Podobnost geometrických útvarů
Irena Budínová
Motivace:
- Časté použití v běžném životě - plány, mapy, výkresy, střihy na oděvy, zvětšování, zmenšování (např. kopírky), fotografie, různých formátů zhotovené z téhož negativu, projekce (diaprojektor, zpětný projektor, vizualizér), zlatý řez. V prostoru - modely (města, stavby, automobily, vláčky apod.). Reklamní letáky - ukázat.
- Dokonalejší pochopení geometrických zobrazení.
Učivo:
- Podobnost, pochopení definice, vyhledávání podobných útvarů v rovině.
- Poměr podobnosti, určování poměru podobnosti.
- Užití podobnosti - dělení úsečky v daném poměru, zvětšování, zmenšování geom. útvarů v daném poměru (v rovině).
- Užití při konstrukci plánů.
- Řešení úloh. Metody práce:
- Manipulativní činnosti, kreslení obrázků ve čtvercových sítích s různým modulem, určování poměru podobnosti výpočtem z naměřených údajů.
Definice:
Dva geometrické útvary v rovině nazveme podobné, jestliže poměry délek každých dvou odpovídajících si stran tohoto útvaru jsou rovny témuž nezápornému číslu & většímu než 0. Odpovídající si úhly v podobných útvarech jsou shodné. Číslo k se nazývá poměr podobnosti.
Slovo „odpovídajících si" je důležité - můžeme nakreslit obrázky, kdy některé strany jsou dokonce shodné a útvary podobné nejsou.
Obr 1 - pětiúhelník
-1 -
Podobnost trojúhelníků
Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se sobě rovnají poměry každých dvou odpovídajících si stran a odpovídající si úhly jsou shodné.
Obr. 2
Věty o podobnosti trojúhelníků
1. Věta sss
Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se rovnají poměry délek všech dvojic odpovídajících si stran.
Obr. 3
2. Věta sus
Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se sobě rovnají poměry délek dvou dvojic odpovídajících si stran a shodují se v úhlu těmito stranami sevřeném.
Obr. 4
3. Věta uu
Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují ve dvou vnitřních úhlech. Obr. 5
- 2 -
4. VětaSsu
Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se sobě rovnají poměry délek dvou dvojic odpovídajících si stran a shodují se v úhlu proti delší z těchto stran.
Obr. 6
Užití podobnosti
1. Rozdělení úsečky na n shodných dílů obr. 7 Rozdělte úsečku AB na 7 sodných dílů.
2. Rozdělení úsečky v daném poměru obr. 8 Rozdělte úsečku AB v poměru 3:5.
3. Rozdělte úsečku AB v poměru zlatého řezu.
Zlatý řez - úloha, kdy je třeba rozdělit úsečku na dvě části tak, aby poměr delší části ke kratší části byl roven poměru celé úsečky k delší části.
Obr. 9
Pomer zlatého rezu -
-3
Význam v umění, architektuře, fotografii apod.
4. Měřítko plánu a mapy
Práce s atlasem, automapu, vyhledávání měřítek map,
Strojírenské výkresy: zmenšení 1:2,  1:5,  1 : 10,  1 : 50,  1 : 100
zvětšení: 2:1,   5:1,    10 : 1
Stavební výkresy: 1:2, 1:5, 1:10, 1 : 20. 1 : 25, 1 : 50, 1 : 100, 1 : 200, 1 : 500
Tři typy úloh - výpočet na délky mapě, ve skutečnosti, měřítka.
5. Vyvození goniometrických funkcí ostrého úhlu Obr 10
Počítání poměrů, vyvození funkce
6. Důkazy matematických vět - např. věty Euklidovy, věty o lichoběžníku aj.
7. Řešení zajímavých a nestandardních úloh.
o Vypočtěte výšku smrku, jestliže délka jeho stínu v určitém okamžiku je 34 metry a v tomto okamžiku délka stínu tyče vysoké 1 metr je 1,7 m.
o Narýsujte ostroúhlý trojúhelník ABC a sestrojte všechny jeho výšky. Označte paty výšek body X, Y, Z a průsečík výšek označte O. Zapište alespoň pět dvojic podobných trojúhelníků. (Existuje 12 dvojic podobných trojúhelníků)
-4-
Stejnolehlost
Stejnolehlost je zařazena do učiva tříd s rozšířenou výukou matematiky a na víceletá gymnázia.
Je dán bod S a reálné číslo at^O. (kappa) Stejnolehlost neboli homotetie se středem S a koeficientem a: je zobrazení, které
1. Každému bodu X roviny X ^ S přiřazuje bod X' tak, že platí | SX' | = k | SX |, přitom pro k > 0 leží bod X' na polopřímce SX,
pro k < 0 leží bod X' na polopřímce opačné k polopřímce SX.
2. Bodu S přiřadí bod S'= S (jediný samodružný bod).
Bod S se nazývá střed stejnolehlosti, k se nazývá koeficient stejnolehlosti. Obr. 11
Ukázka - obraz úsečky, přímky, trojúhelníku, kružnice ve stejnolehlosti
Vlastnosti stejnolehlosti
Přímka, která spojuje dva stejnolehlé body, prochází středem stejnolehlosti. Stejnolehlost zobrazuje každou přímku na přímku s ní rovnoběžnou. Stejnolehlé úsečky leží na rovnoběžných přímkách.
Každé dvě úsečky, které nejsou shodné a leží na rovnoběžných přímkách, j sou stejnolehlé dvěma způsoby.
obr. 12
-5-
Dva stejnolehlé úhly jsou shodné.
Dva útvary, které jsou stejnolehlé, jsou podobné.
Každé dvě kružnice, které nejsou shodné, jsou stejnolehlé dvěma způsoby. Obr. 13
Diskuse vzhledem ke k :
k = 0 (0 je vyloučena v definici) - obraz každého bodu by byl střed stejnolehlosti
k = 1    - každý vzor splyne se svým obrazem
k =-\   - středová souměrnost
k > 1   - zvětšení
0 < k < 1 - zmenšení.
Užití stejnolehlosti
Důkazy matematických vět (např. věta o těžnicích v trojúhelníku)
Konstrukční úlohy: Daný útvar zmenšete tak, aby každá jeho strana měla poloviční délku.
-6-