16. STANOVENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU FYZICKÉHO KYVADLA
Fyzickým kyvadlem se rozumí skutečné těleso, otáčivé bez tření kolem vodorovné osy, neprocházející Jeho těžištěm. Pro jeho dobu kmitu T platí vztah
T     =     2 u - . (92)
U m g a
tomto vztahu I značí moment setrvačnosti fyzického kyvadla vzhledem k ose kývání, m značí hmotnost kyvadla, g značí místní tíhové zrychlení a a je vzdálenost těžiště od osy kývání (viz obr.75)
tohoto vztahu můžeme vypočítat moment setrvačnosti I
z     =    SL£a£ . (93) 4tnc
Moment setrvačnosti I určitého tělesa vzhledem k ose, neprocházející jeho těžištěm určíme tak, že těleso necháme v tíhovém poli volně kývat kolem osy, vzhledem ke které určujeme I. Postupnou metodou určíme dobu kmitu T, změříme vzdálenost a osy kývání od těžiště tělesa a zvážením určíme hmotnost tělesa m. Dosazením těchto hodnot do rovnice (93) vypočítáme hledanou hodnotu momentu setrvačnosti.
Jestliže potřebujeme znát také hodnotu centrálního momentu setrvačnosti I0 použijeme k výpočtu Steinerovy věty (90), takže dostáváme
IQ   =  m a ( V'  2   - a ) .
V případech, kdy není možno stanovit vzdálenost a těžiště od osy kývání (např. proto, že jde o těleso, u něhož není známa poloha Jeho těžiStě), nebo v případech, kdy těleso je upevněno přímo v těžišti, takže nemůže kývat, lze si vypomoci následující úpravou: Přídavné těleso Jednoduchého tvaru (aby bylo možno velmi snadno stanovit polohu Jeho těžiště) a známé hmotnosti nip připevníme k měřenému tělesu tak, aby těžiště pomocného tělesa bylo vzdáleno o Op od osy otáčení. Jestliže centrální moment setrvačnosti pomocného tělesa (vzhledem k Jeho těžišti) Je Ip0, pak jeho moment setrvačnosti Ip vzhledem k ose otáčení Je podle Steinerovy věty.
2
P     =    Ipo   +  "'p ap •
Připevněním přídavného tělesa změní se celkový moment setrvačnosti soustavy na hod-noru I', pro kterou platí
ľ   =   I + Ip   =   I + Ipo + mp .
V důsledku toho se též změní doba kmitu soustavy na hodnotu T', pro kterou platí
1/1 + Ino + mn a2.
T'     =     211 -£2-P_£   . (94)
| m g a + mp g ap
Soustavu dvou rovnic (92) a (94) pro dvě neznámé hodnoty a a I řešíme tak, že z Jedné rovnice vypočítáme a a dosadíme do druhé rovnice. Po menší úpravě dostaneme
- 96 -
výsledný vztah
T* - T'*   V     4 11
. T2        f ffip ap « T'2 2 N
V případě, že zkoumané těleso Je upevněno v těžišti, pak Je doba kmitu   T =«» Vypočteme-li limitu výrazu (95) pro     T-*o* , obdržíme pro hledanou hodnotu momentu setrvačnosti I vztah
t mP aP g T'2 2
1     = O? " Jpo " mp ap •
17. STANOVENÍ POLOMĚRU SETRVAČNOSTI Z DOBY KMITU
Tato metoda vychází ze závislosti doby kmitu T tělesa na vzdálenosti těžiště tělesa od osy rotace. Pro dobu kmitu T platí rovnice (92). Užitím Steinerovy věty dostaneme vztah
1 I0 + m a2
T     «     2*   —-;—   , (96)
U     m g 1
ve kterém I0 značí centrálni moment setrvačnosti,
ostatní veličiny totéž co v rovnici (92). Jak je zřejmé z rovnice (96) doba kmitu T závisí na vzdálenosti a těžiště tělesa od osy rotace. Jde tedy o funkci   T = f(a). Tato funkce nabývá minimální hodnoty pro takovou hodnotu a, která je právě rovna poloměru setrvačnosti i daného tělesa, tedy
3T
r—    =    0       pro       a    =    i .
3a
Při této metodě postupujeme tak, že zjistíme závislost doby kmitu T na vzdálenosti a těžiště tělesa od osy rotace (měřením doby kmitu pro různé vzdálenosti postupnou metodou) a příslušné hodnoty vyneseme do grafu (viz obr.76). Z grafu určíme minimum funkce. Hodnota nezávisle proměnné, která přísluší minimu funkce je rovna poloměru setrvačnosti.
27358 P7
- 97 -