Strategie podpory matematické gramotnosti podzim 2021 Jana Veseláková 8) PRIORITA POČETNÍCH OPERACÍ, DESETINNÉ ČÍSLO, ZLOMEK - používání závorek a priorita operací - propedeutika pojmů desetinné číslo a zlomek - nejčastější problémy a možné reedukační postupy PRIORITA POČETNÍCH OPERACÍ - pokud se v číselných výrazech vyskytuje více početních operací, je potřeba stanovit postup jejich výpočtu - operace ve výrazech mohou být stejné nebo různé (např. sčítání a odčítání) Jaké chyby mohou žáci při počítání těchto příkladů udělat? Jaké můžeme využít reedukační postupy? Problémy v prioritě početních operací a) žák provede početní výkon v závorce nejprve, zapomene na další operace (např. 80 – (30 - 10) = 20) - možnosti nápravy: výsledek operace v závorce napíšeme nad nebo pod závorku - postup provádění operací znázorníme graficky - pokud se ve výrazu vyskytují pouze operace sčítání a odčítání a nejsou zde žádné závorky, počítáme zleva doprava, stejně tak pro násobení a dělení - pokud se ve výrazu objevují operace sčítání, odčítání, násobení a dělení, a nejsou vyznačeny závorky, platí následující pravidlo: násobení a dělení má vždy přednost před sčítáním a odčítáním (pokud nejsou uvedeny závorky) b) žák vypočítá výraz v závorce jako první, jako první jej zapíše, a pak neumí příklad dopočítat (např. 80 – (30 - 10), vypočítá 30 – 10 = 20, poté zapíší 20 – 80 a příklad neumí dopočítat) c) žák nerespektuje přednost operací násobení nebo dělení před sčítáním a násobením, počítá „zleva doprava“ - příklady typu: 5 + 2 ∙ 6, žák počítá 5 + 2 = 7, 7 ∙ 6 = 42 - možnosti nápravy: používání závorek, které si žák vyznačí, např. 5 + (2 ∙ 6) - neustále upozorňujeme žáky na přednost početních operací - postup výpočtu znázorňujeme graficky, např. pomocí stromu - použití závorek k „výhodnému“ postupu výpočtu d) žák počítá podle vlastního postupu, (např. 6 ∙ 4 + 4 : 2 počítá jako, 4 + 4 = 8, 8 : 2 = 4, 6 ∙ 4 = 24) DESETINNÉ ČÍSLO - na přirozená čísla navazují čísla desetinná - je nutné správně vyvodit pojem desetinného čísla, nesprávné je pouhé předání informace, že „desetinné číslo je číslo, které obsahuje desetinnou čárku“ - využíváme motivační příklady z běžného života (nákup, sport, veličiny (výška, objem, teplota, čas), výměna peněz (kurzy) apod.) - výchozí krok pro vytvoření pojmu desetinné číslo: zlomek jako část celku, desetinný zlomek, desetinné číslo - již dítě v MŠ chápe zlomek jako část celku (např. polovina rohlíku, čtvrtina jablka, apod.) - metodický postup při vyvození zlomku: manipulativní činnost – překládání čtverce, kruhu, obdélníku na několik stejných částí - žáci sami vyvodí: co nám říká jmenovatel: na kolik částí jsem rozdělil/a celek, co nám říká čitatel: s kolika částí celku pracujeme - v návaznosti na tyto činnosti poté budujeme pojem desetinného zlomku (nejprve desetiny, poté setiny) – zlomek, v jehož jmenovateli je některá z mocnin čísla deset - úkol pro žáky: rozděl obdélník na 10 stejných částí, jednu část vybarvi (jedna část je jedna desetina obdélníku, následuje zápis pomocí zlomku a desetinného čísla) - postupně s žáky vybarvujeme např. dvě desetiny, sedm desetin, apod., zapisujeme zlomkem a desetinným číslem - analogicky vyvozujeme setiny, volíme obdélník nebo čtverec se 100 stejných čtverečků - využíváme čtverečkovaný papír - učíme žáky správně desetinná čísla číst a zapisovat Pomůcky: desetinná známková hra, tabulka k desetinným číslům, řádová tabulka, karty s čísly, modely peněz (Eura) Porovnávání desetinných čísel Možné chyby: - nesprávný transfer z oboru přirozených čísel – větší číslo má ve svém zápisu větší počet číslic například: 8,2 < 1,612 - dominantní postavení číslice 9 (nebo 8), například: 13,02 < 9,65 Zaokrouhlování desetinných čísel - řídí se stejnými pravidly jako pro zaokrouhlování přirozených čísel, až na zápis nul v některých případech Možné chyby: - číslo 12,97 zaokrouhlené na desetiny není číslo 13,00, neboť toto číslo by udávalo přesnost na setiny - časté chyby žáků spočívají v tom, že pracují pouze s aktuálními řády, které mají při zaokrouhlování význam a ostatní opíší, například 7,429 zaokrouhlí na desetiny jako 7,409, číslo 248,26 na stovky jako 200,26 Operace s desetinnými čísly Sčítání desetinných čísel - využíváme postupů, které byly uplatňovány v oboru přirozených čísel Možné chyby: a) žáci sčítají čísla nestejných řádů, např. 0,2 + 0,03 = 0,5 b) nerespektují přechod mezi řády, např. 2,6 + 4,9 = 6,15 c) zaměňují zápis čísla a operaci sčítání, např. 0,3 + 0,3 = 0,33 nebo 1,1 + 1,1 = 11,11 d) nechápou podstatu poziční desítkové soustavy, např. 0,7 + 0,3 = 0,10 nebo 0,02 + 0,08 = 0,010 e) při písemných operacích neumí zapsat čísla správně pod sebe nebo