelník je sice jednoznačně zadán, ale musím využít posunutí).
Ssu:   Shodují-li se trojúhelníky ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich, jsou shodné.
(Ukázat protipříklady - uuu, uss)
Shodné zobrazení
Shodné zobrazení neboli shodnost je zobrazení, které každým dvěma různým bodům X, Y přiřazuje body X', Y' tak, že úsečky XY a X'Y' jsou shodné.
XY = X'Y'     ( | XY | =| X'Y' | ).
Útvary, které si v zobrazení odpovídají, se nazývají vzor a obraz. Bod, který v zobrazení splývá se svým obrazem, se nazývá samodružný bod.
- 2 -
OSOVÁ SOUMĚRNOST
Nechť je dána přímka o v rovině p. Osovou souměrností s osou o nazýváme takové zobrazení v rovině, které každému bodu X roviny p přiřazuje bod X' roviny tak, že platí:
1. Jestliže bod X leží na přímce o, pak X=X'.
2. Jestliže bod X neleží na přímce o, pak přímka XX' je kolmá k přímce o. Označíme-li P průsečík přímek XX' a o, pak platí: XP = X'P.
Náměty k činnostem:
1. Dokreslování obrázků ve čtvercové síti tak, aby byly osově souměrné.
2. Vystřihování osově souměrných útvarů
a) geometrických útvarů
b) různých zajímavých předmětů - např. přáníček (podle ročního období), sněhových vloček, aj.
3. Překládání papíru - určování os souměrnosti geometrických útvarů
4. Konstrukce obrazu geometrického útvaru v osové  souměrnosti  (např. úsečka, trojúhelník, ...)
5. Rýsování osově souměrných útvarů.
Užití v konstrukčních úlohách:
o   konstrukce osy úsečky, osy úhlu
o   konstrukce trojúhelníků, např.: Úloha: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno a+b, úhly a, p. Úloha: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno a+b+c, úhly a, p.
Užití v praxi:
o   kreslení střihů v krejčovství
o  technické výkresy (kreslí se jen jedna část osově souměrných součástek, třeba matičky)
o   symetrie či asymetrie v přírodě (květiny, listy, aj.)
-3-
Př.: Je dán konvexní úhel AVB a kružnice, která s ním nemá společný bod. Sestrojte všechny kosočtverce VXYZ, které mají vrcholy XY na ramenech úhlu a vrchol Z na kružnici k. Stanovte podmínky řešitelnosti.
STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST
Je dán bod S v rovině p. Zobrazení, které bodu S přiřadí tentýž bod S a každému bodu Xep, X^S přiřadí bod X' tak, že S je střed úsečky XX', se nazývá středová souměrnost.
Náměty k činnostem:
1. Určení obrazu ve středové souměrnosti se středem S
2. Určení obrazů geometrických útvarů v souměrnosti se středem S (úsečka, přímka, polopřímka - vznikne nesouhlasně orientovaná polopřímka), trojúhelník, čtyřúhelníky, kružnice, kruh
3. Útvary středově souměrné
o   geometrické útvary (rovnoběžníky, kružnice, pravidelné mnohoúhelníky se sudým počtem stran
o  písmena abecedy (možnost k diskuzi - např. O - podle toho, jak se napíše), ornamenty souměrné podle středu
Užití středové souměrnosti v konstrukčních úlohách:
Úloha: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: strany b, c a těžnice ke straně a.
Úloha: Je dán čtverec ABCD, přímka p a bod S. Sestrojte úsečku XY tak, aby bod S byl jejím středem, bod X ležel na přímce P a bod Y byl bodem hranice čtverce ABCD.
Středová souměrnost je zvláštním případem otočení neboli rotace. Potřebujeme pojmy:
orientovaný úhel
shodnost orientovaných úhlů
základní velikost orientovaného úhlu
-4-
ROTACE
Nechť je dán bod S v rovině p a orientovaný úhel a, jehož základní velikost je nenulová. Zobrazení, které bodu S přiřadí bod S a každému bodu X roviny p přiřadí bod X'ep tak, že SX=SX' a orientovaný úhel XSX'=a, se nazývá otočení neboli rotace.
Otáčení ve směru hodinových ručiček - záporný směr
proti směru hodinových ručiček - kladný směr
Ve středové souměrnosti a=180°.
TRANSLACE (POSUNUTÍ)
Posunutí je shodné zobrazení v rovině, které je určeno směrem a velikostí a v němž jsou všechny přímky, které spojují libovolný bod Xep a jeho obraz X', navzájem rovnoběžné.
Toto zobrazení nemá žádný samodružný bod.
-5-