čísla „sepisuje“ f) nerespektují poziční desítkovou soustavu (např. pracuje zvlášť s desetinnou částí a s celou částí čísla) Odčítání desetinných čísel Možné chyby: a) žáci odčítají čísla nestejných řádů, 0,80 – 0,05 = 0,3 b) nerespektují přechod mezi řády, 6,3 – 3,9 = 3,6 c) při písemných operacích neumí zapsat čísla správně pod sebe nebo čísla „sepisuje“ d) zaměňují algoritmy operací Reedukační postupy - stálé procvičování a doplňování dříve nezvládnutého učiva - neustálé opakování pamětných operací s přirozenými čísly - budování a posilování pochopení desetinného čísla a jeho významu - grafické znázorňování - užití pomůcek - při sčítání a odčítání doplnit desetinná čísla tak, aby měla stejný počet desetinných míst - případné užití kalkulátoru (kontrolujeme správné zobrazení desetinného čísla na displeji) ZLOMEK - budování pojmu zlomku je dlouhodobý proces, náročnější než u přirozených čísel - pojem přirozeného čísla se vytváří zhruba od 2 až 3 roků do 6 roků ​ - pojem zlomku je vytvářen asi od 4 roků téměř do 15 roků Numerace:​ 1. Pochopení pojmu zlomek ve všech jeho významech​ 2. Čtení a zápis zlomků​ 3. Znázornění zlomků na číselné ose​ 4. Krácení a rozšiřování zlomků​ 5. Smíšené číslo​ 6. Porovnávání zlomků Operace:​ 7. Sčítání a odčítání zlomků​ 8. Násobení zlomků​ 9. Dělení zlomků Pojem zlomku se vytváří ve třech významech:​ a) zlomek jako část celku,​ b) zlomek jako reprezentant racionálního čísla,​ c) zlomek jako naznačené dělení.​ - při budování pojmu zlomek vycházíme z manipulativní činnosti (překládání papíru, vybarvování, vystřihování, rozdělování koláče, pizzy, apod.) - modely pro práci žáků jsou nejčastěji obdélník, kruh, úsečka, trojúhelník, apod. - na základě činností žáci přichází k tomu, že každé přirozené číslo lze zapsat jako zlomek se jmenovatelem jedna a že nula nemůže být ve jmenovateli zlomku - jestliže čitatele i jmenovatele zlomku vynásobíme stejným číslem různým od nuly, říkáme, že zlomek rozšiřujeme - jestliže dělíme čitatele i jmenovatele zlomku stejným přirozeným číslem různým od nuly, říkáme, že zlomek krátíme - smíšené číslo je číslo zapsané pomocí přirozeného čísla a zlomku menšího než jedna Porovnávání zlomků - náročnější než porovnávání přirozených čísel - vycházíme z porovnávání na modelech, rychle ale přecházíme k porovnávání na číslech a) porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem​ b) porovnávání zlomků, u kterých je jeden jmenovatel násobkem druhého (využíváme rozšiřování zlomků)​ c) porovnávání zlomků, jejichž jmenovatelé jsou nesoudělná čísla​ (největší společný dělitel je 1) d) porovnávání zlomků, jejichž jmenovatelé mají společného dělitele​ Možnosti porovnávání zlomků a) zápis zlomků pomocí sobě rovných jmenovatelů, rozšířením nebo krácením zlomků​ b) použití šipkového pravidla​ c) s využitím číselné osy​ (ze dvou čísel znázorněných na číselné ose je větší to, jehož obraz je více vpravo)​ d) zápis zlomků pomocí desetinných čísel​ e) zjištěním, kolik chybí do celku (např. do jedné)​ (zlomek, kterému do celku chybí více, je menší) Sčítání a odčítání zlomků​ Metodická řada:​ a) zlomky se stejným jmenovatelem​ b) zlomky u kterých je jeden jmenovatel násobkem druhého​ c) jmenovatelé zlomků jsou čísla nesoudělná​ (společný jmenovatel je součin čísel zapsaných ve jmenovatelích)​ d) jmenovatelé zlomků jsou čísla soudělná​ (největší společný dělitel je větší než 1) Násobení zlomků​ Metodická řada:​ a) násobení zlomku přirozeným číslem (zavádíme jako opakované sčítání)​ b) násobení zlomku zlomkem​ Dělení zlomků Metodická řada:​ a) dělení zlomku číslem přirozeným​ b) dělení přirozeného čísla zlomkem​ c) dělení zlomku zlomkem Pomůcky: zlomkovnice (kruhová, obdélníková), zlomková věž, modely - u žáků s dyskalkulií pracujeme s jednoduššími zlomky a operace provádíme pouze se dvěma zlomky - žáci mohou mít problém při rozlišování tří různých pojmů a operací: rozšiřování zlomků, násobení zlomku přirozeným číslem, zápis smíšeného čísla pomocí nepravého zlomku LITERATURA: Blažková, R. (2017). Didaktika matematiky se zaměřením na specifické poruchy učení. Brno: Masarykova univerzita. Blažková, R., Matoušková, K., Vaňurová, M., & Blažek, M. (2004). Poruchy učení v matematice a možnosti jejich nápravy. Brno: Paido. Pavlíčková, L. (2020). Interaktivní osnova k předmětu Strategie podpory matematické gramotnosti. Brno. Inspirace: Budínová, I. (2014). Zlomková věž - pomůcka. EDUCOLAND (web). Dostupné z https://educoland.muni.cz/matematika/novinky-z-oboru/zlomkova-vez-pomucka/ Budínová, I. (2013). Ekvivalentní zlomky - pracovní listy. EDUCOLAND (web). Dostupné z https://educoland.muni.cz/matematika/nove-metody/ekvivalentni-zlomky-pracovni-listy/